Логика. Конспект книги

• Название: Конспект книги
• Анкор: Логика.docx
• Дата: 05.02.2018
• Размер: 1.72 Mb.
• Имя файла: Логика.docx
• Тип: Конспект; #15224
• страница: 26 из 29

§ 5. Многозначные логики

В многозначных логиках число значений истинности аргументов и функций для высказываний может быть любым конечным (больше двух) и даже бесконечным. В настоящем параграфе используются так называемая польская запись, которую применял Лукасевич, и обычная, применяемая в двузначной логике: отрицание обозначается через Nx или, конъюнкция - через Кху или х v у, нестрогая дизъюнкция - через Аху или х v у, материальная импликация - через Сху или х→ у. Значение функции от аргумента а записывается так: [а]. Тавтологией (или общезначимой, или законом логики, или тождественно-истинной) называется формула, которая при любых комбинациях значений входящих в нее переменных принимает выделенное (или отмеченное) значение; как правило, это значение “истина” (чаще всего в рассматриваемых системах “истина” обозначается цифрой 1).

Развитие многозначных логик подтверждает мысль, что истина всегда конкретна, а также положение об относительном характере конкретно-научных знаний: то, что является тождественно-истинным в одной логической системе, не оказывается тождественно-истинным в другой.

________________

'См.: Доклады АН СССР. 1974. Т. 214, № 1-6; Т. 215, № 1.

417

Трехзначная система Лукасевнча

Трехзначная пропозициональная логика (логика высказываний) была построена в 1920 г. польским математиком и логиком Я. Лукасевичем (1878-1956)'. В ней “истина” обозначается 1, “ложь” - 0, “нейтрально” - ¹/_2. В качестве основных функций взяты отрицание (Nx) и импликация (Сху); производными являются конъюнкция (Кху) и дизъюнкция (Аху). Тавтология принимает значение 1.

Отрицание и импликация соответственно определяются матрицами (таблицами) так:

Импликация Лукасевича
X \ y	1	1/2	0
1	1	1/2	0
1/2	1	l	1/2
0	1	l	1

Отрицание Лукасевича

х	Nx
1	0
1/2	1/2
0	1

[Nx] =1-[x]

'См.: LukasiewiczJ. О pojeciu mozliewosci //Buch Filozoficzny. Lwow. 1920. Vol. 5. № 9.

418

Конъюнкция определяется как минимум значений аргументов: [Кху] = min ( [х],[у]); дизъюнкция - как максимум значений х и у[Аху]=таx([х],[у]).

Пользование таблицей для импликации Лукасевича, выраженной в форме х → у, происходит так. Слева в первой колонке написаны значений для х, а сверху - значения для у. Возьмем, например [х] = ¹/₂ (т. е. значение для х, равное ¹/₂ ), а [у] = 0, получаем импликацию ¹/₂→ 0. На пересечении получаем результат ¹/₂ .

Если в формулу входит одна переменная, как, например, в случае формулы a , то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные значения истинности, или ложности, или неопределенности ее переменной в таблице, будет состоять из 3' = 3 строки; при двух переменных в таблице будет 3² = 9 строк; при трех переменных в таблице имеем З³ = 27 строк; при n переменных будет 3ⁿ строк.

Покажем, как происходит доказательство для формул a(закон исключенного третьего) и для ( закон непротиворечия), содержащих одну переменную, т. е. а. В таблице будет всего 3' = 3 строки.

a		a	a ^
1	0	1	0	1
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2
0	1	1	0	1

Для доказательства формулы a используем знание о том, что дизъюнкция берется по максимуму. В третьей колонке, соответствующей a, видим, что вместе со значениями 1 есть значение ¹/₂ . Следовательно, эта формула не есть закон логики. Аналогично строятся колонки 4 и 5, только соблюдая условие, что конъюнкция берется по минимуму значений. Формула также не является законом логики.

Теперь посмотрим, является ли законом логики формула (х → (^ у))→, содержащая две переменные х и у В таблице будет З² = 9 строк. Распределение значений истинности для х и у показано в первой и второй колонках.
419

Вывод: так как в последней колонке встречается два раза значение неопределенности (т. е. ¹/₂), то данная формула не является законом логики.

На основе данных определений отрицания, конъюнкции и дизъюнкции Лукасевича не будут тавтологиями (законами логики) закон непротиворечия и закон исключенного третьего двузначной логики. В системе Лукасевича не являются тавтологиями и отрицания законов непротиворечия и исключенного третьего двузначной логики. Поэтому логика Лукасевича не является отрицанием двузначной логики. В логике Лукасевича тавтологиями являются: правило снятия двойного отрицания, все четыре правила де Моргана и правило контрапозиции: а → b →. Не являются тавтологиями правила приведения к абсурду двузначной логики; (х → ) → и (х→ (^ у)) → (т. е. если из х вытекает противоречие, то из этого следует отрицание х). Это было доказано (см. таблицу 3).

Таблица 3

x	у			^ y	x→(^y)	(x→ (^у)) →
1	1	0	0	0	0	1
1	1/2	0	1/2	1/2	1/2	1/2
1	0	0	1	0	0	1
1/2	1	1/2	0	0	1/2	1
1/2	1/2	1/2	1/2	1/2	1	1/2
1/2	0	1/2	1	0	0	1
0	1	1	0	0	1	1
0	1/2	1	1/2	1/2	1	1
0	0	1	1	0	1	1

В системе Лукасевича не являются тавтологиями и некоторые формулы разделительно-категорического силлогизма с нестрогой дизъюнкцией.

Все тавтологии логики Лукасевича являются тавтологиями в двузначной логике, ибо если отбросить значение ¹/₂, то в логике

420
Лукасевича и в двузначной логике определение функций конъюнкции, дизъюнкции, импликации и отрицания соответственно совпадут. Но так как в логике Лукасевича имеется третье значение истинности –¹/₂, то не все тавтологии двузначной логики являются тавтологиями в логике Лукасевича.

Трехзначная система Гейтинга

В двузначной логике из закона исключенного третьего выводятся: 1) →х; 2) х. Исходя из утверждения, что истинным является лишь второе, нидерландский логик и математик А. Рейтинг (1898-1980) разработал трехзначную пропозициональную логику. В этой логической системе импликация и отрицание отличаются от определений этих операций у Лукасевича лишь в одном случае. “Истина” обозначается 1, “ложь” - 0, “неопределенность” -¹/₂. Тавтология принимает значение 1.

Импликация Гейтинга

x \ y	1	½	0
1	1	½	0
½	1	1	0
0	1	1	1

Отрицание Гейтинга

x	Nx
1	0
½	0
0	1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются обычным способом как минимум и максимум значении аргументов.

Если учитывать лишь значения функций 1 и 0, то из матриц системы Гейтинга вычленяются матрицы двузначной логики.

421

этой трехзначной логике закон непротиворечия является тавтологией, но ни закон исключенного третьего, ни его отрицание тавтологиями не являются. Оба правильных модуса условно-категорического силлогизма, формула (х  у)  (), правила де Моргана и закон исключенного четвертого (x)- тавтологии.

Хотя по сравнению с логикой Лукасевича в матрицах отрицания и импликации Рейтингом в его системе были произведены небольшие изменения, результаты оказались значительными: в системе Рейтинга являются тавтологиями многие формулы классического двузначного исчисления высказываний.

т-значиая система Поста (Р_т )¹

Система американского математика и логика Э. Л. Поста (1897- 1954) является обобщением двузначной логики, ибо при т = 2 в качестве частного случая мы получаем двузначную логику. Значения истинности суть 1, 2, ..., т (при т 2), где т -конечное число. Тавтологией является формула, которая всегда принимает выделенное значение, лежащее между 1 и т - 1, включая их самих.

Пост вводит два вида отрицания (N¹x и N²х) соответственно называемые циклическим и симметричным. Они определяются путем матриц и посредством равенств.

Первое отрицание определяется двумя равенствами:

1. [N¹x]=[x]+1 при [х] т-1.

2. [N¹m]=1.

Второе отрицание определяется одним равенством:

[N ² x]=m-[x]+1

Характерной особенностью двух отрицаний Поста является то, что при т = 2 эти отрицания совпадают между собой и с отрицанием двузначной логики, что подтверждает тезис: многозначная система Поста есть обобщение двузначной логики.

______________________________

'См.: PoslE.L. Introduction to a General Theory of Elementary Propositions // American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43. №3.

422


Этапы развития логики как науки и основные

направления современной символической логики

X	N 1x	N 2 x
1	2	m
2	3	m – 1
3	4	m –2
4	5	m – 3
.	.	.
.	.	.
.	.	.
m – 1	m	2
m	1	1

Конъюнкция и дизъюнкция определяются соответственно как максимум и минимум значений аргументов. При указанных определениях отрицания, конъюнкции и дизъюнкции обнаруживается, что при значении для х, большем двух, законы непротиворечия и исключенного третьего, а также отрицание этих законов не являются тавтологиями.

Трехзначная система Р₃ Поста имеет следующую указанную в таблицах форму. В этих таблицах приняты обозначения, введенные Постом при m = 3: первое отрицание обозначается через ( ₃ р ), второе отрицание - через ( ₃ р), конъюнкция через (р^.₃ р), дизъюнкция - через

рv₃ р), импликация - через (р ₃ q), эквиваленты - через ( р ₃ q ).

р	3 p	≈3 p
1	2	3
2	3	2
3	1	1
Пояснения	Первое отрицание	Второе отрицание

q \ p	р.3q		рv3q		р 3q		р 3 q .
	1		2		3		1	2	3	1	2	3	1	2	3
1		1		2		3		1	1	1	1	2	3	1	2	3
2		2		2		3		1	2	2	1	2	2	2	2	2
3		3		3		3		1	2	3	1	1	1	3	2	1
Пояснения	max(p,q)		min(p,q)		(3 р) v3q		(р 3q)^3(qp)

423
Если в качестве значений истинности взяты лишь 1 “истина” и 3 “ложь”, то из таблиц системы Р₃ Поста вычленяются таблицы для отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции двузначной логики.

В системе Р₃ тавтология принимает значение 1; закон исключенного третьего не является тавтологией ни для первого, ни для второго отрицания Поста, но является тавтологией закон исключенного четвертого для первого отрицания.

Две бесконечнозначные системы Гетмановой:

“Логика истины” и “Логика лжи”

Бесконечнозначная “Логика истины” как обобщение многозначной системы Поста

Исходя из т-значной системы Э. Л. Поста автор этого учебника А. Д. Гетманова построила бесконечнозначную систему Gx_o. J В ней значениями истинности являются: 1 (“истина”), 0 (“ложь”) и все дробные числа в интервале от 1 до 0, построенные в форме (¹/₂)^k и в форме (¹/₂)^k*(2^k - 1), где k-целочисленный показатель. Иными словами, значениями истинности являются: 1, ¹/_{2 ,} ¹/_4, ³/_{4 ,} ¹/_8, ⁷/_8, ¹/_16, ¹⁵/_16,….., (¹/₂)^k, (¹/₂)^k*(2^k-1),….,0.
Операции: отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, импликация и эквиваленция в Gx_o- определены следующими равенствами:

1. Отрицание: [_х0 р]=1-[p]

2. Дизъюнкция: [р v _х0 q ] = max([p], [q]).

3. Конъюнкция: [р _х0q] = min([p],[qj).

4. Импликация: [р = _х0х0 q] = [_х0 p vq].

5. Эквиваленция: [р _х0q] = [(р _х0q) _х0 (q _х0 р)]

Отрицание в системе Gx_o является обобщением второго (симметричного) отрицания т-значной логики Поста. Посредством именно этого отрицания строятся конъюнкция, импликация

424

и эквиваленция в системе Gх_о . Система Gх_о , построенная предложенным способом, имеет множество тавтологий. (Тавтология принимает значение 1).

Тавтологии в бесконечнозначной “Логике истины” (т. е. в Gх_о) являются тавтологиями в двузначной логике, ибо Gх_о является обобщением системы Р Поста, а последняя есть обобщение двузначной логики. Из системы Gх_о вычленяются G₃ ,G_{4 .},G₅,G₆,...,G_n ,т.е. любая конечнозначная “Логика истины”.

Об интерпретации системы Gх_о

В системе Gх_о между крайними значениями истинности: 1 (“истина”) и 0 (“ложь”) лежит бесконечное число значений истинности: ¹/₂,¹/₄,³/₄,¹/_8, ⁷/₈ и т. д. Процесс познания осуществляется таким образом, что мы идем от незнания к знанию, от неполного, неточного знания к более полному и точному, от относительной истины к абсолютной. Абсолютная истина (в узком смысле) складывается из бесконечной суммы относительных истин. Если значению истинности, равному 1, придать семантический смысл абсолютной истины, а значению 0 - значение лжи (заблуждения, отсутствия знания), то промежуточные значения истинности отразят процесс достижения абсолютной истины как бесконечный процесс, складывающийся из познания относительных истин, значениями которых в системе Gх_о являются ¹/₂,¹/₄,³/₄,¹/_8, ⁷/₈ и т. д. Чем ближе значение истинности переменных (выражающих суждения) к 1, тем большая степень приближения к абсолютной истине. Так осуществляется процесс познания: от незнания к знанию, от явления к сущности, от сущности первого порядка к сущности второго порядка и т. д. Этот бесконечный процесс познания и отражает бесконечнозначная система Gх_о, построенная автором как обобщение двузначной классической логики, характеризующей процесс познания в рамках оперирования лишь предельными значениями истинности - “истина” и “ложь”. Такова семантическая интерпретация системы Gх_о (“Логика истины”), вскрывающая ее роль в процессе познания истины.

425

Методологические проблемы

применения многозначных логик для моделирования систем с наличием элемента неопределенности. (О применении многозначных логик в социологии).

Многозначные логики используются при моделировании систем с наличием элемента неопределенности. Простейшим примером применения трехзначной логики является голосование:

“за”, “против”, “воздержался” или ответы на вопросы: “да”, “нет”, “затрудняюсь ответить”.

Более сложной методологической проблемой является применение многозначных логик при построении социологических анкет. Обычно дается ряд ответов на один вопрос. Ответы формулируются приблизительно так: “да”, “нет”, “скорее да, чем нет”, “скорее нет, чем да”, “удовлетворен в значительной степени”, “мало удовлетворен” и т. д. Все эти ответы включают значительный элемент неопределенности, что затрудняет выявление мнения людей в ходе социологического опроса (или анкетирования).

Автор считает возможным использовать многозначные логики с различными значениями истинности, т. е., например, 6-ти, или 8-ми, или 9-ти, или 12-значные логики. Составляющий анкету социолог должен предлагать конкретные значения истинности суждений, т. е. предусмотреть точные оценки, которые даст сам человек, работающий с анкетой. Например, в 9-значнои логике значениями истинности будут следующие: 1,¹⁵/₁₆,⁷/₈,³/_4,¹/_{2 ,}¹/_{4 ,}¹/_8, ¹/_16, 0.

Если человек, например, при ответе на вопрос: “Удовлетворен ли он своим трудом?” им полностью удовлетворен, то в соответствующем разделе он напишет 1, если же он полностью не удовлетворен, то напишет значение 0. Если он почти удовлетворен (согласен), то напишет либо ¹⁵/₁₆ либо ⁷/₈; если же он почти не удовлетворен, то напишет ¹/₁₆ или ¹/_8. Если он не знает ответа или думает неопределенно, то напишет ¹/₂.

При обработке информации на ЭВМ на основе данных числовых характеристик ответов можно получить более точные знания о мнении в репрезентативной выборке любого вида (стихийной, квотной, вероятностной и других, когда применяется неполная индукция) или во всей генеральной совокупности (т. е. при сплошном обследовании, когда применяется полная индукция).

426

Бесконечнозначная система Fх_о - “Логика лжи”

Аристотель охарактеризовал ложь так: ложное говорит тот, “кто думает обратно тому, как дело обстоит с вещами”'. Ложь может быть не только измышлением о том, чего не было, но и сокрытием или отрицанием того, что было. Ложь бывает непреднамеренной (паралогизм) или преднамеренной (софизм). В мышлении ложь формулируется в виде суждений. Иногда понятие “ложь” употребляется как синоним понятия “заблуждение”. Ведь и ложь, и заблуждение - формы неистинного знания. Причины возникновения заблуждений сходны с теми, которые порождают ложь: ограниченность общественно-исторической практики, абсолютизация отдельных моментов процесса познания, нарушение логических правил доказательств, человеческие эмоции, догматический стиль мышления и др. Однако в отличие от лжи заблуждение выступает как неотъемлемый момент процесса познания, диалектически связанный с истиной.

Существует специфика логического подхода к понятию “ложь”. В двузначной логике отрицание истинного суждения дает ложное суждение и наоборот. Сложнее обстоит дело в многозначных логиках. В трехзначных логиках имеется три значения истинности: “истина”, “ложь”, “неопределенно”; при этом неистинное суждение может быть как ложным суждением, так и неопределенным. В т-значной логике Поста допускается т значений истинности, предельными из которых являются “истина” и “ложь”. В бесконечнозначной “Логике истины” Gх_о между 1 и 0 лежит бесконечное число значений истинности.

Автор построила бесконечнозначную систему “Логики лжи” -Fx_o (от англ. false - ложь), которая отражает бесконечный процесс познания, идущий от незнания не к истине, а к заблуждению. В результате человек приходит к ложным суждениям - в юридической деятельности (неверно построенные версии в процессе расследования преступления), медицинской практике (постановка ошибочного диагноза), в научном творчестве (выдвижение ложных гипотез) и других сферах человеческой деятельности. Степень заблуждения бывает различной и может доходить до абсурда. Причем

_______________________

'Аристотель. Метафизика // Соч.: в 4-х т.М. 1976. Т. 1. С. 250.

427

процесс возможного заблуждения потенциально бесконечен, что отражено в системе Fх_о .

Система Fх_о имеет свою интерпретацию. Ее значения истинности отражают степень заблуждения, возникшего в результате либо умышленной дезинформации, либо незнания, либо неправильного истолкования результатов эксперимента, либо допущения логических ошибок, либо по другим причинам.

Значениями истинности в “Логике лжи” являются: - 1 (ложь, заблуждение), 0 (незнание, отсутствие знания) и все дробные числа в интервале от 0 до - 1, построенные по определенной форме. То есть:

- 1, - ¹/_2, - ¹/_{4 ,} - ³/_4, - ¹/₈, - ¹/₁₆, - ¹⁵/₁₆,.... - (¹/₂)^k, - (¹/₂)^k *(2^k - 1),..., 0

(где k - натуральное число).

Логические операции в Fх_о определены следующими равенствами:

1. Отрицание: [ _x0 р]= - 1- [р] = - (1+[p])

2. Дизъюнкция: [p_x0 q]=max([p],[q]).

3. Конъюнкция: [p&_x0 q]=min([p],[q]).

4. Импликация: [р →p_x0 q]=[  _x0p _x0 q]

5. Эквиваленция: [р_x0 q] = [(p→_x0 q )&_x0 (q→_x0p)].

Тавтология (закон логики) принимает значение 0. Например, тавтологией является правило снятия двойного отрицания.

Из бесконечнозначной системы Fх_о вычленяются конечнозначные системы, F₂ ,F₃ ,F₄ ,….. F_n.

Закон исключенного третьего, закон непротиворечия и их отрицания в трехзначной “Логике лжи” (Fх_о) не являются тавтологиями, ибо в колонках, соответствующих этим формулам, присутствуют значения или –¹/₂ или как –¹/₂ , так как и - 1, а тавтологией является формула, принимающая лишь значение 0. Если

428
эти законы не являются тавтологиями в трехзначной системе “Логика лжи”, то они не будут тавтологиями и в четырехзначной системе “Логика лжи” (F₄) и в F₅, и т. д. (т. е. в любой конечнозначной “Логике лжи”) и в бесконечнозначной “Логике лжи” Fх_о.

Система Fх_о и другая построенная автором бесконечнозначная логика Gх_о в совокупности охватывают оба направления в процессе познания - как в сторону истины, так и, к сожалению, в сторону лжи, заблуждения.