Физика. Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62

• Название: Конспекты лекций и задачи казань 2015 удк 536. 7(07) ббк 22. 317 А62
• Анкор: Физика
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.13 Mb.
• Имя файла: Thermodynamics_and_statistical_physics.pdf
• Тип: Конспект; #546850
• страница: 7 из 22

2.18.
Найти статсумму, энтропию, энергию и теплоемкость для одномерной модели Изинга, описываемой гамильтонианом
H=
J 
n

n

n+1
, где

n
принимает два возможных значения,
1 и 1.
2.19.
Из условия экстремума энтропии найти заселенности n
i
стационарных состояний системы из N невзаимодействующих частиц, обладающих одинаковым энергетическим спектром. Энергия частицы в
i-ом состоянии равна

i
2.20.
Пусть средние значения экстенсивных переменных x, y, z,… системы фиксированы и равны x
0
( =

x
i
p
i
), y
0
, z
0
… Найти распре- деления, отвечающие максимуму энтропии при этих условиях.
2.21.
Найти матрицу плотности свободной частицы в контакте с термостатом в координатном представлении.
2.22.
Доказать, что классическая система не может обладать магнитными свойствами (теорема Бора – Ван Левен).
2.23.
Получить формулу (2.44).
2.24.
Найти функцию Вигнера свободных бесспиновых частиц.

53
3. ТЕРМОДИНАМИКА
3.1. Обратимые (равновесные) и необратимые (неравновесные)
процессы
Термодинамическими называют такие процессы с участием макроскопических систем, при которых начальное и конечное состояния систем являются термодинамическими.
Примером
необратимых процессов служат процессы релаксации, причем необратимость следует понимать в статистическом смысле. Энтропия замкнутой системы (включающей и термостаты) в таких процессах возрастает.
Термодинамический процесс называется обратимым, если энтропия в замкнутой системе, включающей все участвующие в процессе тела, сохраняется. В каждый момент протекания обратимого процесса система находится в равновесном состоянии, и его можно совершить в обратном направлении. Энтропия подсистем при обратимом процессе может и меняться. Обратимые процессы обычно связаны с изменением внешних условий (а с ними и энергии системы), причем эти изменения должны быть настолько медленными, чтобы успевало установиться равновесное состояние системы, соответствующее моментальным значениям меняющихся параметров.
Очень медленно протекающие процессы называются
квазистатическими. Ясно, что условие «медленности» относительно
 время
t квазистатического процесса изменения некоторого внешнего параметра
   +  сопоставляется с временем релаксации системы

c
после мгновенного изменения
 на величину : t >> 
c
В отличие от вводного раздела, где обсуждалась обратимость процессов на молекулярном уровне, здесь речь идет об обратимых макроскопических процессах
 процессах «без трения».
Напомним названия некоторых часто встречающихся процессов. В термодинамике адиабатическими называются процессы в материально- и теплоизолированных системах. При обратимом адиабатическом процессе энтропия не меняется, поэтому такой процесс называют еще
изоэнтропийным. Изотермический, изобарический, изохорический процессы протекают, соответственно, при постоянной температуре, давлении, объеме.
Процесс называется инфинитезимальным, если разница начальных и конечных значений параметров системы бесконечно мала. Цикл –

54 процесс, при котором начальные и конечные состояния системы совпадают.
3.2. Давление
При квазистатическом изменении внешних параметров системы
(объема, внешнего магнитного поля и т.п.) – «адиабатическом возмущении»
 система продолжает оставаться в исходном квантовом состоянии (с теми же квантовыми числами, не происходит квантовых скачков), плавно меняя энергию в соответствии с изменением гамильтониана (см. схему на рис. 3.1).
Рассмотрим для примера газ, заключенный в теплоизолированном сосуде, закрытом поршнем, и соответствующий равновесный
(микроканонический) ансамбль. При медленном увеличении объема газа
(рис. 3.2) (которого можно добиться, сделав внешнее усилие на поршень чуть меньшим, чем сила, действующая со стороны газа) все члены ансамбля продолжают оставаться в своих квантовых состояниях, число допустимых состояний и энтропия не меняются. Над поршнем совершается работа
W
i
= F
i
x = p
i
V, где F
i
= p
i
S
 сила, действующая на поршень со стороны газа в i-м состоянии, p
i
 давление газа, S – площадь поршня. По закону сохранения энергии эта работа равна убыли энергии газа при расширении,
W
i
=

i
(V)
 
i
(V +
V) = 
i
(V).
Таким образом, получаем следующие соотношения:
p
i
=
 
i
(V)/
V = [
i
(V)

i
(V
V)]/V.
Усредняя полученное выражение по ансамблю, учитывая, что процесс происходит без изменения энтропии, и полагая
V очень малым, находим:
p =
 
i
/
V =  {E(V+V)  E(V)}/V = (E/V)
,N
. (3.1)
Рис. 3.1. Схема адиабатического Рис. 3.2. изменения спектра системы




l m
n x
L
L+
x
0

55
Здесь, как это принято в феноменологической термодинамике, использованы обозначения давления p (=
p
i
) и энергии E (= 
i
) без явного указания того, что это средние по ансамблю.
Для любого внешнего параметра
 можно ввести соответствующую «обобщенную силу»

i
=

i
/
. По аналогии с (3.1),
 = 
i
 = (E/)
,N,...
.
Это полезное соотношение можно переписать в виде:
 = (/)
,...
=
/ = Sp ( H/). (3.2)
3.3. Основное уравнение термодинамики
для квазистатических процессов
(термодинамическое тождество, соотношение Гиббса)
Пусть многокомпонентная равновесная система характеризуется внутренней энергией Е, внешними параметрами

1
,

2
,…и значениями чисел частиц N
r
для каждой компоненты. Тогда ее энтропия является функцией этих величин,
 = (E,...,
s
,...,N
r
,...), и при бесконечно малом квазистатическом изменении параметров имеем:



































s
r
r
E
r
s
N
E
s
N
dN
N
d
dE
E
d
,
,
,
Полагая d
, dN
r
,все d

S
, кроме одного, равными нулю
(изоэнтропийный процесс изменения параметра), находим:
(
E/
s
)
,N...
=

s
=
(/
s
)
E,N...
(3.3)
В частности, p/
 = (/V)
E,N
. С учетом (3.3), (2.5), (2.13) получаем термодинамическое тождество
d = dE 
s

s
d

s
 
r

r
dN
r
(3.4)
Для однокомпонентной системы с объемом в качестве единственного внешнего параметра:
dE =
d  pdV + dN. (3.5)
Энергия, передаваемая системе без изменения ее размеров и числа частиц (без совершения механической и химической работы), называется теплотой. При обратимых процессах она равна
DQ =
d, где обозначение D (неполного дифференциала) подчеркивает невозможность представления соответствующей малой величины в виде полного дифференциала. Передаваемая системе теплота является

56
функцией процесса в отличие от термодинамических величин, являющихся функциями состояния.
Закон сохранения энергии (первый закон термодинамики) имеет место в любых процессах:
dE = DQ + DW + DW
chem
, (3.6) где DW =
p
e
dV, DW
chem
=

e
dN
 соответственно, механическая и
«химическая» работа, совершенные термостатом над системой. При наличии внешних источников, не относящихся к термостату, в (3.6) может добавиться работа с их стороны. В равновесии p = p
e
,
 = 
e
, и
(3.6) переходит в (3.5). Если в системе происходит неравновесный процесс, то ее энтропия возрастает независимо от передаваемой ей теплоты, и мы имеем неравенство

e
d
  dE + p
e
dV

e
dN. (3.7)
3.4. Термодинамические системы во внешних
электрическом и магнитном полях
Обозначим через

i
(B) энергию магнетика в i-м микросостоянии во внешнем магнитном поле B. При квазистатическом изменении поля
d

i
(B) =
 M
i
dB,(3.8) где M
i
=

i
(B)/
B  полный магнитный момент системы в i-м микросостоянии (ср. раздел 1.7.1). Усредняя (3.8), получим работу внешних источников (поля) в рассматриваемом квазистатическом процессе, и термодинамическое тождество записывается в виде:
dE =
d  MdB , M = M
i
. (3.9)
Часто используется другая форма записи термодинамического тождества, в которой в качестве энергии рассматривается величина
E
 = E  MB, то есть исходная энергия E за вычетом энергии взаимодействия магнетика с внешним полем:
dE' =
d +BdM . (3.10)
Наконец, если добавить к E
 энергию магнитного поля в объеме V, занимаемом магнетиком,
E
 = E VB
2
/8
, и пренебречь магнитострикционными эффектами, то получим еще одну форму записи термодинамического тождества:
dE
 = d + VB

d(B + 4
M)/4 = d + (V/4)BdH, (3.11)

57 где M
 = M/V  намагниченность (магнитный момент единицы объема) системы, H
 магнитная индукция.
Аналогичные выражения для диэлектриков в электрическом поле E выглядят следующим образом:
dE =
d  PdE, (3.9а)
dE' =
d + EdP , (3.10a)
dE
 = d + (V/4)EdD , (3.11a) где Е
 напряженность электрического поля, D = E + (4/V)P  электрическая индукция, P – электрический дипольный момент системы.
3.5. Цикл Карно, теоремы Карно
Цикл Карно

обратимый круговой процесс, составленный из двух отрезков адиабат и двух изотерм (рис. 3.3). Изменения р, V в ходе цикла, изображенные на рис. 3.3, качественно соответствуют адиабатическим и изотермическим процессам в газах: изотермическое расширение от состояния а до состояния b, адиабатическое расширение
b - c, изотермическое сжатие c - d и адиабатическое сжатие d - a.
В ходе цикла система (рабочее тело) получает теплоту
Q
1
=

1

(=

1
 
2
) от термостата с температурой

1
, отдает теплоту
Q
2
=

2
 термостату 2, в силу закона сохранения энергии совершает работу
W =
Q
1
Q
2
над внешним миром, т.е., действует как тепловая
машина. Коэффициент полезного действия машины определяется как отношение работы к теплоте, полученной машиной в ходе цикла:
 = W/Q
1
Первая теорема Карно: кпд обратимого цикла Карно не зависит от рабочего вещества и определяется только температурами горячего и холодного резервуаров:
 = 1  
2
/

1
. (3.12)

58
Рис. 3.3. Цикл Карно на диаграммах (
,) и (p,V)
Вторая теорема Карно: кпд любых циклов (обратимых, необратимых, с участием любого числа термостатов; на рис. 3.3а один из возможных циклов изображен пунктиром) не превышает кпд обратимого цикла Карно, если последний осуществлять между термостатами с максимальной и минимальной температурами.
Доказательство основано на неравенстве Клаузиуса
d
 > DQ/
e
, или 0 >

,
/
DQ
(3.13) где знак равенства достигается для обратимых процессов. В цикле выделим участки 1 и 2, на которых DQ = DQ
1
> 0 и DQ =
 DQ
2
< 0.
Пусть

1
 максимальная температура на участке 1, 
2
 минимальная на участке 2. Тогда
1 1
,
,
1 1
0 1
2 1
2 1
2 1
2 2
2 1
1 2
2 1
1


























Q
Q
Q
Q
Q
Q
DQ
DQ
3.6. Сводка законов термодинамики
Общее начало термодинамики (нулевой закон) постулирует существование равновесных состояний. Все части равновесной замкнутой системы находятся в состоянии внутреннего равновесия и теплового равновесия между собой, что указывает на наличие единой общей характеристики подсистем (принцип температуры). Нулевой закон имеет вероятностный характер; статистическое рассмотрение термодинамической системы указывает на неизбежность флуктуаций.
Первый закон
 закон сохранения энергии. Энергия может передаваться системе в форме теплоты. Невозможно совершить работу без затраты энергии (создать вечный двигатель первого рода).
Второй закон
 энтропия замкнутой системы возрастает, а по достижении равновесного состояния остается постоянной, d
  0. Закон




1 2
2

1

a
b
d
c
p
V
a
b
c
d

2

1

1

2

59 можно сформулировать в виде принципа Клаузиуса: процесс, при котором не происходит никаких изменений, кроме передачи тепла от горячего тела к холодному, является необратимым. Второй закон в форме принципа Кельвина (Томсона) гласит: невозможно создать циклически работающую машину, которая производила бы работу за счет поглощения тепла от одного термостата, не совершая при этом никаких других изменений в системе (невозможность вечного
двигателя второго рода). В противном случае мы могли бы, затратив эту работу, при помощи обратного цикла Карно перенести некоторое количество теплоты от холодного тела к горячему, что противоречит принципу Клаузиуса. Второй закон также носит вероятностный характер
 «невозможно» означает «почти невероятно».
Третий закон термодинамики (теорема Нернста – Планка)
 энтропия системы при
  0 стремится к нулю. Действительно, при нулевой температуре система может находиться лишь на низшем уровне энергии, кратность вырождения которого для реальных систем невелика (g = 1 для системы спинов в магнитном поле, линейных осцилляторов, частиц в потенциальных ямах). Поэтому энтропия, приходящаяся на одну частицу, практически равна нулю. В рамках феноменологического рассмотрения энтропия определяется с точностью до константы, и третий закон в приведенной форме представляет собой постулат.
3.7. Теплоемкость системы
Теплоемкость определяется количеством теплоты, которую необходимо передать телу для повышения его температуры на единицу:
C
x
= (DQ/d
)
x
=
(/)
x
. (3.14)
Индекс x указывает условия, при которых протекает процесс теплопередачи, последнее равенство строго справедливо лишь для обратимых процессов. C
V
означает теплоемкость системы при постоянном объеме, C
p
 при постоянном давлении (посто- янство массы обычно просто подразумевается).
Обратимым образом сообщить телу некоторое количество тепла при постоянном объеме можно, например, так, как изображено на рис. 3.4
(часть цикла Карно).
p
V
1
V
b
a

2

1
=const
=const
Рис. 3.4

60
3.8. Термодинамические потенциалы
Помимо метода циклов, в термодинамике широко используется метод потенциалов. Термодинамическими потенциалами называют такие функции состояния, из которых простым дифференцированием по параметрам можно получить ряд физических характеристик системы. Ниже приведены наиболее употребительные потенциалы для однокомпонентных жидкостей или газов с указанием естественных параметров; изменения их при изменении соответствующих параметров, вытекающие из основного термодинамического тождества; а также простые соотношения, связывающие потенциалы.
Естественные параметры для каждого потенциала определяются как раз указанными следствиями термодинамического тождества.
Энергия
E(
,V,N)
dE =
d pdV + dN
Энтропия
(E,V,N)
d = dE + pdV dN
Энтальпия
H(
,p,N) = E + pV
dH =
d + Vdp + dN
Свободная энергия
(Гельмгольца)
F(
,V,N) = E 
dF =
d  pdV + dN
Термодинамический
потенциал Гиббса
G(
,p,N) = F + pV = N
dG =
d +Vdp + dN
Большой потенциал
(,V,) = F N =  pV d =  d  pdV  Nd
Из выражений дифференциалов потенциалов следуют соотношения (уравнения состояния) типа
 = (F/)
V,N
, p =
(F/V)
,N
,
 = (F/N)
,V
, (3.15) оправдывающие отнесение свободной энергии к потенциалам. Отметим формальное сходство энтальпии H с энергией E
 магнетика или диэлектрика.
В процессах, происходящих при постоянном давлении и без изменения массы системы (dp = dN = 0), количество теплоты, переданной системе, равно приращению энтальпии (DQ =
d = dH), вследствие чего иногда энтальпию называют тепловой функцией или теплосодержанием. Аналогично DQ = dE при постоянных V, N. Отсюда вытекают соотношения
C
V
= (
E/)
V,N
, C
p
= (
H/)
p,N
. (3.16)

61
В процессах, происходящих при постоянной температуре (и массе системы), dF =
pdV, то есть приращение свободной энергии равно работе, совершенной над системой при сжатии ее внешними силами.
Физические величины подразделяются на
экстенсивные
(аддитивные) и интенсивные. Первые возрастают пропорционально размерам системы при объединении одинаковых подсистем (членов одного ансамбля)
 таковы энергия, объем, масса системы, энтропия  тогда как вторые остаются неизменными (температура, давление, химический потенциал). Отметим, что удельные экстенсивные величины (отнесенные к единице объема, единице массы или к одной частице) являются интенсивными. Потенциал Гиббса
 величина аддитивная, G(p,
,aN) = aG(p,,N) при любом а. Дифференцируя по а при постоянных p,
, имеем G(p,,N) = [G(p,,аN)/(aN)]N = N(p,).
Формулы, связывающие разные потенциалы, и соотношения типа
(3.15) приводят к так называемым уравнениям Гиббса-Гельмгольца:
F = E
 = E (E/)
V,N
, E = F +
 =
= F
(F/)
V,N
=
 
2
(
/)(F/) и т.д.
(3.17)
Эти уравнения позволяют получить термодинамические потенциалы как функции иных параметров, чем свои естественные, например,
F(
,V,N) или E(,V,N), как в ур. (3.17).
Системы с заданным числом частиц, находящиеся в тепловом контакте с термостатом, описываются каноническим распределением.
Поэтому неудивительно, что свободная энергия таких систем просто связана со статсуммой (см. (2.32)). Для канонического ансамбля ln p
i
=

i
/
ln Z;усредняя это выражение по ансамблю и вспоминая определение (2.31) энтропии по Больцману, получаем
 = E/  ln Z, или F =  lnZ, Z = exp(F/). (3.18)
Аналогичным образом большой потенциал связан с большой статсуммой (ср. (2.33)):
 = 
lnZ', Z' = exp(
/). (3.19)
Теперь большое каноническое распределение можно переписать в виде, сходном с «обобщенным распределением» (ср. Хилл, 1960):
p(V,N,i) = exp[(
1/)(pV N + 
i
)].
Соотношения (3.18), (3.19) открывают возможность расчета потенциалов на основе микроскопических моделей. Иной путь нахождения потенциалов основан на феноменологически

62 установленных функциональных соотношениях между параметрами термодинамической системы (уравнениях состояния). Так, для идеального газа pV = N
, и на основе ур.(3.15)
F =
 pdV =  NlnV + C(N,), где С
 произвольная функция числа частиц и температуры. Если учесть, что F является аддитивной функцией, F = Ng(V/N,
), то
F = N
 ln(N/V) + Nf(). (3.20)
Уточнить вид функции f(
) можно, если воспользоваться еще одним эмпирическим соотношением, E = C
V
.
Уравнение состояния газообразной системы Ван-дер-Ваальса, более точно отображающее свойства плотных газов:
(p + N
2
a/V
2
)(V
 Nb) = N, (3.21) где a и b
 постоянные параметры. Вычисляя подобным же образом свободную энергию, получим:
F
V.V.
= F
id
 Nln[(V  Nb)/V]  N
2
a/V. (3.22)
В заключение раздела отметим, что нетрудно распространить определение различных потенциалов для других (чем р и V) наборов переменных, а также на многокомпонентные системы. Можно также по аналогии с энтропией ввести термодинамические потенциалы для неравновесных систем [Леонтович, 1983, с. 105].