Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62

• Название: Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
• Анкор: Физика
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: Thermodynamics_and_statistical_physics.pdf
• Тип: Конспект; #546850
• страница: 12 из 22

4.11. Примечания
Фононы представляют собой пример так называемых
«квазичастиц» или элементарных возбуждений в конденсированных средах (иногда говорят: коллективных возбуждений, чтобы подчеркнуть, что это возбуждения всей среды, а не отдельных атомов).
Квазичастицы характеризуются энергией, скоростью движения; в отличие от обычных частиц число их не фиксировано. Импульс квазичастиц определяется неоднозначно (в кристаллах
p = k или
(k + b), где b
 вектор «обратной» решетки), в связи с чем его называют «квазиимпульсом». Энергия системы является суммой энергий квазичастиц, в этом отношении системы квазичастиц сходны с идеальным газом. С ростом среднего числа квазичастиц, как и в обычных газах, возрастает роль взаимодействия между ними. Учет взаимодействия фононов эквивалентен учету ангармонизма колебаний решетки.
Концепция квазичастиц
 это одно из проявлений дуализма волн и частиц в современной физике. Помимо фононов (акустических, оптических), в физике твердого тела рассматриваются магноны, экситоны, поляроны и другие квазичастицы (см. Киттель, 1967;
Давыдов, 1976).
Возбуждения электронной системы в металлах и полупроводниках также являются квазичастицами. Одноэлектронные спектры обладают
зонной структурой
, причем нижние зоны обычно можно рассматривать как размытые уровни энергии атомов среды. В основном состоянии

94 электроны заполняют нижние уровни энергии; при этом в металлах уровень Ферми оказывается внутри разрешенной зоны. В полупроводниках (и диэлектриках) целиком заполняется ряд нижних зон, уровень Ферми попадает в запрещенную зону между верхней заполненной (валентной) зоной и следующей за ней пустой разрешенной зоной (зоной проводимости). Незанятые (например, вследствие теплового возбуждения электронов) состояния валентной зоны иногда удобно рассматривать как новые квазичастицы
 дырки.
Контрольные вопросы
1. Почему внутренняя энергия ядер атомов не сказывается на термодинамических характеристиках идеального газа?
2. Что такое квантовый объем? Как он связан с условием классичности идеального газа?
3. Какие данные необходимы для вычисления химического потенциала азота в атмосфере?
4. Как соотносятся парциальные давления азота и кислорода в атмосфере?
5. Как меняется концентрация газа частиц со спином в неоднородном магнитном поле?
6. Почему при рассмотрении электронного ферми-газа в металлах учитывается лишь небольшая доля всех электронов, содержащихся в веществе?
7. Оцените давление электронного газа в металле. Что мешает этому газу улетучиться?
8. Почему не рассматриваются примеры вырожденных ферми-газов из атомов и молекул?
9. Что такое бозе-конденсация?
10. Какова формальная температура бозе-конденсации фотонов?
11. Чему равен термодинамический потенциал черного излучения?
12. Сформулируйте закон Стефана – Больцмана.
13. Оцените силу, с которой излучение Солнца давит на Землю.
14. Сформулируйте основные положения модели Дебая колебаний твердого тела.

95
Задачи
4.1. Вычислить большую статсумму для идеального газа в классическом режиме. Найти большой термодинамический потенциал, энтропию, среднее число частиц и давление газа. Показать, что число частиц распределено по закону Пуассона.
4.2. Найти распределение вероятностей для угловых скоростей вращения молекулы идеального газа. Кинетическая энергия вращения молекулы равна

rot
=


,
2 3
3 2
2 2
2 1
1 2
1





I
I
I
где

i
 компоненты вектора угловой скорости, I
i
 главные моменты инерции. Найти 
i
2
.
Вычислить вращательную статсумму нелинейной многоатомной молекулы в классическом приближении.
4.3. Найти распределение вероятностей для кинетической энергии молекулы идеального газа. Вычислить среднее и наиболее вероятное значения кинетической энергии.
4.4. Для молекул идеального газа вычислить
v
n
, а также наиболее вероятную абсолютную скорость.
4.5. Найти распределение вероятностей для скорости относительного движения двух одинаковых молекул
v' = v
1
 v
2
Найти
v'.
4.6. Найти распределение молекул идеального газа по скоростям v
||
(вдоль некоторой оси) и v

(в перпендикулярном направлении).
Вычислить
v

2
.
4.7. Атомы идеального газа в состоянии покоя излучают монохроматический свет с длиной волны

0
и интенсивностью I
0
Найти распределение интенсивности излучения газа из N атомов при температуре
.
4.8. Найти число молекул идеального газа, сталкивающихся в единицу времени с единицей поверхности стенки, скорость которых в направлении нормали к стенке превышает v
0
4.9. В молекулярном пучке, выходящем через небольшое отвер- стие в стенке сосуда с идеальным газом при температуре
, найти
1) среднюю скорость молекул <
v>, 2) среднюю энергию молекул <
>.
4.10. Найти силу сопротивления, действующую на куб с ребром a, двигающийся в разреженном газе при температуре
 со скоростью v,

96 перпендикулярной грани куба. Столкновения молекул с гранями куба считать абсолютно упругими.
4.11. Сфера радиуса R движется со скоростью v в идеальном газе с плотностью n
0
и температурой
. В предположении, что столкновения частиц газа со сферой абсолютно упругие, определить силу сопротивления, испытываемого сферой при ее движении.
4.12. Вычислить теплоемкость C
V
бесконечно высокого столба идеального газа из N частиц массы m в поле силы тяжести. Найти высоту центра тяжести столба над поверхностью земли.
4.13. Найти частоту малых колебаний поршня массы m и площади
S
, разделяющего две части (oбъeмы V
1
и V
2
) закрытого сосуда с идеальным газом при температуре
 и давлении p; трение отсутствует, газ теплоизолирован.
4.14. Найти термодинамические характеристики ультрареля- тивистского классического идеального газа (энергия частиц

p
= cp, где
c
 постоянная, p  абсолютная величина импульса).
4.15. Частицы идеального газа находятся в центральном поле с потенциалом U(r) =
U
0
ln(r/a), r
 a и U(r) = , r  a. Найти давление при r = a и теплоемкость системы.
4.16. Вычислить плотность состояний D(
) в случае одно- и двумерного движений свободной частицы массы m.
4.17. Исследовать зависимость химического потенциала от температуры для вырожденного ферми-газа в одно- и двумерном случаях.
4.18. Найти химический потенциал двумерного бозе-газа.
Возможна ли бозе-конденсация в этом случае?
4.19. Найти уравнение состояния идеального газа в классическом приближении с учетом первых поправок на начало вырождения.
4.20. Модель звезды «белый карлик»: масса M
10 33
г, состав  гелий, плотность
 10 7
г/см
3
, температура
 10 7
K (атомы полностью ионизированы). Оценить а) температуру Ферми; б) давление электронного газа; в) собственную гравитационную энергию звезды.
4.21. Для вырожденного газа Ферми вычислить C
p
 C
V
и сжимаемость


4.22. В электронном газе найти распределение электронов по компоненте скорости v
x
. Найти <vx
2
> при
 = 0.

97
4.23. Найти среднее число столкновений с единицей поверхности стенки за единицу времени в газе Ферми при
 = 0.
4.24. Энергия электронов в металле равна
 = (p
x
2
+ p
y
2
)/2m
1
+ p
z
2
/2m
2
Найти энергию Ферми. Вычислить
v
z
2
 при  = 0.
4.25. Показать, что в случае статистики Бозе – Эйнштейна
0
)
/
(



N
4.26. Найти плотность термоэлектронного тока для металла с потенциальным барьером на поверхности u >>
.
4.27. Найти термодинамические характеристики ультраре- лятивистского сильно вырожденного газа Ферми (энергия частицы равна
 = cp, p  импульс, c  скорость света).
4.28. Найти среднее число фотонов и среднее значение частоты фотона в черном излучении.
4.29. Найти уравнение адиабатического процесcа в черном излучении.
4.30. Найти адиабатическую сжимаемость черного излучения.
4.31. Абсолютно черный шар радиуса R (0,1 м) с начальной температурой

1
(10 3
К) охлаждается вследствие излучения в среду с температурой 0
К. За какое время температура шара достигнет величины

2
(100 К), если его теплоемкость равна C
V
(500 Дж/кг К) и плотность
 = 8 г/см
3
?
4.32. Определить поправку к теплоемкости твердого тела при высоких температурах в низшем приближении по отношению
/, где 
 температура Дебая.
4.33. Определить максимальную работу, которую можно получить при выравнивании температур двух одинаковых твердых тел с начальными температурами

1
,

2
, существенно большими температуры
Дебая.
4.34. Вычислить пара- и диамагнитную восприимчивость электронов, используя статистику Больцмана.
4.35. Вычислить парамагнитную восприимчивость вырожденного электронного газа.
4.36. В приближении эффективной массы энергия электрона в зоне проводимости равна
 = E
0
+ p
2
/2m
e
*
(E
0
 ширина запрещенной зоны,
E
0
>>

), энергия дырки
' = p
2
/2m
h
*
. Показать, что в полупроводнике с собственной проводимостью плотности электронов и дырок равны

98












2
/
4
/
3 2
/
3 2
0
*)
*
(
2 2
E
h
e
e
m
m
p
n

, и энергия Ферми равна
*)
/
*
ln(
4 3
0 2
1
e
h
m
m
E




4.37. Для полупроводника с отрицательной проводимостью
(n-типа) получить соотношение
,
)
2
/
(
2
,
)
(
2 2
/
3 2
/








e
E
D
D
D
m
N
e
n
N
N
n
n
D
где N
D
 число доноров, n
D
 число занятых донорных уровней.
Примесный уровень может быть занят только одним электроном, электронный газ не вырожден. Найти энергию Ферми в предельных случаях низких и высоких температур.
4.38. Вычислить магнитную восприимчивость системы электронов на донорных уровнях, предполагая, что каждый уровень может быть занят только одним электроном.
4.39. Молекулы идеального Бозе-газа имеют во внешнем поле потенциальную энергию а) U =
z , б) U = z
2
(
  постоянная). Найти температуру конденсации и скачок теплоемкости.
4.40. Проверить приближенное равенство C
V
 C
p
для твердых тел при низких и высоких температурах.

99
5. НЕИДЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
5.1. Разреженные газы нейтральных частиц
Взаимодействие между двумя нейтральными атомами
(молекулами) складывается из сравнительно дальнодействующего притяжения (ван-дер-ваальсовы силы) и короткодействующего отталкивания, связанного с заметным перекрыванием электронных облаков частиц на малых расстояниях. Энергия взаимодействия частиц схематически изображена на рис. 5.1. Она часто моделируется
потенциалом Леннарда – Джонса
,
2
)
(
6 0
12 0
0






















r
r
r
r
u
r
u
(5.1) где параметры модели r
0
и u
0
соответствуют точке минимума потенциала, как указано на рисунке. Если частицы несферические, то энергия взаимодействия зависит и от относительной ориентации частиц. В этом случае ур. (5.1) представляет усредненное по ориентациям взаимодействие. Приведем параметры модели для некоторых газов:
H
2
: r
0
= 3.28 Å, u
0
= 37 K; Kr: 4.05 Å, 171 K; CH
4
: 4.28 Å, 327 K.
Иногда используются упрощенные прямоугольные потенциалы типа изображенного на рис. 5.1 прямыми линиями (модель «жестких сфер» с притяжением):
 0, r  
(


«радиус взаимодействия»)
u =
 u
0
,
 > r > d
(5.2)
 , r  d
(d

диаметр частицы, oбычно
  2  3 d)
Потенциальная энергия системы в
приближении
парных
взаимодей-
ствий, U
pot
=
u(r
ik
), где суммирование проводится по всем парам частиц. В принципе возможны тройные, четверные взаимодействия, не сводящиеся к суммам парных, но, во всяком случае, в разреженных газах (среднее расстояние между частицами намного больше диаметра
u
- u
0
d
r
0

r
Рис. 5.1

100 частиц) их роль несущественна.
Рассмотрим классический разреженный газ из одинаковых частиц при температурах
  u
0
, когда можно пренебречь «слипанием» частиц. Статистический интеграл системы равен:
Z=Z
id
J/V
N
, J =




N
ik
dV
dV
u
)
/
(
exp
1
. (5.3)
Здесь u
ik
 u(r
ik
), J
 конфигурационный интеграл. Функция Майера
f
ik
= exp(u
ik
/
)  1 пренебрежимо мала при r
ik
>
, конфигурационный интеграл с ее помощью представляется в виде:








2
)
1
(
2 1
12 2
2 1
dV
dV
f
V
N
V
dV
dV
f
J
N
N
N
ik
,










]
1
[
4
,
2
/
)
(
2 1
12
dr
r
e
V
dV
dV
f
r
u
(5.4)
(При таком подходе мы должны рассматривать не слишком большую систему, N
 V/Nv
2
, v
2
 объем «сферы взаимодействия»; т.е., N  10 4
Тогда поправочный член в J невелик.)
В этом приближении
Z = Z
id
(1 + N
2
/2V), F = F
id
N
2
/2V,
и уравнение состояния:
p =
(F/V)

= (N
/V)(1  N/2V). (5.5)
Фактически мы получили первые члены вириального разложения для уравнения состояния по степеням плотности:
pV/N
 = 1 + B
2
(
)N/V + В
3
(
)N
2
/V
2
+ ...,(5.6)
где B
2
(
), В
3
(
)  соответственно второй, третий вириальные
коэффициенты.
Рассмотренный метод пригоден лишь при достаточно быстром убывании энергии взаимодействия частиц с увеличением расстояния между ними. При u(r)
 r
n
с n
 3 величина , (5.4), расходится. Для упрощенного модельного потенциала (5.2)
 = 8v
1
+ u
0
v
2
/
, (5.7) где v
1
 объем молекyлы, v
2
 объем сферы взаимодействия. Как видно, знак
 зависит от температуры. Температура 
B
, при которой
(
B
) = 0, называется точкой Бойля.
Отметим, что для разреженного газа вириальное разложение оказывается разложением по малому параметру v
2
/(V/N).

101
5.2. Вириальное разложение с использованием
большого канонического распределения
В соответствии с определением (2.16) большая статсумма представляет собой ряд по степеням абсолютной активности
 = exp(/):
,
N
N
Z
Z
 


где Z
N
 обычная статсумма системы N частиц. Обозначим
1
;
!
N
N
N
N
Z
Z
J
N V

очевидно, J
0
= 1, J
1
= V. Для классического газа, согласно (5.3), J
N
совпадает с конфигурационным интегралом. Вводя обозначение
 = Z
1
/V, представим большую статсумму в виде ряда по степеням величины
 (которую также будем называть активностью):
!




N
N
N
J
N
Z
(5.8)
В соответствии с формулами pV =
lnZ и N = lnZ/ в виде ряда по степеням активности представляются также давление и среднее число частиц:
1 2
1 1
1 1
1 2
1 1
2 1
ln[1 (
1)]
( 1)
(
1)
,
( 1)
,
! !... !
l
n
n
k
k
n
k
l
k
i
i
il
k
l
l
i i
i k
pV
Z
Z
A
n
J J
J
A
l
i i
i







   

















(5.9)
)
(
ln
1













k
k
k
kA
Z
N
(5.10)
Приведенные выражения довольно громоздки, и мы укажем здесь несколько первых коэффициентов разложений:
4 1
2 1
8 1
6 1
24 1
,
3 1
2 1
6 1
,
2 1
2 1
,
4 1
2 1
2 2
2 1
3 4
4 3
1 1
2 3
3 2
1 2
2 1
1
J
J
J
J
J
J
J
A
J
J
J
J
A
J
J
A
J
A











В дальнейшем мы будем полагать V = 1, выбрав в качестве единицы объем, на который в среднем приходится небольшое число частиц.
Тогда <N> = n представляет собой среднюю плотность числа частиц, а выражение (5.10) – разложение плотности в ряд по степеням активности
. Чтобы получить обратное разложение активности в ряд по степеням плотности:
,
1





l
k
k
n
C
(5.11)

102 подставим (5.11) в (5.10) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях n (= <N>) в правой и левой частях полученного равенства.
Несколько первых коэффициентов ряда (5.11) выглядят следующим образом:
40 30 4
,
8 3
,
2
,
1 3
2 2
3 4
4 2
2 3
3 2
2 1
A
A
A
A
C
A
A
C
A
C
C










Подставляя, наконец, (5.11) в (5.9), получим вириальное разложение:
,
1





i
i
i
n
B
p
(5.12) коэффициенты B
i
которого выражаются через величины A
i
. Приведем выражения четырех первых вириальных коэффициентов:
3 2
2 3
3 4
2 2
3 3
2 2
1 20 18 3
,
4 2
,
,
1
A
A
A
A
B
A
A
B
A
B
B










. (5.13)
Вывод вириального разложения (5.12) в принципе может быть использован для любой системы, если рассматривать величины J
N
как результат формальной перестройки статсуммы. Для текучих систем, в которых поступательное движение составляющих ее частиц можно рассматривать как классическое, это конфигурационные интегралы. В этом случае вириальные коэффициенты выражаются в виде интегралов от функций Майера f
ij
:
2 12 12 3
12 13 23 12 13 4
12 23 34 41 13 13 24 12 13 14 1
1
,
,
2 3
1
(3 6
)
8
B
f d
B
f f f d d
B
f f f f
f
f f d d d
 
 
 




