ЛекцПРиА. Конспект лекций по дисциплине "Процессы и аппараты биотехнологии"

• Название: Конспект лекций по дисциплине "Процессы и аппараты биотехнологии"
• Дата: 30.03.2022
• Размер: 1.06 Mb.
• Имя файла: ЛекцПРиА.docx
• Тип: Конспект; #429098
• страница: 3 из 14

2.2. ГИДРОСТАТИКА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ ЭЙЛЕРА

Гидростатика изучает равновесия жидкостей, находящихся в состоянии относительного покоя, при котором в движущейся жидкости её частицы не перемещаются друг относительно друга. В этом случае силы внутреннего трения отсутствуют, то есть жидкость является идеальной.

В состоянии относительного покоя форма объёма жидкости не изменяется и она, подобно твёрдому телу, перемещается как единое целое. Таким образом, жидкость находится в состоянии покоя относительно стенок сосуда, например, в движущейся цистерне или в барабане центрифуги, вращающемся с постоянной скоростью. Если не только жидкость находится в покое относительно стенок сосуда, но и сам сосуд неподвижен относительно поверхности земли, то наблюдается состояние абсолютного равновесия, которое является частным случаем относительного равновесия.

В состоянии любого покоя на жидкость действуют силы тяжести и давления. В состоянии относительного покоя следует также учитывать силу инерции, вызывающую движение жидкости вместе с сосудом с постоянной скоростью.

Соотношение между силами, действующими на жидкость в состоянии покоя, называется условием равновесия и выражается дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

Выделим в объёме находящейся в абсолютном покое жидкости элементарный параллелепипед массой и объёмом , с рёбрами , и , расположенными параллельно осям и (рис. 2.2). Сила тяжести, действующая на параллелепипед, составляет .

Сила гидростатического давления на каждую грань параллелепипеда равна произведению давления на площадь грани. Пусть давление является функцией всех координат: Выясним вид этой функции, т. е. распределение гидростатического давления по объёму жидкости, что является основной задачей гидростатики.

Согласно основному принципу гидростатики: сумма проекций на оси координат всех сил, действующих на элементарный объём, находящийся в равновесии, равна нулю. Если этот принцип не выполняется, то происходит движение.

Рис.2.2. Силы, действующие на объём жидкости в состоянии покоя

Рассмотрим сумму проекций сил на ось . Сила тяжесть направлена параллельно оси и имеет отрицательную проекцию:

(2.20)

Сила гидростатического давления на нижнюю грань параллелепипеда направлена параллельно оси и её проекция составляет . Если изменение гидростатического давления в данной точке в направлении оси равно , то на верхней грани параллелепипеда это изменение по сравнению с нижней гранью составит . Тогда сила гидростатического давления на верхнюю грань будет иметь отрицательную проекцию по оси и составлять .

Проекции всех сил на ось имеют вид:

(2.21)

После преобразований получаем:

(2.22)

Выделенный объём не может быть равным нулю, поэтому получаем:

(2.23)

Сумма проекций сил на ось

(2.24)

откуда после сокращений получаем:

(2.25)

или

(2.26)

Аналогично для оси

(2.27)

или после преобразований

(2.28)

Таким образом, условия равновесия элементарного параллелепипеда выражаются системой уравнений:

(2.29)

Система уравнений (2.29) называется дифференциальными уравнениями равновесия Эйлера.

Для получения закона распределения давления во всём объёме покоящейся жидкости, надо проинтегрировать систему (2.29). Результатом интегрирования является основное уравнение гидростатики, широко используемое в инженерных расчётах.