Дипломная работа по методике математика. Диплом_Просветов ДВ. Изучение производной в курсе математики средней школы
![]()
|
1.6. Наибольшее и наименьшее значение функцииС помощью производной можно находить наибольшие и наименьшие значения функции ![]() ![]() Предположим, что функция ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, функция на отрезке ![]() ![]() 1) определить критические точки; 2) определить значение функции в критических точках; 3) определить значение функции на концах отрезка; 4) выбрать максимальное и минимальное значение функции. Аналогично поступаем в ходе определения минимального значения функции на отрезке. Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции ![]() ![]() Решение: 1) Находим ![]() 2) Находим критические точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В отрезок [0, ![]() ![]() ![]() ![]() 3) Находим значение функции в концах отрезка и в критических точках ![]() ![]() Ответ: ![]() ![]() 1.7. Исследование функции с помощью производнойПостроение графика произвольной функции может быть, как отдельной задачей, так и вспомогательной - например, при решении уравнений графическим способом, или при решении задач с параметрами. Алгоритм исследования функции ![]() 1. Находим область определения (D(f)) функции ![]() 2. Если область определения функции симметрична относительно нуля (то есть для любого значения x из D(f) значение x также принадлежит области определения, то проверяем функцию на четность. Если ![]() ![]() Для нас важно, что график четной функции симметричен относительно оси OY. Если ![]() ![]() График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Если функция является четной или нечетной, то мы можем построить часть ее графика для ![]() 3. Находим точки пересечения графика с осями координат. Находим нули функции - это точки пересечения графика функции ![]() Для этого мы решаем уравнение ![]() Корни этого уравнения являются абсциссами точек пересечения графика функции с осью ОХ. Находим точку пересечения графика функции ![]() ![]() 4. Находим промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых функция ![]() Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции ![]() ![]() ![]() 5. Находим асимптоты графика функции. 6. Если функция периодическая, то находим период функции. 7. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума. Для этого мы следуем привычному алгоритму. а) Находим производную ![]() б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения ![]() в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна, являются промежутками возрастания функции. Промежутки, на которых производная отрицательна, являются промежутками убывания функции. Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус, являются точками максимума. Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс, являются точками минимума. 8. И последнее, что необходимо найти - точки перегибы и промежутки выпуклости и вогнутости. Подробнее о том, как находить точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости рассмотрим на примере. Итак, давайте, для примера, исследуем функцию ![]() 1. Найдем D(y). ![]() ![]() Сразу отметим, что при ![]() ![]() ![]() ![]() 2. Исследуем функцию на четность. Область определения функции симметрична относительна нуля (мы выкололи две симметричные точки: ![]() ![]() ![]() Получили, что ![]() ![]() 3. Найдем точки пересечения с осями координат. а) Точки пересечения с осью ОХ (y=0) ![]() ![]() б) Точка пересечения с осью ОY (x=0) ![]() График нашей функции проходит через начало координат. 4. Найдем промежутки знакопостоянства. Решим неравенство ![]() Воспользуемся методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя, нанесем их на числовую ось и расставим знаки: Корень числителя: ![]() Корни знаменателя: ![]() ![]() Расставим знаки: ![]() Итак, ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 5. Найдем асимптоты графика функции ![]() Вертикальные асимптоты мы уже нашли в п.1, это прямые ![]() ![]() Уравнение горизонтальной асимптоты функции ![]() ![]() ![]() Степень числителя дроби ![]() ![]() ![]() Попробуем найти наклонную асимптоту. Уравнение наклонной асимптоты имеет вид ![]() Коэффициенты ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() В нашем случае. ![]() (Степень знаменателя на единицу больше степени числителя). То есть уравнение наклонной асимптоты имеет вид ![]() Нанесем асимптоты на координатную плоскость: ![]() 6. Найдем промежутки возрастания-убывания функции ![]() а) Найдем производную функции ![]() ![]() б) Приравняем производную к нулю: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Корни знаменателя ![]() В корнях четной кратности производная знак не меняет. в) Нанесем нули производной и корни ее знаменателя на числовую ось, расставим знаки и найдем точки экстремума и промежутки возрастания и убывания. ![]() Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания. Найдем значение функции в точках экстремума: ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что, поскольку функция ![]() ![]() ![]() Итак, отметим в нашей координатной плоскости точки минимума и максимума функции и точку пересечения графика функции с осями координат. На рисунке ниже большими красными кружками обозначены точки, через которые проходит график функции. ![]() Теперь учтем промежутки возрастания-убывания и промежутки знакопостоянства функции (п. 4) и построим ее график. Помним, что график функции не пересекает абсциссы, он лишь приближается к ним. ![]() После построения графика необходимо еще раз просмотреть все пункты исследования функции и проверить, соответствует ли полученный график всем пунктам. Если наблюдается какое-то несоответствие, то необходимо повторить исследование и найти причину нестыковки графика и поведения функции. |