Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62

• Название: Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
• Анкор: Физика
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: Thermodynamics_and_statistical_physics.pdf
• Тип: Конспект; #546850
• страница: 10 из 22

4.2.2. Физический смысл «квантового объема»
Мы можем теперь пояснить физический смысл квантового объема.
Поскольку средняя кинетическая энергия частицы равна 3
/2, то средний квадрат каждой компоненты импульса,
p
x2
 = M. Но, поскольку
p
x
 = 0, то p
x
2
 = (p
x
 p
x
)
2
 = p
x2
 = M. Согласно соотношению неопределенностей,
2 2
/ 2,
x
x
x p
x
p
     
  
поэтому минимальная погрешность в определении положения атома по оси
x,
2
,
x
M
 


и
3/2 8(2 )
,
Q
V
x y z


   то есть
V
Q
представляет собой (с точностью до множителя порядка 1) минимальный объем, в пределах которого может быть локализована частица идеального газа. Величину
x

можно также назвать «тепловой длиной волны де Бройля» частицы. Классический режим (
cV
Q
<< 1) соответствует ситуации
V
Q
<< V/N, или
3
/ N
V
x


 величины порядка среднего расстояния между соседними частицами в газе.
4.3. Теплоемкость двухатомного идеального газа
Если газ состоит из двухатомных молекул, то
Z
1i
= Z
1эл
Z
1кол
Z
1вр
. Как и для атомарных газов, электронная статсумма
Z
1эл
= Z
1e
в большинстве случаев сводится к одному слагаемому
Z
1e
= g
0
exp(

0
/
). Она не вносит вклад в теплоемкость и пока не будет учитываться. Статсумму гармонического осциллятора
Z
1кол
мы рассчитывали ранее (см. (2.30)), а
Z
1вр
=

K

exp[

c
K(K+1)/
] = 
K
(2
K+1)exp[

c
K(K+1)/
], (4.16) где

c
=

2
/2
J (85 К для H
2
, 43 для D
2
, 3 для N
2
). Особенность молекул, состоящих из одинаковых атомов, заключается в том, что в статсумме
Z
1вр
сохраняется лишь половина членов (
K принимают четные или нечетные значения; подробнее см. Ландау и Лифшиц, 1976). При низких температурах,
 << 
с
, можно сохранить 1-2 слагаемых, а при высоких,
 >> 
с
, заменить сумму интегралом:
Z
1вр
=












0 2
/
2
/
]
/
)
1
(
exp[
)
1 2
(

J
dK
K
K
K
c
c
При одинаковых атомах эта величина вдвое меньше. С классической точки зрения появление множителя 1
2 можно пояснить по аналогии с

79 разделом 2.4.1: перестановка двух одинаковых атомов в фазовом пространстве молекулы не меняет состояния молекулы, хотя и приводит к перемещению в другую точку этого пространства.
Полная энергия системы (4.8) теперь принимает вид





























c
c
c
c
rot
rot
N
N
N
E
,
),
/
2
exp(
6
,
]
1
)
/
exp[(
/
2 3


(4.17)
(Если температуры настолько высоки, что
,
  
 то

кол
 =  тоже.)
Соответственно, теплоемкость системы складывается из трех частей
С
V
= C
Vпост
+ C
Vкол
+ C
Vвращ
. и график ее представлен на рис. 4.1.
Как видно, при высоких температурах выполняется закон равного распределения энергии по степеням свободы; кванто- вание энергии приводит к тому, что по мере понижения температуры до
«энергии возбуждения» соответствующие степени свободы начинают «вы- мерзать» и перестают вносить вклад в теплоемкость. К чисто квантовым эффектам относится и вклад в теплоемкость спина частицы при наличии внешнего магнитного поля. Величины
B  1 K, поэтому вклад этот чисто гипотетический. Аналогичный вклад возник бы при наличии электронного уровня, близкого к основному, с максимумом при температуре, близкой к энергии электронного возбуждения.
Выше мы все энергии отсчитывали от нуля. Если учесть электронную энергию и энергию нулевых колебаний, то к E, очевидно, добавляется слагаемое N(

0
+ 
, а к химическому потенциалу – слагаемое

0
+ ћ
/2.
Рис. 4.1
N
C
V
7/2 5/2 3/2
B

c
ћ



80
4.4. Смеси идеальных газов
В смеси газов можно отдельно рассчитать, используя формулу
(4.4), химический потенциал
r каждой компоненты смеси. Давление равно сумме парциальных давлений компонент:
p =

r
p
(r)
, p
(r)
= N
r
/V, где N
r
 число частиц r-й компоненты; все термодинамические потенциалы оказываются суммой вкладов отдельных компонент.
Рассчитаем энтропию смешивания двух газов, первоначально находившихся в двух объемах V
1
и V
2
при одинаковой концентрации
c = N
1
/V
1
= N
2
/V
2
, температуре
. Если газы одинаковые по составу, никакие параметры системы после смешивания их в объеме V
1
+ V
2
не изменятся; если же газы разные, то меняется концентрация каждой компоненты, а с ней и химический потенциал, а также энтропия.
Разность энтропий в конце и начале процесса:
  
0
= N
1
lnc
1
 N
2
lnc
2
+N
1
lnc + N
2
lnc = N
1
ln(c/c
1
) + N
2
ln(c/c
2
) =
= N
1
ln[(V
1
+ V
2
)/V
1
] + N
2
ln[(V
1
+V
2
)/V
2
] =
= N
1
ln(1 + N
2
/N
1
) + N
2
ln(1 + N
1
/N
2
).
4.5. Идеальный газ в силовом поле.
Пусть газ находится в некотором постоянном поле, которое заметно меняется лишь на расстояниях, много больших среднего расстояния между частицами. Разобьем объем на небольшие макроскопические части, в пределах которых потенциальная энергия частицы в поле практически постоянна и равна U(r) (точка r указывает местоположение выделенной части). Явный учет энергии U(r) при вычислении химического потенциала в точке r приводит к выражению
(r) = lnc(r)V
Q
 lnZ
1i
+ U(r) . (4.18)
Согласно условию диффузионного равновесия
(r
1
) =
(r
2
), и
c(r
1
)/c(r
2
) = exp(
U
1
/
) / exp(U
2
/
).
В неоднородном газе концентрация частиц (а с ней и давление газа) меняются от точки к точке. В частности, для газа в поле силы тяжести имеет место барометрическая формула (высота много меньше радиуса Земли):
c(h) = c(0)exp(
Mgh/), или p(z) = p(0)exp(Mgz/). (4.19)

81
4.6. Распределение Максвелла по скоростям частиц
в идеальном газе
Распределение Больцмана (2.40) дает число частиц, обладающих внутренним квантовым состоянием i и заданным импульсом p = (2


/L)n.
Число частиц в интервале импульсов (p, p + dp) получается умножением на число состояний (n) внутри этого интервала,
dn
1
dn
2
dn
3
= (L/2


)
3
dp
1
dp
2
dp
3
, так что
dN(p,i) =
3 2
)
2
(
2
exp exp

















V
M
p
i
dp =
=
i
i
Q
Z
M
p
NV
1 2
3
)
/
exp(
2
exp
)
2
(














dp.
Распределение Максвелла по импульсам получается отсюда суммированием по i:
dN(p) = N
2
exp
2 1
2 2
/
3
z
y
x
dp
dp
dp
M
p
M


















Во внешнем поле распределение неоднородно в пространстве:
dN(p,r) = c(0)




















)
(
2
exp
2 1
2 2
/
3
r
U
M
p
M
dpdV,(4.20) где нормировочный коэффициент определяется условием
c(0)
exp[U(r)/]dV = N.
Распределение вероятностей получается из этих формул делением на N.
Как видно,
dw(p,r,i) = dw(p)dw(r)w(i), причем вероятность w(i) нахождения частицы во внутреннем состоянии
i по форме сходна с каноническим распределением и для молекул, в свою очередь, распадается в произведение вращательной, колебательной и электронной частей.

82
4.6.1. Плотность распределения одночастичных состояний
по энергии
Число
() стационарных состояний частицы с энергией поступательного движения от 0 до
 равно количеству наборов троек целых чисел n(n
1
,n
2
,n
3
), удовлетворяющих условию

n
  (ср. с (1.15)), или
n
1 2
+ n
2 2
+ n
3 2
 (ML
2
/2

2

2
)
.
Фактически это число точек с целочисленными координатами внутри сферы радиуса
(ML
2
/2

2

2
)
, или объем этой сферы, поскольку одна точка приходится как раз на единицу объема (куб со стороной единица). Итак,
,
8 3
4
)
(
2
/
3 3
3 2
/
3







V
M
а плотность состояний с энергией
:
D(
) = d()/d =


3 2
2
/
3 2 
V
M
. (4.21)
Суммирование гладких функций энергии можно заменить интегрированием по правилу

 






i
i
i
d
D
i
f
f
n
n
0
)
(
)
,
(
)
(
(4.22)
4.7. Вырожденный идеальный ферми-газ
Рассмотрим газ элементарных частиц, когда внутренние квантовые числа i описывают спиновые состояния. В отсутствие магнитного поля энергия частиц не зависит от i, и суммирование функций энергии по i сводится к умножению их на число спиновых состояний
 = 2S + 1, где
S
 спин частицы. Число частиц и энергия газа






















ni
ni
d
VM
d
D
f
f
N
0 0
3 2
2
/
3
,
1
]
/
)
exp[(
2
)
(
)
(
)
(

(4.23)












0 2
/
3 3
2 2
/
3 1
]
/
)
exp[(
2
d
VM
E

(4.24)
Аналогичные формулы с заменой +1 на –1 имеют место и для бозе- газов за исключением того, что в области вырождения (при
 = 0) в

83 сумме для N отделяется слагаемое, соответствующее основному уровню энергии (см. следующий раздел). При
 = 0 (полное вырождение) f(
) = 1, если  < ( = 0)  
F
(энергия Ферми), и f(
) = 0 для
 > 
F
, так что из (4.23) вытекает
,
6 2
3
/
2 2
2












V
N
M
F

(4.25) а из (4.24): E
0
= (3/5)N

F
; давление p
0
= (2/3)E
0
/V
 c
5/3
Полученные результаты приближенно справедливы и при
 << 
F
 
0
(температура вырождения). Это условие вырождения можно переписать в виде V/N << V
Q
, противоположном условию классичности режима. Более точно можно пoлучить термодинамические параметры системы в виде асимптотического ряда по малому параметру
/
F
Пусть F(
)  гладкая функция; тогда




































0
/
0 0
1
)
(
1
)
(
1
/
)
exp(
)
(
dx
e
x
F
dx
e
x
F
d
F
I
x
x



























0 0
0 2
2 12
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
)
(
F
d
F
dx
e
x
F
x
F
d
F
x
Здесь учтено, что
12 1
exp
2 0





x
xdx
. Теперь из (4.23) получается уравнение для определения
:




























8 1
1 2
2 2
/
3
F
или
8 1
3
/
2 2
2























F
(4.26)
Энергия:





























1 2
2 8
5 2
/
5 5
3
F
F
N
E
После первой итерации (подстановка

F
в (/)
2
вместо
) получаем






















12 1
2 2
F
F
,
4 2
2 0






F
N
E
E
(4.27)
Теплоемкость вырожденного ферми-газа (C
V
 C
p
, см. задачу 4.21):
C=N
(

2
/2)
/
F
. (4.28)
Энтропия в рассматриваемом приближении:
 = C.

84
Напомним выражения большой статсуммы и большого потенциала идеального ферми-газа (см. (2.38) и (2.19)):
;
exp
1














i
i
Z
для газа элементарных частиц в объеме V:
3 2
exp
1
ln
2 0
3 2
2
/
3
E
d
VM
pV
























(4.29)
Последнее равенство (ср. (4.9)) получается после интегрирования по частям.
Примеры вырожденных ферми-газов: электроны в металлах при нормальных температурах (для меди
 = 9 г/см
3
; m
Cu
= 64 а.е.,
N/V
 810 22
см
3
, 
F
 710 4
K); электроны внутри «белых карликов»
(плотность
  10 6
г/см
3
, T
 10 7
K, состав
 атомы водорода (протоны и электроны),

F
 310 9
K); ядерная материя
 нейтроны и протоны в ядрах (радиус ядра R
 1.310
13
A
1/3
, где А
 число нуклонов,

F
 0.410
4
эрг = 27 MeV
310 11
K).
4.8. Вырожденный бозе-газ. Бозе-конденсация
Выше отмечалось, что химический потенциал бозе-газа всегда отрицателен, а
( = 0) = 0 (напомним, что энергия частиц отсчитывается от нуля). Это значит, что при понижении температуры химический потенциал возрастает (убывая по абсолютной величине), при некоторой температуре

0
достигает значения 0 и остается равным нулю вплоть до нулевой температуры. При понижении температуры в области
 = 0 число частиц во всех состояниях, кроме основного, уменьшается. Иными словами, частицы переходят в основное состояние, происходит, как говорят, бозе-конденсация системы в основном состоянии. Для перехода от суммирования по состояниям к интегрированию в (4.4) при
 = 0 следует выделить очень большое слагаемое, соответствующее основному уровню:
N = N
0
(
) +








0 1
)
/
exp(
)
( d
D
N
0
(
) +
   
2
/
3 2
3 2
3 3
2 2
/
3 2






VM
; (4.30)

85 или
N
0
(
) = N  N(/
0
)
3/2
, где температура бозе-конденсации
(температура вырождения; как видно, она лишь множителем порядка единицы отличается от температуры Ферми (4.25)):
2/3 2
2 2/3 0
2/3 3
2 2
3,31
( )
n
n
M
M



 









. (4.31)
Значения
- и -функций, возникающие при вычислении интегралов, приведены в Приложении. Энергия бозе-газа при
 < 
0
 
 
,
128
,
0 2
3 3
2
/
5 2
/
3 2
/
3 0
2
/
5 2
3 2
5
V
M
N
E









(4.32) теплоемкость C
V
=
5E/2
, энтропия  = 5E/3, свободная энергия
F =
(2/3)E, давление p = (F/V) = 2E/3V.
Отметим, что давление не зависит от объема; при уменьшении объема при заданной температуре часть частиц переходит из нормальной фазы в основное состояние и перестает вносить вклад в давление.
Характер зависимости термодинамических функций при
 > 
0
меняется; так, на рис. 4.2 изображена зависимость теплоемкости от температуры.
Близок по ряду свойств к идеальным бозе-газам жидкий He
4
(молярный объем 27,6 см
3
/моль, М = 6,7.10
24
г). Температура конденсации

0
 3 К близка к наблюдаемой в реальном He
4
температуре перехода 2,17 К из нормального в сверхтекучее состояние (HeII).
Сверхтекучесть
(протекание без торможения), однако, не является автоматическим следствием бозе- конденсации и имеет место лишь при специальном виде спектра возбуждений системы. Торможение движения тела с массой M
0
связано с передачей части его энергии в энергию возбуждения (
