Конспект лекций Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия Самара

• Название: Конспект лекций Утверждено Редакционноиздательским советом университета в качестве учебного пособия Самара
• Дата: 11.02.2022
• Размер: 5.37 Mb.
• Имя файла: Savchenko_Lektsii_Nachertatelnaya_geometriya.doc
• Тип: Конспект; #358523
• страница: 17 из 20

Лекция 9

6.5. Пересечение поверхности многогранника плоскостью

Плоская фигура, получаемая в результате пересечения какой-либо поверхности плоскостью, называется сечением.

Сечением многогранника является многоугольник, его обычно строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей. Построение линии пересечения поверхности с плоскостью начинают с нахождения особых (опорных) точек. Для многогранника это точки пересечения ребер и сторон его основания с заданной плоскостью (если построение ведется «способом ребер») или линии пересечения граней и основания многогранника с плоскостью (если построение ведется «способом граней»).

Пример:Построить линию пересечения трехгранной пирамиды SABC плоскостью общего положения . Построить развертку нижней отсеченной части пирамиды.

Основание пирамиды принадлежит горизонтальной плоскости проекций, его горизонтальная проекция является натуральной величиной.

Плоскость задана таким образом, что пересекает только боковую поверхность пирамиды. Следовательно, сечение будет иметь треугольную форму. Т.к. горизонталь плоскости h проходит через одну из вершин основания, то одна из точек сечения известна – точка C. Остальные точки сечения можно найти с помощью дополнительных секущих плоскостей и , проходящих через ребра SAи SB.

Для улучшения наглядности изображения необходимо показать видимость:

1. 
   сечения относительно поверхности многогранника и выделить его цветным карандашом;
   
2. 
   поверхности относительно заданной плоскости;
   
3. 
   геометрических элементов, которыми задана плоскость, относительно поверхности многогранника.
   

Натуральная величина сечения определяется вращением вокруг линии уровня, другие необходимые для построения развертки натуральные величины в данной задаче определены методом прямоугольного треугольника.




Рис. 6.9

Построение развертки:

1. 
   Методом прямоугольного треугольника находятся длины ребер пирамиды. Т.к. разность высот от концов отрезка до горизонтальной плоскости проекций ₁у всех трех ребер одна и равна высоте пирамиды, катет прямоугольного треугольника, равный этой величине, целесообразней начертить в стороне от изображения, правее фронтальной проекции пирамиды. Второй катет равен длинам горизонтальных проекций ребер. Для определения натуральной величины отрезков AKи BN необходимо провести горизонтальные вспомогательные линии от проекций точек К и Nдо пересечения с соответствующими гипотенузами прямоугольных треугольников.
   
2. 
   Развертка строится способом треугольников с использованием приема засечек.
   

6.6. Пересечение прямой с поверхностью

Возможны три варианта расположения прямой относительно поверхности. Прямая может:

1. 
   пересекать поверхность;
   
2. 
   касаться поверхности;
   
3. 
   не пересекать поверхность.
   

Частные случаи:

Пример 1. Пересекаются прямая общего положения l с проецируюей поверхностью .

Если задана проецирующая поверхность, то одна из проекций искомых точек пересечения определяется сразу, исходя из принадлежности их этой проецирующей поверхности.

В данном примере призма является горизонтально-проецирующей поверхностью, следовательно, горизонтальные проекции точек пересечения лежат на пересечении горизонтальной проекции прямой l и горизонтального очерка призмы.

.



Рис. 6.10

Вторая проекция точек определяется исходя из принадлежности их непроецирующей прямой l.

.

Пример 2. Пересекаются проецирующая прямая i с поверхностью конуса .

Рис. 6.11

В этом случае одна из проекций искомой точки также изначально определена на чертеже. Она совпадает с вырожденной проекцией прямой.

.

Вторая проекция точки определяется из условия принадлежности ее образующей поверхности.

.

Общий случай:

Пересекаются непроецирующая поверхность и прямая общего положения.

В этом случае, чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью, необходимо:

1. 
   Заключить прямую в дополнительную (вспомогательную) плоскость.
   
2. 
   Построить линию пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью.
   
3. 
   Определить точки пересечения полученного сечения с заданной прямой.
   

Эти точки являются искомыми.

В качестве вспомогательной плоскости выбирают плоскость общего или частного положения, дающую наиболее простую линию сечения поверхности (ломаную или окружность).

Пример: Построить точки пересечения прямой l с трехгранной пирамидой SABC. Определить видимость прямой относительно поверхности.



Рис. 6.12

Видимость прямой определяется по принадлежности точек пересечения граням пирамиды. Видима та часть прямой, которая исходит из точки, лежащей на видимой грани многогранника.

Пример: Построить точки пересечения прямой l с конусом.
В данном примере в качестве дополнительной плоскости выбирается плоскость общего положения, проходящая через вершину конуса и пересекающая его боковую поверхность по образующим.

Видимость прямой определяется по принадлежности точек пересечения той или иной образующей. Видна та часть прямой, которая исходит из точки, принадлежащей видимой образующей.



Рис. 6.13