Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы

• Название: Изучение производной в курсе математики средней школы
• Анкор: Дипломная работа по методике математика
• Дата: 28.11.2022
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Диплом_Просветов ДВ.docx
• Тип: Реферат; #817362
• страница: 6 из 12

1.6. Наибольшее и наименьшее значение функции

С помощью производной можно находить наибольшие и наименьшие значения функции на отрезке . Этих значений непрерывная функция достигает либо в критических точках, либо в концах отрезка (a и b).

Предположим, что функция является непрерывной на отрезке . Тогда на данном отрезке она достигает максимального значения. Пусть, на данном отрезке функция имеет определенное количество критических точек. Если максимальное значение достигается внутри отрезка , то это значение – это один из максимумов функции, если максимумов несколько, но может быть и так, что максимальное значение будет достигаться на одном из концов отрезка.

Таким образом, функция на отрезке имеет максимальное значение или на одном из концов отрезка, или в такой внутренней точке данного отрезка, которая является точкой максимума. Это же касается и минимального значения функции: оно может достигаться или на одном из концов отрезка, или в такой внутренней точке данного отрезка, которая является точкой минимума. Из предыдущего вытекает правило¹¹: если необходимо найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке , то для этого нужно:

1) определить критические точки;

2) определить значение функции в критических точках;

3) определить значение функции на концах отрезка;

4) выбрать максимальное и минимальное значение функции.

Аналогично поступаем в ходе определения минимального значения функции на отрезке.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0, ].

Решение: 1) Находим

2) Находим критические точки

,

= ;

, x= .

В отрезок [0, ] попадают две критические точки , .

3) Находим значение функции в концах отрезка и в критических точках

,

Ответ: , .

1.7. Исследование функции с помощью производной

Построение графика произвольной функции может быть, как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами.

Алгоритм исследования функции и построения ее графика таков:

1. Находим область определения (D(f)) функции  .

2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения x из D(f) значение x также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность.

Если , то функция четная. (Примером четной функции является функция )

Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY.

Если , то функция нечетная. (Примером нечетной функции является функция )

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для ,  а затем соответствующим образом отразить ее.

3. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (OX).

Для этого мы решаем уравнение  .

Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ.

Находим точку пересечения графика функции  с осью ординат (OY). Для этого ищем значение функции при .

4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция  сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции , нам нужно решить неравенства  и .

5. Находим асимптоты графика функции.

6. Если функция периодическая, то находим период функции.

7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума.

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную .

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения   - это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции.

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума.

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума.

8. И последнее, что необходимо найти - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости.

Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости рассмотрим на примере.

Итак, давайте, для примера, исследуем функцию  и построим ее график.

1. Найдем D(y).





Сразу отметим, что при  знаменатель дроби равен нулю, следовательно, прямые  и   являются вертикальными асимптотами графика функции .

2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки:  и )



Получили, что , следовательно, функция -нечетная, и график функции симметричен относительно начала координат.

3. Найдем точки пересечения с осями координат.

а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0)




б) Точка пересечения с осью ОY (x=0)


График нашей функции проходит через начало координат.

4. Найдем промежутки знакопостоянства.

Решим неравенство

Воспользуемся методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки:

Корень числителя:

Корни знаменателя:  и   ;

Расставим знаки:



Итак,   при и

 при и

5. Найдем асимптоты графика функции .

Вертикальные асимптоты мы уже нашли в  п.1, это прямые  и  .

Уравнение горизонтальной асимптоты функции   имеет вид  , где .

Степень числителя дроби  на единицу больше степени знаменателя, поэтому  не существует, и график функции   не имеет горизонтальной асимптоты.

Попробуем найти наклонную асимптоту.

Уравнение наклонной асимптоты имеет вид  .

Коэффициенты и  вычисляются следующим образом:






В нашем случае.



(Степень знаменателя на единицу больше степени числителя).

То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид  .

Нанесем асимптоты на координатную плоскость:



6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции  и экстремумы.

а) Найдем производную функции  


б) Приравняем производную к нулю:



(корень четной кратности); ; .

Корни знаменателя  - также корни четной кратности.

В корнях четной кратности производная знак не меняет.

в) Нанесем нули производной  и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания.



Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания.

Найдем значение функции в точках экстремума:









Заметим, что, поскольку функция нечетная, и мы нашли, что , мы могли бы сразу написать, что .

Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат.

На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции.


Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним.



После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам.

Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции.