Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы

• Название: Изучение производной в курсе математики средней школы
• Анкор: Дипломная работа по методике математика
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Диплом_Просветов ДВ.docx
• Тип: Реферат; #817362
• страница: 4 из 12

1.3. Формулы и правила дифференцирования

1.3.1. Производная суммы (разности), произведения, частного функций

«Находить производную, используя её определение, - занятие трудоемкое. В то же время мы знаем, что всякую элементарную функцию можно получить из некоторого набора основных функций, называемых основными элементарными функциями, используя правила сложения, умножения, деления этих функций, а также правила образования сложной функции. Значит, чтобы вычислить производную любой элементарной функции, надо знать производные основных элементарных функций и правила вычисления производных суммы, произведения, частного и сложных функций» [23].

Рассмотрим эти правила.

Теорема 1. Производная суммы двух дифференцируемых функций равна сумме их производных, то есть

(1)

Доказательство: Обозначим сумму функций и через . Тогда , и . Разделим это равенство на и найдем предел полученного отношения при :

(2)

Так как , а , то из равенства (2) следует, что , то есть .

Теорема доказана.

«Физический смысл теоремы состоит в том, что при сложении движений их скорости складываются. Например, если человек идет по движущемуся вагону в направлении движения, то его скорость относительно земли равна сумме скоростей движения вагона и скорости человека относительно вагона» [12].

Пример 1. Найдем производную функции .

Решение. Так как ; ; , то

.

Теорема 2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме двух слагаемых: производной первой функции, умноженной на вторую функцию и первой функции, умноженной на производную второй функции.

Иными словами, выполняется равенство:

(3)

Доказательство.

Обозначим произведение функций и через . Тогда

; . (4)

Так как‚ и , то и .

Значит,

(5)

Разделим равенство (4) на и найдем предел при . Тогда получим: .

Так как , , , то равенство (5) имеет вид

Таким образом, доказана формула



Пример 2. Найдем производную от функции .

Решение. В данном случае ; .

; .

Поэтому .

Следствие. Производная степенной функции , может быть вычислена по формуле

(6)

Доказательство. Воспользуемся методом математической индукции. Мы уже знаем, что , то есть формула (6) для верна. Предположим, что она верна для и докажем справедливость формулы для .

Используя формулу (З), находим

. Итак,

, то есть формула (6) верна и для . Следовательно, по принципу математической индукции, эта формула верна для всех натуральных чисел .

Пример 3. Найдем производную функции .

Решение. .
Примечание. В более подробных курсах доказывается, что формула (6) справедлива для степенной функции , , когда показатель степени любое действительное число. То есть имеет место формула

(7)

Выведем теперь формулу для вычисления производной дроби. Сначала докажем следующую теорему:

Теорема 3. В точках, где дифференцируемая функция не обращается в нуль, производная функции выражается формулой:

(8)

Доказательство. Воспользовавшись формулой (2), имеем



Теорема доказана.
Пример 4. Найдем производную функции .

Решение. Здесь и . Значит, по формуле (8), имеем

.
Теорема 4. Если функции и дифференцируемы, то в точках, где функция не обращается в нуль, производную дроби можно найти по формуле

(9)

Доказательство. Функцию можно записать в виде . Применяя формулу для производной произведения и формулу (8), получим





Теорема доказана.

Пример 4. Найдем производную функции .

Решение. Здесь , а и , .

По формуле (9) получаем

1.3.2.Производная степенной функции и дроби

В предыдущем пункте мы установили справедливость формулы . Покажем, что похожая формула имеет место и для производной степени функции‚ , где - дифференцируемая функция. Вычислим вначале производную квадрата для дифференцируемой функции . Здесь означает произведение , поэтому по формуле

(1)

получаем



Если рассмотреть функцию , то

.

Аналогичную формулу получим для и т.д. Предположим теперь, что формула

(2)

справедлива для и покажем, что она имеет место и для . Действительно,



следовательно, по принципу математической индукции формула (2) верна для любого натурального числа.[23]

В более подробных курсах математического анализа доказывается, что формула (2) верна для функции , , где - любое действительное число, то есть

(3)
Пример 1. Найдем производные функций:

а) , б) , в)

Решение.

По формуле (2) находим

а) ,

6) ,

в) .

Пример 2. Найдем производную функции .

Решение.

1.3.З. Производные тригонометрических функций

Формулы для производных тригонометрических функций имеют вид:

(1)

(2)

В частности, при и получаем

(3)

(4)

Докажем для примера формулу (1). Прежде чем приступить к доказательству, напомним, что тригонометрические функции непрерывны в каждой точке своей области определения. Это значит, например, что , то есть при вычислении предела этих функций при достаточно в функцию подставить значение аргумента .

Напомним, что первый замечательный предел означает равенство . Нетрудно видеть, что тогда при любом действительном значении будет справедливо и такое равенство

(5)

Действительно, если обозначить , то при имеем и, наоборот, при будет .

Сделав подстановку в равенстве (5), получим



Итак, рассмотрим функцию , тогда . Найдем приращение функции, используя формулу преобразования разности синусов в произведение:

. Найдем

теперь предел отношения при , используя правило вычисления предела произведения функций, первый замечательный предел и непрерывность тригонометрических функций: (6)



.

Здесь учтено, что , а .

Итак, из равенства (6) следует, .

Пример 1. Найдем производные функций:

а) , б) .

Решение. По формуле (1), имеем

а) ,

б)

Чтобы доказать формулу (2), достаточно вспомнить, что по формулам приведения , а , поэтому

.

Найдем теперь производную функции . Применяя правило вычисления производной дроби и формулы (1) и (2), получаем:

.

Итак,

(7)

В частности, если положить в формуле (7) , , то получим

(8)

Совершенно аналогично получим формулы

(9)

(10)

Пример 2. Найдем производные функций.

а) ,

Решение.

а) По формуле (7) имеем

,

1.3.4. Число е. Производные показательной и логарифмической функций

Рис. 5 Рис. 6
Угол, который образуют две кривые – это угол между касательными к данным кривым, которые проведены в точку, где они пересекаются (рис. 5).

«На рисунке 4 изображены графики функций и . Они пересекают ось Оу в одной точке . График функции образует с осью ординат угол , а график функции - угол . Если увеличивать основание показательной функции от 2 до З, то угол в этом случае будет уменьшаться от до , и найдется такое значение , при котором график функции пересечет ось Оу под углом . Это значение обозначают буквой . Ясно, что касательная к графику функции в точке наклонена к оси Ох также под углом (рис. 6). Поэтому, угловой коэффициент этой касательной равен 1, . Было установлено, что число является иррациональным⁵, иными словами, это бесконечная десятичная непереодическая дробь: _» [7]

Необходимо сказать, что функцию обозначают также , которая читается как «экспонента » (от латинского слова “exponere - показывать”).

«Число связано с формулой сложных процентов. Например, если мы одолжили определенную сумму рублей под годовых, то через лет следует вернуть сумму , то есть, при сумма долга будет составлять рублей» [14].

«Предположим, что капитализация происходит не каждый год, а каждый месяц, но процентная ставка в 12 раз меньше. Тогда за год возвратный капитал будет составлять сумму . Если капитализацию совершать каждый день (такое бывает во времена больших финансовых кризисов), но процентная ставка будет в 365 раз меньше, то через год сумма долга будет выражаться числом можно видеть, что значения постепенно приближаются к числу » [23]. Поэтому можно считать, что если увеличиваются числа, то точнее выражается число . В курсах математического анализа доказывается, что

(1)

Логарифмы, основание которых называются натуральными логарифмами. Натуральный логарифм числа обозначают . Итак, . Так как, функция является обратной функции , то ее график получается из графика функции благодаря осевой симметрии относительно прямой (рис. 3). Нужно отметить, что , .



Рис. 7

Теперь необходимо вычислить производную от функции . Поэтому сначала необходимо доказать следующее утверждение:

(2)

Учитывая определение числа , угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен . С другой стороны, используя формулу (2), коэффициент касательной к графику функции в точке можно найти по формуле

.

Для функции в точке , имеем



А так как в этой точке , то . Заметим, что поскольку при имеем , из равенства (2) следует, что при

(3)

Пусть . Тогда и потому .

Найдем теперь предел отношения при .

(4)

При изменении величина не изменяется, поэтому , а . Тогда из равенства (4), получаем

(5)

В частности, при имеем

(6)

Таким образом, производная функции равна самой этой функции. Именно этим объясняется особая роль числа в математике.

Отметим, что

(7)

В самом деле,

Пример 1. Найдем производные функций

;

Решение.

Применяя формулу (7) при и , получаем


Пример 2. Найти касательную к графику функции в точке с абсциссой .

Решение. Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой имеет вид:

.

В данном случае ; , . Значит, уравнение искомой касательной имеет вид , то есть .

Рассмотрим функцию при любом , . Так как , то . По формуле (5) при получаем



Итак,

(8)

Можно доказать, что

(9)

Пример 3. Найдем производную функции

Решение. По формуле (9) при и получаем .

Приведем без вывода формулу вычисления производной логарифмической функции:

(10)

В частности, при , имеет место формула

(11)

Логарифм с произвольным основанием , можно свести к натуральному логарифму по формуле . Поэтому

.

Итак,

(12)

Аналогично можно получить формулу

(13)

Пример 4. Найдем производную функции:

а) ;

Решение.

а) По формуле (10) при , , имеем ;