k
) жидкости; в соответствии с законами
Рис. 4.3
k
N
C
V
3/2
0
Рис. 4.2
86 сохранения энергии и импульса
M
0
V
2
/2 = M
0
V′
2
/2 +
k
,
M
0
V
= M
0
V
'+
k
, или
(k
V) =
k
+
2
k
2
/2M
0
. Второе слагаемое для макроскопических тел с большой массой M
0
ничтожно мало, поэтому минимальная величина скорости V, при которой возникает тормозящее возбуждение, достигается при V
k и равна V =
k
/
k
. При спектре вида
k
=
2
k
2
/2M возможно возникновение тормозящих возбуждений при сколь угодно малой скорости V. Если же спектр фононного типа,
k
=
vk
(v
скорость распространения возбуждений), то при скоростях V < v тормозящие возбуждения не возникают, и движение тела происходит без трения. На рис. 4.3 показана схема реального спектра возбуждений в HeII. Теоретически такая схема может быть получена при учете взаимодействий между атомами гелия. Минимальная скорость, начиная с которой возникает сопротивление движению, определяется, очевидно, значением k, соответствующим минимуму на кривой дисперсии
(k).
Пунктиром на рисунке отмечена линейная связь между
и k, пунктиром с точками
спектр свободных частиц.
Отметим, что бозе-эйнштейновская конденсация при низких температурах и малых концентрациях наблюдалась недавно на металлах
23
Na (3s
1
) и
87
Rb (5s
1
). Объём конденсата в рубидии составлял доли кубического миллиметра, число атомов N 10 3
–10 7
, температура конденсации была порядка 10
−8
К. Авторы этих работ были удостоены нобелевской премии 2001 года.
4.9. Черное излучение
Электромагнитное поле в полости
(кубическом ящике) посредством разложения векторного потенциала в ряд Фурье можно представить в виде суперпозиции плоских волн:
,
)
(
],
*
[
0
t
i
i
i
e
t
e
t
e
t
t
k
k
k
r
k
k
r
k
k
k
A
a
)
(
a
)
(
a
)
A(r,
(4.33) причем
k
= ck, (
a
k
k) = 0 (условие поперечности волн). При выводе этих соотношений используются волновое уравнение, калибровка
= 0, условие Лоренца div
A
= 0. Накладывая периодические граничные условия, вновь получаем возможные значения волнового вектора
87
k = (2
/
L)(
nx,
ny,
nz),
ni целые числа. Энергия поля в полости
(
E = (
1/
c)
A/
t,
B = rot
A):
H =
*
2
)
(
8 1
2 2
2 2
kkkkaaBEcVdVПереходя к вещественным переменным, характеризующим поле:
*)
(
4
/
*),
(
4
/
s s
2
s s
s s
2
s
kkkkkkkkaacViQPaacVQ
(
s индекс поляризации, различает две независимые амплитуды волны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения
k), имеем
H).
(
s
2
s
2 2
s
2 1
kkkkQP (4.34)
Детали вычислений,
приводящих к этому гамильтониану поля, см., например, в книге Ландау и Лифшиц, Теория поля, 1960. Таким образом, с каждой волной
ks соотносится осциллятор с частотой
k, причем
Qks,
Pks оказываются каноническими координатами и импульсами для поля. Число осцилляторов поля бесконечно, в силу чего в классической теории полная энергия и теплоемкость поля бесконечны.
Квантование поля осуществляется переходом к операторам поля, причем операторы координат и импульсов подчиняются каноническим перестановочным соотношениям
]
ˆ
,
ˆ
[
s s
ssiQP
kkkk
Возможные энергии поля складываются из энергий независимых осцилляторов:
E(...
nks...) =
s s
kkkn
(считая энергию основного состояния равной нулю), а соответствующие стационарные состояния определяются набором квантовых чисел возбуждения
nks осцилляторов
(...
nks...)
...
nks…
. Квант возбуждения осциллятора удобно считать квазичастицей поля
фотоном с энергий
k и импульсом
k Тогда энергия и импульс поля складываются из энергий и импульсов всех фотонов, а их средние значения определяются средним числом фотонов. Переходы между соседними стационарными состояниями осцилляторов можно рассматривать как порождение или уничтожение фотонов; операторы рождения (
bks+) и уничтожения (
bks) фотонов естественно выражаются через координаты и импульсы осцилляторов:
).
(
2
/
ˆ
),
(
2
/
ˆ
s s
s s
s s
kkkkkkkkbbiPbbQ
88
При таком определении
1
,
1 1
s s
s s
s s
s s
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
b
n
n
n
b
Средняя энергия осциллятора при температуре окружения
(ср. (2.30)):
]
1
)
/
[exp(
,
1
s s
s
k
k
k
k
k
n
n
(4.35)
Как видно, среднее число фотонов дается распределением Бозе –
Эйнштейна, причем химический потенциал
= 0. Последнее обстоятельство можно связать с тем, что общее число фотонов N не фиксировано и подлежит определению из условия минимума свободной энергии: (
F/N)
,V
(= ) = 0.
Переход от суммирования по
k к интегрированию осуществляется так же, как переход от суммы по импульсам к интегралу для систем частиц:
s
3
)
,
(
)
2
(
)
,
(
k
k
k
k
s
d
s
f
V
s
f
Для функций, зависящих только от частоты,
s
2 3
2
,
)
(
)
(
k
d
f
c
V
f
k
то есть плотность распределения осцилляторов по частотам
D
(
) = V
2
/
2
c
3
. Поэтому энергия излучения, приходящаяся на интервал частот (
, + d) (формула Планка, рис. 4.4):
3 2 3
( )
exp(
/ ) 1
V
d
dE
c
(4.36)
d
dE
1
2
>
1
m1
m2
Рис. 4.4
89
Распределение энергии по длинам волн выглядит следующим образом:
2 5
8
( )
exp(2
) 1
V c
d
dE
c
В предельных случаях низких и высоких частот получаются формулы
Рэлея – Джинса:
dE =
(V
2
/
2
c
3
)d
(
<< ) и Вина
dE =
(V
/
2
c
3
)
3
exp(
/)d (
>> ).
Максимум спектральной плотности энергии излучения dE/d
достигается на частоте
m
= 2,822
, линейно возрастающей с температурой. (При исследовании распределения энергии излучения по длинам волн максимум приходится на
2 4.965 .
m
c
) Эта формула позволяет оценить поверхностную температуру звезд на основе спектра их излучения:
T
(K) =
m
/2,822k
B
Полная энергия излучения в полости:
E =
,
4
)
(
15 4
3 4
2
VT
c
c
V
SB
где постоянная Стефана-Больцмана
SB
=
2
k
B4
/60
3
c
2
= 5,67.10
5
г.с
3
.K
4
Теплоемкость C
V
=
4E/
, энтропия = C
V
/3, свободная энергия
F =
E/3. Давление излучения p = E/3V = (4
SB
/3c)T
4
.
Оценки при
Т
= 300 К дают E
rad
5.10
5
(эрг/см
3
) против E
7.10 5
для атомарного идеального газа с N/V = 10 19
; p
rad
2,5.10
15
T
4
против p
gas
1,4.10 3
T
, что объясняет возможность пренебрежения излучением при обычных условиях.
Исследуем энергию излучения из полости через небольшое отверстие. Энергия, перенесенная за 1 сек через единицу поверхности полости в направлении
nd
(рис. 4.5), определяется фотонами с kn, находящимися в цилиндре длиной c с осью, параллельной
n (объем цилиндра ccos
)
dI
(
)=(E/V)(c/4)cosd
(в силу изотропности излучения в полости на направление d
приxодится доля d
/4 полной энергии излучения).
90
Полная интенсивность излучения на единицу поверх-ности I =
SB
T
4
(закон
Стефана – Больцмана).
Излучение вне полости уже не равновесно, однако спектральный состав его тот же, что и в полости.
4.10. Термодинамика кристаллической решетки. Теория Дебая
Твердое тело можно представить как совокупность N атомов, занимающих определенное (в среднем) положение в пространстве вследствие сильной связи с остальными атомами и совершающих малые колебания относительно этих равновесных положений. Из механики известно, что такую систему в гармоническом приближении
(при учете лишь членов второго порядка в разложении энергии системы в ряд по смещениям атомов из равновесных положений) можно представить как набор 3N
6 (
3N) независимых осцилляторов.
Кванты соответствующих упругих колебаний
фононы образуют систему невзаимодействующих бозонов.
При таком подходе учитывается лишь движение атомов как целых
решеточная часть всей системы. Электронные или спиновые степени свободы при необходимости учитываются отдельно. Статсумма решетки в гармоническом приближении:
Z =
l
l
1
)]
/
exp(
1
[
(произведение по всем осцилляторам решетки); свободная энергия
F = F
0
+
l
l
)],
/
exp(
1
ln[
(4.37) энергия E = E
0
+
l
l
l
,
1
)
/
exp(
где F
0
= E
0
= N
0
потенциальная энергия системы атомов в равновесном положении,
0
энергия связи, отнесенная к одному атому. К F
0
относится и энергия нулевых колебаний.
Рис. 4.5
91
Представление о характере решеточ- ных колебаний можно составить, рассмат- ривая либо колебания кристалла, облада- ющего идеальной периодической структу- рой, либо колебания сплошной однородной упругой среды. В изотропной упругой среде объемом
L3
распространяются продольные и поперечные звуковые волны с волновыми векторами
k = (2
/L)(
nx,
ny,
nz) и частотами, соответственно,
l=v
lk,
t=v
tk,(4.38) где v
l, v
t скорости продольного и поперечного звука, определяемые упругими константами и плотностью среды; для каждого
k имеются две независимые поперечные волны. С каждой волной можно связать осциллятор, как и в случае электромагнитного излучения, но, поскольку теперь общее число осцилляторов ограничено, величины
k должны быть ограничены сверху (
k0
/
a,
a размеры кристаллической ячейки). Более реалистичная атомная модель кристалла приводит и к значительно более сложной картине колебаний. В кристаллах со сложной структурой элементарной ячейки (в ячейке содержится более чем один атом) помимо акустических ветвей колебаний, приближенно напоминающих звуковые волны сплошной среды, имеются оптические колебания с
opt
(
k=0)
0. Схема кривых дисперсии волн в кристалле приведена на рис. 4.6.
Модель Дебая колебаний твердого тела допускает, что все колебания сводятся к акустическим с законом дисперсии (4.38); имеется предельная частота колебаний
D
(дебаевская частота), определяемая из условия, что общее число осцилляторов равно 3
N.
Плотность распределения акустических колебаний с данной поляризацией
s (=
l,
t) по частотам
определяется как и в случае световых волн,
Ds(
) =
V
2
/2
2
v
s3
. Поэтому общее число колебаний в интервале от 0 до
D
:
3
N =
sDDtlsDvVvvVdD0 3
2 3
3 3
1 3
3 2
2 2
1 2
)
(
Отсюда
D
vl vt k k0
Рис. 4.6
92 3
/
1 2
)
/
6
(
V
N
v
D
, (4.39) а температура Дебая
=
D
(/k
B
). Энергия твердого тела:
1 2
3 0
/
3 3
2 0
D
e
d
v
V
E
E
(4.40)
Свободная энергия в дебаевской модели получается из (4.37) интегрированием по частям:
F = F
0
+
/
0 3
/
3 3
}.
1
)
1
ln(
{
3
x
e
dx
x
e
N
(4.41)
При низких температурах,
<< , энергия, свободная энергия, энтропия и теплоемкость равны:
E
= N
0 3
4 5
3
N
, F = F
0
3 4
5
N
,
=
3 4
5 4
N
,
C =
3 4
5 12
N
(4.42)
(для твердых тел C
p
C
V
, см. задачу 4.40). При высоких температурах,
>> ,
E = N
0
+ 3N
, F = F
0
3Nln(e
1/3
/), = 3Nln(e
4/3
/), C = 3N (4.43)
(закон Дюлонга и Пти).
Свободная энергия (4.41) при любой температуре имеет вид
F = F
0
+
f(/), так что теплоемкость C =
2
F
/
2
= (/)f'' (штрихи означают производные по
/). Таким образом, теплоемкости дебаевских тел, находящихся в «соответственных состояниях» (при одинаковых приведенных температурах
/), совпадают (закон соответственных состояний).
Уравнение состояния Дебая:
p
=
F
0
/
V
(
/V)[f(/) f
'
(
/)(/)] = E
0
/
V + E
D
/V,(4.44) где E
D
=
f f
'
дебаевская часть энергии решетки, = (V/)(/V) =
=
dln/dlnV постоянная Грюнайзена (можно пренебречь ее зависимостью от температуры).
Формула Грюнайзена связи коэффициента линейного расширения изотропных тел с теплоемкостью:
=
3 3
1 1
3 1
V
C
p
p
V
V
l
l
V
V
V
p
93
Модель Дебая довольно грубая, но она хорошо описывает термодинамические свойства твердого тела при очень низких температурах, когда основной вклад в эти свойства вносят низкочастотные акустические колебания, а другие колебания
«заморожены». При высоких же температурах все осцилляторы вносят одинаковый классический вклад в энергию и теплоемкость, и детали моделей не играют роли. В качестве усовершенствования модели оптические колебания сложных
кристаллов иногда рассматривают отдельно, полагая, что все колебания одной моды обладают одинаковой частотой (комбинированная модель Дебая и Эйнштейна).
Скачать 1.13 Mb.