матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
§ 4. Ряды Фурье. Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд вида 0 0 1 1 1 cos sin cos sin cos sin 2 2 n n n n n a a a x b x a nx b nx a nx b n ∞ = + + + + + + = + + ∑ x , (19) где действительные числа ( ) 0 , , 1, 2,... n n a a b n = называются коэффициентами ряда. Тригонометрическая система функций 1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,...,cos , x x x x nx sin ,... nx является ортогональной на отрезке [ ] ; −π π , т.е. интеграл по этому отрезку от произве- дения любых двух различных функций этой системы равен нулю. Если функция ( ) f x интегрируема на отрезке [ ] ; −π π , то существуют числа 0 1 ( ) , a f x π −π = π ∫ dx (20) 1 ( ) cos , 1, 2... n a f x nxdx n π −π = π ∫ = (21) 1 ( )sin , 1, 2,... n b f x nxdx n π −π = π ∫ = (22) называемые коэффициентами Фурье функции ( ) f x ; тригонометрический ряд (19), ко- эффициенты которого определяются по формулам (20)-(22), называется рядом Фурье функции ( ) f x . Для интегрируемой на отрезке [ ] ; −π π функции ( ) f x записывают 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a f x a nx b ∞ = + + ∑ ∼ nx и говорят: функции ( ) f x соответствует (поставлен в соответствие) её ряд Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим ( ) . S x Определение. Функция ( ) f x называется кусочно монотонной на отрезке [ ] , a b , если этот отрезок можно разбить конечным числом точек 1 2 1 , ,..., n x x x − на интер- валы так, что на каждом из интервалов функция монотонна. ( ) ( ) ( 1 1 2 1 , , , ,..., , n a x x x x b − ) Заметим, что если функция ( ) f x кусочно монотонная и ограниченная на отрез- ке [ ] , a b , то она может иметь точки разрыва только первого рода. Теорема (Достаточное условие разложимости функции в ряд Фурье). Если 2 π - пе- риодическая функция ( ) f x кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [ ] ; −π π , то её ряд Фурье сходится во всех точках. Сумма этого ряда равна значению функции ( ) f x в точках непрерывности функции и значению ( ) ( ) 0 0 2 f x f x − + + в точках разрыва. Если функция ( ) f x четная, то её ряд Фурье имеет вид 0 1 ( ) cos 2 n n a f x a ∞ = = + ∑ nx , (23) где 0 0 0 2 2 ( ) , ( ) cos , n a f x dx a f x nxdx n π π = = π π ∫ ∫ ∈ . (24) 79 Если функция ( ) f x нечетная, то её ряд Фурье имеет вид 1 ( ) sin , n n f x b n ∞ = = ∑ x (25) где 0 2 ( )sin , n b f x nxdx n π = π ∫ ∈ . (26) Пример 1. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) sgn , f x x = x −π < < π , и, поль- зуясь расположением, найти сумму ряда Лейбница 0 ( 1) 2 1 n n n ∞ = − + ∑ 3Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная, значит, она разложима в ряд Фурье. Вычислим коэффициенты Фурье функции ( ) f x . Так как функция нечетная, то , 0, 0,1,... n a n = = 0 0 4 при 2 1 2 2 cos 2 (2 1) sgn sin (1 cos ) 0 при 2 , n n m nx m b x nxdx n n n n m m π π ⎧ ⎛ ⎞ = − ⎪π − = = − = − π = ⎜ ⎟ ⎨ ⎜ ⎟ π π π ⎪ ⎝ ⎠ = ∈ ⎩ ∫ Следовательно, при x −π < < π 1 4 sin(2 1) sgn 2 1 m m x m ∞ = − = π − ∑ x , откуда при 2 x π = получаем 1 1 4 ( 1) 1 2 1 m m m + ∞ = − = π − ∑ , т.е. 0 ( 1) 2 1 m m m ∞ = − π = + ∑ 4 4 Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию 2 y x = в промежутке [ ] ; −π π 3Эта функция – кусочно монотонная и ограниченная, следовательно, может быть разложена в ряд Фурье. Так как она четная, то её коэффициенты Фурье 0 n b = , а находится по формулам (24). Имеем n a 2 2 0 0 2 2 3 dx a x π π = = π ∫ , 2 2 2 0 0 0 2 2 sin 2 cos sin ( 1) n 4 x nx x nxdx x nxdx n n π π π ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = = − = − ⎜ ⎟ π π π ⎝ ⎠ ∫ ∫ n a . Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид 2 2 2 2 cos cos 2 cos3 4 3 1 2 3 x x x x π ⎛ ⎞ = − − + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Это равенство справедливо для любого [ ] ; x ∈ −π π , так как в точках x = ±π сум- ма ряда в данном случае совпадает со значениями функции 2 ( ) f x x = , поскольку 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 f f f f −π + π π + π = = π = π = −π .4 80 Ряд Фурье для функции с периодом 2 l Если f(x) – интегрируемая на отрезке [ ] ; l l − функция, то ряд Фурье функции f(x) имеет вид 0 1 ( ) cos sin 2 n n n a nx nx f x a b l l ∞ = π π = + + ∑ , (27) где 0 1 ( ) , l l a f x d l − = ∫ x (28) 1 ( ) cos , 1, 2,... l n l nx a f x dx n l l − π = ∫ = , (29) 1 ( )sin , 1, 2,... l n l nx b f x dx n l l − π = ∫ = , (30) 9.287. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена 1 cos sin cos 4 2 x x + − − x совпадает с этим многочленом. 9.288. Доказать, что ряд Фурье тригонометрического многочлена 0 1 cos sin 2 n k k k a a kx b k = + + ∑ x совпадает с этим многочленом. 9.289. Найти коэффициент Фурье функции 2 a ( ) 2 sin 2 f x x = − 2 7sin x − 9.290. Найти коэффициент Фурье функции 0 a ( ) 2 sin f x x = + 2 2cos 3x + 9.291. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) 2 sin cos f x x = x . 9.292. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) 1 cos cos 2 f x x x = + 9.293. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции 6 b 2 π ( ) x f x = π , [ ] ; x ∈ −π π 9.294. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом функции 4 a 2 π ( ) f x x = , [ ] ; x ∈ −π π 9.295. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 3 функции 2 a ( ) 1, 0 1, 1,1 3. x f x x − < < ⎧ = ⎨ < < ⎩ 9.296. Вычислить коэффициент Фурье периодической с периодом 2 функции 3 b ( ) 3 , 0 1, 2 ,1 2. x f x x < < ⎧ = ⎨ < < ⎩ 81 9.297. Доказать, что если f(x) имеет период , то l 2 0 2 ( ) ( ) ( ) l a l l l a f x dx f x dx f x dx + − = = ∫ ∫ ∫ при любом a ∈ . 9.298. Записать выражение коэффициентов Фурье (28) - (30) для чет- ной и нечетной функций на [ ] ; l l − Разложить 2 π - периодичную функцию в ряд Фурье и найти значе- ние суммы полученного ряда в заданной точке 0 ( ) S x 0 x . 9.299. 0 1 при 0 ( ) , 0 при 0 x f x x x < < π ⎧ = = π ⎨ −π < < ⎩ 9.300. 0 ( ) при 0 2 , 2 2 x f x x x π − π = < < π = . 9.301. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) , 0 , x x f x x x , 0 + π < ⎧ = ⎨ π − ≥ ⎩ в проме- жутке [ и построить график суммы ряда Фурье этой функции. ] , −π π 9.302. Разложить в ряд Фурье функцию ( ) f x x = в интервале и построить график суммы ряда Фурье этой функции. ( ) , −π π Разложить в ряд Фурье следующие функции периода : 2l 9.303. ( ) cos , , f x x x l = −π < < π = π. 9.304. ( ) sin , , f x x x l = −π ≤ ≤ π = π. 9.305. ( ) sin , , f x ax x l = −π < < π = π. 9.306. ( ) cos , , f x ax x l = −π < < π = π . 9.307. 1 ( ) 2 , 0 1, 2 f x x x l = < < = . 9.308. ( ) 10 , 5 15, 5 f x x x l = − < < = . 9.309. Разложить в ряд Фурье в интервале ( ) ; −π π функцию при 0, ( ) 0 при 0 x x f x x − −π < ⎧ = ⎨ < ≤ π ⎩ ≤ 9.310. Разложить в ряд Фурье в интервале ( ) ; −π π функцию 1 при 0, ( ) 2 при 0 x f x x −π < ≤ ⎧ = ⎨ − < ⎩ ≤ π 82 9.311. Доказать равенство ( ) 2 2 1 3 1 7 12 n n n ∞ = − − π = ∑ используя разложение в ряд Фурье функции , ( ) 2 , 0 , 0 x x , x x x − − π ≤ ≤ ⎧ ⎪ = ⎨ f < ≤ π ⎪ π ⎩ 9.312. Доказать равенство 2 2 1 1 (2 1) 8 n n ∞ = π = − ∑ , используя разложение в ряд Фурье функции ( ) f x x = , x −π ≤ ≤ π 9.313. Используя ряд Фурье, полученный в задаче 9.304, найти сумму ряда 2 1 1 4 1 n n ∞ = − ∑ 9.314. Используя разложение функции ( ) 1, 0, 1, 0 x f x x − − π ≤ ≤ ⎧ = ⎨ < ≤ π ⎩ в ряд Фурье, найти сумму ряда ( ) 1 1 1 2 1 n n n − ∞ = − − ∑ 83 Глава 10 ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Преобразование Лапласа 1. Определение и свойства преобразования Лапласа. Оригиналом называется всякая функция ( ) f t , , удовлетворяющая следующим условиям: t ∈ R 1) при , причем ( ) 0 f t = 0 t < (0) ( 0) f f = + ; 2) существуют такие числа M и σ, что | ( ) | t f t Me σ ≤ при ; 0 t > 3) на любом отрезке функция [0, ] T ( ) f t может иметь лишь конечное число то- чек разрыва, причем только 1-го рода. Отображение, ставящее в соответствие всякому оригиналу ( ) f t функцию комплексной переменной p, определяемую равенством ( ) F p 0 ( ) ( ) pt F p e f t dt +∞ − = ∫ , называется преобразованием Лапласа. Функция называется изображением (или также преобразованием Лапласа) функции ( ) F p ( ) f t . Соответствие между оригиналом ( ) f t и его изображением ( ) символически записывается в виде F p ( ) ( ) f t F p (существуют и другие обозначения этого соответствия). Пример 1. Найти изображение функции 0, 0 и 3, ( ) 2, 0 3. t t f t t < > ⎧ = ⎨ ≤ < ⎩ 3Согласно определению 3 3 3 0 0 0 3 2 2 ( ) ( ) 2 0 (1 ) pt pt pt pt p F p e f t dt e dt e dt e e p p +∞ +∞ − − − − = = + ⋅ = − = − ∫ ∫ ∫ − 4 Найти изображения для следующих оригиналов: 10.1. 10.2. 1, 0 2, ( ) 1, 2 3, 0, 3. t f t t t ≤ < ⎧ ⎪ = − ≤ < ⎨ ⎪ ≥ ⎩ 0, 2, ( ) 1, 2. t f t t < ⎧ = ⎨ − ≥ ⎩ 10.3. 10.4. 2 0, 1, ( ) , 1. t t f t e t < ⎧ = ⎨ ≥ ⎩ 0, 1 и 2, ( ) 1, 1 2. t t f t t < ≥ ⎧ = ⎨ ≤ < ⎩ Некоторые свойства преобразования Лапласа (в формулировках свойств пред- полагается, что ( ) ( ) f t F p , ): ( ) ( ) g t G p 1) Линейность. а) Сумме оригиналов соответствует сумма изображений, т.е. ( ) ( ) ( ) ( ) f t g t F p G p + + ≶ ; 84 б) умножению оригинала на число соответствует умножение изображения на это число, т.е. для любого числа C ( ) ( ) Cf t CF p . 2) Теорема смещения. Умножению оригинала на t e α соответствует смещение аргумента изображения на α, т.е. ( ) ( ) t e f t F p α − α . 3) Теорема о дифференцировании оригинала. Если ( ) f t ′ , ( ) f t ′′ , , … ( ) ( ) n f t являются оригиналами, то ( ) ( ) (0) f t pF p f ′ − , 2 ( ) ( ) (0) (0) f t p F p pf f ′′ ′ − − , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . , ( ) 1 2 ( 1) ( ) ( ) (0) (0) (0) n n n n n f t p F p p f p f f − − − ′ − − − − … ; в частности, если , то ( 1) (0) (0) (0) 0 n f f f − ′ = = = = … ( ) ( ) ( ) n n f t p F p , т.е. n-кратному дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на n p . 4) Теорема о дифференцировании изображения. ( ) ( ) tf t F p ′ − , 2 ( ) ( ) t f t F p ′′ , . . . . . . . . . . . . . , ( ) ( ) ( 1) ( ) n n t f t F p − n , т.е. умножению оригинала на соответствует n-кратное дифференцирование изобра- жения и умножение его на ( n t 1) n − 5) Изображение свертки. Свертке оригиналов 0 ( ) ( ) t f g f g t d ∗ = τ − τ ∫ τ соответствует произведение изображений, т.е. ( ) ( ) f g F p G p ∗ Таблица изображений некоторых основных функций (формулы для ( ) f t действуют при ; 0 t ≥ ( ) 0 f t = при ) 0 t < № ( ) f t ( ) F p № ( ) f t ( ) F p 1 1 1 p 5 cos t β 2 2 p p + β 2 t e α 1 p − α 6 sin t β 2 2 p β + β 3 n t 1 ! n n p + 7 cos t e t α β 2 2 ( ) p p − α − α + β 4 n t t e α 1 ! ( ) n n p + − α 8 sin t e t α β 2 2 ( ) p β − α + β 85 С помощью свойств преобразования Лапласа и приведенной таблицы можно найти изображения большинства функций, встречающихся на практике. Пример 2. Найти изображение функции 2 cos 3t 3По формуле понижения степени имеем 2 1 1 cos 3 cos 6 2 2 t t = + Используя свойство линейности и формулу 5 таблицы, находим: 2 2 2 2 1 1 1 18 cos 3 2 2 36 ( 36) p p t p p p p + ⋅ + ⋅ = + + 4 Пример 3. Найти изображение функции sin t t 3Используя теорему о дифференцировании изображения и формулу 6 таблицы, имеем 2 2 1 2 sin ( ) 1 ( 1) 2 p t t p p ′ − = + + 4 10.5. Найти изображение оригинала , если 2 ( ) t e f t − 1 ( ) ln f t p 10.6. Найти изображение оригинала 2 ( ) 4 ( ) f t g t − , если 2 ( ) 4 p f t p − , 2 1 ( ) 4 g t p − 10.7. Найти изображение оригинала ( ) tf , если t 3 1 ( ) 2 f t p + 10.8. Найти изображение оригинала ( ) f t ′′ , если 2 2 ( ) 3 f t p − , (0) 0 f = , (0) 2 f ′ = Предполагая, что ( ) ( ) x t X p , найти изображения следующих диф- ференциальных выражений при заданных начальных условиях: 10.9. 5 7 x x x ′′ ′ + − ; (0) 2 x = , (0) 1 x′ = − . 10.10. (4) 4 2 3 x x x ′′′ ′′ ′ + + − x ; (0) (0) (0) (0) 0 x x x x ′ ′′ ′′′ = = = = . Найти изображения следующих функций: 10.11. 2 3 2 t − . 10.12. 2 2 t t e + 10.13. 2 3 t t e e − − − + t 10.14. 2sin cos 2 t t − 10.15. 10.16. 3 2 t t e 2 t t e − 10.17. 10.18. 10.19. 2 cos t e t − 2 t 2 sin t t sin cos t t t − 10.20. e t . 10.21. te 10.22. sin 3 sin 2t cos 2 t t 86 2. Восстановление оригинала по изображению. Если изображение является правильной рациональной дробью, то для восстановления оригинала необходимо раз- ложить ее в сумму простейших дробей. При этом возможны два варианта: 1. Разложить знаменатель данной дроби на линейные множители (вообще гово- ря, с комплексными коэффициентами) – в этом случае разложение на простейшие дро- би будет содержать лишь простейшие 1-го ( A p − α ) и 2-го ( ( ) k A p − α , ) типов , – а затем воспользоваться свойством линейности преобразования Лапласа, формулами 1–4 таблицы изображений и, для получения действительного оригинала в случае комплекс- ного α в формулах 2 и 4, – формулой Эйлера 1 k > cos sin i e i ϕ = ϕ + ϕ . Этот способ – наиболее общий. 2. Если знаменатель данной дроби разлагается на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами, причем все квадратичные множители различны (т.е. все комплексные корни знаменателя – простые), то разложение на про- стейшие дроби с действительными коэффициентами будет содержать простейшие 1–3 типов. Далее каждую простейшую 3-го типа ( 2 ( ) Ap B p 2 + − α + β ) необходимо представить в виде линейной комбинации изображений из формул 7–8 (или 5–6 при ) и восполь- зоваться свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей изображений. 0 α = Пример 4. Найти оригинал для функции 2 2 4 ( ) ( 1)( 4 p p F p p p − = ) + + 3Разложим дробь в сумму простейших (в множестве действительных чисел), используя метод неопределенных коэффициентов, 2 2 2 4 1 ( 1)( 4) 1 p p p p p p p 3 4 4 − − = + + + + + , и далее простейшую 3-го типа – в линейную комбинацию изображений и s cos t β in t β : 2 2 2 2 4 1 3 4 1 3 2 ( 1)( 4) 1 4 1 4 p p p p p p p p p p p − − = + = + − + + + + + + + 2 2 4 Используя теперь свойство линейности и формулы 2, 5 и 6 таблицы, получаем 2 2 4 3cos 2 2sin 2 ( 1)( 4) t p p e t p p − − + − + + ≒ t 4 Найти оригиналы для следующих функций: 10.23. 3 4 5 1 p p − 10.24. 1 2 6 p + 10.25. 3 6 ( 2) p + 10.26. 2 1 ( 1) p − 10.27. 2 4 5 p p p + + 10.28. 2 2 3 4 p p − + 10.29. 3 2 1 2 p p + + p 10.30. 2 7 2 3 p p p − − − 10.31. 2 2 ( 4)( p p p − +1) 10.32. 2 2 1 ( 1) + p p 87 § 2. Применение операционного исчисления к решению линейных дифференциальных уравнений и систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами Для нахождения решения ( ) x t линейного дифференциального уравнения с по- стоянными коэффициентами ( ) ( 1) 1 ( ) n n n x a x a x f t − + + + = … (1) (где ( ) f t – оригинал), удовлетворяющего начальным условиям ( 1) ( 1) 0 0 (0) , (0) , , (0) n n 0 x x x x x x − − ′ ′ = = = … , необходимо (предполагая ( ) ( ), ( ), , ( ) n x t x t x t ′ … оригиналами) применить к обеим частям этого уравнения преобразование Лапласа, воспользовавшись при этом свойством ли- нейности и теоремой о дифференцировании оригинала. В результате получится опера- торное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ), L p X p Q p F p + = (2) где ( ) X p – изображение искомого решения, – изображение функции ( ) ( ) F p f t Q p , – характеристический многочлен уравнения (1), а ( ) – некоторый многочлен степени не выше 1 1 n n n L p a p a − + + … ( ) p = + ( 1 n ) − , коэффициенты которого зависят от на- чальных значений и коэффициентов уравнения (1). Решив линейное ал- гебраическое уравнение (2) относительно ( 1) 0 , n x − 0 0 , , x x′ … X : ( ) ( ) ( ) F p Q p X L p − = и найдя оригинал для X , получим искомое решение ( ) x t . Если считать про- извольными постоянными, то найденное решение будет общим решением уравнения (1). ( 1) 0 0 0 , , , n x x x − ′ … Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен- тами решаются аналогично. При этом вместо одного операторного уравнения получа- ется система таких уравнений, которые будут линейными относительно изображений искомых функций. Пример 1. Найти частное решение уравнения 2 4 4 3 t x x x te − ′′ ′ + + = , удовлетво- ряющее начальным условиям (0) (0) 0 x x′ = = . 3Пусть ( ) ( ) x t X p , тогда по теореме о дифференцировании оригинала с уче- том нулевых начальных условий ( ) x t p ′ X 2 ( ) , x t p ′′ X . Используя формулу 4 таблицы изображений, находим 2 2 3 3 ( 2) t te p − + , и, следовательно, переходя к изображениям в данном уравнении, получаем оператор- ное уравнение 2 2 3 ( 4 4) ( 2) p p X p + + = + , 88 откуда 4 3 ( 2) X p = + . Восстанавливая оригинал с помощью формулы 4, получим 3 2 4 4 3 3 3! 1 ( 2) 3! ( 2) 2 t t e p p − = ⋅ + + ≒ . Итак, искомое решение 3 2 1 2 t x t e − = 4 Пример 2. Найти решение ( ) x t уравнения 2 5 x x x 0 ′′ ′ − + = , удовлетворяющее начальным условиям , (0) 1 x = (0) x′ 3 = − . 3Пусть ( ) x t X , тогда ( ) (0) 1 x t pX x pX ′ − = − , 2 ( ) ( 1) (0) 3 x t p pX x p X p ′′ ′ − − = − + . Следовательно, операторное уравнение имеет вид 2 3 2( 1) 5 0 p X p pX X − + − − + = , или 2 ( 2 5) p p X p 5 − + = − , откуда 2 5 2 5 p X p p − = − + Для нахождения оригинала запишем эту простейшую 3-го типа в виде линейной комбинации изображений из формул 7–8 таблицы изображений: 2 2 2 5 1 4 1 2 2 2 5 ( 1) 4 ( 1) 4 ( 1) p p p p p p p p − − − − = = − 2 4 − + − + − + − + Отсюда cos 2 2 sin 2 (cos 2 2sin 2 ) t t t x e t e t e t = − = − t . 4 Пример 3. Найти решение системы 0, 2sin , x y x y t ′′ ′ − = ⎧ ⎨ ′′ − = ⎩ удовлетворяющее начальным условиям (0) 1 x = − , (0) (0) (0) 1 x y y ′ ′ = = = . 3 Пусть ( ) x t X , ( ) y t Y , тогда 2 ( ) 1 x t p X p ′′ + − , ( ) 1 y t pY ′ − , 2 ( ) 1 y t p Y p ′′ − − , и получаем операторную систему 2 2 2 1 ( 1) 0, 2 ( 1) 1 p X p pY X p Y p p ⎧ , + − − − = ⎪ ⎨ − − − = ⎪ + ⎩ или 2 3 2 2 1, 1 1 pX Y p p p X p Y p − = − ⎧ ⎪ − − − ⎨ − = ⎪ + ⎩ Решив эту систему относительно X и Y , получим 2 1 1 p X p − = + , 2 1 1 p Y p + = + , откуда искомое решение sin cos x t t = − , sin cos y t t = + 4 Решить дифференциальные уравнения: 89 10.33. sin t x x e t − ′′ ′ + = 10.3 2 9 13 t x x e − ′′ + = 4. дифференциальных ний и систем ри задан- ных начальных условиях: Найти решения уравне п 90 10.35. 3 3 t x x x x te − ′′′ ′′ ′ + + + = ; (0) (0) (0) 0 x x x ′ ′′ = = = . 2 10.36. 2 4 4 x x t ′′ + = + ; (0) (0) 0 x x′ = = . 10.37. 3 2cos x x t ′′ + = ; (0) 1 x , (0) x′ = 0 = 10.38. 4 6 t x x e − ′′ − = − ; (0) 2 x = , 2 (0) x′ = − . 10.39. 3 3 t x x e − ′′ ′ + = ; (0) 0 x = , (0) 1 x′ = − . 10.40. 6 2 cos x x x ′′ ′ − + = t ; − (0) 0 x = , ( 3 x 0) ′ = . 10.41. 2 t x x x e − ′′ ′ + + = ; ( 1 0) x = , (0 0 x ) ′ = . 10.42. t x x e ′′′ ′′ − = ; (0 1 x , (0 (0) x x ) ) 0 = ′ ′′ = = . 10.43. , ; t x x y y x y e ′ = − ⎧ ⎨ ′ = + + ⎩ (0) 1 x − , (0) 0 y = = 10.44. 0 0; x y x y ′ + = ⎧ ⎨ ′ + = ⎩ (0) 1 x = , (0) 1 y = − . 10.45. 0 2cos ; x y , x y t ′′ ′ − = ⎧ ⎨ ′ ′′ − = ⎩ (0) (0) 0 x y′ = = , (0) (0) 2 x y ′ = = . 10.46. , 0; t x y e x y y ′′ ′ ⎧ − = ⎨ ′ ′′ + − = ⎩ (0) 1 x = , (0) 1 y = − , (0) (0) 0 x y ′ ′ = = . |