Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
 Скачать 1.13 Mb.
|
|
1.8. Оценить время возврата для цикла Пуанкаре макроскопической системы на примере газа, находящегося в обычных условиях ( N 10 19 см 3 , М ат 10 22 г, v 2.10 4 см/сек [ Mv 2 kT]). Считать, что размеры ячейки фазового пространства, в пределы которой возвращается система при движении вдоль фазовой траектории, составляют примерно 10 7 см по пространственным координатам и 10 16 г.см/сек по импульсам (ср. Ландсберг, 1974, зад. 27.10, 11). 1.9. ( Решеточный газ.) В каждом из N 0 узлов решетки может находиться либо 0, либо 1 атом. Пусть N атомов случайно распределены по этим узлам. Найти число расположений g(N 0 , N) атомов по узлам, вероятность p(R, n)того, что в R узлах решетки адсорбировано n атомов, среднее значение <n> и среднее значение (n) 2 , где n = n n. Убедиться, что при n малых p(R, n) переходит в распределение Пуассона. 1.10. Пусть решетка разбита на части, содержащие R i узлов, так что R i = N 0 . Найти вероятность того, что в каждой из этих частей находится, соответственно, n i атомов ( n i = N) (обобщенное гипергеометрическое распределение). Рассмотреть предельный случай R i >> n i 1.11. Рассмотрим решетку, узлы которой могут вместить любое число «атомов». Найти в этом случае число возможных размещений N атомов по N 0 узлам и вероятность того, что в R узлах решетки размещено n атомов. 29 1.12. Идеальный газ, состоящий из N молекул, находится в сосуде объемом V 0 . Определить вероятность того, что в заданном объеме V (<< V 0 ) будет содержаться в данный момент n молекул. Найти средние значения < n> и (n) 2 . Рассмотреть предельные случаи а) n << N; б) n >> 1, n<< n. 1.13. При термоэлектронной эмиссии происходит вылет электронов с поверхности металла или полупроводника. Предполагая, что вылеты электронов статистически независимые события и вероятность вылета одного электрона за бесконечно малый промежуток времени dt равна n 0 dt (n 0 постоянная), определить вероятность вылета n электронов за время t. Найти средние значения n и (n) 2 . 1.14. ( Проблема случайных блужданий.) Частица, находящаяся в исходный момент в начале координат, делает в следующий момент скачок на единицу либо вправо, либо влево с одинаковой вероятностью. Определить вероятность p n ( l) того, что через n шагов частица окажется в точке l одномерной решетки. Рассмотреть предельный случай больших n. Полагая средний интервал времени между скачками равным t 0 , переписать результат в виде вероятности попадания частицы в точку x через время t (= nt 0 ). Обобщить результаты на случай блуждания по двумерной квадратной и трехмерной кубической решеткам. 1.15. Пусть в задаче о линейных блужданиях вероятность скачка вправо ( p) превышает вероятность скачка влево (q = 1 p), а в единицу времени частица совершает w скачков. Определить среднюю скорость перемещения частицы. 1.16. ( Линейный полимер.) Полимерная цепочка состоит из N элементов длины , каждый из которых может быть с одинаковой вероятностью направлен вправо или влево, так что два соседних элемента представляются либо так: , либо так: . Найти вероятность того, что длина полимера (расстояние по прямой от хвоста первого элемента до вершины N-го элемента) равна l . Найти среднюю длину полимера. 1.17. Пусть углы между последовательными элементами полимера совершенно произвольны: последующий элемент с равной вероятностью может располагаться в любом элементе телесного угла. Найти средний квадрат длины молекулы в этом случае. 30 1.18. Пусть последовательные элементы полимерной цепочки образуют фиксированный угол , но во всех остальных отношениях сочленение свободно. Показать, что при N >> 1 < r 2 > = N 2 (1 + cos )/(1 cos ). 1.19. Доказать следующее свойство матрицы плотности: Sp 2 (Sp ) 2 . При каком условии имеет место равенство? 1.20. В однородном газе с плотностью n найти вероятность W(r) нахождения ближайшей частицы на расстоянии r от данной точки, средние < r> и < r 2 >. 31 2. ОСНОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ РАВНОВЕСНЫХ СИСТЕМ 2.1. Термодинамические контакты систем Про взаимодействующие макроскопические системы говорят, что они находятся в термодинамическом контакте. Обычно различают тепловой, материальный (или диффузионный) и механические контакты. При тепловом контакте системы могут обмениваться энергией без совершения работы; по достижении теплового равновесия макроскопические потоки энергии между системами прекращаются. При материальном (диффузионном) контакте системы могут обмениваться частицами. При механических контактах системы могут совершать работу друг над другом. В простейшем варианте механического контакта системы разгорожены подвижной стенкой, и равновесие (механическое) достигается при выравнивании давлений с обеих сторон стенки. К механическим контактам особого рода относятся взаимодействия термодинамических систем с внешними полями (внешними источниками работы). Последние представляют собой заданные функции координат (и времени в случае переменных полей), не зависящие от наличия макросистемы, и их можно рассматривать как классические механические системы с одной или несколькими степенями свободы и, соответственно, с нулевой энтропией. Во многих задачах статистической физики приходится иметь дело с комбинированными контактами: тепловой и механический контакты (например, подвижная теплопроводящая стенка между подсистемами), тепловой и материальный (пористая перегородка). В результате контакта первоначально изолированных систем общее число допустимых микросостояний объединенной системы возрастает. Пусть, например, две системы с числами частиц N 1 , N 2 и энергиями E 1 i , E 2 i , соответственно, приводятся в тепловой контакт. Тогда число допустимых состояний до контакта g(N 1 , N 2 , E 1 i , E 2 i ) = g(N 1 , E 1 i ) g(N 2 , E 2 i ) каждое состояние первой системы может быть скомбинировано с каждым состоянием второй. После контакта разрешены другие распределения ( конфигурации) полной энергии E = E 1 i + E 2 i по двум подсистемам, и число допустимых состояний представляет собой сумму по этим распределениям: g(N 1 , N 2 , E) = E1 g(N 1 , E 1 ) g(N 2 , E 2 = E E 1 ) . (2.1) 32 Вероятность той или иной конфигурации энергии ее относительный вес: p(E 1 , E 2 ) = g(N 1 , E 1 ) g(N 2 , E 2 ) /g(N 1 , N 2 , E). (2.2) В случае больших систем (велико хотя бы одно из N 1 , N 2 ) существует резкий максимум функции p(E 1 , E 2 ), определяющий наиболее вероятную, или равновесную конфигурацию (E 1 0 , E 2 0 = E E 1 0 ) (рис. 2.1) . Условие максимума имеет вид (1/ g 1 )( g 1 / E 1 ) N1 = (1/g 2 )( g 2 / E 2 ) N2 , или ( lng 1 / E 1 ) N1 = ( lng 2 / E 2 ) N2 , (2.3) где g 1 = g(N 1 , E 1 ) . Тепловое равно- весие, по существу, означает, что в системе имеет место равновесное распределение энергии между подсистемами. Рис. 2.1 Проверить то, что экстремум функции является максимумом, и оценить ширину максимума можно на примере контакта двух однотипных спиновых систем в условиях применимости гауссовой аппроксимации для статистических весов. В этом случае, используя безразмерные энергии m, имеем m 1 0 /N 1 = m 2 0 /N 2 = m(= m 1 0 + m 2 0 ) /N. Вероятность произвольной конфигурации ( m 1 = m 1 0 , m 2 = m 2 0 + ): p(m 1 , m 2 ) = p(m 1 0 , m 2 0 )exp( 2 2 / N 1 2 2 / N 2 ). (2.4) При N 1 = N 2 = 10 20 , = 10 11 (это малое отклонение энергии от равновесия, составляющее 10 9 от интервала возможных ее значений 10 20 ), p( )/p max exp(400) 10 173 . Таким образом, конфигурации энергии, даже немного отличающиеся от равновесной, практически невероятны. Включение теплового контакта (взаимодействия) с огромной точностью приводит к переходу объединенной системы в равновесную конфигурацию. Тепловая релаксация сопровождается процессом g(E 1 ) 0 1 E E 1 33 перераспределения энергии (в форме тепла) между подсистемами (так что Е 1 i E 1 0 и т.п.). 2.2. Энтропия и температура, флуктуации В условии равновесия (2.3) фигурируют две очень важные физические величины – статистические энтропия и температура : (N, E,...) = ln g(N, E,...),. 1/ = (/E) N,... (2.5) Многоточия здесь соответствуют другим независимым параметрам (например, объему), которые могут понадобиться для описания системы. При тепловом равновесии температуры подсистем одинаковы (см. (2.3)). Ниже мы убедимся в том, что и с точностью до численного множителя совпадают с соответствующими термодинамическими величинами, поэтому определение статистическая будем в дальнейшем опускать. Отметим некоторые свойства энтропии и температуры. Энтропия aддитивна энтропия системы равна сумме энтропий подсистем при произвольной конфигурации энергии, которую можно зафиксировать мгновенным выключением контакта между подсистемами. Очевидно, свойство аддитивности связано с мультипликативностью статвеса и, таким образом, определение энтропии пригодно для произвольных локально-равновесных состояний замкнутой системы. В этом случае энтропия зависит от времени. Энтропия служит мерой беспорядка, хаотичности системы. Наше знание о системе полное, если точно указано ее микросостояние; тогда ее энтропия равна нулю. Система, как говорят, полностью упорядочена. По мере приближения к равновесию замкнутая система равномерно «размазывается» по все возрастающему числу допустимых микросостояний. Энтропия замкнутой системы возрастает в процессе релаксации ( второй закон термодинамики); в рассмотренном выше примере ( 1 + 2 ) 0 ( 1 + 2 ) i , причем знак равенства имеет место, если первоначальная конфигурация уже была равновесной. Здесь мы неявно заменили статистический вес равновесного состояния системы 34 статистическим весом равновесной конфигурации, что приводит лишь к очень небольшой ошибке при вычислении энтропии. Опираясь на приведенные выше оценки резкости максимума величины g(E) для спиновой системы, находим 0 = ln g = ln E1 g 1 g 2 = ln[(g 1 g 2 ) max ] = ( 1 0 + 2 0 ) + ln . Величина 1 0 + 2 0 здесь, грубо говоря, порядка числа частиц N,тогда как ширина пика функции g 1 g 2 порядка , N так что величина ln ln N ничтожно мала на фоне 1 0 + 2 0 Возрастание энтропии является вероятностным законом, но выполняется он для больших систем с огромной точностью (очень большой достоверностью). Тепловая релаксация заключается в переходе от исходных конфигураций энергии к наиболее вероятной путем переноса энергии с возможными небольшими отклонениями (флуктуациями) от монотонного изменения (в примере предыдущего раздела E 1 i E 1 0 ). Направление потока энергии определяется начальными температурами: энтропия системы при переносе энергии от первой подсистемы ко второй возрастает, , 0 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 E E E E E (2.6) если 1/ 2 > 1/ 1 , или 1 > 2 при положительных температурах. Таким образом, энергия в процессе релаксации передается от тела с большей температурой к телу с меньшей температурой. В равновесной замкнутой системе с подавляющей вероятностью осуществляется равновесное распределение энергии между подсистемами, но возможны и флуктуации отклонения от такого распределения. Вероятность флуктуационной конфигурации (см. ур. (2.2)) может быть выражена через энтропию соответствующего неравновесного состояния: p(E 1 ) = Ce (E1) ,или p(E 1 ) = C'e (E1) . (2.7) где С и С находятся из условия нормировки, (E 1 ) = (E 1 0 ) (E 1 ) есть отклонение энтропии от своего равновесного значения. Формула (2.7) естественным образом обобщается на неравновесные конфигурации по другим параметрам или совокупностям параметров системы. Мы вернемся к ней в главе 7, посвященной флуктуациям. Свойства рассматриваемых здесь энтропии и температуры сходны со свойствами вводимых в феноменологической термодинамике 35 аналогичных величин S и T. В соответствии с (2.6) энергия в форме тепла, передаваемая системе, представляется в виде dE = d. В термодинамике то же тепло записывается в виде TdS, т.е., d /dS = T/. Это значит, что существует определенная функциональная связь = (S). Свойство аддитивности как так и S подсказывает, что связь должна быть линейной, S = k ,и, соответственно, = kT, k константа, определяемая единицами измерения T (и S). В определении (2.5) безразмерно, измеряется в энергетических единицах. Если Т измеряется в градусах Кельвина, а в эргах, то k = 1.3810 16 эрг/К постоянная Больцмана. При непрерывном или квазинепрерывном распределении уровней энергии системы число допустимых состояний в интервале (E, E + E) равно g(E) = D(E) E, где D(E) плотность состояний. Поскольку E мало, можно энтропию представлять в виде (E) = ln D(E). (2.8) 2.2.1. Энтропия и температура спиновой системы Для системы N спинов S = 1/2, используя формулу (1.12) и формулу Стирлинга, получаем 2 2 2 2 2 2 ! , ln ! ! ln ln ln N N N N N N N N m m m N N m m m m Пусть u = m/N энергия (в единицах B), отнесенная к одной частице. Тогда энтропия, приходящаяся на один спин, равна (N,u)/N = (1/2 +u)ln(1/2 + u) (1/2 u)ln(1/2 u). (2.9) При u << 1/2, /N = ln2 2u 2 , что согласуется с гауссовым приближением (1.13) для g(N,m). Температура спиновой системы , 2 / 1 2 / 1 ln ) / ( 1 u u u N N откуда u = (1/2)th(1/2).(2.10) Подставляя u( ) в (u), находим зависимость энтропии от температуры: 2 1 tanh 2 1 2 1 cosh 2 ln 1 1 ln 1 1 ln / 1 / 1 / 1 / 1 e e e e N . (2.11) 36 Функции (u), u(), () изображены на рис. 2.2. Рис. 2.2 С аномальным характером ограниченного и снизу и сверху спектра энергии спиновой системы связано существование отрицательных температур. Для получения отрицательных температур нужно иметь возможность изолировать спиновую систему от нормальной системы на время достижения теплового равновесия. Отметим, что отрицательные температуры «горячее» положительных: энергия в ходе релаксации передается от тел с отрицательной температурой к телам с положительной температурой (см. (2.6)). В формулах (2.9) (2.11) можно перейти от безразмерных к обычным энергетическим единицам, заменяя u, на u/B,/B; например, энергия u = (B/2)th(B/2) = <m>B/N. Здесь M = <m> полный магнитный момент системы.Магнитный момент, отнесенный к одному спину, равен M/N = m/N = (/2)th(B/2), (2.12) что при высоких температурах, > B приводит к обычному закону Кюри: M/N 2 B/4 . ln 2 >0 <0 u -1/2 1/2 _ N _ N ln2 u 1/2 -1/2 |