Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
 Скачать 1.13 Mb.
|
|
Задачи 3.1. Известно, что для некоторого вещества ( p/) V = A + BV + C и C V = a + bV + c + (1/2)dV 2 + eV + (1/2)f 2 ,где A, B, C, a, b, c, d, e, f постоянные. Найти соотношения между этими постоянными. Найти наиболее общее выражение для свободной энергии, согласующееся с этими данными. 3.2. Найти термодинамический потенциал системы, если C V = aV 3 , p = b 4 ; a, b постоянные коэффициенты. 3.3. Доказать соотношение dp = dV/( V) + V d / 71 3.4. Доказать, что пересечение двух квазистатических адиабат невозможно, так как это приводит к нарушению принципа Томсона. 3.5. Показать, что следующие процессы необратимы: а) свобо- дное адиабатическое расширение газа, б) процесс Джоуля-Томсона, то есть адиабатическое расширение газа из состояния с давлением p до p + dp (dp < 0). 3.6. Доказать неравенства: ( /p) H <0, ( /V) E >0. 3.7. Доказать следующие соотношения: 1) ), ) ( ( 1 V V E p p C V 2) , p p V C p 3) p V C C p V p V , 4) , 2 p p V C p V p V 5) , , , N V V N E 6) , , , / , V V V N E N N 7) V V p V C 2 2 , 8) , 0 1 2 , , , / , V V N V V N E N E E 9) 2 V V p C V p V p 3.8. Получить выражение для теплоемкости C V в переменных , , V. 3.9. Вычислить V p p V p V V p 3.10. Показать, что а) если объем системы линейно зависит от температуры, то C p не зависит от давления; б) если давление линейно зависит от температуры, то C V не зависит от объема. 3.11. Найти уравнение состояния системы, для которой ( E/V) = 0, ( H/p) = 0. 3.12. Найти работу, производимую над идеальным газом, и количество тепла, получаемое им, когда газ совершает круговой процесс, состоящий из: а) двух изохорных и двух изобарных процессов, б) двух изохор и двух изотерм, в) двух изотерм и двух адиабат, г) двух изобар и двух изотерм, д) двух изобар и двух адиабат. 3.13. Вычислить кпд в процессах, изображенных на приведенных ниже рисунках. Рабочее тело одноатомный идеальный газ. 72 Рис. к задаче 3.13. 3.14. Два одинаковых шара с массами m и постоянной удельной теплоемкостью C имеют температуры 1 и 2 . Найти изменение энтропии шаров после установления теплового равновесия в результате контакта. 3.15. Рассмотреть все возможные процессы, с помощью которых тело с теплоемкостью С может охладиться путем отдачи тепла от температуры 1 до 0 . Как добиться того, чтобы работа, совершаемая при этом процессе, была максимальной? Какова эта максимальная величина? С постоянная. 3.16. Найти максимальную работу, которую можно получить при расширении одноатомного идеального газа в пустоту от объема V 1 до объема V 2 . В начальном состоянии энергия газа равна E 0 . 3.17. Найти уравнение процесса, происходящего с одноатомным идеальным газом при постоянной теплоемкости С. 3.18. Для газа Ван-дер-Ваальса вычислить а) разность C p C V б) внутреннюю энергию в) работу, совершаемую над газом в изотермическом процессе г) работу, совершаемую над газом в адиабатическом процессе д) уравнение политропического процесса с постоянной теплоемкостью С е) максимальную работу, которую можно получить при расширении газа в пустоту от объема V 1 до объема V 2 , начальная температура равна 1 ж) изменение температуры газа при расширении в пустоту. p 2 p 1 p 1 1 2 p 2 p 0 p 0 V 0 2V 0 V (a) (b) p p 0 V 0 2V 0 V (c) p p 2 p 1 1 2 (d) 73 3.19. Вычислить разность теплоемкостей C E – C D для изотропного диэлектрика (E напряженность электрического поля, D электрическая индукция). Уравнение состояния диэлектрика D = ()E, диэлектрическая проницаемость. 3.20. Доказать, что внутренняя энергия E парамагнетика, намагниченность которого равна M = f ( B/ ), не зависит от напряженности внешнего магнитного поля B. 3.21. Пусть парамагнетик – система N спинов (S = 1/2) в кристаллической матрице – намагничивается при температуре 0 практически до полного насыщения. Как изменится температура системы в результате квазистатического адиабатического размагничивания до B = 0? Теплоемкость решетки C V = A 3 , A константа, объем системы не меняется в процессах намагничивания- размагничивания. 3.22. Магнетик помещен в поле B и находится под внешним давлением p. Вывести зависимость между объемной магнитострикцией ( V/B) p и пьезомагнитным эффектом ( M/P) B для обратимого изотермического намагничивания. Вычислить относительное изменение объема при магнитострикции в слабом поле, возрастающем от 0 до B, считая, что намагниченность постоянна по объему тела. 3.23. Скорость звука в газе или жидкости определяется как u 2 = / p , где плотность вещества. а) Выразить скорость звука через изотермический модуль сжатия / p K T . б) Вычислить скорость звука в идеальном газе и газе Ван-дер-Ваальса. 74 4. ИДЕАЛЬНЫЕ ГАЗЫ 4.1. Одночастичный спектр Предварительным этапом исследования идеальных систем является расчет спектра энергий отдельной частицы системы. В случае идеальных газов исходным является спектр частицы, свободно перемещающейся внутри заданного объема (см. раздел 1.7.3). Если частица обладает внутренней структурой (атом, молекула), ее гамильтониан представляется как сумма двух частей энергии поступательного движения частицы как целой (рассмотренной выше) и внутренней энергии частицы в системе отсчета, связанной с центром масс, H внутр . Возможные энергии и соответствующие состояния: n i = n + i , n i = n i , (4.1) где i , i решения уравнения Шредингера с гамильтонианом H внутр Для молекулы H внутр приближенно складывается из электронной части, энергии колебаний молекулы и вращательной части. При наличии спина ядер сюда может добавиться зеемановская энергия ядер в магнитном поле. В отсутствие магнитного поля наличие ядерного спина фактически учитывается как дополнительное вырождение электронных уровней энергии (каждое ядро со спином I вносит в кратность вырождения фактор 2 I + 1). Поэтому в дальнейшем мы не будем специально выделять вклад ядерного спина. Колебания обычно рассматриваются в гармоническом приближении, а вращения для простоты в модели «жесткого волчка», пренебрегая изменением расстояний между ядрами при колебаниях. В случае двухатомной молекулы имеется лишь одна колебательная степень свободы, две вращательные («ротатор»), и i = evK = e + ), 1 ( ) 2 / ( ) ( 2 2 1 K K J v i = e v K ,(4.2) где J Ma 0 2 момент инерции молекулы, K возможные значения момента вращения (целые числа), проекции момента K, a 0 радиус Бора (мера средних расстояний между частицами в небольших молекулах). Приблизительные порядки величин электронных возбуждений, колебательных ( 10 14 –10 15 сек 1 ), вращательных и поступательных, выраженные в Кельвинах, соответственно: 75 e e 2 /ka 0 10 5 K, v /k 10 3 K, r 2 / kMa 0 2 10 K, t 2 2 / kML 2 10 14 K. (4.3) Энергия электронного возбуждения молекул (и атомов) здесь грубо оценивается как средняя потенциальная энергия электрона, по порядку величины равная энергии ионизации атомов (для атома водорода n = e 2 /2a 0 n 2 ). Она в большинстве случаев существенно больше комнатной температуры; отсюда вытекает, что при комнатных температурах и ниже атомы и молекулы находятся в основном электронном состоянии (подробнее см. разделы 4.2 и 4.3). Величины r и t (и косвенно v ) сильно зависят от массы молекулы, быстро убывая с ее возрастанием. Приведенные числа соответствуют легким молекулам с массами порядка массы протонов, размер ящика L 1 см. Как видно, даже для самых легких реальных газов t намного меньше сколь угодно низких из достижимых температур. Для элементарных частиц со спином в качестве i выступают спиновые квантовые числа; в отсутствие внешних магнитных полей полагаем i = 0. Если число частиц N в системе (однокомпонентной) зафиксировано, то химический потенциал можно найти из уравнения N = n i f n i , (4.4) а энергия определяется выражением E= ni ni f ni . (4.5) Распределение частиц по состояниям n i определяется функциями Ферми – Дирака или Бозе – Эйнштейна, но сначала рассмотрим идеальный газ в классическом режиме. 4.2. Классический идеальный газ В классическом пределе f( ) exp[( )/] = exp(/) << 1 для всех и N = n i exp[ ( n + i )/ ] = Z 1 , Z 1 =Z 1i Z 1t , Z 1i = i exp( i / ), где Z 1 «одночастичная» статсумма, а Z 1t «трансляционная» статсумма: Z 1t = n exp( n / ). 76 Слагаемые в Z 1t очень медленно меняются с изменением n, поэтому сумму можно заменить интегралом: Z 1t = , 2 2 exp 2 / 3 2 2 3 2 1 2 2 2 2 Q V V ML dn dn dn n ML (4.6) где V Q = (2 2 / M ) 3/2 – «квантовый объем». Отсюда = cV Q /Z 1i , где c=N/V концентрация, и = lncV Q lnZ 1i . (4.7) Энергия системы (ср. (2.26)): E = ni ni f ni = 2 ( Z 1 / ) V = (N/Z 1 ) 2 ( Z 1 / ) = = N 2 ( lnZ 1 / ) = (3/2)N + N i . (4.8) Таким образом, на каждую поступательную степень свободы системы приходится энергия /2. В произвольном состоянии системы l (определяемом совокупностью квантовых чисел n i всех частиц, i не зависит от объема, n V 2/3 ) давление p l = l / V = (2/3) lпост / V, усредняя которое получим формулу (уравнение состояния), пригодную для идеальных нерелятивистских газов в любом режиме: p = p l = (2/3)E пост / V. (4.9) В классическом режиме E пост = (3/2)N, и уравнение состояния pV = N , или = Mp/, где плотность газа, М – масса частицы. Остальные характеристики идеального газа: свободная энергия F = G pV = N N = NlncV Q N NlnZ 1i , (4.10) энтальпия H = (5/2)N + Ni, энтропия (уравнение Сакура-Тетроде) = (E F)/ = (5/2)N NlncV Q + N( i/ + lnZ 1i ), (4.11) теплоемкость C V = (3/2)N + N i/; C p = C V + N. Вычислим еще статсумму: Z = exp( F/) = exp[N Nln(N/Z 1 )] = exp{ln[( Z 1 ) N / N!]} = (Z 1 ) N / N!. (4.12) По сути, это выражение вида (2.22). Здесь множитель 1/ N! получился автоматически, поскольку с самого начала мы исходили из квантовомеханических распределений для тождественных частиц. 77 4.2.1. Атомарный газ Для элементарных частиц Z 1i = 2S + 1 (S спин частицы). Для атомов Z 1i = Z 1e = g 0 exp( 0 / ) + g 1 exp( 1 / ) +…, (4.13) где 0 энергия основных состояний атома (обычно основного терма), g 0 кратность вырождения основного уровня, 1 , g 1 энергия первого возбужденного уровня и кратность его вырождения. Согласно оценкам предыдущего параграфа, второе слагаемое обычно ничтожно мало по сравнению с первым при комнатных температурах (меньше примерно в е 100 раз), то есть возбужденных атомов в системе практически нет. Отметим, что формула (4.13) сохраняет силу и в случае малых расщеплений вырожденных электронных уровней (расщепления ), например, расщеплений термов за счет спин-орбитального взаимодействия, расщеплений во внешних полях. Таким образом, для атомарного газа ln ln 0 0 g cV Q (4.14) Для газа из одинаковых частиц начало отсчета энергии обычно переносят на основной электронный уровень, то есть полагают 0 = 0. Тогда в уравнениях (4.10), (4.11) следует положить i = 0, Z 1i = g 0 , внутренняя энергия E = E пост = (3/2) N , энтальпия H = (5/2)N, теплоемкость C V = (3/2) N. Условие классичности газа, exp( 0 / ) << 1 ( 0 минимальная внутренняя энергия атома), с учетом того, что g 0 порядка единицы, запишется в виде cV Q << 1. (4.15) Как видно, оно выполняется тем лучше, чем меньше плотность газа, больше масса частиц и выше температура. Для атомов водорода при комнатной температуре имеем: V Q 10 24 см 3 ; концентрация при нормальном давлении c 10 19 см 3 , и cV Q = 10 5 , то есть условие классичности выполняется очень хорошо. Иногда все же приходится сталкиваться с ситуациями, когда в атоме (молекуле) в нижней части электронного спектра встречаются несколько сравнительно близко лежащих уровней, интервалы между которыми сопоставимы с температурой . Вычисление Z 1e в такой ситуации мы рассматривали в конце раздела 2.4.2 на примере двухуровневой системы. |