матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
§ 2. Функциональные ряды 1. Область сходимости функционального ряда . Пусть действительные или комплексные функции ( ) n f x , , определены в области . Выражение n ∈ D 1 2 1 ( ) ( ) ... ( ) ... ( ) n n n f x f x f x f x ∞ = + + + + = ∑ , x D ∈ , (5) называется функциональным рядом, а функции 1 ( ) f x , 2 ( ) f x , … , ( ) n f x , … — членами этого функционального ряда. Если для 0 x D ∈ числовой ряд 0 ( ) n 1 n f x ∞ = ∑ 0 сходится, то го- ворят, что функциональный ряд (5) сходится в точке x . Если в каждой точке 1 x D D ∈ ⊂ числовые ряды 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ 1 n сходятся, то ряд (5) называется сходящимся в об- ласти . Функциональный ряд 1 D ( ) n f x ∞ = ∑ называется абсолютно сходящимся в облас- D , если в области D сходится функциональный ти ряд 1 n ( ) n f x из модулей его чле ∞ = ∑ - нов. Область D D ⊂ 0 всех точек x из D , 1 n n в которых функциональный ряд ( ) f x ∞ ∑ сти ряда = , называется областью сходимости этого ряда, а с сходится область ходимо 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ называют областью сходимости ряда абсолютной ( ) 1 n n f x ∞ ∑ = Функция ( ) lim ( ) n n S x S x →∞ = называется суммой, а разность ( ) ( ) ( ) n n R x S x S x = − - т воспользоваться либо признаком Даламбера, либо признаком Коши. Именно, если остатком ряда. Для определения области абсолютной сходимости функционального ряда (5) следуе 1 ( ) lim ( ) ( ) n f x n n f x l x + →∞ = или lim ( ) ( ) n n n f x l x = , то олютно, при Пример 1. область сходимости функционального ряда →∞ при ряд (5) сходится абс ( ) 1 l x < при ряд (5) расходится, ( ) 1 l x > ( l x) 1 = требуются дополнительные исследования. Найти 1 1 ( 1) 2 ( 3) n n n n n x + ∞ = − ⋅ ⋅ + ∑ , x ∈ , 3 х > − 3Так как 1 ( ) 2 ( 3) n n n f x n x = ⋅ ⋅ + и , то, применяя признак Коши, имеем 3 х > − 1 1 lim lim 2 3 1 2 ( 3) n n n n n n n x n x →∞ →∞ = = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + 2 3 x + 63 Следовательно, ряд сходится абсолютно, если 1 1 2 3 x < + , т.е. при 11 4 x > − . Ряд расходится, если 1 1 2 3 x > + , т.е. при 11 3 4 x − < < − При 11 4 x = − получаем знакочередующийся ряд 1 1 ( 1) 11 2 3 4 n n n n n + ∞ = − = ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1 1 1 ( 1) ( 1) 1 2 2 n n n n n n n n + + ∞ ∞ = = − − = = ⋅ ⋅ ∑ ∑ , который сходится по признаку Лейбница. Таким образом, область сходимости ряда – полуинтервал 11 ; 4 ⎡ ⎞ − +∞⎟ ⎢⎣ ⎠ 4 Пример 2. Найти область сходимости и абсолютной сходимости функцио- нального ряда 1 ( 3) tg 2 n n n x x ∞ = − ∑ 3Выпишем -й член ряда n ( ) ( 3) tg 2 n n n x f x x = − Сначала найдем общую область определения функции ( ) n f x . Ясно, что 2 2 n x k π ≠ + π , где , , т.е. n ∈ k ∈ 1 2 (2 1 n x k − ) ≠ π + . Применим признак Даламбера: 1 1 1 1 ( ) tg ( 3) tg ( ) 2 2 lim lim lim 3 ( 3) tg tg 2 2 n n n n n n n n n x n n x x x f x x x x f x + + + + →∞ →∞ →∞ − = = − ⋅ = − 1 3 2 3 lim 2 2 n n n x x x x + →∞ − − = , 3 1 2 x − < при 1 5 x < < Учитывая область определения ряда, исключаем x = π . Таким образом, ряд схо- дится абсолютно при (1; ) ( ;5) x ∈ π π ∪ Ряд расходится, если 3 1 2 x − > , т.е. при либо 5 x > 1 x < 3 1 2 x − = при и 1 1 x = 2 5 x = В точках и 1 1 x = 2 5 x = проводим дополнительные исследования: 1 1 ( ) (1) ( 2) tg 2 n n n n f x f = = − Так как 1 1 lim (1) lim 2 tg lim 2 1 0 2 2 n n n n n n n n f →∞ →∞ →∞ = = = ≠ , то не выполняется необходи- мый признак сходимости числового ряда, значит ряд 1 (1) n n f ∞ = ∑ ( ;5) расходится. Аналогично доказывается расходимость ряда . Итак, области сходимости и абсолютной сходимости ряда совпадают с множеством 1 (5) n n f ∞ = ∑ 1 (1; ) D = π ∪ π 4 64 Найти области сходимости рядов ( ) x ∈ . Исследовать ряды на аб- солютную сходимость. 9.165. 1 ( 1) n x n n ∞ = − ∑ 1 1 ln , 0 n n x x ∞ − = > ∑ 9.166. 9.167. 1 ln n n x n ∞ = ∑ 9.168. 1 1 !( 3) n n n x ∞ = + ∑ 9.169. 1 1 1 , 1 1 n n x x n x ∞ = − ⎛ ⎞ ≠ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 1 nx n n e ∞ = 9.170. ⋅ ∑ 9.171. 1 ( 1) sin ( 2) n n n x x n ∞ = − ⋅ + ∑ 9.172. x 1 sin (2 ) n n x n ∞ = − ∑ 9.173. 2 2 ( 1) ln n n n x n n ∞ = + ∑ 9.174. 2 ln ( 2) n n n n x ∞ = + ∑ Найти области абсолютной сходимости рядов ( ) z ∈ : 9.175. 1 ( 1) n n n z = + 1 ∞ ∑ 9.176. 1 ( 2) n n z = − 1 ∞ ∑ 9.177. 1 n z n n e ∞ − = ⋅ ∑ 9.178. 2 1 2 ( 3 ) n n n n z i ∞ = ⋅ − ∑ 2. Равномерная сходимость Сходящийся в области функциональный ряд 1 D 1 2 ( ) ( ) f x f x + + 1 ( ) ... ( ) n n n f x f ∞ = + + = ∑ 0 ε > x называется равномерно сходящимся в этой облас- ти, если для любого найдется ( ) N N = ε такое, что при всех ( ) и n N > ε 1 x D ∈ имеет место оценка 1 ( ) ( ) n k k n R x f x ∞ = + = < ε ∑ Теорема (признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда). Пусть функции ( ) n f x , определены в области , и пусть существует чи- словой ряд такой, что: n ∈ 1 D 1 n n a ∞ = ∑ 1) 0 1 : ( ) n n n n x D f x a ∀ ≥ ∀ ∈ ≤ ; 2) ряд сходится. 1 n n a ∞ = ∑ Тогда функциональный ряд 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ сходится абсолютно и равномерно в области . 1 D Ряд называется мажорирующим для ряда 1 n n a ∞ = ∑ 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ 65 Пример 1. Исследовать на абсолютную и равномерную сходимость ряд 2 1 sin , n nx x n ∞ = ∈ ∑ 3Ряд 2 1 sin n nx n ∞ = ∑ сходится равномерно и абсолютно при всех , так как для него существует мажорирующий сходящийся числовой ряд x ∈ 2 1 1 n n ∞ = ∑ 2 2 sin 1 при nx x n n ⎛ ⎞ ≤ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 Пример 2. Исследовать на абсолютную и равномерную сходимость ряд 6 3 1 arctg , n nx x x n n ∞ = ∈ + ∑ 3Так как для всех : x ∈ arctg 2 nx π < , то x и n ∀ ∈ ∀ ∈ имеем 4 6 6 3 3 3 arctg 1 2 ( ) 2 n nx f x x n n x n n n π π = ≤ ≤ + + ⋅ Из сходимости мажорирующего ряда 4 1 3 1 2 n n ∞ = π ∑ следует абсолютная и равномерная схо- димость ряда 6 3 1 arctg на n nx x n n ∞ = + ∑ 4 Пользуясь признаком Вейерштрасса доказать абсолютную и равно- мерную сходимость рядов на множестве . 9.179. ( ) 2 2 1 1 1 ( ) n n nx ∞ = + ∑ 9.180. 1 sin ! n nx n ∞ = ∑ 9.181. 4 1 sin 2 n n nx x ∞ = + ∑ 9.182. 1 cos 10 n n nx ∞ = ∑ 9.183. 1 arctg n nx n n ∞ = ∑ 9.184. 2 1 2cos sin ( 1) n x nx n ∞ = ⋅ + ∑ 4 2 1 , n x n xe x ∞ − = ∈ ∑ 5 2 1 , n x n nxe x ∞ − = ∈ ∑ Задачи повышенной сложности Исследовать ряд на равномерную и абсолютную сходимость. 9.185. 9.186. 9.187. Доказать, что если члены равномерно сходящегося в области 1 D функционального ряда 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ умножить на одну и ту же ограничен- 66 ную в области 1 D функцию ( ) x ϕ , то равномерная сходимость ряда не на- рушится. 9.188. Доказать, что если функции ( ) n f x непрерывны в области 1 D и ряд 1 ( ) n n f x ∞ = ∑ равномерно сходится в этой области, то его сумма ( ) не- прерывна в области S x 1 D . 9.189. Определить при 1 x < сумму и остаток ряда 1 1 n n x ∞ − = ∑ и показать, что он сходится равномерно на отрезке 1 0; 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . При каком остаток n ( ) ( ) ( ) 0,001 n n R x S x S x = − < для любого x на этом отрезке? 9.190. Показать, что ряд 1 1 (1 ) n n x x ∞ − = − ∑ сходится неравномерно на от- резке и равномерно на отрезке [ 0;1 ] 1 ;1 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . При каком остаток n ( ) 0,0 < 1 n R x для любого x на отрезке 1 ;1 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ? 9.191. Показать, что ряд 1 1 ( 1)( n ) x n x n ∞ = + − + ∑ сходится равномерно к 1 x в интервале 0 x < < ∞. При каком (и любом 0 n x > ) остаток ряда ( ) 0,1 n R x < ? 9.192. Показать, что ряд ( ) 1 1 n n x n ∞ = − ∑ сходится равномерно на отрезке [ ] 0;1 . При каких и любом n x на этом отрезке ( ) 0,1 n R x < ? 67 §3. Степенные ряды 1. Область сходимости степенного ряда . Функциональный ряд вида 2 0 1 0 2 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( n n n n a a z z a z z a z z a z z ∞ = + − + − + + − + = − ∑ ) n ) n n , (6) где , называется степенным рядом по степеням . Числа называются коэффициентами степенного ряда, - центром степенно- го ряда. 0 , , n a z z ∈ 0,1, 2,... = 0 ( z z − , n a n 0 z В частности, ряд 2 0 1 2 0 n n n a a z a z a z a z ∞ = + + + + + = ∑ (7) является степенным по степеням . С помощью замены z 0 ( ) z z Z − = ряд (6) сводится к ряду (7). Теорема (Абеля). Если степенной ряд (7) сходится в точке , то он абсолютно сходится для всех z таких, что 1 0 z z = ≠ 1 z z < . Если же ряд (7) расходится в точке , то он расходится и для всех 2 z z = z таких, что 2 z z > . Теорема. Для всякого степенного ряда (7) справедливо одно из следующих ут- верждений: 1) существует число 0 R > , такое, что при всех z, таких, что z R < , ряд сходится абсолютно, а при z R > - расходится; 2) ряд сходится только в точке 0 z = ; 3) ряд сходится для всех z. Число R в случае 1) называется радиусом сходимости ряда (7), а интервал ( , ) R R − в случае действительного ряда – интервалом сходимости (открытый круг z R < в комплексном случае – кругом сходимости). В случае 2) полагают радиус сходимости R=0, в случае 3) – R = +∞ . Вопрос о сходимости ряда (7) в точках окружности z R = , остается от- крытым и решается отдельно для каждого ряда. 0 R > Радиус сходимости степенного ряда можно вычислить, используя фор- мулу 0 n n n a z ∞ = ∑ 1 lim n n n a R a →∞ + = (8) или 1 lim n n n R a →∞ = , (9) если пределы (конечные или бесконечные) справа существуют. Если пределы 1 lim n n n a a →∞ + и lim n n n a →∞ для степенного ряда не существуют (как, например, для рядов только с четными или нечетными степенями ), то формулы 0 n n n a z ∞ = ∑ z 68 (8) и (9) применять нельзя. Однако непосредственное использование признаков Далам- бера и Коши для рядов 0 n n n a z ∞ = ∑ часто позволяет определить радиус круга сходимости. Пример 1. Найти радиус сходимости и область сходимости ряда 2 0 ( !) ( 5) n n n x ∞ = + ∑ 3Выпишем и коэффициенты ряда . Существует 0 5 x = − 2 ( !) n a n = 2 2 lim ) ( →∞ = = 2 1 ( !) 1 lim lim 0 (( 1)! 1) n n n n n a n a n n →∞ →∞ + = + + . Таким образом, радиус сходимости , об- ласть сходимость состоит из единственной точки 0 R = 5 x = − 4 Пример 2. Найти радиус сходимости и область сходимости ряда 0 , n n z i z n ∞ = − ⎛ ⎞ ∈ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 3Заметим, что и 0 z = i 1 n n a n = . Используя формулу (9), находим радиус сходи- мости ряда 1 lim lim 1 n n n → = = n R n n →∞ ∞ = ∞ . Таким образом, R = ∞ . Это означает, что ряд схо- дится всюду на комплексной плоскости . 4 Пример 3. Найти радиус, интервал и область сходимости ряда 1 2 ( 3) n n n x n ∞ = − ∑ 3Выпишем и коэффициенты ряда 0 3 x = 2 n n a n = . Найдем 1 lim n n n a R a →∞ + = = 1 2 ( 1) 1 lim 2 2 n n n n n + →∞ + = = ⋅ Концы интервала сходимости 1 0 1 5 3 2 2 x x R = − = − = и 2 0 1 7 3 2 2 x x R = + = + = . Итак, ряд абсолютно сходится для всех значений x из интервала 5 7 ; 2 2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости. Подставляем в за- данный ряд 1 5 2 x x = = . Получится числовой ряд 1 1 2 5 2 1 3 2 2 n n n n n n n n ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ = 1 ( 1) n n n ∞ = − = ∑ . Этот знакочередующийся ряд удовлетворяет условиям признака Лейбница, следовательно, он сходится. Подставим в заданный ряд 2 7 2 x x = = . Получим 1 1 2 1 1 2 n n n n n n ∞ ∞ = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ . Получили гармонический ряд, который, как известно, расходится. Итак, область сходимости – 5 7 ; 2 2 ⎡ ⎞ ⎟ ⎢⎣ ⎠ (к интервалу сходимости присоединился один из его концов). 4 69 9.193. Сформулировать теорему Абеля для ряда (6). 9.194. Степенной ряд по степеням x сходится в точке 4 x = − . Явля- ется ли этот ряд в точке 3 x = − абсолютно сходящимся, условно сходя- щимся или расходящимся? 9.195. Пусть – интервал сходимости степенного ряда по сте- пеням ( 2;7 − ) ( ) 0 x x − . Найти 0 x . 9.196. Пусть – интервал сходимости степенного ряда Какой интервал сходимости имеет степенной ряд ( 3;3 − 0 n n n a x ∞ = ∑ 0 ( 1) n n n a x ∞ = − ∑ ? ) 9.197. Пусть [ ) 5; 1 − − – область сходимости степенного ряда . Является ли ряд 0 ( 3) n n n a x ∞ = + ∑ 0 n n a ∞ = ∑ абсолютно сходящимся, условно схо- дящимся или расходящимся? 9.198. Радиусы сходимости двух степенных рядов по степеням x равны 5 и 6 (соответственно). Какой радиус сходимости имеет сумма этих рядов? Найти радиус, интервал и область сходимости степенных рядов ( ) x ∈ 9.199. 1 ( 1) 2 2 1 n n n x n n ∞ = + ⋅ + ∑ 9.200. 2 1 ( 1) 2 n n n x n ∞ = − ∑ ⋅ 9.201. 1 1 3 n n n x n ∞ − = ∑ 1 (3 1)( 1) n n n x ∞ = 9.202. + − ∑ 9.203. 1 ( 1) 3 2 n n n n x n ∞ = ⋅ − − ∑ 9.204. 1 1 ( 3) ( 1) (2 1) 4 n n n n x n ∞ + = − − + ⋅ ∑ 9.205. 1 (2 1) ! n n n z n ∞ = + ∑ 9.206. 2 1 ! n n n x n ∞ = ∑ 9.207 1 ( 1) ( 7) 5 3 n n n x n ∞ = − − − ∑ 9.208. 1 ( 2) 5 n n n n x ∞ = − ∑ Задачи повышенной сложности Найти область сходимости степенных рядов ( ) x ∈ 9.209. 2 1 1 2 1 ( 1) 3 2 n n n n x n + ∞ = − ⎛ ⎞ ⋅ − ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ 9.210. 1 2 ( 1) 3 ln n n n x n − ∞ = − ∑ 9.211. 1 ( 1) ln n n x n n ∞ = + − ∑ 3 1 2 ( 2) cos 1 n n n 9.212. x n n ∞ = + − π + ∑ 70 9.213. 2 1 2 1 cos ( 2) 1 n n n n x n ∞ = π − + ∑ − 9.214. 2 1 2 1 ( 1) 3 1 n n n n n x n ∞ − = − ⋅ ⋅ ⋅ + ∑ 9.215. 3 1 1 1 ( 5) 8 n n n x n ∞ + = − ⋅ ∑ 9.216. 3 2 1 1 1 8 n n n n x n ∞ = + + ∑ ⋅ 9.217. 2 1 1 ctg ( 1) n n x n ∞ = − ∑ 9.218. 1 1 sin ( 1) n n x n ∞ = − ∑ 1 n = 1 n = Найти область абсолютной сходимости степенных рядов ( ) z ∈ 9.219. ! ! n n z ∞ ∑ 9.220. 2 2 5 n n z ∞ ∑ 9.221. 1 (1 ) ( ) ( 1)( 2) n n n i z i n n ∞ = + + + + ∑ 9.222. 2 1 ( 2 ) ( 1) 2 n n n z i n ∞ = − + ⋅ ∑ 9.223. 1 ( 1 ) 2 n n n z i n ∞ = − + ⋅ ∑ 9.224. ( ) 0 2 1 n n n n i z ∞ = − − ∑ Найти суммы рядов 4 1 n x − ∞ 9.225. 1 4 1 n n = − ∑ 9.226. 1 n = n nx ∞ ∑ 2. Разложение функций в ряд Тейлора (Маклорена). Если функция ( ) f x оп- ределена в некоторой окрестности точки 0 x и имеет в точке 0 x производные всех по- рядков, то степенной ряд ' ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) 1! ! ! n n n n n f x f x f x 0 f x x x x x x n n ∞ = + − + + − + = − ∑ x (10) называется рядом Тейлора функции ( ) f x в точке 0 x . В случае, когда , ряд (10) называют рядом Маклорена. 0 0 x = Говорят, что функция ( ) f x разлагается в степенной ряд на интер- вале 0 0 ( n n n a x x ∞ = − ∑ ) ) ( 0 0 ; x R x R − + , если на этом интервале данный степенной ряд сходится и его сум- ма равна ( ) f x , т.е. 0 0 ( ) ( ) n n n f x a x x ∞ = = − ∑ (11). Теорема (о единственности разложения функции в степенной ряд). Если функ- ция ( ) f x на интервале ( 0 0 ; ) x R x R − + разлагается в степенной ряд 0 ( ) ( ) n 0 n n f x a ∞ = = ∑ x x − , то это разложение единственно, причем ( ) 0 ( ) , ! n n f x a n n = ∈ , т.е. ряд (11) является рядом Тейлора функции ( ) f x в точке 0 x . Теорема (необходимое и достаточное условие разложимости в ряд Тейлора). Ряд Тейлора функции ( ) f x в интервале ( ) 0 0 ; x R x R − + сходится и имеет своей суммой функцию ( ) f x тогда и только тогда, когда в интервале ( ) 0 0 ; x R x R − + остаточный 71 член ( ) n R x формулы Тейлора для функции ( ) f x (см. Гл. 4 §3) стремится к нулю при , т.е. n → ∞ ( ) 0 0 ; lim ( ) 0 n n R x →∞ = при x x R x R − + . ∈ Теорема (достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора). Пусть функция ( ) f x 0 и все ее производные ограничены в совокупности на интервале ( 0 ; ) x R x − + 0 ; R 0 , т.е. существует такая постоянная , что для всех 0 M > ( ) x x R ∈ − x R + и всех выполняется неравенство 0,1, 2... n = ( ) n ( ) f x M ≤ . Тогда на интервале ( ) 0 0 ; x R x R − + функция ( ) f x раскладывается в ряд Тейлора ( ) 0 ( ) ( ) , ! n n f x 0 0 0 n ( ) f x x x x x R n = − − < ∞ = ∑ . Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена 2 3 0 1 2! 3! ! ! n n x x n x x x e x n n ∞ = = + + + + + + = ∑ , (12) 2 4 6 2 2 0 ( 1) ( 1) cos 1 2! 4! 6! (2 )! (2 )! n n n n n x x x x x x n ∞ = − − = − + − + + + = ∑ n , (13) 3 5 7 2 1 2 0 ( 1) ( 1) 1 3! 5! 7! (2 1)! (2 1)! n n n n n x x x x x x x n n + + ∞ = − − = − + − + + + = + + ∑ . (14) sin Ряды (12), (13), (14) сходятся для любого x ∈ , т.е. радиус сходимости каждого их этих рядов равен +∞ 2 3 4 1 1 1 ) ... ( 1) ( 1) 2 3 4 n n n n n x x x x x x x n n ∞ + + = + = − + − + + − + = − ∑ (15) ln(1 Ряд (15) сходится для ( ] 1;1 x ∈ − , т.е. радиус сходимости ряда равен 1. ( ) 2 3 ( 1) ( 1)( 2) 1 1 2! 3! x x x x α α α − α α − α − + = + α + + + + 1 ( 1)( 2)...( 1) ( 1)( 2)...( 1) ... 1 ! ! n n n n n x x n n ∞ = α α − α − α − + α α − α − α − + + + = + ∑ (16) Если , то ряд (16) сходится для 0, α ≠ α ∉ ( 1;1) x ∈ − , т.е. радиус сходимости ря- да равен 1. Пример 1. Разложить функцию 3 ( ) 4 f x x x = + − по степеням 2 x − 3Воспользуемся формулой (10), в которой надо взять 0 2, 3 x n = = (n – степень многочлена). Вычислим и полученные числа подставим в фор- мулу (10). ' '' ''' (2), (2), (2), (2) f f f f (2) f ( f x '' ( ) f x ''' f x 6 = , ' 2 ' ) 3 1, (2) 13 x f = + = , '' 6 , (2) 12 x f = = , ( ) 6 = . После подстановки в (10), в которой вместо 0 x x − надо писать 2 x − , получим 3 2 6 13( 2) 6( 2) ( 2) x x x + − + − + − 3 4 x x + − = 4 72 Пример 2. Разложить функцию 1 ( ) 1 f x x = + в ряд по степеням x 3По формуле суммы геометрической прогрессии 0 1 ( 1) 1 n n n x x ∞ = = − + ∑ (17) Ряд сходится при 1 x < 4 Пример 3. Разложить в ряд по степеням ( ) 3 x + функцию ( ) ln 2 5x − 3Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмической функции: ( ) ( ) 5 5 ln 2 5 ln 2 5( 3) 15 ln17 1 ( 3) ln17 ln 1 17 17 x x x x + ⎛ ⎞ ⎛ − = − + + = − + = + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ( 3) ⎞ ⎟ ⎠ Воспользуемся разложением (15) для ( ) ln 1 x + , полагая 5 ( 3 17 x x ) = − + . Так как разложение (15) имеет место при ( ] 1;1 x ∈ − , то наше разложение будет иметь место при ( ] 5 ( 3) 1;1 17 x − + ∈ − . Таким образом, ( ) 1 1 1 5 1 5 ( ln 2 5 ln17 ( 1) ( 3) ln17 17 17 n n n n n n x x x n n ∞ ∞ + = = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − = + − − + ⋅ = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ 3) , 5 1 ( 3) 17 x − < − + ≤1, т.е. ряд сходится при 32 2 ; 5 5 x ⎡ ⎞ ∈ − ⎟ ⎢⎣ ⎠ 4 При разложении в ряд Тейлора часто используют почленное дифференцирова- ние и интегрирование степенных рядов. Пример 4. Разложить в ряд Маклорена функцию ( ) arctg f x x = 3Найдем производную ( ) f x , получим ( ) ' ' 2 1 ( ) arctg 1 f x x x = = + Заменив в формуле (16) x на 2 x , получим 2 2 0 1 ( 1) 1 n n n x x ∞ = = − + ∑ для ( ) 1;1 x ∈ − Интегрируя этот ряд почленно, получаем 2 1 2 0 0 arctg ( 1) 1 2 x n n n dx x x 1 x n + ∞ = = = − + + ∑ ∫ Так как при почленном интегрировании интервал сходимости сохраняется, то 2 1 0 arctg ( 1) 2 n n n x x n + ∞ = = − + ∑ 1 для любого ] ( 1;1 x ∈ − 4 Используя разложения основных элементарных функций, а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степен- ных рядов, разложить функции в ряд по степеням x и указать области схо- димости полученных рядов. x 9.227. 2 x e − 2 9.228. xe − 9.229. x 9.230. s 2 sin in 2 cos 2 x x ⋅ 73 2 4 x x + 3 4 x x + 9.231. 9.232. 9.233. ( ) ( ) 2 ln 1 2 x x + − 2 ln 3 2 x x + 9.234. + 9.235. ( ) 2 1 1 x + 9.236. 1 1 x − 9.237. 2 2 x x x − − 9.238. 2 3 1 2 x x + − 9.239. 1 1 ln 2 1 x + 9.240. x 3 27 − x − 9.241. 2 0 sin x u du u ∫ 9.242. 2 2 0 x u e du − ∫ x Разложить функции в ряд по степеням 0 x − и определить области сходимости полученных рядов. 9.243. 3 2 0 2, 4 x − = − 0 3 4, 1 x x 2 5 x x x − − 3 2 x x + 9.244. − + = 9.245. Разложить в ряд Маклорена функцию 2 ( ) 1 x f x x = + и из полу- ченного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции ( ) 2 2 2 1 1 x x − + 9.246. Разложить в ряд Маклорена функцию 1 ( ) 1 f x x = − и из полу- ченного ряда почленным дифференцированием получить ряд Маклорена для функции ( ) 2 1 1 x − Задачи повышенной сложности Разложить функции в ряд по степеням 0 x x − и определить области сходимости полученных рядов. ( ) ( ) 9.247. 0 ln 5 3 , 1 x x = 9.248. + 2 0 ln 6 12 , 3 x x x + + = − 9.249. 0 2 1 , 3 6 5 x x x = − + 9.250. 0 2 1 , 4 3 2 x x x = − + + 9.251. 0 2 3 4 , 0 6 x x x x + = + − ( ) 9.252. 0 2 2 1 , 1 2 3 x x x = + + 2 0 7 , 0 x x = 9.253. 9.254. 0 , 0 x x 12 = . 9.255. 0 2 cos sin , 0 x x x x x − = . 9.256. 0 2 sin 1 cos , 0 x x x x x − + = . 74 Используя возможность почленного интегрирования степенных ря- дов, разложить в ряд Маклорена следующие функции: 9.257. ( ) 2 2 arctg ln 1 3 x x x ⋅ − + + . 9.258. ( ) 3 6 ln 9 x x + + 3. Применение степенных рядов. 1) Приближенное вычисление значений функции. Если функция ( ) f x в интервале ) ( 0 0 ; x R x R − + разлагается в степенной ряд ( ) 0 0 ( ) n n n f x a x x ∞ = = − ∑ , то в качестве при- ближенного значения функции ( ) f x в точке ( ) 0 0 ; x x R x R ∈ − + можно взять частичную сумму этого ряда: ) 0 k ( ( ) ( ) k 0 n n k f x S a x x = ≈ = ∑ x − . Точность этого равенства увеличивает- ся с ростом n. Абсолютная погрешность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т.е. ( ) 0 1 ( ) ( ) ( ) k n n k k n f x S x R x a x x ∞ = + − = = − ∑ Оценивать остаток ряда можно различными способами. Можно использовать представление остаточного члена формулы Тейлора в форме Лагранжа, Коши или ин- тегральной (см. Гл. 4 §3). Можно, кроме того, строить для ряда числовую мажоранту, сумму которой несложно вычислить. В отдельных случаях можно применять признак Лейбница: если степенной ряд в некоторой точке x удовлетворяет признаку Лейбница, то ( ) 1 1 0 ( ) n n n R x a x x + + ≤ − Пример 1. Вычислить число с точностью до 0,001. e 3Подставив 1 x = в формулу (12), имеем 0 1 1 1 ! ! n k k n e k k ∞ = = + = + ∑ ∑ Оценим остаток 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! ! ( 1)... ! ( 1) ! ! 1 1 k n k n k n k n n k n n k n n n n n ∞ ∞ ∞ − = + = + = + + = < = ⋅ + + − + ∑ ∑ ∑ n = Следовательно, равенство 0 1 ! n k e k = = ∑ имеет абсолютную погрешность, равную 1 ! n n . Найдем , для которого n 1 0,001 ! n n < или . Получаем . Вычисляя ! 1000 n n > 6 n ≥ 6 2 1 2 ! k k = + ∑ и округляя, находим ответ с требуемой точностью 2,718 e ≈ 4 9.259. Определить, сколько нужно взять членов в разложении функ- ции ln(1 ) x + , чтобы вычислить l с точностью до n 2 4 10 − 75 9.260. Определить, сколько нужно взять членов ряда в разложении функции cos x , чтобы вычислить с точностью до cos 10 ° 4 10 − Используя соответствующие разложения, вычислить указанные зна- чения функций с точностью до 4 10 − : 1 9.262. 9.261. e e sin 12 ° os 1 9.263. 9.264. c Задачи повышенной сложности Используя соответствующие разложения, вычислить указанные зна- чения функций с точностью до 4 10 − : 9.265. 9.266. 4 700 15 ln 2 9.267. 9.268. 3 520 2) Приближенное вычисление определенных интегралов. Разлагая подынтегральную функцию ( ) f t в степенной ряд, можно, используя теорему об интегрировании степен- ных рядов, представить интеграл 0 ( ) x f t dt ∫ в виде степенного ряда и вычислить его с за- данной точностью при любом значении x из интервала сходимости полученного ряда. Пример 2. Разложить функцию 2 0 x t e dt − ∫ в степенной ряд по степеням x 3Используя разложение 0 ! k x k x e k ∞ = = ∑ , получим 2 2 0 ( 1) ! k t k k t e k ∞ − = = − ∑ на всей числовой оси. Применяя почленное интегрирование, находим 2 2 1 0 0 ( 1) (2 1) ! x k t k k x e dt k k + ∞ − = = − + ∑ ∫ 4 Разложить указанные функции в степенные ряды по степеням x : ( ) 9.269. 2 0 ln 1 x t dt t + ∫ 9.270. 0 1 sin 2 x t dt x t ∫ 2 0 cos x t dt ∫ 9.271. 9.272. 3 0 1 x dt t ∫ + Вычислить интегралы с точностью до 4 10 − : 0,2 arctg t dt t ∫ 0,3 ln(1 t + ∫ 0 ) dt t 9.273. 9.274. 0 9.275. 0,6 2 3 0 1 x dx + ∫ 2 0,5 0 t e dt − ∫ 9.276. 76 9.277. 0,8 5 0 1 dx x + ∫ 9.278. 1 0 sin x dx x ∫ 3) Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Степенные ряды широко применяются при решении дифференциальных уравнений. Для целого ряда дифференциальных уравнений показано, что решение ( ) y x представимо в виде степен- ного ряда ( ) ( ( ) 0 0 0 0 ( ) ( ) ! k k k k k y x ) 0 k y x a x x x x k ∞ ∞ = = = − = − ∑ ∑ , (18) коэффициенты которого можно определить с учетом заданного уравнения различными способами. а) Способ последовательного дифференцирования. Пусть требуется найти решение уравнения ( ) '' , , ' y f x y y = , удовлетворяющее условиям 0 0 ( ) y x y = , 0 '( ) 1 y x = y , причем функция ( ) , , ' f x y y в точке ( ) 0 0 1 , , x y y имеет частные производные любого порядка. Тогда коэффициенты ряда (18) опреде- ляются путем последовательного дифференцирования исходного уравнения и подста- новки в него ( ) 0 ( k y ) x 0 x и найденных уже значений 0 0 ''( ),... x '( ), y x y Пример 3. Найти решение уравнения 2 '' y x y = , удовлетворяющее условиям (0) 0, '(0) 1 y y = = 3Имеем (0) 0, '(0) 1 y y = = , из заданного уравнения находим . Далее, дифференцируя уравнение, имеем ''(0) 0 y = 2 ''' ' 2 , y x y xy = + (4) 2 '' 4 ' 2 y x y xy y = + + , (5) 2 ''' 6 '' 6 ' y x y xy y = + + , … ( 2) 2 ( ) ( 1) ( 2) 2 ( 1) k k k y x y kxy k k y + − = + + − k − , … и при получаем отсюда 0 x = ( 2) ( 2) (0) ( 1) (0), 2,3,... k k y k k y k + − = − = Так как и (0) ''(0) '''(0) 0 y y y = = = '(0) 1 y = , то (4 ) (4 2) (4 3) (0) (0) (0) 0 n n n y y y + + = = = n и (4 5) (4 1) (0) (4 2)(4 3) (0) 2 3 6 7...(4 2)(4 3), n n y n n y n n + + = + + = ⋅ ⋅ ⋅ + + ∈ . Следовательно, 4 1 0 2 3 6 7...(4 2)(4 3) ( ) (4 1)! n n n n y x x n ∞ + = ⋅ ⋅ ⋅ + + = + ∑ По признаку Даламбера полученный ряд сходится для любых x ∈ , а определяемая этим рядом функция ( ) y x является решением заданного уравнения при любых x 4 Найти решения уравнений, удовлетворяющие заданным условиям: 9.279. 2 '' , (0) '(0) 1 y x y y y = = = 9.280. 2 '' ' 2 1, (0) '(0) 0 y x y xy y y = − − + = = 77 Найти первые пять членов разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд: 9.281. '' 2 , (0) '(0) 1 y xy y y = − = = 9.282. '' cos , (0) 1, '(0) 0 y y x x y y = + = = б) Способ неопределенных коэффициентов. Если исходное дифференциальное уравнение линейно относительно искомой функции и ее производных, причем коэффициент при старшей производной в точке 0 x отличен от нуля, то решение следует искать в виде ряда (18) с неопределенным коэф- фициентами , 0,1,... k a k = Пример 4. Найти решение (в виде степенного ряда) уравнения , удовлетворяющее условиям '' ' 1 y xy y − + = (0) '(0) 0 y y = = 3Ищем решение в виде ряда 0 ( ) k k k y x a ∞ = = ∑ ( ) x , в котором в силу условий имеем . Следовательно, (0) '(0) 0 y y = = 0 1 0 a a = = 2 k k k y x a ∞ = = ∑ x 1 k = . Подставив это выра- жение в уравнение, получаем 2 2 2 2 ( 1) k k k k k k k k k k a x ka x a x ∞ ∞ ∞ − = = = − − + ∑ ∑ ∑ Отсюда находим, что , т.е. 2 2 1 1 a ⋅ ⋅ = 2 1 1 2 a = ⋅ , и 2 ( 1)( 2) k k k a + + + = ( 1) k k a − для 1, 2,... k = Так как , то для всех 1 0 a = 2 1 0 m a + = 0,1,... m = , а для 2 , 1, 2,... k m m = = , получаем рекуррентную формулу 2 2( 1) (2 1) , 1, 2,... (2 1)(2 2) m m m a a m m m + − = = + + , из которой выводим равенства 2( 1) (2 1)!! (2 2)! m m a m + − = + Следовательно, искомое решение имеет вид 2 2 2 1 (2 1)!! ( ) 2 (2 2)! m m x m y x x m ∞ + = − = + + ∑ , причем полученный ряд сходится при всех x ∈ 4 Найти решение уравнений, удовлетворяющие заданным условиям: 9.283. '' ' 1, (0) '(0) 0 y xy y y y + + = = = 9.284. '' ' , (0) '(0) 0 y xy y x y y − + = = = 9.285. '' ' , (0) 0, '(0) 1 y xy y x y y + + = = = 9.286 '' ' cos , (0) 0, '(0) 1 y xy y x x y y + + = = = 78 |