Главная страница
Навигация по странице:

  • конъюнкция

  • Нестрогая дизъюнкция

  • Эквиваленция

  • Способы отрицания суждений

  • А - О

  • Отрицание сложных суждении

  • Исчисление высказываний I. Символы

  • II. Определение формулы

    		•

    Логика. Конспект книги


    Скачать 1.72 Mb.
    НазваниеКонспект книги
    АнкорЛогика.docx
    Дата05.02.2018
    Размер1.72 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаЛогика.docx
    ТипКонспект
    #15224
    страница6 из 29
    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29
    § 3. Сложное суждение и его виды.

    Исчисление высказываний

    Сложные суждения образуются из простых суждений с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Таблицы истинности этих логических связок следующие:

    а
    b
    a^b
    a b
    a ύ b
    аb
    аb

    И
    И
    И
    И
    Л
    И
    И

    И
    Л
    Л
    И
    И
    Л
    Л

    Л
    И
    Л
    И
    И
    И
    Л

    Л
    Л
    Л
    Л
    Л
    И
    И



    а
    ā

    И
    Л

    Л
    И

    Буквы а, b - переменные, обозначающие суждения; буква “И” обозначает истину, а “Л” - ложь.

    Таблицу истинности для конъюнкции (а b) можно разъяснить на следующем примере. Учителю дали короткую характеристику, состоящую из двух простых суждений: “Он является хорошим педагогом (а) и учится заочно (b)”. Она будет истинна в том и только в том случае, если суждения а и b оба истинны. Это и отражено в первой строке. Если же о ложно, или b ложно, или и а, и b ложны, то вся конъюнкция обращается в ложь, т. е. учителю была дана ложная характеристика.

    Суждение “Увеличение рентабельности достигается или путем повышения производительности труда (а), или путем снижения

    79
    себестоимости продукции (b)” - пример нестрогой дизъюнкции. Дизъюнкция называется нестрогой, если члены дизъюнкции не исключают друг друга. Высказывание или формула с такой дизъюнкцией истинна в том случае, когда истинно хотя бы одно из двух суждений (первые три строки таблицы), и ложна, когда оба суждения ложны.

    Строгая дизъюнкция (а ύ b) - та, в которой члены дизъюнкции исключают друг друга. Ее можно разъяснить на примере:

    “Я поеду на Юг на поезде (а) или полечу туда на самолете (b)”. Я не могу одновременно ехать на поезде и лететь на самолете. Строгая дизъюнкция истинна тогда, когда лишь одно из двух простых суждений истинно, и только одно.

    Таблицу для импликации (а → b) можно разъяснить на таком примере: “Если по проводнику пропустить электрический ток (а), то проводник нагреется (b)1. Импликация истинна всегда, кроме одного случая, когда первое суждение истинно, а второе - ложно. Действительно, не может быть, чтобы по проводнику пропустили электрический ток, т. е. суждение (а) было истинным, а проводник не нагрелся, т. е. чтобы суждение (b) было ложным.

    В таблице эквиваленция (a ≡ b) характеризуется так: а ≡ b истинно в тех и только в тех случаях, когда и а, и b либо оба истинны, либо оба ложны.

    Отрицание суждения а (т. е. ā) характеризуется так: если а истинно, то его отрицание ложно, и если а - ложно, то . ā - истинно.

    Если в формулу входят три переменные, то таблица истинности для этой формулы, включающая все возможные комбинации истинности или ложности ее переменных, будет состоять из 23 = 8 строк; при четырех переменных в таблице будет 24 = 16 строк; при пяти переменных в таблице имеем 25 = 32 строки; при n переменных 2n строк.

    Алгоритм распределения значений И и Л для переменных (например, для четырех переменных а, b, с, d) таков: (см. таблицу на стр. 81);

    _______________________________

    1Мы отвлекаемся здесь от различия между импликацией логики высказываний и содержательным союзом “если..., то”.

    80

    Имеем 24 = 16 строк. В столбце для а сначала пишем 8 раз “И” и 8 раз “Л”. В столбце для b сначала пишем 4 раза “И” и 4 раза “Л”, затем повторяем и т. д.

    Тождественно-истинной формулой называется формула, которая при любых комбинациях значений для входящих в нее переменных принимает значение “истина”. Тождественно-ложная формула -та, которая (соответственно) принимает только значение “ложь”. Выполнимая формула может принимать значения как “истина”, так и “ложь”.

    а
    b
    с
    d

    и
    и
    и
    и

    и
    и
    и
    л

    и
    и
    л
    и

    и
    и
    л
    л

    и
    л
    и
    и

    и
    л
    и
    л

    и
    л
    л
    и

    и
    л
    л
    л

    л
    и
    и
    и

    л
    и
    и
    л

    л
    и
    л
    и

    л
    и
    л
    л

    л
    л
    и
    и

    л
    л
    и
    л

    л
    л
    л
    и

    л
    л
    л
    л

    Приведем доказательство тождественной истинности формулы:


    а
    b
    с






    b ^ c
    a → (b ^ c).
    (V )
    (a → (b ^ c)) ^ (V )
    ((a → (b ^ c)) ^ (V )) →

    и
    и
    и
    л
    л
    л
    и
    и
    л
    л
    и

    и
    и
    л
    л
    л
    и
    л
    л
    и
    л
    и

    и
    л
    и
    л
    и
    л
    л
    л
    и
    л
    и

    и
    л
    л
    л
    и
    и
    л
    л
    и
    л
    и

    л
    и
    и
    и
    л
    л
    и
    и
    л
    л
    и

    л
    и
    л
    и
    л
    и
    л
    и
    и
    и
    и

    л
    л
    и
    и
    и
    л
    л
    и
    и
    и
    и

    л
    л
    л
    и
    и
    и
    л
    и
    и
    и
    и

    81

    Так как в последней колонке имеем одни истины, то формула является тождественно-истинной, или законом логики (или, как иногда ее называют, тавтологией).

    Итак, конъюнкция (а ^ b) истинна тогда, когда оба простых суждения истинны. Строгая дизъюнкция (а ύ b) истинна тогда, когда только одно простое суждение истинно. Нестрогая дизъюнкция (а v b ) истинна тогда, когда хотя бы одно простое суждение истинно. Импликация (а → b) истинна во всех случаях, кроме одного: когда а - истнно, b - ложно. Эквиваленция (а b) истинна тогда, когда оба суждения истинны или оба ложны. Отрицание () истины дает ложь, и наоборот.

    Способы отрицания суждений

    Два суждения называются отрицающими или противоречащими друг другу, если одно из них истинно, а другое ложно (т. е. не могут быть одновременно истинными и одновременно ложными).

    Отрицающим являются следующие пары суждений:

    1. А - О. “Все S суть Р” и “Некоторые Sне суть Р”.

    2. Е -1. “Ни одно S не суть Р” и “Некоторое S суть Р”.

    3. “Это S суть Р” и “Это S не суть Р”.

    Oперацию отрицания в виде образования нового суждения из данного следует отличать от отрицания, входящего в состав отрицательных суждений. Существует два вида отрицания: внутреннее и внешнее. Внутреннее - указывает на несоответствие предиката субъекту (связка выражена словами: “не суть”, “не есть”, “не является”). Например: “Некоторые люди не имеют высшего образования”. Внешнее отрицание означает отрицание всего суждения. Например: “Неверно, что в Москве протекает река Нева”.

    82
    Отрицание сложных суждении

    Чтобы получить отрицание сложных суждений, имеющих в своем составе лишь операции конъюнкции и дизъюнкции, необходимо поменять знаки операций друг на друга (т. е. конъюнкцию на дизъюнкцию и наоборот) и над буквами, выражающими элементарные высказывания, написать знак отрицания, а если он уже есть, то отбросить его.

    Имеем:

    Эти четыре формулы называются законами де Моргана. Применив их, получим:

    Если в сложном суждении имеется импликация, то ее необходимо заменить на тождественную формулу без импликации (с дизъюнкцией), а именно:

    затем по общему методу находить противоречащее суждение. Например: “Если я буду иметь свободное время (а), то буду вязать (b) или посмотрю телевизор (с)”. Формула этого сложного суждения:

    Противоречащее суждение будет:



    83

    Оно читается так: “У меня будет свободное время, но я не буду вязать и не буду смотреть телевизор”.

    Исчисление высказываний

    I. Символы исчисления высказываний состоят из знаков трех категорий:

    1. а, b, с,d, е,f... и те же буквы с индексами а1 ,а2 ,... Эти символы называются переменными высказываниями, или пропозициональными переменными. С помощью этих символов записываются повествовательные предложения, выражающие суждения (высказывания).

    2. Символы, обозначающие логические термины:—, ^, , ύ,  . Эти символы выражают следующие логические операции (логические связки): отрицание (“не”), конъюнкция (“и”), нестрогая дизъюнкция (нестрогое “или”), строгая дизъюнкция (строгое “или”), импликация (“если..., то”) эквиваленция (“если и только если, то...”). Подробнее об этих логических терминах см. на с. 26-27 этого учебника.

    3. Скобки: ( ).

    Иных символов, кроме указанных, исчисление высказываний не имеет.

    II. Определение формулы (или правильно построенной формулы - ППФ).

    1. Переменное высказывание есть формула (а, b, с ...).

    2. Если А и В есть ППФ, то , (А^В), (АВ), (A ύВ), (АB) и (АВ) есть ППФ. (Здесь буквы А, В, С... не являются символами исчисления высказываний. Они представляют собой только условные сокращенные обозначения формул).

    Ничто иное не является формулой (ППФ).

    Так, не являются формулами: (а ^ b ; а-b; ^ а; аb; а ^ b ; а b . Первое из этих слов содержит незакрытую скобку. Второе и третье слова никак не могут быть построены на основании пункта 2. Четвертое слово не является формулой потому, что хотя а и b - формулы, но соединение формул связкойвсегда сопровождается заключением в скобки; то же самое можно сказать и о двух последних словах.

    84
    Существуют правила опускания скобок. При этом исходят из того, что связка связывает сильнее, чем все остальные; связка ^ сильнее, чем . В силу этих правил формулу (а ^ b) c будем писать в виде а ^ b v с. Формулу (а b) (с ^ d ) будем писать в виде а v bс ^ d.

    Однако не всякая формула может быть записана без употребления скобок. Например, в формулах а(b  с), а ^ (bс) исключение скобок невозможно.

    Для моделирования с помощью ЭВМ текстов естественного языка, включающих отрицание, возможно записать некоторые выражения на языке алгебры логики (А, В, С, D - высказывания, “+” - знак нестрогой дизъюнкции, “•” - знак конъюнкции, “-” -знак отрицания.



    ____________________________________________

    'См.: Новиков П. С. Элементы математической логики. М., 1973. С. 68-71.

    2См.: Ледли Р. Программирование и использование цифровых вычислительных машин.//Пер. с англ. М., 1966. С. 55. Ледли Р. пользуется иной символикой,

    чем в нашей книге.

    85

    1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

    написать администратору сайта