Лекц комплекс СМИОСУ 2017. Конспект лекций для магистрантов специальности 6М070200 Автоматизация и управление
 Скачать 4.07 Mb.
|
Лекция 4 Основные характеристики случайных величинВ этой лекции мы кратко рассмотрим основные теоретические разделы теории вероятностей и линейной алгебры. Эти сведения понадобятся нам в следующих лекциях и на выполнении лабораторных и практических занятиях. Отметим, что использование таких систем, как Mathcad и MATLAB значительно упрощают практическое применение данного материала. Регрессионный анализ является в настоящее время классическим статистическим методом. Благодаря своим широким возможностям различные регрессионные процедуры давно и успешно используются в инженерной практике для идентификации процессов, однако их применение к идентификации многомерных процессов в реальном масштабе времени стало возможным только с развитием и внедрением быстродействующих компьютеров. Методы идентификации, основанные на регрессионных процедурах с использованием метода наименьших квадратов, применимы как к линейным, так и к нелинейным процессам и облегчают проведение идентификации по нескольким входам одновременно. Более того, регрессионные методы позволяют осуществлять идентификацию в реальном масштабе времени, поскольку они основаны на измерениях входных и выходных сигналов, которые можно получить в процессе нормального функционирования системы. B течение периода, пока выполняются измерения для регрессионной идентификации, параметры идентифицируемого процесса принимаются стационарными или квазистационарными. Этот период должен быть не менее mT, где T — интервал измерения, Элементы теории вероятностей. Основные понятия и определения. Напомним, что случайная величина — это величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до её измерения нельзя точно предсказать. Случайные величины могут принимать дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные значения. Соответственно случайные величины классифицируют на дискретные, непрерывные и дискретно-непрерывные (смешанные). На схеме испытаний может быть определена как отдельная случайная величина (одномерная/скалярная), так и целая система одномерных взаимосвязанных случайных величин (многомерная/векторная). Пример смешанной случайной величины - время ожидания при переходе через автомобильную дорогу в городе на нерегулируемом перекрёстке. В бесконечных схемах (дискретных или непрерывных) уже изначально элементарные исходы удобно описывать количественно. Например, номера градаций типов несчастных случаев при анализе ДТП; время безотказной работы прибора при контроле качества и т. п. Числовые значения, описывающие результаты опытов, могут характеризовать не обязательно отдельные элементарные исходы в схеме испытаний, но и соответствовать каким-то более сложным событиям. С одной стороны, с одной схемой испытаний и с отдельными событиями в ней одновременно может быть связано сразу несколько числовых величин, которые требуется анализировать совместно. Например, координаты (абсцисса, ордината) какого-то разрыва снаряда при стрельбе по наземной цели; метрические размеры (длина, ширина и т. д.) детали при контроле качества; результаты медобследования (температура, давление, пульс и пр.) при диагностике больного; данные переписи населения (по возрасту, полу, достатку и пр.). Поскольку значения числовых характеристик схем испытания соответствуют в схеме некоторым случайным событиям (с их определёнными вероятностями), то и сами эти значения являются случайными (с теми же вероятностями). Поэтому такие числовые характеристики и принято называть случайными величинами. При этом расклад вероятностей по значениям случайной величины называется законом распределения случайной величины. Для того, чтобы задать случайную величину необходимо с помощью функции распределения, плотности вероятности и характеристической функции определить вероятности возможных её значений. Функция распределения F(x) является вероятностью того, что значения случайной величины меньше вещественного числа x. Из этого определения следует, что вероятность попадания значения случайной величины в интервал [a, b) равна F(b)-F(a). Преимущество использования функции распределения заключается в том, что с её помощью удаётся достичь единообразного математического описания дискретных, непрерывных и дискретно-непрерывных случайных величин. Тем не менее, существуют разные случайные величины, имеющие одинаковые функции распределения. В теории вероятностей широко используются понятия события, вероятности, случайной величины. Событие - всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Вероятность события есть численная мера степени объективной возможности этого события. Предположим, что рассматривается некоторый опыт или явление, в котором в зависимости от случая происходит или не происходит некоторое событие A. Если условия опыта могут быть воспроизведены многократно, так что в принципе осуществима целая серия одинаковых и независимых друг от друга испытаний, то вероятность события A может быть вычислена по следующей формуле: P(A) = m / n, где n - общее число взаимно исключающих друг друга исходов; m – число исходов, которые приводят к наступлению события A. Вероятность может принимать значения от 0 до 1. Событие, вероятность которого равна 0, называется невозможным, а событие, вероятность которого равна 1, называется достоверным. Несколько событий образуют полную группу событий, если в результате опыта должно непременно появиться хотя бы одно из них. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе. Несколько событий называются равновозможными в данном опыте, если ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другое. События называются независимыми, если появление одного из них не зависит от того, произошли ли другие события. Случайной величиной называется величина, которая может принимать то или иное значение, неизвестное заранее. Случайные величины могут быть двух типов: дискретные (прерывные), принимающие только отделенные друг от друга значения, которые можно заранее пронумеровать; непрерывные (аналоговые), которые могут принимать любое значение из некоторого промежутка. Иногда случайные величины, имеющие дискретную природу, рассматриваются как непрерывные. Такая замена оправдана в тех ситуациях, когда случайная величина принимает значения, которые незначительно отличаются друг от друга, так что замена дискретной случайной величины непрерывной практически не влияет на результаты расчетов. Например, время решения задачи в процессоре, определяемое как произведение среднего времени выполнения одной операции на число выполняемых операций, которое является дискретной случайной величиной, обычно рассматривается как непрерывная случайная величина, изменяющаяся в интервале от нуля до бесконечности. Случайные величины часто обозначают большими буквами, а их возможные значения - соответствующими малыми буквами. Например, случайная величина X - число обращений к магнитным дискам в процессе решения задачи – может принимать значения x1=0, x2=1, x3=2, x4=3, ... . Законы распределения случайных величин. Рассмотрим дискретную случайную величину X, принимающую значения x1, x2,...,xn. Величина X может принять каждое из этих значений с некоторой вероятностью. Обозначим через pi вероятность того, что случайная величина X примет значение xi: pi = Pr(X = xi) (i = 1, n). Если в результате опыта величина X принимает только одно из этих значений, то имеем полную группу несовместных событий и сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна единице: Эта суммарная вероятность каким-то образом распределена между отдельными значениями. Случайная величина будет полностью описана с вероятностной точки зрения, если мы зададим это распределение, т.е. установим, так называемый, закон распределения. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчинена данному закону распределения. Дискретные законы распределения. Закон распределения дискретной случайной величины (дискретный закон распределения) может быть задан одним из следующих способов: аналитически в виде математического выражения, отражающего зависимость вероятности от значения случайной величины; таблично в виде ряда распределения случайной величины, в котором перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности; графически в виде многоугольника распределения, при котором по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат - вероятности этих значений. Числовые характеристики случайных величин. Числовые характеристики позволяют выразить в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения случайной величины. Во многих случаях достаточно бывает указать только отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины: например, какое-то среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; какое-либо число, характеризующее степень разбросанности этих значений относительно среднего; число, характеризующее асимметрию (или “скошенность”) распределения; число, характеризующее “крутость”, то есть островершинность или плосковершинность распределения и так далее. В теории вероятностей используется большое количество числовых характеристик, имеющих различное назначение и различные области применения. Из них наиболее часто используются начальные и центральные моменты различных порядков, каждый из которых описывает то или иное свойство распределения. Начальные моменты рассматриваются относительно начала координат, а центральные моменты – относительно математического ожидания, то есть центра распределения. Применение числовых характеристик существенно облегчает решение многих вероятностных задач. Особое значение это имеет при решении сложных задач, когда использование законов распределений приводит к громоздким выкладкам и не позволяет получить результаты в явном виде. Очень часто удается решить задачу до конца, оставляя в стороне законы распределения и оперируя одними числовыми характеристиками. Если в задаче фигурирует большое количество случайных величин, то в этих случаях по существу задачи для исчерпывающего суждения о результирующем законе распределения не требуется знать законов распределения отдельных случайных величин, фигурирующих в задаче; достаточно знать лишь некоторые числовые характеристики этих величин. Пусть дискретная случайная величина X может принимать значения x1, x2,…,xk. Тогда: Частота появления события X= xi (частота = min) – отношение числа опытов mi в которых X приняла значение xi к общему числу опытов n. Вероятность события X=xi [обозначается P(X=xi)] стремится к min при большом n: pi= P(X=xi) ≈ min Аксиомы теории вероятностей Колмогорова. 1)Вероятность появления случайного события А – неотрицательное число: P(A)≥ 0 2)Вероятность достоверного события U – равна единице: P(U)=1; а невозможного события V – равна нулю: P(V)=0, т.е. 0 ≤ P ≤ 1 3)Вероятность того, что наступит хотя бы одно из нескольких несовместимых событий A1 + A2 + … + An равно сумме вероятностей этих событий (теорема сложения вероятностей): P(A1 + A2 + … + An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) Сумма событий (A1 + A2 + … + An) это событие, соответствующее появлению хотя бы одного из событий Ai, а произведение, это событие, соответствующее появлению всех событий Ai. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равно единице. События независимые, если вероятность любого из них не зависит от того, произойдет или нет любое из остальных. Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: P(A1 ∙ A2 ∙ … ∙ An) = P(A1) ∙ P(A2) ∙ … ∙ P(An). Событие А зависимо от события В, если вероятность события А меняется в зависимости появления события В. Вероятность события А, вычисленная при условии, что произошло события В – условная вероятность события А, обозначается P(A/B). Для зависимых событий вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое произошло. P(AB) = P(A) ∙ P(B/A). Аналогично, если событие B предшествует событию А и влияет на него, то P(AB) = P(В) ∙ P(А/В). Пример. Требуется определить надежность системы автоматического управления, состоящей из трех последовательно соединенных элементов, каждый из которых может выйти из строя. Вероятности безотказной работы каждого из них соответственно равны: P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,85; P(A3) = 0,82. В соответствии с теоремой умножения P(A1 ∙ A2 ∙ A3) = P(A1) ∙ P(A2) ∙ P(A3) = 0,9 ∙0,85 ∙0,82 = 0,6273 Основная литература Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учебное пособие для вузов. - 2-е издание, перераб. и дополненное. -М.: Высшая школа, 2005. -327с. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа. 2001 Дополнительная литература Гроп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979. Эйкхофф П. Основа идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. |