матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра

• Название: Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
• Анкор: матан 3 семестр.pdf
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 2.42 Mb.
• Имя файла: матан 3 семестр.pdf
• Тип: Контрольные вопросы; #7378
• страница: 3 из 11

8.139.
x
e
−
,
x
xe
−
. 8.140. 2
x
, 3ln 2
x
8.141.
x
e
,
1
x
e
+
8.142.
x
, ln
x
8.143.
x
, 2
x
,
2
x
8.144.
x
e
,
x
xe
,
2 x
x e
8.145.
sin
x
, cos
x
, sin 2
x
8.146.
1,
2
sin x
, cos 2x
8.147.
Функции sin x и cos x являются решениями о.л.д.у. Будет ли разность cos sin
x
x
−
решением этого уравнения?
8.148.
Образуют ли функции
x
e и
x
e
−
фундаментальную систему решений уравнения
?
0
y
y
′′ − =
8.149.
Образуют ли функции sin 2x и sin cos
x
x
2 0
x
фундаментальную систему решений уравнения cos 2
sin
y
x
y
2
′′
′
+
= ?
8.150.
Функции
2
x и
3
x образуют фундаментальную систему реше- ний о.л.д.у. Найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:
,
(1) 1
y
=
(
0
y′ 1)
=
8.151.
Функции
x
e ,
2 x
e ,
3x
e – решения о.л.д.у. 3-го порядка. Найти его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: (0) 6
y
= ,
,
(0) 14
y′
=
(0) 36
y′′
=
8.152.
Составить о.л.д.у. 2-го порядка, решениями которого являют- ся функции
x
e и
x
xe .
8.153.
Составить о.л.д.у. 2-го порядка, решениями которого являют- ся функции
3
x и
4
x .
8.154.
Дано н.л.д.у. 2-го порядка, причем ln
y
x
=
– его частное ре- шение, а и
– частные решения соответствующего одно- родного уравнения. Найти общее решение данного уравнения. tg
y
x
=
cos
y
=
x
4. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
. Об- щий вид о.л.д.у. n-го порядка с постоянными коэффициентами
( )
(
1)
1 1
0
n
n
n
n
y
a y
a
y
a y
−
−
′
+
+
+
+
…
=
, (5) где
– некоторые числа.
1 2
, ,
,
n
a a
a
…
Многочлен n-й степени от переменной
λ
1 1
1
( )
n
n
n
n
L
a
a
−
−
λ = λ + λ
+
+
λ +
…
a
y
, полученный из левой части уравнения (5) путем замены производных
(
;
( )
k
y
0, 1, 2,
,
k
=
… n
(0)
y
=
по определению) искомой функции степенями
, называет- ся характеристическим многочленом, а алгебраическое уравнение n-й степени
k
λ
1 1
1 0
n
n
n
n
a
a
a
−
−
λ + λ
+
+
λ +
=
…
(6)
– характеристическим уравнением для уравнения (5).
25

Теорема (о характеристическом уравнении). Функция
x
e
λ
тогда и только то-
гда является решением дифференциального уравнения (5), когда
λ есть корень (дей-
ствительный или комплексный) соответствующего характеристического уравнения.
Решения уравнения (5), соответствующие различным корням характеристиче- ского уравнения, линейно независимы; кроме того, если
λ – действительный корень кратности
, то наряду с функцией
1
r
>
x
e
λ
решениями дифференциального уравнения являются функции
2 1
,
,
,
x
x
r
x
xe
x e
x e
λ
λ
−
…
λ
β
, причем все эти
r решений также линейно независимы, а каждой паре комплексно со- пряженных корней кратности
s соответствует s пар действительных линейно независимых решений вида
i
λ = α ± β
1
cos
,
cos
,
,
cos
x
x
s
x
e
x xe
x
x e
x
α
α
− α
β
β …
,
1
sin
,
sin
,
,
sin
x
x
s
x
e
x xe
x
x e
x
α
α
− α
β
β
β
…
Построенные для каждого из корней характеристического уравнения решения перечис- ленных видов образуют в совокупности фундаментальную систему решений.
В частности, вопрос о решении уравнения 2-го порядка
1 2
0
y
a y
a y
′′
′
+
+
=
(7) полностью исчерпывается следующими тремя случаями: а) характеристическое уравнение
2 1
2 0
a
a
λ + λ +
=
(8) имеет 2 различных действительных корня
1
λ
и
2
λ
(дискриминант
) – фундамен- тальную систему образуют решения
0
D
>
1x
e
λ
,
2x
e
λ
, и, следовательно, согласно теореме о структуре общего решения о.л.д.у. (п. 3) оно имеет вид
1 2
1 2
x
x
C e
y C e
λ
λ
=
+
; б) характеристическое уравнение имеет двукратный действительный корень
λ
(
,
λ =
⇒
0
D
=
1
λ
2
)
x
e
λ
и
x
xe
λ
– ф ментальная система решений и
1 2
(
)
x
y e
C
C
λ
=
+
; унда
– общее решение
x
в) корни характеристического уравнения
1,2
i
λ = α ± β комплексно сопряжены
(
)
0
D
<
⇒
cos
x
e
x
α
β
и sin
x
e
α
x
β
– фундаментальная система решений и
1 2
sin
x C
( co
C
s
)
x
x
y e
α
=
β +
β
– общее решение.
Пример 5. Найти общее решение уравнения
4 0
y
y
′′ −
= .
3Характеристическое уравнение
2 4 0
λ − = имеет корни
1 2
λ = −
,
. Фун- даментальную систему решений образуют функции
2 2
λ =
2 x
e
−
и
2 x
e . Следовательно, общее решение имеет вид
2 2
1 2
x
x
y C e
C e
−
=
+
4
Пример 6. Найти общее решение уравнения
2 5
y
y
y 0
′′
′
+
+
= .
3Характеристическое уравнение
2 2
5 0
λ + λ + =
2
e
x
1
имеет корни
. Сле- довательно, функции и
(
1,2 1 2
i
λ = − ±
cos 2
x
e
x
−
sin
x
−
α = −
,
2
β =
x
y e
−
) образуют фундаментальную систему решений, а общее решение имеет вид
1
os 2x C
2
sin 2 )
x
( c
C
=
+
4 26

Пример 7. Найти решение уравнения
(4)
0
y
y′′
+
=
, удовлетворяющее начальным условиям (0)
(0)
1
y
y′′′
=
= − , (0) 1
y′
= ,
(0) 0
y′′
=
3Характеристическое уравнение
4 2
0
λ + λ =
0
i
имеет двукратный корень и комплексно сопряженные корни
1,2 0
λ =
3,4
λ = ± . Поэтому фундаментальная система ре- шений имеет вид 1, x, cos
x
, sin
x
, откуда общее решение –
. Для определения произвольных постоянных найдем производные
1 2
3 4
cos sin
y C
C x C
x C
x
=
+
+
+
2 3
4
sin cos
y
C
C
x C
′ =
−
+
x
,
3 4
cos sin
y
C
x C
x
′′ = −
−
,
3 4
sin cos
y
C
x C
x
′′′ =
−
и используем начальные условия. Получаем:
1 3
1
C
C
− =
+
,
,
2 4
1
C
C
=
+
3 0
C
= −
,
, откуда
4 1
C
− = −
1 1
C
= −
,
,
2 0
C
=
3 0
C
=
и
4 1
C
=
. Следовательно, искомое частное ре- шение имеет вид sin
1
y
x
=
− .4
Решить дифференциальные уравнения:
8.155.
8.156.
6 9
y
y
y
′′
′
−
+
=
0 0
4 5
y
y
y
′′
′
−
+
=
8.157.
3 2
8.158.
4 4
8
y
y
y
′′
′
−
−
=
0 0
y
y
y
′′
′
+
+ =
8.159.
8.160.
6 13
y
y
y
′′
′
+
+
=
0 0
5 4
y
y
y
′′
′
−
+
=
8.161.
8.162.
3
y
y
′′ −
=
0 2
0
y
y
′′ +
=
Составить о.л.д.у. с постоянными коэффициентами по данным кор- ням его характеристического уравнения
8.163.
8.164.
1,2 2 i
λ = ±
1 1
λ = −
,
2 2
λ =
Решить задачи Коши:
8.165.
; (0) 2 2
0
y
y
y
′′
′
+
+ =
y
=
, (0)
5
y
′
= −
8.166.
2 0 ;
y
y
′′
′
+
=
(0)
1
y
= −
, (0)
2
y
′
= −
8.167.
4 0 ;
(0) 0
y
y
′′ +
=
y
=
, (0)
2
y
′
= −
8.168.
0 ; (0) 0 4
4
y
y
y
′′
′
−
+
=
y
=
, (0) 1
y
′
=
8.169.
Найти интегральную кривую дифференциального уравнения
0 , касающуюся в точке (0, 0) прямой y x
y
y
′′ − =
=
8.170.
Решить задачу Коши: 0
y
y
′′ + =
;
2
( ) 3
y
π
=
,
2
( )
2
y
π
′
= −
Задачи повышенной сложности
8.171.
Решить уравнение
0 2
2 6
y
y
y
y
′′′
′′
′
−
−
+
=
, если известно, что функция 2 sin
x
e
x является его решением.
Решить дифференциальные уравнения:
8.172.
0 .
8.173.
2 3
10
y
y
y
y
′′′
′′
′
−
−
+
=
(4)
2 0
y
y
y
′′
+
+ =
27

8.174.
Показать, что общее решение уравнения
2 0
x
x
+ ω = может быть представлено в виде sin(
)
x A
t
=
ω + ϕ или cos(
)
x A
t
=
ω + ϕ , где
0
A
≥ и
ϕ – произвольные постоянные.
Решить задачи Коши:
8.175.
0 3
3
x
x
x x
+
+
+ = ; (0) 1
x
= , (0)
(0)
1
x
x
=
= − .
8.176.
0 ; (0) 3
y
y
′′′
′
− =
y
= , (0)
1
y′
= − , (0) 1
y′′
= .
8.177.
Узкая длинная трубка вращается с постоянной угловой скоро- стью
ω вокруг перпендикулярной к ней вертикальной оси. Шарик, нахо- дящийся внутри трубки, скользит по ней без трения. Найти закон движе- ния шарика относительно трубки (расстояние шарика от оси вращения как функцию времени), если в начальный момент шарик находился на оси вращения и имел начальную скорость .
0
v
8.178.
Материальная точка массой m движется прямолинейно под действием силы притяжения к неподвижному центру, пропорциональной расстоянию от точки до центра с коэффициентом пропорциональности k.
Найти закон движения точки, если в начальный момент расстояние от точ- ки до центра равно a, а ее скорость равна нулю.
5. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.
Согласно теореме о структуре общего решения н.л.д.у. (п. 3) общее решение н.л.д.у. с постоянными коэффициентами
( )
(
1)
1 1
( )
n
n
n
n
y
a y
a
y
a y b
−
−
x
′
+
+
+
+
=
…
(9) записывается в виде
, где
– общее решение соответствующего однородно- го уравнения (5), а
0
y
y
y
=
+
0
y
y – любое частное решение уравнения (9). Для отыскания y в об- щем случае можно воспользоваться
методом вариации произвольных постоянных (за- метим, что он применим и в случае переменных коэффициентов при известной фунда- ментальной системе решений уравнения (4)).
Ограничимся рассмотрением случая
2
n
=
. Пусть и
– фундаментальная система решений уравнения (7). Будем искать частное решение уравнения
1
y
2
y
1 2
( )
y
a y
a y b x
′′
′
+
+
=
(10) в виде
(этот вид получается, если в выражении общего решения соответствующего однородного уравнения произвольные постоянные считать функ- циями от
x – отсюда название метода). Для того чтобы функция
1 1
2
( )
( )
y C x y
C x y
=
+
2
y была решением уравнения (10), достаточно, чтобы функции и удовлетворяли системе уравнений
1
( )
C x
2
( )
C x
{
1 1 2 2 1 1 2 2 0,
( ).
C y
C y
C y
C y
b x
′
′
+
=
′ ′
′ ′
+
=
Решив эту линейную систему относительно
1
C′
и
2
C′
, далее путем интегрирования най- дем и
1
( )
C x
2
( )
C x
28

Пример 8. Найти общее решение уравнения
2 2
1
x
e
y
y
y
x
′′
′
−
+ =
+
3Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения
0
y
2 0
y
y
y
′′
′
−
+ = .
Характеристическое уравнение имеет двукратный корень
, по- этому
2 2
1
λ − λ + = 0 1,2 1
λ =
1
x
y
e
=
и
2
x
y
xe
=
– фундаментальная система решений, откуда
0 1
2
x
x
y
C e
C xe
=
+
Частное решение данного неоднородного уравнения найдем методом вариа- ции произвольных постоянных. Полагаем
y
1 2
( )
( )
x
x
y C x e
C x xe
=
+
Найдя
1
x
y
e
′ =
и
2
(1
)
x
y
x
′ = + e
, составим систему уравнений относительно и
:
1
C′
2
C′
1 2
1 2
2 0,
(1
)
,
1
x
x
x
x
x
C e
C xe
e
C e
C
x e
x
′
′
+
=
⎧⎪
⎨ ′
′
+
+
=
⎪
+
⎩
решив которую, получим
1 2
1
x
C
x
′ = −
+
,
2 2
1 1
C
x
′ =
+
. Путем интегрирования этих ра- венств находим
2 1
( )
ln
1
C x
x
= −
+ ,
2
( ) arctg
C x
x
=
(для нахождения
частного решения достаточно взять по одной из первообразных функций
1
C′
и
2
C′
). Следовательно,
2
ln
1
arctg
x
x
y
e
x
xe
= −
+ +
x .
Складывая в заключение и
0
y
y , получаем общее решение данного уравнения
2 1
2
(
ln
1
arc
x
tg )
y e C
C x
x
x
x
=
+
−
+ +
4
Составить линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, если известно характеристическое уравнение соответст- вующего однородного уравнения и одно из его решений:
8.179.
;
2 1 0
λ + λ − =
(
3)
x
y e x
=
− .
8.180.
2 2 0
λ − λ − = ;
2 1
y
x
=
−
Решить дифференциальные уравнения:
8.181.
8.182.
2
ctg
0
y
y
x
′′ + +
=
2 2
4
x
e
y
y
y
x
′′
′
−
+ =
−
В случае функции следующих двух специальных видов для нахождения част- ного решения уравнения (10) (уравнения (9) в общем случае) целесообразно использовать другой метод –
метод неопределенных коэффициентов, который не требует операции ин- тегрирования. Обозначим через
– корни характеристического уравнения (8).
( )
b x
1 2
,
λ λ
29

I. Пусть
( )
( )
ax
b x
e P x
=
, где
a
∈ R
, а ( ) – многочлен (в частности, или
). Тогда:
P x
( )
ax
b x
Ae
=
( )
(
b x
P x
=
)
а) если и
(т.е. число
a не является корнем характеристического уравнения), то частное решение ищется в виде
1
a
≠ λ
2
a
≠ λ
( )
ax
y e Q x
=
(т.е. в виде, аналогичном функции ( )
b x ), б) если и или
1 2
λ ≠ λ
1
a
= λ
2
a
= λ
(
a – простой корень), то
,
( )
ax
y
xe Q x
=
в) если
(
a – двукратный корень), то
1
a
= λ = λ
2 2
( )
ax
y
x e Q x
=
, где
– многочлен той же степени, что и
, записанный в общем виде, т.е. с не- определенными (буквенными) коэффициентами (напомним, в частности, что общий вид многочлена нулевой степени –
( )
Q x
( )
P x
( )
Q x
A
= ,
0
A
≠
). Коэффициенты многочлена находят после подстановки функции в данное уравнение (10) из условия обращения этого уравнения в тождество.
( )
Q x
y
II. Пусть
)
, где
1 2
( )
( ( ) cos
( )sin
ax
b x
e
P x
bx P x
bx
=
+
,
a b
∈ R ,
( )
2
( )
x
– многочлены (в частнос n
а и
1
P x
P
ти, ( )
cos si
b x
A
bx B
bx
=
+
, ,
A B
∈ R ). Тогда: а) если комплексное число
a bi
+
не является корнем характеристического урав- нения, то частное решение ищется в виде
1 2
( ( ) cos
( )sin
)
ax
y e
Q x
bx Q x
bx
=
+
, б) если
a bi
+
является корнем характеристического уравнения, то
1 2
s
bx Q
=
+
( ( ) co
( )sin
)
ax
y
xe Q x
x
bx
Здесь и
– многочлены одинаковой степени, равной наибольшей из степе- ней многочленов и
, записанные в общем виде, т.е. с неопределенными (бу- квенными) коэффициентами. Коэффициенты многочленов и находят по- сле подстановки функции в данное уравнение (10) из условия обращения этого урав- нения в тождество.
1
( )
Q x
2
( )
Q x
1
(
P x)
2
( )
P x
y
1
( )
Q x
2
( )
Q x
Пример 9. Найти общее решение уравнения
2
(6
x
y
y
y e
x
′′
′
2)
+ −
=
+
3Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения
0
y
2 0
y
y
y
′′
′
+ −
= .
Характеристическое уравнение имеет корни
2 2 0
λ + λ − =
1 2
λ = −
,
, поэтому
2 1
λ =
2 x
e
−
и
x
e – фундаментальная система решений, откуда
2 0
1 2
x
x
y
C e
C e
−
=
+
Частное решение
y исходного уравнения найдем методом неопределенных ко- эффициентов. Так как правая часть уравнения – вида I (
1
a
=
,
– много- член 1-й степени) и число
a совпадает с корнем
( ) 6 2
P x
x
=
+
2
λ
(случай б)), то частное решение бу- дем искать в виде
2
(
)
(
x
x
y
xe Ax B
e Ax
Bx
=
+
=
+
)
Для отыскания коэффициентов
A и B найдем производные y′, y′′ и подставим y , y′ и в исходное уравнение. Получим (после сокращения на
y′′
x
e ) тождество
2 2
2
(
4 2
2 ) (
2
) 2(
) 6
Ax
Bx
Ax
B
A
Ax
Bx
Ax B
Ax
Bx
x
+
+
+
+
+
+
+
+
−
+
≡
+ 2 2
, или
6
(2 3 ) 6
Ax
A
B
x
+
+
≡
+ .
30

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях
x в обеих частях этого тождест- ва, получим систему уравнений для определения неизвестных
A и B:
{
6 6,
2 3
2
A
A
B
=
,
+
=
откуда
,
. Итак,
1 0
B
=
A
=
2 x
y
x e
=
, и, следовательно, общее решение данного уравне- ния имеет вид
2 2
0 1
2
(
)
x
x
y
y
y C e
e C
x
−
=
+ =
+
+
4
Пример 10. Найти решение уравнения
4 4
8sin 2
y
y
y
x
′′
′
−
+
=
, удовлетворяющее начальным условиям (0) 1
y
= , (0)
1
y′
= − .
3Характеристическое уравнение соответствующего однородного уравнения имеет двукратный корень
2 4
4
λ − λ + = 0 1,2 2
λ = , поэтому общее решение однородного уравнения есть
2 0
1
(
)
x
y
e
C
C x
=
+
2
Частное решение данного уравнения будем искать в виде cos 2
sin 2
y
A
x B
=
+
x , т. к. правая часть вида II (
,
0
a
=
2
b
=
,
1
( ) 0
P x
=
,
2
( ) 8
P x
=
– многочлен 0-й степени) и число не является корнем характеристического уравнения (случай а)). Найдя
, и подставив , , в исходное уравнение, получим
2
a bi
i
+
=
y′ y′′
y y′ y′′
( 4 cos 2 4 sin 2 ) 4( 2 sin 2 2 cos 2 ) 4( cos 2
sin 2 ) 8sin 2
A
x
B
x
A
x
B
x
A
x B
x
−
−
− −
+
+
+
≡
x
x
, или
8 sin 2 8 cos 2 8sin 2
A
x
B
x
−
≡
, откуда
8 1
,
, и, следовательно,
A
=
8
B
−
= 0 1
A
= ,
0
B
=
и cos 2
y
x
=
Общее решение данного уравнения будет
2 0
1 2
(
) cos
x
y
y
y e
C
C x
x
2
=
+ =
+
+
Для нахождения и продифференцируем общее решение:
1
C
2
C
2 1
2 2
(2 2
) 2sin 2
x
y
e
C
C
C x
′ =
+
+
−
x
, и воспользуемся начальными условиями:
1 1
1
C
=
+
,
1 1 2
C
C
2
− =
+
. Отсюда
1 0
C
=
,
. Итак, искомым частным решением является функция
2 1
C
= −
2 2
cos
x
y
x xe
=
−
3 4
Пример 11. Найти общее решение уравнения
2(cos
5
)
x
y
y
x
e
−
′′ + =
−
3Характеристическое уравнение
2 1 0
λ + = имеет корни
1,2
i
λ = ±
0 1
co
y
C
. Следователь- но, общее решение соответствующего однородного уравнения –
2
s sin
x C
x
=
+
( ) 2cos
b x
=
Правая часть данного уравнения является суммой двух функций – и
1
x
3 2
( )
10
x
b x
e
−
= −
2
( )
y
y b x
′′ + =
. Для нахождения частного решения воспользуемся принципом супер- позиции решений (п. 3): если и
– частные решения уравнений и соответственно, то
1
y
2
y
y
y
1
( )
y
y b x
′′ + =
1
y
2
=
+
os
y
x
x
( c
A
=
– частное решение данного уравнения. Так как следует искать в виде
(
1
y
1
sin )
B
x
+
0
a
=
,
1
b
=
, число явля- ется корнем характеристического уравнения,
a bi i
+
=
1
P x
( ) 2
=
– многочлен 0-й степени,
, т.е. имеет место случай II, б)), а
– в виде
2
( ) 0
P x
=
2
y
3 2
x
y
Ce
−
=
(
a
не является корнем характеристического уравнения,
3
= −
(
P x)
10
= − – многочлен 0-й степени, т.е. слу- чай I, а)), то частное решение будем искать в виде
3
( cos sin )
x
y
x A
x B
x
Ce
−
=
+
+
Найдя
y′′ и подставив y и y′′ в исходное уравнение, получим тождество
31

3 3
2 sin
2 cos
(
cos sin ) 9
( cos sin )
2cos
10 3
x
x
x
A
x
B
x x A
x B
x
Ce
x A
x B
x Ce
x
e
−
−
−
−
+
+ −
−
+
+
+
+
≡
−
или
3 3
2 cos
2 sin
10 2cos
10
x
x
B
x
A
x
Ce
x
e
−
−
−
+
≡
−
Приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в обеих частях этого тождест- ва, получим систему уравнений для определения неизвестных
A, B и C:
2 2
B
= ,
2 0
A
−
=
,
10 10
C
= −
, откуда
,
0
A
=
1
B
= ,
. Итак,
1
C
= −
3
sin
x
y
x
x e
−
=
−
, и, следовательно, общее решение
3 1
2
cos sin sin
x
y C
x C
x x
x e
−
=
+
+
−
4
Написать, в каком виде следует искать частное решение данного н.л.д.у. методом неопределенных коэффициентов:
8.183.
4 8
16
(1
)
x
y
y
y
x e
′′
′
−
+
= −
8.184.
5 4
3
x
y
y
y
e
′′
′
+
+
=
8.185.
2
) .
7
(
1
y
y
x
′′
′
−
=
−
8.186.
x .
2 5
( cos 2 3sin 2 )
x
y
y
y e x
x
′′
′
+
+
=
−
8.187.
x .
8.188.
x
9 3 sin
y
y
x
′′ +
=
4 5cos 2
y
y
′′ +
= −
8.189.
8.190.
2 4
2cos 2
y
y
′′
′
−
=
x
in x
2
s
y
y
y x
′′
′
−
+ = +
Найти какое-нибудь частное решение дифференциального уравнения
8.191.
3 4
3
x
y
y
y e
′′
′
−
+
=
8.192.
2 2
5sin
y
y
y
x
′′
′
−
+
=
Решить дифференциальные уравнения:
8.193.
8.194.
2 2
3
y
y
x
′′
′
− =
−12x
4 4
9
x
y
y
y
e
′′
′
+
+
=
8.195.
3 4
5 4
x
y
y
y
e
−
′′
′
+
+
=
8.196.
x
y
y e
−
′′ − =
8.197.
2 2
x
y
y
y
e
′′
′
−
+ =
8.198.
9 3
9
y
y
x
0
′′ +
+
− = .
8.199.
8.200.
5 6
78sin 3
y
y
y
′′
′
−
+
=
x
in x
2 2s
y
y
y
′′
′
−
+ =
8.201.
6 10 18sin
12cos
y
y
y
x
′′
′
−
+
=
−
x
x
8.202.
8.203.
9sin 2
y
y
′′ + = −
4 3
4 5
36
x
x
y
y
y
e
xe
−
−
′′
′
+
−
=
−
8.204.
4 8 6cos
y
y
′′ +
= −
x
x
Решить задачи Коши:
8.205.
;
2 3 6
y
y
y
′′
′
+ −
= −
(0)
(0) 1
y
y′
=
= .
8.206.
3 4
13
x
y
y
e
′′ +
=
;
(0) 2
y
=
, (0) 3
y′
= .
8.207.
2 4
4
x
y
y
e
′′ −
=
;
(0)
2
y
= −
, (0)
3
y′
= − .
8.208.
;
2 2
y
y
′′
′
− = − x
(0) 1
y
= , (0) 0
y′
= .
8.209.
;
3cos 2
y
y
′′ + =
x
(0)
(0) 0
y
y′
=
= .
8.210.
;
2 2(cos si
y
y
y
x
x
′′
′
+
+ =
− n )
(0) 1
y
= , (0) 2
y′
= .
Задачи повышенной сложности
Найти линейное д. у., общее решение которого имеет вид:
8.211.
2 1
2 3
(
cos 2
sin 2 ) sin 2
x
y C
e
C
x C
x
x
=
+
+
+
32

8.212.
2 1
2 3
4 3
(
)
2cos
x
y C
C x
x
C
C x e
x
=
+
+
+
+
+
Решить дифференциальные уравнения:
8.213.
4(1
)
x
y
y
y
y
e
−
′′′
′′
′
+
− − =
−
8.214.
(4)
2
y
y
x
′′
+
=
+ x
Решить задачи Коши:
8.215.
(4)
8
x
y
y
− = e ; (0)
1
y
= − , (0) 2
y′
= , (0) 5
y′′
= ,
(0) 6
y′′′
=
8.216.
;
2 4
8cos
y
y
′′ +
=
x
(0) 1
y
= , (0)
6
y′
= − .
8.217.
Тяжелый однородный трос переброшен через гладкий гвоздь так, что с одной стороны свисает часть его длиной 8 м, а с другой стороны
– часть длиной 10 м. За какое время трос соскользнет с гвоздя? Принять м/c
2 9,81
g
=
8.218.
Электрическая цепь состоит из последовательно соединенных источника тока с ЭДС
0
( )
sin
E t
E
=
t
ω , катушки индуктивности индуктив- ностью L и конденсатора емкостью C, причем
1
LC
ω =
(случай резонанса).
Найти ток I в цепи как функцию времени t, если
0 0
0
t
t
I
I
=
=
=
= .