Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
 Скачать 1.13 Mb.
|
|
2.7. Функции распределения Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна В качестве еще одного примера приложения большого канонического распределения получим равновесное распределение невзаимодействующих фермионов и бозонов по одночастичным состояниям (орбиталям). Фермионы частицы с полуцелым спином, бозоны с целым. Волновые функции систем этих частиц, соответственно, антисимметричны и симметричны относительно перестановок одинаковых частиц. Функции стационарных состояний могут быть записаны в виде соответствующих линейных комбинаций произведений функций отдельных частиц и полностью определяются указанием чисел частиц, приходящихся на каждую орбиталь. Так, стационарное состояние системы N частиц, относящееся к энергии , 2 1 2 1 N N i i i i i i представляется в виде P N i i B P N i i p F x x P A x x P A N N ) ( )... ( ˆ , ) ( )... ( ˆ ) 1 ( 1 1 1 1 (2.36) для фермионов и бозонов, соответственно, где суммирование проводится по всем перестановкам (P) N частиц (что сводится либо к перестановке координат частиц x 1 ,…, x N , либо, эквивалентно, к перестановке индексов одночастичных стационарных состояний (i 1 ,…, i N )), p четность перестановки, то есть количество парных перестановок (транспозиций), посредством которых может быть достигнута перестановка P. A, A′ в (2.36) – нормировочные множители. Функция F может быть записана в виде определителя (слэтеровский детерминант), строчки которого определяются индексами i r , а каждый столбец – одной из координат x s . Поэтому F = 0 при совпадении хотя бы двух из индексов i 1 ,…, i N (принцип запрета Паули). В любом случае 45 функции (2.36) вполне определяются, то есть, могут быть выписаны в указанном виде, если задать «числа заполнения» одночастичных состояний, перенумеровав состояния, например, в порядке возрастания их энергии: , 2 1 2 1 2 1 i i n n n n n n i (2.37) Как видно, для фермионов n i = 0 или 1; функции F в (2.36) соответствует вектор (2.37), в котором единицы стоят на местах i 1 ,…, i N , а остальные n i равны нулю. Единственным ограничением на числа бозонов в (2.37) при фиксированном полном числе частиц служит условие i n N При внутренних процессах в системе числа заполнения n i меняются, орбиталь i «отдает» и «получает» частицы с других орбиталей, то есть находится в материальном (и тепловом) контакте с окружением. В среднем на отдельную орбиталь, как правило, приходится очень немного частиц, n i << N, и, если система в целом находится в состоянии термодинамического равновесия, орбиталь можно считать равновесной подсистемой в термостате. В силу антисимметричности состояний фермионов на каждую орбиталь может попасть не более одной частицы. Поэтому большая статсумма и среднее число частиц на любой орбитали i с энергией i равны: 1 ] / ) exp[( 1 ) ( ) ( , exp 1 i i i f i n Z (2.38) Это и есть распределение Ферми – Дирака. Значение () при нулевой температуре, ( = 0) F , называют энергией Ферми. Число бозонов на орбитали не ограничено, поэтому 0 1 / ) ( / ) ( , 1 n n e e Z и распределение Бозе – Эйнштейна принимает вид: 1 ] / ) exp[( 1 ) ( i i n (2.39) 46 Поскольку условие exp[( )/] < 1 должно выполняться для любых энергий , то химпотенциал бозонов 0 (отсчет энергий ведется с нижнего уровня). ( = 0) = 0, иначе при = 0 n(i) = 0 для всех состояний i. Рис. 2.4 Рис. 2.5 На рис. 2.4 изображены функции распределения Ферми – Дирака при трех различных температурах. При = 0 это ступенчатая функция, обрывающаяся при = F . Рис. 2.5 дает представление о виде функции распределения Бозе – Эйнштейна (о «температуре конденсации» 0 см. подробнее в разделе 4). Как видно, при высоких температурах различие между распределениями исчезает. Действительно, если exp[( )/] >> 1, то единицей по сравнению с этой величиной можно пренебречь, и обе функции <n(i)> из (2.38) и (2.39) переходят в функцию распределения Больцмана: f(i) exp[( i )/ ] exp( i / ). (2.40) Альтернативный способ вывода распределений Ферми – Дирака и Бозе – Эйнштейна рассматривается в задаче (2.19). 2.8. Дополнения Другие равновесные ансамбли Выше мы рассмотрели большое каноническое и каноническое распределения (ансамбли); их также называют, соответственно, V T- и VNT-распределениями по параметрам системы, которые при- нимаются в качестве независимых (V объем). Иногда используется pNT-распределение, описывающее равновесные системы с незафик- сированным объемом, находящиеся в термостате с заданными n( ) < 0 > 0 0 f( ) =0 >> F << F 1 0 F 47 температурой и давлением (изотермически-изобарические системы). Вероятность того, что объем системы равен V, а сама система находится в микросостоянии k с энергией k , равна )] ( [ 1 exp 1 ) , ( V pV Z k V p k . (2.41) Вывести это распределение можно так же, как и большое каноническое распределение, с учетом связи между энтропией и давлением термостата (см. ур. (3.3) следующего раздела). По аналогии с соотношениями (2.32), (2.33) находим Z = exp(G/), где G термодинамический потенциал Гиббса. Более подробно другие ансамбли обсуждаются в книге Хилла (1960). Энтропия Колмогорова Определенная формулами (2.5), (2.31), (2.34) энтропия при развитии системы по механическим уравнениям Лиувилля (1.3), (1.6) не меняется. Размазывание макросистемы по всем допустимым микросостояниям и возрастание энтропии явились простым следствием постулированного определения равновесного состояния замкнутых систем. Детали релаксации открытых систем определяются взаимодействием их с термостатом при контактах, причем энергия взаимодействия должна быть достаточно мала, чтобы вообще можно было говорить о выделенной подсистеме. Релаксация замкнутых систем связана с нарушением идеальной замкнутости, со способами выделения подсистем при описании неравновесных состояний и т.п. Во всех случаях имеет место огрубление системы и, как следствие, эволюция функции распределения к равновесному значению. B классической статфизике можно поставить вопрос о возрастании энтропии в несколько иной форме. Нельзя ли так переопределить энтропию , не меняя механических уравнений движения системы, чтобы она обладала нужными свойствами? Ответ подсказывает картина эволюции фазовой капли статистических систем (рис. 1.2): капля растекается по энергетической гиперповерхности (слою) нитевидным образом, не меняя общего своего начального объема. Ограничим точность определения объема в фазовом пространстве клеткой величины . Огрубленный таким способом объем капли (t) растет со временем. Энтропия Колмогорова (или К-энтропия, фактически это 48 скорость роста величины = ln(t)) определяется следующим образом [Заславский 1984, Заславский и Сагдеев 1988]: , ) ( ln 1 lim lim 0 0 t t h t (2.42) где 0 начальный объем капли. Если величину зафиксировать, = 0 , то время релаксации конечно: t 0 = h 1 ln 0 1 Функция Вигнера Существует преобразование матрицы плотности системы, позволяющее записывать средние значения физических величин в форме, аналогичной классической [Балеску, 1978, Фейнман, 1978]. Проиллюстрируем его на примере одночастичной матрицы плотности. Введем вначале преобразование Вейля произвольного оператора А: ˆ ( , ) exp( ) , 2 2 i A d A R R p r R p R r r (2.43) где (r Ar' ) матрица оператора А в координатном представлении. Результат преобразования Вейля статистического оператора и является функцией Вигнера f. Обратное преобразование 3 1 i ˆ ( ) exp[ ( )] ( , ). (2 ) d f r r r r p p r r p 2 (2.44) При наличии спина у частицы матрицы и f должны нести еще спиновые индексы. Функция Вигнера не является положительно определенной и ее нельзя рассматривать как распределение вероятностей. Однако интегрирование ее по импульсам дает распределение вероятностей пространственных координат (ср.(2.44)), а интеграл по координатам дает распределение по импульсам. Используя определения (2.43), (2.44), можно представить среднее значение величины А в виде: ) 2 /( ) , ( ) , ( 3 q p r p r p d d A f A (2.45) При наличии спина следует еще взять след произведения fA по спиновым переменным. 49 Некоторые свойства статсумм Статсумма Z представляет собой преобразование Лапласа плотности распределения микросостояний по энергиям (ср.(2.17), (2.22)): 0 1/ = , ) ( ) ( dE E D e Z E . (2.46) Величина D(E) заменяет статвес (ср. (2.8)) или статсумму для микроканонического распределения. Она находится через Z( ) обратным преобразованием: i i E d e Z i E D 0. > , ) ( 2 1 ) ( (2.47) Формулу (2.16) можно рассматривать как дискретный аналог преобразования Лапласа статсуммы Z N : 0 ) ( N N N Z e Z (2.48) Контрольные вопросы 1. Проиллюстрировать закон возрастания энтропии на примере контакта двух спиновых систем S = 1/2 с начальной конфигурацией . 2. Какая отрицательная температура является наиболее горячей? 3. Написать большое каноническое распределение и большую статсумму с использованием обозначения для абсолютной активности. 4. Как выглядит большое каноническое распределение для двухкомпонентной системы? 5. Чему равно значение f( ) на уровне Ферми? 6. Пусть имеются три двукратно вырожденных уровня энергии. Сколько существует способов размещения на них трех электронов? 7. Почему малы вероятности больших флуктуаций? 8. В чем заключается аномальный характер спиновой системы? 9. Чему равно значение энтропии на один спин S = 1 в пределе бесконечно больших температур? 10. Перечислите свойства химического потенциала. 50 11. В чем состоит принцип эквивалентности равновесных ансамблей? 12. Какие величины не флуктуируют в микроканоническом ансамбле? Задачи 2.1. Пусть g = CE N , где С константа. Найти энергию как функцию температуры. 2.2. Оценить относительную ошибку, возникающую при использовании ln(g 1 g 2 ) max вместо lng(N, E) при вычислении энтропии составной спиновой системы с N 1 = 10 22 , N 2 = 10и E = 0(N = N 1 + N 2 ). 2.3. Найти энтропию решеточного газа (N 0 , N) и энтропию «неравновесного состояния» (N 0 , N, R, n) этого газа (см. задачу 1.9). При каком n энтропия (N 0 , N, R, n) достигает максимума? 2.4. Найти энтропию решеточного «бозе-газа», описанного в задаче 1.11. 2.5. Найти энтропию системы N линейных осцилляторов с частотой , температуру как функцию энергии, а также энергию, энтропию и химический потенциал как функцию температуры. Нарисовать соответствующие графики. 2.6. Используя каноническое распределение, найти <L>, если оператор L и гамильтониан H частицы заданы матрицами 0 ˆ ˆ ; 0 a L H a 2.7. Найти среднее значение энергии частицы со спином S = 1 как функцию температуры, если ее гамильтониан имеет вид: H = E 0 a(S z 2 2/3) + b(S x S y + S y S x ), где a, b постоянные. 2.8. Вычислить среднюю энергию системы из двух обменно- связанных частиц со спином 1/2, помещенной в термостат с температурой ; гамильтониан системы равен H = B(S 1 + S 2 ) + (S 1 S 2 ), где B и постоянные. 2.9. Большая статсумма системы известна как функция , V, . Найти среднюю энергию и среднее число частиц в системе. 2.10. Молекулы идеального газа адсорбируются поверхностью, имеющей N поглощающих центров. Используя большое каноническое распределение, найти коэффициент адсорбции (отношение среднего 51 числа адсорбированных молекул к N), если энергия молекулы при адсорбции уменьшается на величину . Найти зависимость от давления газа p (ХП идеального газа = lnp/p 0 ). 2.11. Кристаллическая решетка, содержащая N атомов, имеет N' N междоузлий. Энергия, необходимая для перехода атома в междоузельное положение (дефекты Френкеля), равна >> . Найти число n атомов (n << N) в междоузлиях при температуре . 2.12. Найти в кристаллической решетке, содержащей N атомов, среднее число n дефектов типа Шоттки (вакансии, образуемые при перемещении атомов на поверхность). Энергия, необходимая для перемещения одного атома, равна >> . 2.13. Доказать тождества: , a E A τ a A a A , d) E A τ τ A c , τ E τ E n E τ τ E b , E τ τ E E a τ n n n n n 1 1 ) ) ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 где A произвольная динамическая величина A = A , a внешний параметр системы. 2.14. Доказать, что среднее значение магнитного момента изотропного парамагнетика равно M = lnZ/B, а его магнитная восприимчивость в слабом магнитном поле B || z равна = (1/)<M z 2 >. 2.15. Одномерная цепочка состоит из n >> 1звеньев длины , которые могут свободно поворачиваться в соединениях. Найти энтропию цепочки как функцию ее длины l, натяжение F, необходимое для удержания ее концов, как функцию l и температуры. 2.16. Найти среднюю длину молекулы, состоящей из N элементов длины , свободно вращающихся в сочленениях в трехмерном пространстве при данном натяжении F между ее концами и при данной температуре . 2.17. Гамильтониан системы равен H = H 0 + H 1 ,где << 1. В представлении, в котором матрица H 0 диагональна, найти матрицу плотности (каноническое распределение) с точностью до линейных по слагаемых. |