Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
![]()
|
4.11. Примечания Фононы представляют собой пример так называемых «квазичастиц» или элементарных возбуждений в конденсированных средах (иногда говорят: коллективных возбуждений, чтобы подчеркнуть, что это возбуждения всей среды, а не отдельных атомов). Квазичастицы характеризуются энергией, скоростью движения; в отличие от обычных частиц число их не фиксировано. Импульс квазичастиц определяется неоднозначно (в кристаллах p = k или (k + b), где b вектор «обратной» решетки), в связи с чем его называют «квазиимпульсом». Энергия системы является суммой энергий квазичастиц, в этом отношении системы квазичастиц сходны с идеальным газом. С ростом среднего числа квазичастиц, как и в обычных газах, возрастает роль взаимодействия между ними. Учет взаимодействия фононов эквивалентен учету ангармонизма колебаний решетки. Концепция квазичастиц это одно из проявлений дуализма волн и частиц в современной физике. Помимо фононов (акустических, оптических), в физике твердого тела рассматриваются магноны, экситоны, поляроны и другие квазичастицы (см. Киттель, 1967; Давыдов, 1976). Возбуждения электронной системы в металлах и полупроводниках также являются квазичастицами. Одноэлектронные спектры обладают зонной структурой , причем нижние зоны обычно можно рассматривать как размытые уровни энергии атомов среды. В основном состоянии 94 электроны заполняют нижние уровни энергии; при этом в металлах уровень Ферми оказывается внутри разрешенной зоны. В полупроводниках (и диэлектриках) целиком заполняется ряд нижних зон, уровень Ферми попадает в запрещенную зону между верхней заполненной (валентной) зоной и следующей за ней пустой разрешенной зоной (зоной проводимости). Незанятые (например, вследствие теплового возбуждения электронов) состояния валентной зоны иногда удобно рассматривать как новые квазичастицы дырки. Контрольные вопросы 1. Почему внутренняя энергия ядер атомов не сказывается на термодинамических характеристиках идеального газа? 2. Что такое квантовый объем? Как он связан с условием классичности идеального газа? 3. Какие данные необходимы для вычисления химического потенциала азота в атмосфере? 4. Как соотносятся парциальные давления азота и кислорода в атмосфере? 5. Как меняется концентрация газа частиц со спином в неоднородном магнитном поле? 6. Почему при рассмотрении электронного ферми-газа в металлах учитывается лишь небольшая доля всех электронов, содержащихся в веществе? 7. Оцените давление электронного газа в металле. Что мешает этому газу улетучиться? 8. Почему не рассматриваются примеры вырожденных ферми-газов из атомов и молекул? 9. Что такое бозе-конденсация? 10. Какова формальная температура бозе-конденсации фотонов? 11. Чему равен термодинамический потенциал черного излучения? 12. Сформулируйте закон Стефана – Больцмана. 13. Оцените силу, с которой излучение Солнца давит на Землю. 14. Сформулируйте основные положения модели Дебая колебаний твердого тела. 95 Задачи 4.1. Вычислить большую статсумму для идеального газа в классическом режиме. Найти большой термодинамический потенциал, энтропию, среднее число частиц и давление газа. Показать, что число частиц распределено по закону Пуассона. 4.2. Найти распределение вероятностей для угловых скоростей вращения молекулы идеального газа. Кинетическая энергия вращения молекулы равна rot = , 2 3 3 2 2 2 2 1 1 2 1 I I I где i компоненты вектора угловой скорости, I i главные моменты инерции. Найти i 2 . Вычислить вращательную статсумму нелинейной многоатомной молекулы в классическом приближении. 4.3. Найти распределение вероятностей для кинетической энергии молекулы идеального газа. Вычислить среднее и наиболее вероятное значения кинетической энергии. 4.4. Для молекул идеального газа вычислить v n , а также наиболее вероятную абсолютную скорость. 4.5. Найти распределение вероятностей для скорости относительного движения двух одинаковых молекул v' = v 1 v 2 Найти v'. 4.6. Найти распределение молекул идеального газа по скоростям v || (вдоль некоторой оси) и v (в перпендикулярном направлении). Вычислить v 2 . 4.7. Атомы идеального газа в состоянии покоя излучают монохроматический свет с длиной волны 0 и интенсивностью I 0 Найти распределение интенсивности излучения газа из N атомов при температуре . 4.8. Найти число молекул идеального газа, сталкивающихся в единицу времени с единицей поверхности стенки, скорость которых в направлении нормали к стенке превышает v 0 4.9. В молекулярном пучке, выходящем через небольшое отвер- стие в стенке сосуда с идеальным газом при температуре , найти 1) среднюю скорость молекул < v>, 2) среднюю энергию молекул < >. 4.10. Найти силу сопротивления, действующую на куб с ребром a, двигающийся в разреженном газе при температуре со скоростью v, 96 перпендикулярной грани куба. Столкновения молекул с гранями куба считать абсолютно упругими. 4.11. Сфера радиуса R движется со скоростью v в идеальном газе с плотностью n 0 и температурой . В предположении, что столкновения частиц газа со сферой абсолютно упругие, определить силу сопротивления, испытываемого сферой при ее движении. 4.12. Вычислить теплоемкость C V бесконечно высокого столба идеального газа из N частиц массы m в поле силы тяжести. Найти высоту центра тяжести столба над поверхностью земли. 4.13. Найти частоту малых колебаний поршня массы m и площади S , разделяющего две части (oбъeмы V 1 и V 2 ) закрытого сосуда с идеальным газом при температуре и давлении p; трение отсутствует, газ теплоизолирован. 4.14. Найти термодинамические характеристики ультрареля- тивистского классического идеального газа (энергия частиц p = cp, где c постоянная, p абсолютная величина импульса). 4.15. Частицы идеального газа находятся в центральном поле с потенциалом U(r) = U 0 ln(r/a), r a и U(r) = , r a. Найти давление при r = a и теплоемкость системы. 4.16. Вычислить плотность состояний D( ) в случае одно- и двумерного движений свободной частицы массы m. 4.17. Исследовать зависимость химического потенциала от температуры для вырожденного ферми-газа в одно- и двумерном случаях. 4.18. Найти химический потенциал двумерного бозе-газа. Возможна ли бозе-конденсация в этом случае? 4.19. Найти уравнение состояния идеального газа в классическом приближении с учетом первых поправок на начало вырождения. 4.20. Модель звезды «белый карлик»: масса M 10 33 г, состав гелий, плотность 10 7 г/см 3 , температура 10 7 K (атомы полностью ионизированы). Оценить а) температуру Ферми; б) давление электронного газа; в) собственную гравитационную энергию звезды. 4.21. Для вырожденного газа Ферми вычислить C p C V и сжимаемость 4.22. В электронном газе найти распределение электронов по компоненте скорости v x . Найти <vx 2 > при = 0. 97 4.23. Найти среднее число столкновений с единицей поверхности стенки за единицу времени в газе Ферми при = 0. 4.24. Энергия электронов в металле равна = (p x 2 + p y 2 )/2m 1 + p z 2 /2m 2 Найти энергию Ферми. Вычислить v z 2 при = 0. 4.25. Показать, что в случае статистики Бозе – Эйнштейна 0 ) / ( N 4.26. Найти плотность термоэлектронного тока для металла с потенциальным барьером на поверхности u >> . 4.27. Найти термодинамические характеристики ультраре- лятивистского сильно вырожденного газа Ферми (энергия частицы равна = cp, p импульс, c скорость света). 4.28. Найти среднее число фотонов и среднее значение частоты фотона в черном излучении. 4.29. Найти уравнение адиабатического процесcа в черном излучении. 4.30. Найти адиабатическую сжимаемость черного излучения. 4.31. Абсолютно черный шар радиуса R (0,1 м) с начальной температурой 1 (10 3 К) охлаждается вследствие излучения в среду с температурой 0 К. За какое время температура шара достигнет величины 2 (100 К), если его теплоемкость равна C V (500 Дж/кг К) и плотность = 8 г/см 3 ? 4.32. Определить поправку к теплоемкости твердого тела при высоких температурах в низшем приближении по отношению /, где температура Дебая. 4.33. Определить максимальную работу, которую можно получить при выравнивании температур двух одинаковых твердых тел с начальными температурами 1 , 2 , существенно большими температуры Дебая. 4.34. Вычислить пара- и диамагнитную восприимчивость электронов, используя статистику Больцмана. 4.35. Вычислить парамагнитную восприимчивость вырожденного электронного газа. 4.36. В приближении эффективной массы энергия электрона в зоне проводимости равна = E 0 + p 2 /2m e * (E 0 ширина запрещенной зоны, E 0 >> ), энергия дырки ' = p 2 /2m h * . Показать, что в полупроводнике с собственной проводимостью плотности электронов и дырок равны 98 2 / 4 / 3 2 / 3 2 0 *) * ( 2 2 E h e e m m p n , и энергия Ферми равна *) / * ln( 4 3 0 2 1 e h m m E 4.37. Для полупроводника с отрицательной проводимостью (n-типа) получить соотношение , ) 2 / ( 2 , ) ( 2 2 / 3 2 / e E D D D m N e n N N n n D где N D число доноров, n D число занятых донорных уровней. Примесный уровень может быть занят только одним электроном, электронный газ не вырожден. Найти энергию Ферми в предельных случаях низких и высоких температур. 4.38. Вычислить магнитную восприимчивость системы электронов на донорных уровнях, предполагая, что каждый уровень может быть занят только одним электроном. 4.39. Молекулы идеального Бозе-газа имеют во внешнем поле потенциальную энергию а) U = z , б) U = z 2 ( постоянная). Найти температуру конденсации и скачок теплоемкости. 4.40. Проверить приближенное равенство C V C p для твердых тел при низких и высоких температурах. 99 5. НЕИДЕАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ 5.1. Разреженные газы нейтральных частиц Взаимодействие между двумя нейтральными атомами (молекулами) складывается из сравнительно дальнодействующего притяжения (ван-дер-ваальсовы силы) и короткодействующего отталкивания, связанного с заметным перекрыванием электронных облаков частиц на малых расстояниях. Энергия взаимодействия частиц схематически изображена на рис. 5.1. Она часто моделируется потенциалом Леннарда – Джонса , 2 ) ( 6 0 12 0 0 r r r r u r u (5.1) где параметры модели r 0 и u 0 соответствуют точке минимума потенциала, как указано на рисунке. Если частицы несферические, то энергия взаимодействия зависит и от относительной ориентации частиц. В этом случае ур. (5.1) представляет усредненное по ориентациям взаимодействие. Приведем параметры модели для некоторых газов: H 2 : r 0 = 3.28 Å, u 0 = 37 K; Kr: 4.05 Å, 171 K; CH 4 : 4.28 Å, 327 K. Иногда используются упрощенные прямоугольные потенциалы типа изображенного на рис. 5.1 прямыми линиями (модель «жестких сфер» с притяжением): 0, r ( «радиус взаимодействия») u = u 0 , > r > d (5.2) , r d (d диаметр частицы, oбычно 2 3 d) Потенциальная энергия системы в приближении парных взаимодей- ствий, U pot = u(r ik ), где суммирование проводится по всем парам частиц. В принципе возможны тройные, четверные взаимодействия, не сводящиеся к суммам парных, но, во всяком случае, в разреженных газах (среднее расстояние между частицами намного больше диаметра u - u 0 d r 0 r Рис. 5.1 100 частиц) их роль несущественна. Рассмотрим классический разреженный газ из одинаковых частиц при температурах u 0 , когда можно пренебречь «слипанием» частиц. Статистический интеграл системы равен: Z=Z id J/V N , J = N ik dV dV u ) / ( exp 1 . (5.3) Здесь u ik u(r ik ), J конфигурационный интеграл. Функция Майера f ik = exp(u ik / ) 1 пренебрежимо мала при r ik > , конфигурационный интеграл с ее помощью представляется в виде: 2 ) 1 ( 2 1 12 2 2 1 dV dV f V N V dV dV f J N N N ik , ] 1 [ 4 , 2 / ) ( 2 1 12 dr r e V dV dV f r u (5.4) (При таком подходе мы должны рассматривать не слишком большую систему, N V/Nv 2 , v 2 объем «сферы взаимодействия»; т.е., N 10 4 Тогда поправочный член в J невелик.) В этом приближении Z = Z id (1 + N 2 /2V), F = F id N 2 /2V, и уравнение состояния: p = (F/V) = (N /V)(1 N/2V). (5.5) Фактически мы получили первые члены вириального разложения для уравнения состояния по степеням плотности: pV/N = 1 + B 2 ( )N/V + В 3 ( )N 2 /V 2 + ...,(5.6) где B 2 ( ), В 3 ( ) соответственно второй, третий вириальные коэффициенты. Рассмотренный метод пригоден лишь при достаточно быстром убывании энергии взаимодействия частиц с увеличением расстояния между ними. При u(r) r n с n 3 величина , (5.4), расходится. Для упрощенного модельного потенциала (5.2) = 8v 1 + u 0 v 2 / , (5.7) где v 1 объем молекyлы, v 2 объем сферы взаимодействия. Как видно, знак зависит от температуры. Температура B , при которой ( B ) = 0, называется точкой Бойля. Отметим, что для разреженного газа вириальное разложение оказывается разложением по малому параметру v 2 /(V/N). 101 5.2. Вириальное разложение с использованием большого канонического распределения В соответствии с определением (2.16) большая статсумма представляет собой ряд по степеням абсолютной активности = exp(/): , N N Z Z где Z N обычная статсумма системы N частиц. Обозначим 1 ; ! N N N N Z Z J N V очевидно, J 0 = 1, J 1 = V. Для классического газа, согласно (5.3), J N совпадает с конфигурационным интегралом. Вводя обозначение = Z 1 /V, представим большую статсумму в виде ряда по степеням величины (которую также будем называть активностью): ! N N N J N Z (5.8) В соответствии с формулами pV = lnZ и N = lnZ/ в виде ряда по степеням активности представляются также давление и среднее число частиц: 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ln[1 ( 1)] ( 1) ( 1) , ( 1) , ! !... ! l n n k k n k l k i i il k l l i i i k pV Z Z A n J J J A l i i i (5.9) ) ( ln 1 k k k kA Z N (5.10) Приведенные выражения довольно громоздки, и мы укажем здесь несколько первых коэффициентов разложений: 4 1 2 1 8 1 6 1 24 1 , 3 1 2 1 6 1 , 2 1 2 1 , 4 1 2 1 2 2 2 1 3 4 4 3 1 1 2 3 3 2 1 2 2 1 1 J J J J J J J A J J J J A J J A J A В дальнейшем мы будем полагать V = 1, выбрав в качестве единицы объем, на который в среднем приходится небольшое число частиц. Тогда <N> = n представляет собой среднюю плотность числа частиц, а выражение (5.10) – разложение плотности в ряд по степеням активности . Чтобы получить обратное разложение активности в ряд по степеням плотности: , 1 l k k n C (5.11) 102 подставим (5.11) в (5.10) и сравним коэффициенты при одинаковых степенях n (= <N>) в правой и левой частях полученного равенства. Несколько первых коэффициентов ряда (5.11) выглядят следующим образом: 40 30 4 , 8 3 , 2 , 1 3 2 2 3 4 4 2 2 3 3 2 2 1 A A A A C A A C A C C Подставляя, наконец, (5.11) в (5.9), получим вириальное разложение: , 1 i i i n B p (5.12) коэффициенты B i которого выражаются через величины A i . Приведем выражения четырех первых вириальных коэффициентов: 3 2 2 3 3 4 2 2 3 3 2 2 1 20 18 3 , 4 2 , , 1 A A A A B A A B A B B . (5.13) Вывод вириального разложения (5.12) в принципе может быть использован для любой системы, если рассматривать величины J N как результат формальной перестройки статсуммы. Для текучих систем, в которых поступательное движение составляющих ее частиц можно рассматривать как классическое, это конфигурационные интегралы. В этом случае вириальные коэффициенты выражаются в виде интегралов от функций Майера f ij : 2 12 12 3 12 13 23 12 13 4 12 23 34 41 13 13 24 12 13 14 1 1 , , 2 3 1 (3 6 ) 8 B f d B f f f d d B f f f f f f f d d d |