матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
§ 3. Системы дифференциальных уравнений 1. Основные понятия. Система дифференциальных уравнений вида 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ), ( , , , , ), ( , , , , ), n n n n n y f x y y y y f x y y y y f x y y y ′ = ⎧ ⎪ ′ = ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ ′ = ⎩ … … … (1) связывающая независимую переменную x, n искомых функций , их производные 1-го порядка, и разрешенная относительно этих производных, называ- ется нормальной системой. 1 2 ( ), ( ), , ( ) n y x y x y x … Число n, равное сумме порядков уравнений системы (совпадающее для системы (1) с числом искомых функций и числом уравнений), называется порядком системы. Решением (частным решением) системы (1) на интервале I называется всякая совокупность (система) n функций 1 1 2 2 ( ), ( ), , ( ) n n y x y x y x = ϕ = ϕ = ϕ … , при подстанов- ке которых в систему вместе с их производными каждое уравнение системы обращает- ся в тождество относительно x I ∈ . Равенства вида 0 0 0 1 0 2 0 0 1 2 ( ) , ( ) , , ( ) n y x y y x y y x y = = … n = (2) (используется также запись 0 0 0 0 0 0 1 2 1 2 | , | , , | x x x x n x x n y y y y y y = = = = = = … ), где 0 0 0 0 1 2 , , , , n x y y y … – заданные числа (начальные значения), называются начальными условиями для систе- мы (1). Задача отыскания решения системы (1), удовлетворяющего заданным началь- ным условиям (2), называется задачей Коши для этой системы. 33 Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для системы (1)). Если функции 1 2 , , , n f f … f из нормальной системы (1) непрерывны вместе с част- ными производными i j f y ∂ ∂ по переменным , 1 2 , , , n y y y … , 1, 2, , i j n = … ) , в некоторой об- ласти , то для любой точки 1 n D + ⊂ R 0 0 0 0 1 2 , , , , n ( x y y y D ∈ … задача Коши для системы (1) с начальными условиями (2) имеет и притом единственное решение. Совокупность n функций 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ), ( , , , , ), , ( , , , , ) n n n n y x C C C y x C C C y x C C C = ϕ = ϕ = ϕ … … … n … (3) называется общим решением системы (1), если: 1) при любых допустимых значениях параметров она является ре- шением этой системы; 1 2 , , , n C C C … 2) любое решение системы (кроме, быть может, отдельных решений) может быть получено из (3) при некоторых значениях параметров (т.е. для любой точки 0 0 0 0 1 2 ( , , , , ) n x y y y D ∈ … (см. теорему) найдутся такие значения параметров , при которых функции (3) будут удовлетворять начальным условиям (2)). 1 2 , , , n C C C … Пример 1. Показать, что совокупность функций 3 1 2 x x y C e C e − = + , 3 1 2 2 2 x x z C e C e − = − является общим решением системы { , 4 . y y z z z y ′ = − ′ = − Найти частное решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям , (0) 1 y = − (0) 2 z = 3Проверим выполнение условий из определения общего решения. 1) Число произвольных постоянных в функциях данной совокупности равно 2, что сов- падает с порядком системы. 2) При любых значениях 1 C и 2 C функции y и z образуют решение системы: { { 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 , 3 2 2 2 6 , ; x x x x x x x y C e C e y C e C e z C e C e z C e C e − − − − x ′ = + = − + ⇒ ′ = − = − − подставляя в данную систему y, z, y′ и z′ , получим тождества: { 3 3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 1 2 3 (2 2 2 6 2 2 4( ) x x x x x x x x x x x x C e C e C e C e C e C e C e C e C e C e C e C e − − − − − − − + = + − − ⇒ − − = − − + 3 ), { 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 1 2 3 3 2 6 2 6 x x x , x x x x C e C e C e C e C e C e C e C e − − − − − + = − + − − = − − x x ∀ ∈ R 3) Каковы бы ни были начальные значения 0 0 0 , , x y z , система уравнений { 0 0 0 0 3 0 1 2 3 0 1 2 , 2 2 x x x x y C e C e z C e C e − − = + = − имеет, притом единственное решение относительно и , т. к. ее определитель 1 C 2 C 0 0 0 0 0 3 2 0 3 4 0 2 2 x x x x x e e e x e e − − Δ = = − ≠ ∀ ∈ − R Поскольку все условия определения общего решения выполнены, то данная совокуп- ность функций является общим решением данной системы. 34 Для нахождения частного решения после подстановки начальных значений , и 2 в общее решение получим систему 0 x = 1 y = − z = { 1 2 1 2 1 , 2 2 2 C C C C − = + = − , откуда , и, следовательно, искомое частное решение есть 1 0 C = 2 1 C = − 3 x y e = − , 3 2 x z e = 4 8.219. Показать, что функции 2 1 3 x y x = + , 2 1 3 x x z e x = − − образуют решение системы 2 1 , y y x ′ = − 2 1. y z y z x ′ = + + − 8.220. Показать, что функции 2 1 C x y C e = , 2 1 2 1 C x z e C C − = − образуют решение системы 1 z y′ = − , 1 y z′ = при любых , , . Найти решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям 1 C 2 C 1 2 0 C C ≠ y(0) 1 = , (0) 2 z = 2. Сведение уравнения n-го порядка к нормальной системе. Метод исклю- чения. Дифференциальное уравнение n-го порядка ( ) ( 1) ( , , , , ) n n y f x y y y − ′ = … путем введения функций ( 1) 1 2 , , , n n y y y y y y − ′ = = = … можно свести к нормальной системе n- го порядка: 1 2 2 3 1 2 , , ( , , , , ). n n y y y y y f x y y y ′ = ⎧ ⎪ ′ = ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ ′ = ⎩ … Пример 2. Привести к нормальной системе дифференциальное уравнение 2 0 y xy y ′′ ′ + − = 3Положим z y′ = . Тогда z y ′ ′′ = , и уравнение приводится к нормальной системе { 2 , y z z y xz ′ = ′ = − 4 Решение нормальной системы n-го порядка методом исключения основано на сведении системы к дифференциальному уравнению n-го порядка относительно одной из неизвестных функций (или, в отдельных случаях, к нескольким дифференциальным уравнениям с одной неизвестной функцией в каждом). Например, при , для реше- ния системы 2 n = { 1 1 1 2 2 2 1 2 ( , , ), ( , , ), y f x y y y f x y y ′ = ′ = выражаем из первого уравнения 2 1 ( , , ) y g x y y 1 ′ = (или 1 2 ( , , ) y h x y y 2 ′ = из второго), после чего, находя полную производную 2 dy dx и подставляя эти выражения во второе уравне- 35 ние (соответственно 1 dy dx и подставляя в первое), получаем уравнение 2-го порядка от- носительно функции ( соответственно). Найдя его общее решение 1 y 2 y 1 1 1 2 ( , , ) y x C C = ϕ и подставив эту функцию в выражение 2 1 ( , , ) y g x y y′ 1 = , получим и, следовательно, общее решение системы как совокупность этих двух функций. 2 2 1 ( , , ) y x C = ϕ 2 C Пример 3. Решить методом исключения систему { , 4 . y y z z z y ′ = − ′ = − 3Выразим из первого уравнения z: z y y′ = − . Отсюда z y y ′ ′ ′′ = − . Подставив эти выражения во второе уравнение системы, получим уравнение 2-го порядка относи- тельно y: 4 y y y ′ y ′ ′ ′ − = − − y или 2 3 y y 0 y ′′ ′ − − = . Общее решение этого о.л.д.у. с постоянными коэффициентами имеет вид 3 1 2 x x y C e C e − = + Отсюда 3 1 2 3 x x C e y C ′ = − e − + и 3 3 1 2 ( 3 ) 3 1 2 1 2 2 2 x x x x y e e C e C e − − ′ = − − − + = x x C e C e − − z y C = C + Таким образом, { 3 1 2 3 1 2 , 2 2 x x x x y C e C e z C e C e − − = + = − – общее решение данной системы. 4 Привести к нормальным системам дифференциальные уравнения: 8.221. 8.222. 3 y xy ′ = 0 y y′′ − + ′′′ (4) 2 0 y y − = . Решить системы методом исключения: 8.224. { 8.223. 1 1 , z y y′ ⎧ = ′ = z ⎨ ⎩ 2 , 3 4 . y y z z y z ′ = + ′ = + 1 n 3. Собственные значения и собственные векторы матрицы. Пусть A – квад- ратная матрица n-го порядка, X – матрица-столбец размера × , называемая далее ( n- мерным) вектором, 0 – нулевой вектор. Число λ (действительное или комплексное) на- зывается собственным значением, а вектор 0 X ≠ (возможно и с комплексными компо- нентами) – соответствующим собственным вектором матрицы A, если AX = λ 0 X Алгебраическое уравнение n-й степени det( ) A E − λ det( ) = относительно неизвест- ной λ, где E – единичная матрица n-го порядка, а ⋅ означает определитель, называ- ется характеристическим уравнением матрицы A. Все собственные значения матрицы A совпадают с корнями ее характеристического уравнения; отсюда следует, что для любой матрицы A существует от одного до n собственных значений. Собственные век- торы, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы. Для нахождения всех собственных векторов, соответствующих собственному значению λ, необходимо найти все ненулевые решения однородной системы линейных уравнений 36 ( ) A E X − λ = 0 , где X – вектор из неизвестных; компоненты каждого такого решения, записанные в столбец, образуют собственный вектор. Пример 4. Найти собственные значения и какие-нибудь соответствующие соб- ственные векторы матрицы 1 1 4 1 A − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 3Составим характеристическое уравнение матрицы A ( , ): 1 0 0 1 E ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 E λ ⎛ ⎞ λ = ⎜ ⎟ λ ⎝ ⎠ 2 1 1 det( ) 2 3 0 4 1 A E − λ − − λ = = λ − λ − = − − λ Его корни, т.е. собственные значения матрицы A, 1 1 λ = − , 2 3 λ = . Пусть 1 1 2 X α ⎛ = ⎜ ⎞⎟ α ⎝ ⎠ и – соответствующие собственные векторы. Для нахождения 1 2 2 X β ⎛ = ⎜β ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 1 X составим од- нородную систему линейных уравнений 1 1 1 1 2 2 1 ( ) ( ) 4 2 A E X A E X − α ⎛ ⎞⎛ ⎞ − λ = + = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − α ⎝ ⎠⎝ ⎠ 0 , т.е. { 1 2 1 2 2 0 4 2 α − α = , 0. − α + α = Одно из ненулевых решений этой системы 1 1 α = , 2 2 α = . Таким образом, один из соб- ственных векторов, соответствующих собственному значению 1 λ , имеет вид 1 1 2 X ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (Заметим, что общее решение системы 1 1 C α = , 2 2 C 1 α = , где – произвольная посто- янная, так что равенство , 1 C 1 1 1 2 X C ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 0 C ≠ , определяет все собственные векторы, со- ответствующие собственному значению 1 λ .) Аналогично находим 2 X : { 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 0, ( ) ( 3 ) 0 4 2 4 2 A E X A E X 2 2 0, − − β − β − β = ⎛ ⎞⎛ ⎞ − λ = − = = ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟ − − β − β − β = ⎝ ⎠⎝ ⎠ 1 1 β = , , и, следовательно, 2 2 β = − 2 1 2 X ⎛ = ⎜ ⎞⎟ − ⎝ ⎠ . Ответ: 1 1 λ = − , ; , 4 1 1 2 X ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 3 λ = 2 X = 1 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Найти собственные значения и какие-нибудь соответствующие соб- ственные векторы матриц: 8.225. 8.226. 8 2 9 1 ⎛ ⎜ − − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 4 5 1 2 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 8.227. 2 2 5 0 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 8.228. 8.229. 5 3 3 1 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 2 1 2 5 3 3 1 0 2 − ⎛ ⎞ ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ − − ⎝ ⎠ 8.230. 4 5 2 5 7 3 6 9 4 − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ 37 4. Решение однородных линейных систем с постоянными коэффициентами методами линейной алгебры. Однородная линейная система дифференциальных уравнений (о.л.с.д.у.) n-го порядка имеет вид 1 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) , n n n n n n n nn n x a t x a t x a t x x a t x a t x a t x x a t x a t x a t x = + + + ⎧ ⎪ = + + + ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ = + + + ⎩ … … … (4) где t – независимая переменная, 1 2 , , , n x x … x – искомые функции от t, i i dx x dt = . Если ввести матрицы 11 12 1 21 22 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ⎛ ⎞ ⎜ = ⎜ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ … … … ⎟ ⎟ (матрица системы), 1 2 n x x X x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и 1 2 n x x X x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то равенство ( ) X A t X = есть матричная запись системы (4). Произвольное решение системы (4) можно записать в виде матрицы-столбца ( вектор-функции) ( ) X t . Всякая совокупность из n линейно независимых решений ( ) k X t , , называется фундаментальной системой решений системы (4). Справедлива 1, 2, k = … , n Теорема (о структуре общего решения о.л.с.д.у.). Если 1 2 , , , n X X … X – какая- нибудь фундаментальная система решений системы (4), то ее общее решение имеет вид: 1 1 2 2 n n X C X C X C X = + + + … , где – произвольные постоянные. 1 2 , , , n C C C … В частном случае систем с постоянными коэффициентами, когда , т.е. матрица не зависит от t, для отыскания фундаментальной системы реше- ний может быть использован аппарат собственных значений и собственных векторов. ( ) const ij a t = ( ) A t A = Характеристическое уравнение det( ) 0 A E − λ = матрицы A о.л.с.д.у. с постоян- ными коэффициентами X AX = (5) называется характеристическим уравнением этой системы. Теорема (о характеристическом уравнении). Вектор-функция ( ) 0 t X t Ye λ = ≠ , где Y – числовой n-мерный вектор, тогда и только тогда является решением системы (5) , когда λ есть собственное значение матрицы A (корень характеристического урав- нения системы), а Y – соответствующий собственный вектор. Рассмотрим подробно случай 2 n = , т.е. систему { 11 12 21 22 , x a x a y y a x a y = + = + Тогда характеристическое уравнение 11 12 21 22 0 a a a a − λ = − λ является квадратным и, следовательно, возможны следующие 3 случая: 38 а) характеристическое уравнение имеет 2 различных действительных корня 1 λ и . Тогда, если 1 и 2 – какие-нибудь соответствующие собственные векторы, век- тор-функц 2 λ Y Y 1t ии 1 1 X Y e λ = и 2 2 2 t X Y e λ = о образуют фундаментальную систему решений и, следовательно, согласно теореме структуре общего решения оно имеет вид 1 1 2 2 X C X C = + X ; б) корни характеристического уравнения i λ = α + β и i λ = α − β комплексно со- пряжены. В этом случае, найдя для собственного значения λ какой-нибудь соответст- вующий собственный вектор Y (с комплексными компонентами), в качестве фундамен- тальной системы решений можно взять действительную и мнимую части комплексного решения , т.е. t Ye λ 1 Re t X Ye λ = и 2 Im t X Ye λ = ; в) характеристическое уравнение имеет двукратный действительный корень λ Тогда одно из решений фундаментальной системы 1 t X Ye λ = , где – один из соответ- ствующих собственных векторов. Если существует собственный вектор Y Z , линейно не зависимый от – этот случай имеет место, когда Y A aE = , т.е. система распадается на два независимых уравнения (тогда все ненулевые векторы – собственные), – то другое решение имеет вид 2 t X Ze λ = . В противном случае 2 ( ) t X Y tY e λ = + , где – любое ре- шение системы ( ) (другой способ нахождения общего решения системы (5) в этом случае – положить одну из неизвестных функций равной (либо , если система содержит уравнение с одной неизвестной функцией), а оставшуюся функцию определить из системы после подстановки в нее первой функции). Y e C + A E Y − λ = Y 1 2 t C t λ ( ) 1 t C e λ Пример 5. Найти общее решение системы { , 4 . x x y y y x = − = − 3Матрица системы 1 1 4 1 A − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Ее собственные значения и соответствующие собственные векторы , , , (см. пример 4). Следовательно, вектор-функции 1 1 λ = − 1 2 3 λ = t 1 1 2 Y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2 1 2 Y ⎛ = ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 1 2 X e − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = и 3 t 2 1 2 X e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − – фундаментальная система решений, и общее решение системы имеет вид 3 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 t t x X C X C X C e C e y − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = + = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , т.е. { 3 1 2 3 1 2 , 2 2 t t t t x C e C e y C e C e − − = + = − 4 Пример 6. Найти общее решение системы { , 2 3 x x y y x = + = − + . y 3Характеристическое уравнение 2 1 1 4 5 2 3 − λ 0 = λ − λ + = − − λ 39 имеет комплексно сопряженные корни 1,2 2 i λ = ± . Для нахождения какого-нибудь соб- ственного вектора , соответствующего собственному значению , име- ем систему 1 2 Y α ⎛ = ⎜α ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 2 i λ = + 1 2 1 1 ( ) 2 1 i A E Y i − − α ⎛ ⎞⎛ − λ = = ⎜ ⎟⎜ − − α ⎝ ⎠⎝ 0 ⎞ ⎟ ⎠ или { 1 2 1 2 ( 1 ) 0, 2 (1 ) i i 0. − − α + α = − α + − α = Пусть . Тогда 1 1 α = 2 1 i α = + , т.е. 1 1 Y i ⎛ = ⎜ ⎞ ⎟ + ⎝ ⎠ . Итак, данная система имеет комплексное решение вида (2 ) 2 1 cos sin 1 (cos sin ) (cos sin ) t i t t i t t X Ye e e i t t i t λ + + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = = = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − + + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ t t (использована формула Эйлера cos sin it e t i = + ). В качестве фундаментальной системы решений 1 X и 2 X возьмем Re X и Im X соответственно: 2 1 cos cos sin t t X e t t ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , 2 2 sin cos sin t t X e t t ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ Итак, общее решение системы 2 2 1 2 cos sin cos sin cos sin t t x t t C e C y t t t ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ e t , или { 2 1 2 2 1 2 2 1 ( cos sin ), (( ) cos ( )sin ). t t x e C t C t y e C C t C C t = + = + + − 4 Пример 7. Найти частное решение системы { 2 , 4 6 , x x y y x y = − = + удовлетворяющее начальным условиям (0) 0 x = , (0) 1 y = . 3Характеристическое уравнение 2 2 1 8 16 4 6 − λ − 0 = λ − λ + = − λ имеет корень кратности 2. Находим соответствующий собственный вектор: 4 λ = { 1 1 2 1 2 1 2 0 0 4 2 4 2 0 − − α − α − α = ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⇒ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 2 2 , , α α + α = ⎝ ⎠⎝ ⎠ откуда , , . Следовательно, 1 1 α = 2 2 α = − 1 2 Y ⎛ = ⎜ − ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ 4 1 1 2 t X e ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ . Для определения 2 X найдем любое решение системы Y 1 2 2 1 4 2 − − β ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ β − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , например, 1 0 β = , 2 1 β = − , т.е. Y . Отсюда 0 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ = 4 4 2 0 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 t t t t X Y tY e t e e t λ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = + = + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Итак, общее решение данной системы { 4 1 2 4 1 2 2 ( ), ( 2 2 ). t t x e C C t y e C C C t = + = − − − 40 Для нахождения частного решения константы и определяем из системы 1 C 2 C { 1 1 2 0 , 1 2 C C C = = − − , полученной в результате подстановки начальных значений 0 t = , и 1 0 x = y = в общее решение, откуда , , и, следовательно, искомое частное решение есть 1 0 C = 2 1 C = − { 4 4 , (1 2 ). t t x te y e t = − = + 4 Решить характеристические уравнения систем: 8.231. { 2 , 2 x x y y y = − − = − + x 8.232. { 2 , 2 4 . x x y y x = − = − y Решить системы дифференциальных уравнений: 8.233. { 3 , 5 . x x y y x = + = − + y 8.234. { , 2 3 x y y x = = − + . y , 8.235. { 4 5 2 3 x x y y x = − = − y , 8.236. { 2 3 2 . x x y y x y = − = − 8.237. { 2 5 5 6 , x x y y x y = − = − 8.238. { 3 2 4 7 , x x y y x = − = + y 8.239. { 2 , 2 5 x x y y x = − + = − − y 8.240. { 4 , 3 . x x y y x y = − = − Решить задачи Коши: 8.241. 2 , x x y = − − 8 2 y x y = + ; (0) 0 x = , (0) 2 y = 8.242. 2 , x x y = + 4 ; y x y = − + (0) 2 x = , (0) 1 y = Задачи повышенной сложности 8.243. Материальная точка массой m движется под действием силы притяжения к неподвижному центру O, пропорциональной расстоянию от точки до центра с коэффициентом пропорциональности k. Движение начи- нается из точки A на расстоянии a от центра с начальной скоростью , перпендикулярной к отрезку OA. Найти траекторию движения. 0 v 8.244. Решить систему: 2 , x x y z = − − , z y x y = − + + z x z = − 41 |