матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
![]()
|
ГЛАВА 8 8.1. Третий. 8.2. Второй. 8.3. Да. 8.4. Нет. 8.5. Нет. 8.6. Да. 8.9. ln | | x y x e C − = − + . 8.10. 2 2sin 3 y x x C = − + . 8.12. Нет. 8.13. Нет. 8.14. Да. 8.15. 2 3cos y x = − 8.16. 1 2 x y x = + . 8.17. 2 2 1 y x x x = − + . 8.18. 2 ln(1 ) 2 y x = + − y x . 8.19. 8.20. . 8.21. Окружность . 8.22. Луч 2 1 x y + + = 0 4 60 ° 2 2 ( 1) x y + − = = − , . 8.27. 0 x > 1 xy > , . 8.29. 0 x > cos y x C 1 C > − = ± + ( ). 8.30. 2 y x C = ± + . 8.31. cos C y x = 8.32. 2 C y x = . 8.33. 3 2 y y x + − C = ln . 8.34. | | y y x C + = + 0 y ; = . 8.35. 2 arcsin y x C = + ( 2 C π < ); . 8.36. 1 = ± y 2 (arcsin ) y x C = + ( 2 C π > − ); 0 y = . 8.37. 2 1 x y C = e − 1 x ; = ± 8.38. 2 ) tg ln (1 y C x + = ( C > ). 8.39. 0 2 y e − ( 1) x x = + . 8.40. ln(2 ) x y e = − − 8.41. 2 2 x y + + ln 2 = y x . 8.42. 2 sin c y y os 1 x 0 + + + = . 8.43. 1 y = . 8.44. 0 y = . 8.45. 2 2 1 1 y C x x x Cx − + − − = . 8.46. sin 1 sin x y = + C x ; 0 y = ; x n n = π , ∈ 8.47. 1 2 3 y x x − y = − = − − ; . 8.48. 3 1 tg 2 y x = − , ( , 0) x ∈ −π . 8.49. 2ln y x C = ± x ( ). 8.50. ( ); 0 C ≠ ln 0 Cy + = x y 0 C ≠ 0 y = . 8.51. ln 0 y x Cy − = ( ); ; 0 C ≠ 0 = x 0 y = . 8.52. ln y x = − Cx ( ); . 8.53. 0 C ≠ x 0 = 2 (arctg ) y x Cx k = + π k , ∈Z ; (2 1) y n x + = π , . 8.54. n ∈Z ln ln y x = Cx 0 C ( ≠ ). 8.55. arcsin 2 y x x = . 8.56. 1 x y xe − = 8.57. 2 1 ( 2 y x = 1 − ) . 8.58. 2 2 2 ln 2 x y y = . 8.59. 3 3 2 1 Cx y x Cx + = − ; ; 0 = x y x = − . 8.60. 2 2 ln( ) 2 arctg y y x y = + x x . 8.61. y x = − . 8.62. 2 1 t ( ) t ϕ = − . 8.63. 2 ) ( 1 ) ( x y x e C + = + 8.64. 3 2 y Cx = x − . 8.65. . 8.66. 2 3 ( ) x x C − = + y e 3 2 1 5 x x Ce y e − = + . 8.67. (sin ) y x x C = + 8.68. ln x y e = Cx ( 0 C ≠ ). 8.69. 2 ( 1)( y x x 1) = + + . 8.70. sin y x = . 8.71. 3 x y Cy = + ; . 8.72. 0 y = y y x e Ce − = + . 8.73. 2 2 2 ( ) x 2 1 4 y e x − = + C ; 0 y = . 8.74. 3 3 2 3 y Cx = x − 8.75. ln y x x C x = + . 8.76. . 8.77. 2 y e 0, x x e = − + 5 0, 25 x + y x = − . 8.78. 2 0, 25 y x = 8.79. 1 y Cx C = + ( C 0 ≠ ); 2 y = ± x . 8.80. C y Cx e = − ; (ln y x x 1) = − . 8.81. ln x C = + y C 91 ( ); 0 C > 1 ln( ) y x = − − − . 8.82. ( 1) y C x C = + + ( ); 0 C ≥ 1 4( 1) y x = − + . 8.83. cos y C x x = . 8.84. 2 ( 1) y C x C = + + ; . 8.85. 2 0, 25( 1) y x = − + 2 1 y Cx C = + + ; 2 1 y x = − 8.86. 2 ln( ) x y C e = − − ( 0 C > ). 8.87. 2 0,5 x y e − = . 8.88. ctg x y e x − = − 8.89. (1 ) cos y x x = − . 8.90. 2 ln y x x = . 8.91. ln 2 x y = + . 8.92. 2 1 ( 4 5 y x = + x ) . 8.93. Гипербола 1 x y x = − . 8.94. Гипербола 2 2 4 x y − = . 8.95. 2 2 5 4 x y x + = 8.96. 2 1 y x x = − . 8.97. Через 6 мин 18 с. 8.98. Через 40 мин. 8.99. Через 2 0 x y − = 2 14 π с 9 2 R R S g ≈ 1 ч 51 мин 28 с. 8.100. 0 1 0 0 1 1 0,0011 с ln v v v v v v 3 с 4000ln 2 h − = ≈ . 8.101. Нет. 8.102. Да. 8.103. Нет. 8.104. Нет. 8.107. 1 2 g arct y x C x C = + + 8.108. 3 sin 2 1 2 y x x = − C x C + + . 8.109. 1 ln | 2 1| 2 y C x C = + + . 8.110. 4 1 2 y C x C = + 8.111. 1 ( x 2 ) y C x e = + C + . 8.112. 1 2 ln | | y x C C = + + ; y C = . 8.113. 1 1 y C = + 2 1 2 1 ( ) C x C + + 1 4C ( C ≠ ). 8.114. 1 0 1 2 1 1 y C x C = − + ( C C ); 2 1 2 + 2 0 ≠ 1 y = . 8.115. 5 1 2 5 y C y C + = x − ; . 8.116. y C = 4 1 2 y C y x C + = + ; y C = . 8.117. 1 2 1 2 ( ) y C x C − = ± + 2 2 y = + ; . 8.118. 1 2 y C x = ± C + . 8.119. 8.120. 2 ln 2 y x x = − + 3 2 3 y x x = − . 8.121. . 8.122. . 8.123. 8.124. 1. 8.125. . 8.126. 3 ( 6) x − tg 3 2 y x = + − ln( 1) y x = + 2 2) ( y x = − 2 1 y x = + x y e − = + y x = . 8.127. 1 2 ln | | 1 y C x C + x = + 8.128. 2 1 2 ( 1) x y e x = − C x + C + . 8.129. 1 2 sin 1 sin 2 2 y C x C = + x − x − . 8.130. 3 1 y C x = − 2 2 x C − + . 8.131. 1 2 | | ln y C y x C − = + ; y C = . 8.132. 1 C x 2 1 1 y C e 1 C ≠ C = + ( ); 0 y C x = − ; . 8.133. 0 y = 1 2 2 ( ) C cos y x C + = . 8.134. 1 2 C 1 y y C ln C x = + 1 + ( C ); 0 ≠ y C = . 8.135. arcctg y x = . 8.136. 2 ( 1) 2 e y x = − . 8.137. 2 ( RH R 1 2 arcsin H H − 2 2 H H R R g − + + ) 4 H π + . 8.138. 1 1 − + , at at F e k e v = 1 2 ln at m e F x t k k − , + = где 2 a k Линейно не- зависима. 8.140. Линейно зависима. 8.141. Линейно зависима. 8.142. Линейно незави- сима. 8.143. Линейно зависима. 8.144. Линейно независима. 8.145. Линейно незави- сима. 8.146. Линейно зависима. 8.147. Да. 8.148. Да. 8.149. Нет. 8.150. F . m = 8.139. 2 3 3 2 y x x = − 8.151. 2 2 3 3 x x x y e e = + e + . 8.152. 2 y 0 y y ′′ ′ − + = . 8.153. 8.154. 2 x y′′ 6 12 xy y ′ − + = 0 1 2 tg cos ln y C x = + C x x + . 8.155. 3 1 2 ( ) x y e C C x = + 92 8.156. 2 1 2 ( cos sin x ) y e C x C x = + . 8.157. 4 2 3 1 2 x x y C e C e − = + . 8.158. 2 1 2 ( ) x y e C C x − = + 8.159. 3 1 ( cos 2 sin x 2 2 ) y e C x C − = + x . 8.160. 4 1 2 x x y C e C e = + . 8.161. 3 3 1 2 x x y C e C e − = + 8.162. 1 2 cos 2 sin 2 y C x C x = + . 8.163. 4 5 y y y 0 ′′ ′ − + = . 8.164. 8.165. 2 0 y y y ′′ ′ − − = (2 3 ) x y e x − = − . 8.166. 2 2 x y e − = − . 8.167. sin 2 y x = − . 8.168. 2 x y xe = 8.169. 1 ( ) 2 x x y e e − = − . 8.170. 2cos y x 3sin x = + . 8.171. 3 2 1 2 ( cos x x y C e − e C x = + + . 8.172. 3 sin C + ) x 2 2 1 2 ( co x x 3 s sin ) y C e − = + e C x C x + . 8.173. 1 2 ( ) cos y C C x x = + + . 8.175. 3 4 ( )sin C C x x (1 t + + 2 ) x e − = t − . 8.176. 2 x y e − = + . 8.177. 0 ( ) 2 t t v r e e ω −ω = − ω • Уравнение имеет вид . 8.178. 2 r = ω r cos k x a t m = . 8.179. x y y y xe ′′ ′ + − = 8.180. 2 4 y y y x ′′ ′ − − = − . 8.181. 1 2 sin x C cos y C cos ln x x | tg | 2 2 x = + + + . 8.182. 1 ( x y e C = + 2 2 4 arcsin 2 ) x C x x + − x + . 8.183. 2 ( 4 ) x x Ax B e + . 8.184. x Ae . 8.185. 2 ( ) x Ax Bx C + + ( ) cos Ax B x + + . 8.186. 8.187. . 8.188. (( x e A ( cos 2 ) cos x B sin 2 2 ( x Cx D + + ) )sin 2 ) x + (Cx D + )sin x x A x B x + . 8.189. Ax + cos 4 sin 4 B x C x + + . 8.190. cos sin Ax B C x D x + + + . 8.191. 3 1 2 x y xe = 8.192. 2cos sin y x = + x . 8.193. 3 2 1 2 x y C C e x = + − . 8.194. 2 1 2 ( ) x x y e C C x − = + e + . 8.195. 2 1 2 sin ) 3 2 ( cos x x e − + y e C x C x − = + . 8.196. 1 x y C e = 2 ( ) 2 x x C e − + − 8.197. 2 ( ) 1 2 x y e C C x = + x + . 8.198. 1 cos3 y C x = + 2 sin 3 1 3 x C x + − . 8.199. . 8.200. . 8.201. . 8.202. 2 1 x y C e = + 3 1 ( cos x y e C x = + 3 2 C e 2 sin + 5cos3 sin x x + + − ) 2sin C x x + 3x ) + 1 2 ( x y e C C x = + 1 2 cos sin c x 3sin os 2 y C x C x x = + + . 8.203. 1 x y C e = + 4 ( ) (6 2 1) x x e − C x e x − + + + − . 8.204. 1 2 s 2 sin co 2 2(1 cos ) y C x C x x = + + − 8.205. 2 3 x y e x − = + . 8.206. 3 cos 2 x y e x = + . 8.207. 2 ( 2) x x y e = − . 8.208. 2 1 y x = + . 8.209. cos cos 2 y x = − x si . 8.210. cos x n y xe x − = + x + . 8.211. 4 8 y y y ′′′ ′′ ′ − + = 8cos 2 16sin 2 x x = + 8.212. (4) 2 6 4sin y y y ′′′ ′′ − + = − x 8.213. 2 1 2 ( x y C e x C x = + + + 8.214. 3 C e + ) 4 x − − 2 2 ( 12 x x + 1 2 C = + 3 4 cos sin x C x C x + + 2 12) x + − y C 8.215. 2 x y xe = − cos x − 8.216. 1 ( 3)sin 2 y x − x = + 8.217. 3 ln(9 9,81 80) с 2,7 + ≈ 7 с • Уравнение имеет вид 9 9 g g = s s − , где s – путь, пройденный за время t концом опускающейся части троса. 8.218. 0 sin 2 E I t L = t ω . • Уравнение имеет вид 0 1 t Idt E t C + = ∫ ( ) LI . 8.220. 2 x y e − = , 2 2 x z e = 8.221. 1 2 y y = ′ , 2 3 y y ′ = y x ′ , 3 3 y 3 1 y y 2 = − . 8.222. 1 2 y y ′ = , 2 3 y y ′ = , 3 4 y y ′ = ′ , 2 4 1 y y = 93 8.223. 1 2 y C x C = ± + , 1 1 2 z C x C = ± + 2 C ( 1 0 C ≠ ). 8.224. 5 1 2 x x y C e C e = + , 5 1 2 3 x x z C e C e = − + . 8.225. , 1 2 λ = 1 (1, 3) X = − ; 2 5 λ = , 2 (2, 3) X = − . 8.226. , ; , . 8.227. 1 1 λ = − 1 (1, 1) X = 2 3 λ = 2 X = (5, 1) 1,2 1 3i λ = ± , 1,2 (2, 1 3 ) X i = ∓ . 8.228. , . 8.229. , . 8.230. 2 λ = − (1, 1) X = 1 − λ = (1, 1, X = 1) − 1 0 λ = X , 1 (1, 2, 3) = ; , 8.231. . 8.232. , 2 1 2 (1, 1, 1) X = λ = 1,2 2 i λ = − ± 1 0 λ = 2 3 λ = − . 8.233. 2 4 1 2 3 t t x C e C e = + , 2 4 1 2 t t y C e C e = + 8.234. 2 t t 1 2 x C e C = + e , . 8.235. 2 2 t t C e 1 y C e = + 2 2 1 2 5 t t x C e C e − = + , 8.236. 2 1 2 2 t t y C e C e − = + 1 2 3 t t x C e − = + C e , 1 2 t t y C e = C e − + . 8.237. 2 (5 c t 1 2 os3 5 sin 3 ) x e C − 5 ( t t C t = + 1 1 cos 2 cos 2 ) , . 8.238. 2 1 2 [(4 3 ) t y e C C − = − 1 3 4 C + 2 )sin 3 ] C t + cos3 ( t x e C t C t = + , 5 1 2 [ ( ) t 1 2 ) cos 2 ( sin 2 ] y e C C = − + t + C C − t . 8.239. 3 1 2 ( ) t x e C C t − = + , 3 1 ( 0, t 2 2 5 ) y e C − = − + C C t − . 8.240. 1 2 2 2 ) (2 t x e C = + C C t + − , 1 2 ( ) t y e C C t − = + 8.241. sin 2 x t = − , 2(cos 2 sin 2 ) y t t = + . 8.242. 2 2 t x e = , 2t y e = . 8.243. Эллипс с центром O и полуосями a и 0 m k v . 8.244. 2 1 3 3 t x C C e = + 2 2 ( t , , . 8.245. Устойчиво. 8.246. Неустойчиво. 8.247. Устойчивый фо- кус. 8.248. Седло. 8.249. Центр. 8.250. Неустойчивый фокус. 8.251. Неустойчивый узел. 8.252. Устойчивый узел. 8.253. Неустойчивый вырожденный узел. 8.254. Устойчивый вырожденный узел. 8.255. 2 2 3 2 t t y C e C e − = − 1 2 cos sin ) 2 e 1 2 2 t z C C e − = − + 3 t C x e C t C t = + , ; неустойчивый фокус; фазовые траектории закру- чиваются по часовой стрелке, направление движения по ним – от начала координат. 8.256. 2 1 2 [ ( ) t y e C C = − + 2 1 2 )si C − co 1 2 s ( t C + 2 5 t t n ] t x C e = C e − − + , ; устойчивый узел; прямолинейные фазовые траектории лежат на прямых 2 1 t − = − x y 5 2 t − 0 y C e C e 2 − = и 0 x y + = , остальные касаются прямой в начале координат; направление движения по всем фазовым траекториям – к началу координат. 8.257. 2 0 x y − = 2 t t 1 2 4 x C e − C = + e , 2 2 t 1 t y C e C − = + e ; седло; прямолинейные фа- зовые траектории лежат на прямых 0 x y − = (направление движения – к началу коор- динат) и (направление движения – от начала координат). 8.258. 4 x y 0 = 1 2 sin − cos x C t = + C t , 1 2 ( ) 1 2 ( cos )sin y C C = − t + C C + t 0 ; центр; направление движе- ния по фазовым траекториям – против часовой стрелки. 8.259. При – седло, при – неустойчивый узел, при ( , 0,5) α ∈ −∞ − ( 0 α ∈ − ,5; 0) ∪ (4, ) + ∞ α = и – неустойчи- вый вырожденный узел, при – неустойчивый фокус; точка покоя неустойчива при любых α. 8.260. При 4 α = ( α ∈ 0, 4) ( 3, 3) – α седло, при ∈ − ( 2, 3) ( ∈ − − ∪ ( , 3, 2) – 2) ( 2, ) α устойчи- вый узел, при α устойчивый вырожденный узел, при 2 – = ± α ∈ −∞ у − + ∞ ∪ – ус чивый фокус; т ка коя имптотически стойчива при той оч по ас ( , α ∈ −∞ − 3) ( ∪ 3, + ∞) и неустойчива при ( 3 − , 3) α ∈ 94 |