Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы

• Название: Изучение производной в курсе математики средней школы
• Анкор: Дипломная работа по методике математика
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Диплом_Просветов ДВ.docx
• Тип: Реферат; #817362
• страница: 3 из 12

1.2. Геометрический, механический смысл

1.2.1. Геометрический смысл производной

«Производная имеет определенный геометрический смысл. Геометрическое истолкование производной тесно связано с понятием касательной к кривой. Пусть дана непрерывная функция , график которой изображен на рисунке 1» [13].



Рис. 2

«Дадим определение касательной к кривой в точке. Пусть - абсцисса точки ; выберем на кривой точку , абсцисса которой будет, очевидно, . Через точки и проведем прямую - она будет являться секущей к рассматриваемой кривой» [5].

Нетрудно видеть из чертежа, что угловой коэффициент секущей равен:

.

«Предположим теперь, что , т. е. что абсцисса точки приближается к абсциссе точки , а это в свою очередь означает, что точка будет стремиться к точке , оставаясь на кривой. Секущая будет вращаться около точки . Если при этом секущая стремится занять неко­торое предельное положение , для которого при , то называют касательной к кривой в дан­ной точке » [2].

Определение. «Касательной к кривой в точке называют предельное положение секущей , когда точка стремится к точке , оставаясь на кривой» [16].

Касательная представляет собой прямую, поэтому ее уравнение имеет вид:

,

где - угловой коэффициент, который будем называть угловым коэффициентом касательной. Так как , то из определения касательной и непрерывности функции

,

имеем:

(1)

Пользуясь производной, можно найти значение в заданной точке кривой.

Теорема 1. Угловой коэффициент касательной к кривой в точке равен значению производной функции при :

(2)

Доказательство. Согласно равенству (1) .

Из рисунка 1 видно, что

,

следовательно,

.

«Справедливо также утверждение: Если функция имеет производную в некоторой точке, то в соответствующей точке существует касательная к ее графику. Причем значение производной совпадает с угловым коэффициентом касательной» [1].

В этом заключается геометрический смысл производной.

Зная угловой коэффициент касательной к кривой и точку касания, можно найти уравнение касательной.

Теорема 2. Уравнение касательной к кривой в точке , где имеет вид:

. (3)

Доказательство. Чтобы найти уравнение касательной, нужно в уравнении прямой определить и . Согласно выражению (2) .

Чтобы найти , воспользуемся тем, что касательная проходит через точку . Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению пря­мой, т. е.

,

откуда

.

Подставив найденные значения и в уравнение пря­мой, получим уравнение касательной к кривой в ее точке :

.
Пример 1. «Дан график функции у = f(х), которая определена на интервале (-5; 5). Он изображен на рисунке. Необходимо найти количество точек, в которых касательная к графику функции является параллельной прямой у = 6 или совпадает с ней» [1].



Рис. 3

Так, как касательная к графику функции f(x) является параллельной (или совпадает) прямой у = 6 (или у = kX + 6, k = 0), которая имеет угловой коэффициент k = 0, то касательная также имеет угловой коэффициент, который равняется 0.

Поскольку угловой коэффициент k – это тангенс угла наклона касательной к оси (Ох), то касательная параллельна оси Ох.

П
оэтому на графике следует найти точки максимума и минимума, то есть, точки экстремума, так как в данных точках касательные к графику функции f(х) являются параллельными оси (Ох).

Рис. 4

Таких точек - 4.

Ответ: 4.

1.2.2. Механический смысл производной

Пусть уравнение характеризует зависимость пути s от времени tв прямолинейном движении. По определению скорость движения в момент времени t задается равенством:



(в предположении, что последний предел существует). Но указанный предел есть как раз производная от функции в точке :

,

или, как говорится обычно в физике: скорость прямолинейного движения есть производная от пути по времени⁴.

Таково механическое истолкование понятия производной, чрезвычайно важное для физики, техники.

«Задача об определении скорости движущейся точки в данный момент времени, как и задача о проведении касательной к данной кривой в данной точке, были теми задачами, которые привели в XVII в. к открытию дифференциального исчисления (Ньютон, Лейбниц)» [7].