1.6. Некоторые парадоксы статистической физики
В соответствии с общим началом термодинамики процесс установления равновесия в замкнутой системе
необратим. Будь уравнение
Лиувилля истинным уравнением движения макроскопической системы, оно должно бы отразить такое положение вещей. Однако уравнение Лиувилля полностью эквивалентно обычным уравнениям движения (и переходит в них в случае «чистых» микросостояний) и потому обратимо во времени. Кроме того, финитное движение обладает периодичностью (циклы Пуанкаре), что также приводит к видимому противоречию с понятием равновесия. Эти противоречия обычно формулируются в виде парадоксов:
20
Парадокс возвращаемости (Пуанкаре, Цермело)
механическая консервативная система, совершающая финитное движение (движение в ограниченном объеме), по истечении некоторого времени проходит через состояния, сколь угодно близкие к начальному (и сколь угодно
«далекие от равновесия»). Это утверждение было доказано еще
Гиббсом (см. Гиббс, 1982, с. 457), затем более строго Пуанкаре. В соответствии с ним газ, все молекулы которого в начальный момент находились в одной половине сосуда, через определенное время вернется в такое же состояние.
Парадокс обратимости (Лошмидта)
в результате обращения времени (скоростей частиц системы) в момент
t0
t система через время
t возвращается в состояние (необязательно равновесное) с начальной пространственной конфигурацией, соответствующей моменту
t0
Возможно, что это не парадоксы, а правильные утверждения, косвенным свидетельством чему служит явление «спинового эхо», когда после обращения направления движения магнитных моментов частиц при помощи манипуляций магнитными полями система через некоторое время оказывается в состоянии с неравновесным суммарным магнитным моментом (см. Абрагам и Блини, 1972, с. 131). В любом случае нужно иметь в виду замечания Больцмана на эти парадоксы:
«долго же придется ждать» и «попробуйте их повернуть». Здесь имеется в виду, что длительность цикла Пуанкаре больших систем намного превышает возраст Вселенной и что практически невозможно точно обратить скорости молекул (и их частей) без изменения их положений.
Формальная сторона проблемы обоснования статистической физики заключается в разработке схемы получения необратимых кинетических уравнений из уравнения Лиувилля. Достигается это путем введения определенных приближений, «огрубления» описания макроскопической системы. Вывод и решение кинетических уравнений, в том числе и при
наличии переменных внешних полей, составляют предмет физической кинетики.
21
1.7. Некоторые модельные системы статистической физики Многие свойства макроскопических систем связаны только с наличием большого числа степеней свободы. Для выявления этих свойств уместно использовать максимально простые модельные системы, допускающие их детальное рассмотрение на основе уравнений механики, классической или квантовой. К таковым относятся
идеальные системы, в которых взаимодействие между частицами настолько мало, что им можно пренебречь при расчете спектра энергии. Возможные уровни энергии определяются энергетическим спектром отдельных частиц. Практическая ценность таких моделей определяется тем, что имеется много реальных систем, близких к ним по своим свойствам. В статистической физике часто используются модельные системы одинаковых невзаимодействующих частиц, движущихся в ящике с идеально отражающими стенками
(идеальные газы; мы будем рассматривать кубические ящики и периодические граничные условия); системы невзаимодействующих одинаковых магнитных частиц («спинов») во внешнем магнитном поле
(
идеальные парамагнетики); системы невзаимодействующих линейных осцилляторов с заданной частотой колебаний (
модель Эйнштейна колебаний твердых тел). Энергия системы
N невзаимодействующих частиц
H =
Hi, где
Hi содержит только переменные, относящиеся к одной,
i-й частице. Магнетизм по сути является квантовым эффектом, поэтому идеальные парамагнетики целесообразно сразу исследовать в рамках квантовой теории; мы будем рассматривать простейший случай спинов
S = 1/2.
1.7.1. Спиновая система Отметим сразу, что магнитные моменты – это характеристики частиц,
обладающих и другими, немагнитными степенями свободы.
Всегда имеется достаточно эффективная связь между магнитными моментами частиц и окружением – «спин-решеточное взаимодействие», и говорить об изолированных спиновых системах можно лишь весьма условно. Впрочем, это замечание в той или иной форме относится к любым изолированным системам (см. раздел 1.8).
22
Спектр отдельного спина определяется решением уравнения
Шредингера
H
i
= c H
i
=
i
B = S
i
B, где
i
магнитный момент частицы,
/ гиромагнитное отношение (для определенности мы считаем его отрицательным, как для электронного спина), B
постоянное внешнее магнитное поле, направление которого можно выбрать за ось
z. Спектр состоит из двух невырожденных уровней энергии ±1/2 (в единицах
), соответствующие стационарные состояния получаются ориентированием спина вдоль и против поля
(рис. 1.3).
Спектр всей системы состоит из
N + 1 эквидистантных уровней, симметрично расположенных относительно нуля
(рис. 1.4), минимальная энергия
N(B)/2 соответствует одному состоянию с ориентацией всех спинов против поля. Переворачивание любого спина увеличивает энергию на единицу, уровню
m отвечают состояния, в которых перевернуто уже (
N/2) + m спинов, и кратность вырождения этого уровня (статвес макроскопического состояния, характеризуемого параметрами
N, m) равна
g(N, m)
N!/[(N/2) m]![(N/2) + m]! (1.12)
При
m< это выражение сводится к распределению Гаусса:
g(N, m)
2
N
(2/
N)
1/2
exp(
2m
2
/
N), (1.13) в чем можно убедиться, вычисляя ln
g
или используя формулы Стирлинга (они приведены в приложениях) для факториалов больших чисел. Отметим, что использование упрощенного варианта формулы, ln
N!
N
ln
N
N, в котором отброшены слагаемые порядка ln
N, приводит к некоторому нарушению условия нормировки
g(N, m) = 2
N
Ширина распределения (1.13)
|
|
2 ,
m
N
а относительная ширина
N
1 2
m
0 1
2
N
+
-
2 1
N
2 1
N
-
-
+
1 2
,
,
Рис. 1.4
B
2 1
+
,
,
B
B
2 1
Рис. 1.3
23
|
| /
m N
с ростом
N убывает как 1/
N
Энергетический спектр спиновой системы ограничен сверху и потому аномален с классической точки зрения.
1.7.2. Система осцилляторов
Спектр осциллятора состоит из бесконечного числа эквидистантных невырожденных уровней
n
=
(n + 1/2), n = 0,1,2...; поэтому каждое его стационарное состояние (стационарные состояния отдельных частиц мы иногда будем называть орбиталями) также можно характеризовать числом
n. Спектр всей системы выглядит так же
(рис. 1.5), но к уровню
r (в единицах
) относятся все состояния
(
r
1
r
2
...r
N
) с
r
1
+ r
2
+...+ r
N
= r (в скобках указаны состояния каждого осциллятора системы). Кратность вырождения уровня
r равна числу возможных размещений
r квантов по N осцилляторам:
g(N, r) = (N + r
1)!/r!(N 1)! (1.14)
Эта формула поясняется рис. 1.6, на котором кружками изображены кванты, черточками – «перегородки» между осцилляторами, крестиками – вся совокупность объектов кванты + осцилляторы.
Рис. 1.5
В большинстве задач статистики существенно лишь относительное положение различ- ных уровней, поэтому может оказаться удобным сместить начало отсчета энергии на основной уровень, и мы обычно будем придерживаться этого правила. r
2 1
0
(r00...), (r-1,10...)...
(20...0), (110...0)...
(10...0), (010...0)...
(00...0)
.....
.....
x x x x x x x x x x x
r+N-1
r
Рис. 1.6
24
1.7.3. Частицы в ящике
В случае идеальных газов исходным является спектр частицы, свободно перемещающейся внутри заданного объема (ящика с непроницаемыми стенками). Уравнение Шредингера (без учета внутренней структуры частицы) в одномерном случае,
(
2
/2
M)d
2
/dx
2
, для каждого значения энергии имеет два независимых решения,
(x) e
ikx
, где
2
k
2
/2
M =
, М масса частицы,
p = k
импульс, k – волновое число. Использование периодических граничных условий (
(0) = (L), (0) = (L), где любая комбинация указанных двух независимых решений,
L
размер ящика) приводит к ограничению возможных волновых чисел
k и энергий счетным множеством значений
k = (2
/L)n, n = 0, 1, 2,...,
n
= (2
2
2
/
ML
2
)
n
2
,
n
= (1/ L )exp(
2inx/L).
B трехмерном случае (движение частицы в кубе с объемом
V = L
3
) возможные энергии и соответствующие стационарные состояния равны:
n
= (2
2
2
/
ML
2
)(
n
1 2
+
n
2 2
+
n
3 2
),
n
=(1/ V )exp(
ikr),
k
= (2
/L)(n
1
,
n
2
,
n
3
), (1.15) где
n
целые числа. Видно, что числа n
равны возможным значениям компоненты импульса
p
в единицах 2
/L, а n
2
допустимым значениям энергии в единицах 2
2
2
/
ML
2
. Каждое квантовое состояние
(орбиталь) изображается точкой с целочисленными координатами в n
=
0 1
4 9
x
L
p x
L
0
V(x)
(2mE)
1/2
-(2mE)
1/2 0
1 2
3
Рис. 1.7
25 импульсном пространстве, а расстояние этой точки от начала определяет энергию состояния.
На рис. 1.7 изображены потенциал
V(
x) частицы в одномерном ящике, классическая фазовая траектория частицы с энергией
Е, энергетический спектр частицы в квантовой теории. Число различных квантовых состояний с энергией меньше
Е,
g(
E), вдвое больше целого числа
n, ближайшего к
2 2 2
/ (2
/
)
nEML
. Это число (очень большое для средних энергий молекул обычного газа) просто связано с объемом ( ) 2 2
ELME
фазового пространства, ограниченного изоэнергетической «поверхностью»
Е = const, а именно g(
E) = 2
n*
(
E)/2. Подобная связь имеет место во всех случаях, допускающих точное сопоставление классического и квантового решения (см. задачи 1.4, 1.5), поэтому уже упоминавшееся выше правило соответствия
g(
E) =
(
E)/(2)
s (1.16) принимается в качестве общей аксиомы. Здесь
s, как и раньше, число степеней свободы системы.
Для замкнутых термодинамических систем (в том числе систем в постоянных внешних полях) величина
g(
E) =
g(
E)
g(
E
E) является статистическим весом равновесного состояния с энергией в пределах
(
Е
Е,
Е); для больших систем с громадной точностью
g(
E) =
g(
E), ср. оценки в разделе 2. Классическим аналогом статистического веса оказывается объем
(
Е) в фазовом пространстве.
1.7.4. Решеточные модели Большое распространение в физике макроскопических систем получили решеточные модели, в которых частицы вещества могут располагаться лишь в узлах некоторой пространственной решетки. Это ограничение является не слишком сильным,
если решетка достаточно мелкоячеистая, но во многих случаях оно позволяет существенно упростить вычисления. Достаточно упомянуть модель Изинга для магнетика с взаимодействием между ближайшими частицами в двумерной решетке, точное решение которой стало важным этапом в развитии статистической физики.
26
В задачах к этому разделу мы рассматриваем идеальный решеточный газ, а также случайные блуждания частицы по решетке как простейшую модель диффузии.
1.8. Примечания
В термодинамике и статистической физике часто приходится иметь дело с идеализациями типа полностью изолированных систем, систем невзаимодействующих частиц, бесконечно медленных процессов и т.д.
При этом приходится немедленно оговаривать наличие слабых взаимодействий частиц
(конкретная форма которых часто несущественна), без чего в принципе невозможно установление равновесия в замкнутой системе. По-видимому, невозможно обойтись и без допущения о хотя бы очень слабом нарушении условия полной изоляции системы, вызывающем перескоки на соседние фазовые траектории и некоторую неопределенность в начальных условиях.
Насколько подобная неопределенность способна привести к полному хаосу, характерному для равновесных состояний физических систем?
Исследования последних десятилетий показывают, что такое свойство систем (стохастичность) не связано непосредственно с числом степеней свободы, а скорее с динамическими характеристиками (Арнольд, 1974,
Заславский, 1984, Заславский и Сагдеев, 1988). Неустойчивым может оказаться движение систем с очень небольшим числом степеней свободы.
Возможно, что видимое противоречие между обратимым характером динамических законов и необратимостью термодинамических процессов связано с неполнотой существующей динамической теории, уравнений механики, в частности уравнений
Лиувилля. Эта точка зрения подробно разрабатывается в работах
Пригожина (Пригожин, 1985). Дальнейшее ее развитие содержится в трудах Кадомцева (см. Кадомцев, 1997).
Контрольные вопросы
1. Возможно ли самопересечение фазовой траектории консервативной механической системы?
2. Найти фазовую траекторию а) свободной материальной частицы; б) частицы, свободно падающей с высоты
h. Как изменится траектория
27
(а) при учете сопротивления движению со стороны среды? (б) при учете неупругости соударения частицы с поверхностью Земли?
3. Качественно изобразить движение первоначально круглой фазовой капли для одномерного свободного движения материальной частицы.
4. Как выглядит спектр системы пяти невзаимодействующих спинов
S = 1/2? трех осцилляторов с заданной частотой
?
5. Что такое статистический вес макроскопического состояния?
6. Привести примеры неполного термодинамического равновесия.
7. Что такое
-пространство? Г-пространство?
8. Можно ли диагонализовать матрицу плотности системы в неравновесном состоянии?
9. Какова размерность матрицы плотности системы пяти спинов
S = 1/2?
10. В чем заключается парадоксальность циклов Пуанкаре?
11. Как понимать обратимость уравнения Лиувилля? В чем заключается парадоксальность обратимости?
12. Какие системы называются эргодическими?
Задачи
1.1.
Частица массы
m = 1 движется в потенциале V(x) = x
4
x
2
Найти точки равновесия системы (
0
p x
) и исследовать вид фазовых траекторий в окрестности этих точек. Изобразить графически потенциал и фазовые траектории системы.
1.2.
То же для нелинейного осциллятора с гамильтонианом
H =
1 2
2
x
2
cos
x.
1.3.
Две одинаковые частицы совершают одномерное движение в
«ящике» длиной
L, испытывая абсолютно упругие соударения друг с другом и со стенками. Пусть в начальный момент времени частицы расположены у противоположных стенок, а скорости их v
1
и v
2
направлены навстречу друг другу. Нарисовать фазовую траекторию одной из частиц для нескольких значений отношения v
1
/v
2
(1;2;3; …).
1.4.
Для частицы с массой
m, двигающейся в кубе с ребром L, испытывая упругие соударения на стенках, найти число квантово- механических состояний с энергиями, меньшими
Е, и сравнить его с соответствующим объемом фазового пространства. Показать, что
28 последний является адиабатическим инвариантом, т.е. не меняется при медленном расширении или сжатии куба.
1.5. Найти объем фазового пространства Г(
Е), соответствующий энергиям, меньшим
Е, и число квантово-механических состояний
g(
E) с энергиями, меньшими
Е, для линейного гармонического осциллятора.
1.6. Найти объем фазового пространства, соответствующий энергиям меньше
Е, для системы из
N частиц с массой
m, двигающихся внутри куба с ребром
L, испытывая упругие соударения со стенками ящика и друг с другом.
1.7. Какова вероятность того, что при случайном измерении положения частицы, совершающей гармонические колебания по закону
x = x0
cos
t, положение частицы окажется в интервале (
x,
x + dx)?
Вычислить
x2
.
Скачать 1.13 Mb.