матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра

• Название: Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
• Анкор: матан 3 семестр.pdf
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 2.42 Mb.
• Имя файла: матан 3 семестр.pdf
• Тип: Контрольные вопросы; #7378
• страница: 9 из 11

ГЛАВА 8
8.1. Третий. 8.2. Второй. 8.3. Да. 8.4. Нет. 8.5. Нет. 8.6. Да. 8.9.
ln | |
x
y
x
e
C
−
=
−
+ .
8.10.
2 2sin 3
y
x
x
C
=
−
+ . 8.12. Нет. 8.13. Нет. 8.14. Да. 8.15.
2 3cos
y
x
= −
8.16.
1 2
x
y
x
=
+
. 8.17.
2 2
1
y
x
x x
=
−
+ . 8.18.
2
ln(1
) 2
y
x
=
+
−
y
x
. 8.19.
8.20.
. 8.21. Окружность
. 8.22. Луч
2 1
x
y
+ + = 0 4
60
°
2 2
(
1)
x
y
+
−
=
= − ,
. 8.27.
0
x
>
1
xy
> ,
. 8.29.
0
x
>
cos
y
x C
1
C
> −
= ±
+ (
). 8.30.
2
y
x
C
= ±
+ . 8.31. cos
C
y
x
=
8.32.
2
C
y
x
=
. 8.33.
3 2
y
y
x
+ −
C
=
ln
. 8.34. | |
y
y
x C
+
= +
0
y
;
= . 8.35.
2
arcsin y x
C
=
+
(
2
C
π
< );
. 8.36.
1
= ±
y
2
(arcsin
)
y
x C
=
+
(
2
C
π
> − );
0
y
= . 8.37.
2 1 x
y
C
= e
−
1
x
;
= ±
8.38.
2
)
tg ln (1
y
C
x
+
=
(
C
>
). 8.39.
0 2
y
e
−
(
1)
x
x
=
+ . 8.40. ln(2
)
x
y
e
= −
−
8.41.
2 2
x
y
+
+ ln
2
=
y
x
. 8.42. 2
sin c
y
y
os
1
x
0
+
+
+ = . 8.43.
1
y
= . 8.44.
0
y
= .
8.45.
2 2
1 1
y
C
x
x
x
Cx
−
+
−
−
=
. 8.46. sin
1
sin
x
y
=
+ C
x
;
0
y
= ;
x
n
n
= π
,
∈
8.47.
1 2 3
y
x
x
−
y
= −
= − −
; . 8.48.
3 1
tg
2
y
x
=
−
, (
, 0)
x
∈ −π
. 8.49.
2ln
y
x
C
= ±
x
(
). 8.50.
(
);
0
C
≠
ln
0
Cy
+
=
x
y
0
C
≠
0
y
= . 8.51. ln
0
y
x
Cy
−
= (
);
;
0
C
≠
0
=
x
0
y
= .
8.52.
ln
y
x
= −
Cx (
);
. 8.53.
0
C
≠
x
0
=
2 (arctg
)
y
x
Cx
k
=
+ π
k
,
∈Z
; (2 1)
y
n
x
+
= π
,
. 8.54.
n
∈Z
ln ln
y
x
=
Cx
0
C
(
≠
). 8.55. arcsin 2
y
x
x
=
. 8.56.
1 x
y
xe
−
=
8.57.
2 1
(
2
y
x
=
1
− ) . 8.58.
2 2
2
ln 2
x
y
y
=
. 8.59.
3 3
2 1
Cx
y
x
Cx
+
=
−
;
;
0
=
x
y
x
= − .
8.60.
2 2
ln(
)
2 arctg
y
y
x
y
=
+
x
x
. 8.61. y
x
= − . 8.62.
2 1
t
( )
t
ϕ
= − . 8.63.
2
)
(
1
)
(
x
y
x
e
C
+
=
+
8.64.
3 2
y
Cx
=
x
− . 8.65.
. 8.66.
2 3
(
)
x
x
C
−
=
+
y
e
3 2
1 5
x
x
Ce
y
e
−
=
+
. 8.67. (sin
)
y
x
x C
=
+
8.68.
ln
x
y
e
=
Cx (
0
C
≠
). 8.69.
2
(
1)(
y
x
x
1)
=
+
+ . 8.70. sin
y
x
=
. 8.71.
3
x
y
Cy
=
+
;
. 8.72.
0
y
=
y
y
x
e
Ce
−
=
+
. 8.73.
2 2
2
(
)
x
2 1
4
y
e
x
−
=
+ C ;
0
y
= . 8.74.
3 3
2 3
y
Cx
=
x
−
8.75.
ln
y
x
x
C
x
=
+
. 8.76.
. 8.77.
2
y
e
0,
x
x
e
=
− + 5 0, 25
x
+
y
x
= − . 8.78.
2 0, 25
y
x
=
8.79.
1
y
Cx
C
=
+ (
C
0
≠
);
2
y
= ±
x . 8.80.
C
y
Cx e
=
− ;
(ln
y
x
x 1)
=
− . 8.81. ln
x
C
=
+
y
C
91

(
);
0
C
>
1 ln(
)
y
x
= − −
− . 8.82.
(
1)
y
C x
C
=
+ +
(
);
0
C
≥
1 4(
1)
y
x
= −
+
. 8.83. cos
y
C
x
x
= .
8.84.
2
(
1)
y
C x
C
=
+ +
;
. 8.85.
2 0, 25(
1)
y
x
= −
+
2 1
y
Cx
C
=
+
+
;
2 1
y
x
=
−
8.86.
2
ln(
)
x
y
C
e
= −
−
(
0
C
>
). 8.87.
2 0,5
x
y
e
−
=
. 8.88. ctg
x
y
e
x
−
= −
8.89.
(1
) cos
y
x
x
= −
. 8.90. 2 ln
y
x
x
=
. 8.91. ln
2
x
y
=
+
. 8.92.
2 1
(
4 5
y
x
=
+
x
) .
8.93.
Гипербола
1
x
y
x
=
−
. 8.94. Гипербола
2 2
4
x
y
−
= . 8.95.
2 2
5 4
x
y
x
+
=
8.96.
2 1
y
x
x
= − . 8.97. Через
6 мин 18 с. 8.98. Через 40 мин. 8.99. Через
2 0
x
y
−
=
2 14
π
с
9 2
R
R
S
g
≈ 1 ч 51 мин 28 с. 8.100.
0 1
0 0 1 1
0,0011 с ln
v
v
v
v v
v
3
с
4000ln 2
h
−
=
≈
. 8.101. Нет.
8.102.
Да. 8.103.
Нет. 8.104.
Нет. 8.107.
1 2
g arct
y
x C x C
=
+
+
8.108.
3
sin 2 1
2
y
x
x
=
−
C x C
+
+
. 8.109.
1
ln | 2 1|
2
y
C
x
C
=
+ + . 8.110.
4 1
2
y
C x
C
=
+
8.111.
1
(
x
2
)
y
C x e
=
+
C
+
. 8.112.
1 2
ln |
|
y
x C
C
=
+
+ ;
y
C
= . 8.113.
1 1
y
C
=
+
2 1
2 1
(
)
C x C
+
+
1 4C
( C
≠ ). 8.114.
1 0
1 2
1 1
y
C x C
= −
+
( C
C
);
2 1
2
+
2 0
≠
1
y
= .
8.115.
5 1
2 5
y
C y
C
+
=
x
−
;
. 8.116.
y
C
=
4 1
2
y
C y
x C
+
= +
;
y
C
= .
8.117.
1 2
1 2
(
)
y
C x C
−
= ±
+
2 2
y
=
+ ;
. 8.118.
1 2
y
C x
= ±
C
+
. 8.119.
8.120.
2
ln
2
y
x
x
=
−
+
3 2
3
y
x
x
=
−
. 8.121.
. 8.122.
. 8.123.
8.124.
1. 8.125.
. 8.126.
3
(
6)
x
−
tg
3 2
y
x
=
+ −
ln(
1)
y
x
=
+
2 2)
(
y
x
=
−
2 1
y
x
=
+
x
y
e
−
=
+
y
x
=
. 8.127.
1 2
ln | |
1
y
C
x
C
+
x
= +
8.128.
2 1
2
(
1)
x
y
e x
=
−
C x
+
C
+
. 8.129.
1 2
sin
1
sin
2 2
y
C
x C
=
+
x
−
x
−
. 8.130.
3 1
y
C x
=
−
2 2
x
C
− +
. 8.131.
1 2
| |
ln
y C
y
x C
−
= +
; y C
= . 8.132.
1
C x
2 1
1
y
C e
1
C
≠
C
=
+
(
);
0
y
C
x
= − ;
. 8.133.
0
y
=
1 2
2
(
)
C
cos
y
x C
+
=
. 8.134.
1 2
C
1
y
y
C
ln
C x
=
+
1
+
( C
);
0
≠
y
C
= .
8.135.
arcctg
y
x
=
. 8.136.
2
(
1)
2
e
y
x
=
− . 8.137.
2
( RH R
1 2
arcsin
H
H
−
2 2
H
H
R
R
g
−
+
+
)
4
H
π
+
. 8.138.
1 1
−
+
,
at
at
F e
k e
v
=
1 2
ln
at
m
e
F
x
t
k
k
−
,
+
=
где
2
a
k
Линейно не- зависима. 8.140. Линейно зависима. 8.141. Линейно зависима. 8.142. Линейно незави- сима. 8.143. Линейно зависима. 8.144. Линейно независима. 8.145. Линейно незави- сима. 8.146. Линейно зависима. 8.147. Да. 8.148. Да. 8.149. Нет. 8.150.
F .
m
=
8.139.
2 3
3 2
y
x
x
=
−
8.151.
2 2
3 3
x
x
x
y
e
e
=
+
e
+
. 8.152.
2
y
0
y
y
′′
′
−
+ = . 8.153.
8.154.
2
x y′′ 6 12
xy
y
′
−
+
= 0 1
2
tg cos ln
y
C
x
=
+ C
x
x
+
. 8.155.
3 1
2
(
)
x
y
e
C
C x
=
+
92

8.156.
2 1
2
( cos sin
x
)
y
e
C
x C
x
=
+
. 8.157.
4 2
3 1
2
x
x
y
C e
C e
−
=
+
. 8.158.
2 1
2
(
)
x
y
e
C
C x
−
=
+
8.159.
3 1
( cos 2
sin
x
2 2 )
y
e
C
x C
−
=
+
x . 8.160.
4 1
2
x
x
y
C e
C e
=
+
. 8.161.
3 3
1 2
x
x
y
C e
C e
−
=
+
8.162.
1 2
cos 2
sin 2
y
C
x C
x
=
+
. 8.163.
4 5
y
y
y
0
′′
′
−
+
= . 8.164.
8.165.
2 0
y
y
y
′′
′
− −
=
(2 3 )
x
y
e
x
−
=
−
. 8.166.
2 2
x
y
e
−
=
− . 8.167. sin 2
y
x
= −
. 8.168.
2 x
y
xe
=
8.169.
1
(
)
2
x
x
y
e
e
−
=
−
. 8.170.
2cos
y
x 3sin x
=
+
. 8.171.
3 2
1 2
(
cos
x
x
y
C e
−
e C
x
=
+
+
. 8.172.
3
sin
C
+
)
x
2 2
1 2
(
co
x
x
3
s sin )
y
C e
−
=
+ e C
x C
x
+
. 8.173.
1 2
(
) cos
y
C
C x
x
=
+
+
. 8.175.
3 4
(
)sin
C
C x
x
(1
t
+
+
2
)
x
e
−
=
t
−
. 8.176.
2
x
y
e
−
= +
. 8.177.
0
(
)
2
t
t
v
r
e
e
ω
−ω
=
−
ω
•
Уравнение имеет вид
. 8.178.
2
r
= ω r
cos
k
x
a
t
m
=
. 8.179.
x
y
y
y
xe
′′
′
+ − =
8.180.
2 4
y
y
y
x
′′
′
− −
= − . 8.181.
1 2
sin
x C
cos
y
C
cos ln
x
x
| tg | 2 2
x
=
+
+
+ .
8.182.
1
(
x
y
e C
=
+
2 2
4
arcsin
2
)
x
C x
x
+
−
x
+
. 8.183.
2
(
4
)
x
x Ax
B e
+
. 8.184.
x
Ae .
8.185.
2
(
)
x Ax
Bx C
+
+
(
) cos
Ax
B
x
+
+
. 8.186.
8.187.
. 8.188.
((
x
e
A
( cos 2
) cos
x
B
sin 2 2
(
x
Cx
D
+
+
)
)sin 2 )
x
+
(Cx D
+ )sin x
x A
x
B
x
+
. 8.189.
Ax
+
cos 4
sin 4
B
x C
x
+
+
. 8.190. cos sin
Ax
B C
x
D
x
+ +
+
. 8.191.
3 1
2
x
y
xe
=
8.192.
2cos sin
y
x
=
+
x . 8.193.
3 2
1 2
x
y
C
C e
x
=
+
− . 8.194.
2 1
2
(
)
x
x
y
e
C
C x
−
=
+
e
+ .
8.195.
2 1
2
sin )
3 2
( cos
x
x
e
−
+
y
e
C
x C
x
−
=
+
. 8.196.
1
x
y
C e
=
2
(
)
2
x
x
C
e
−
+
−
8.197.
2
(
)
1 2
x
y
e C
C x
=
+
x
+
. 8.198.
1
cos3
y
C
x
=
+
2
sin 3 1
3
x
C
x
+ − . 8.199.
. 8.200.
. 8.201.
. 8.202.
2 1
x
y
C e
=
+
3 1
( cos
x
y
e
C
x
=
+
3 2
C e
2
sin
+
5cos3
sin
x
x
+
+
−
) 2sin
C
x
x
+
3x
)
+
1 2
(
x
y
e C
C x
=
+
1 2
cos sin c x
3sin os
2
y
C
x C
x
x
=
+
+
. 8.203.
1
x
y
C e
=
+
4
(
)
(6 2
1)
x
x
e
−
C
x e
x
−
+
+
+
−
. 8.204.
1 2
s 2
sin co
2 2(1 cos )
y
C
x C
x
x
=
+
+
−
8.205.
2 3
x
y
e
x
−
=
+
. 8.206.
3
cos 2
x
y
e
x
=
+
. 8.207.
2
(
2)
x
x
y
e
=
− . 8.208.
2 1
y
x
= + .
8.209.
cos cos 2
y
x
=
−
x
si
. 8.210. cos
x
n
y
xe
x
−
=
+
x
+
. 8.211.
4 8
y
y
y
′′′
′′
′
−
+
=
8cos 2 16sin 2
x
x
=
+
8.212.
(4)
2 6 4sin
y
y
y
′′′
′′
−
+
= −
x
8.213.
2 1
2
(
x
y
C e
x
C x
=
+
+
+
8.214.
3
C e
+ )
4
x
−
−
2 2
(
12
x
x
+
1 2
C
=
+
3 4
cos sin
x C
x C
x
+
+
2 12)
x
+
−
y
C
8.215.
2
x
y
xe
=
−
cos x
−
8.216.
1 (
3)sin 2
y
x
−
x
= +
8.217.
3
ln(9 9,81 80) с 2,7
+
≈
7 с
• Уравнение имеет вид
9 9
g
g
=
s
s
−
, где s – путь, пройденный за время t концом опускающейся части троса. 8.218.
0
sin
2
E
I
t
L
=
t
ω . • Уравнение имеет вид
0 1
t
Idt
E t
C
+
=
∫
( )
LI
. 8.220.
2
x
y
e
−
=
,
2 2
x
z
e
=
8.221.
1 2
y
y
=
′
,
2 3
y
y
′ =
y
x
′
,
3 3
y
3 1
y y
2
=
−
. 8.222.
1 2
y
y
′ = ,
2 3
y
y
′ = ,
3 4
y
y
′ =
′
,
2 4
1
y
y
=
93

8.223.
1 2
y
C x C
= ±
+
,
1 1
2
z
C x
C
= ±
+
2
C
(
1 0
C
≠ ). 8.224.
5 1
2
x
x
y
C e
C e
=
+
,
5 1
2 3
x
x
z
C e
C e
= −
+
. 8.225.
,
1 2
λ =
1
(1, 3)
X
=
− ;
2 5
λ = ,
2
(2, 3)
X
=
− . 8.226.
,
;
,
. 8.227.
1 1
λ = −
1
(1, 1)
X
=
2 3
λ =
2
X
= (5, 1)
1,2 1 3i
λ = ± ,
1,2
(2, 1 3 )
X
i
=
∓
. 8.228.
,
. 8.229.
,
. 8.230.
2
λ = −
(1, 1)
X
=
1
−
λ =
(1, 1,
X
=
1)
−
1 0
λ =
X
,
1
(1, 2, 3)
=
;
,
8.231.
. 8.232.
,
2 1
2
(1, 1, 1)
X
=
λ =
1,2 2 i
λ = − ±
1 0
λ =
2 3
λ = − . 8.233.
2 4
1 2
3
t
t
x
C e
C e
=
+
,
2 4
1 2
t
t
y
C e
C e
=
+
8.234.
2
t
t
1 2
x
C e
C
=
+ e ,
. 8.235.
2 2
t
t
C e
1
y
C e
=
+ 2 2
1 2
5
t
t
x
C e
C e
−
=
+
,
8.236.
2 1
2 2
t
t
y
C e
C e
−
=
+
1 2
3
t
t
x
C e
−
=
+ C e ,
1 2
t
t
y
C e
=
C e
−
+
. 8.237.
2
(5 c
t
1 2
os3 5
sin 3 )
x
e
C
−
5
(
t
t
C
t
=
+
1 1
cos 2
cos 2 )
,
. 8.238.
2 1
2
[(4 3 )
t
y
e
C
C
−
=
−
1 3
4
C
+
2
)sin 3 ]
C
t
+
cos3
(
t
x
e
C
t
C
t
=
+
,
5 1
2
[ (
)
t
1 2
)
cos 2
(
sin 2 ]
y
e
C
C
=
−
+
t
+ C C
−
t . 8.239.
3 1
2
(
)
t
x
e
C
C t
−
=
+
,
3 1
(
0,
t
2 2
5
)
y
e
C
−
=
− +
C
C t
−
. 8.240.
1 2
2 2
)
(2
t
x
e
C
=
+ C
C t
+
−
,
1 2
(
)
t
y
e
C
C t
−
=
+
8.241.
sin 2
x
t
= −
, 2(cos 2
sin 2 )
y
t
t
=
+
. 8.242.
2 2
t
x
e
=
,
2t
y
e
=
. 8.243. Эллипс с центром
O и полуосями
a и
0
m
k
v
. 8.244.
2 1
3 3
t
x
C
C e
=
+
2 2 (
t
,
,
. 8.245. Устойчиво. 8.246. Неустойчиво. 8.247. Устойчивый фо- кус. 8.248. Седло. 8.249. Центр. 8.250. Неустойчивый фокус. 8.251. Неустойчивый узел. 8.252. Устойчивый узел. 8.253. Неустойчивый вырожденный узел.
8.254.
Устойчивый вырожденный узел. 8.255.
2 2
3 2
t
t
y
C e
C e
−
=
−
1 2
cos sin )
2
e
1 2
2
t
z
C
C e
−
=
−
+
3
t
C
x
e
C
t
C
t
=
+
,
; неустойчивый фокус; фазовые траектории закру- чиваются по часовой стрелке, направление движения по ним – от начала координат.
8.256.
2 1
2
[ (
)
t
y
e
C
C
=
−
+
2 1
2
)si
C
−
co
1 2
s
(
t
C
+
2 5
t
t
n ]
t
x
C e
=
C e
−
−
+
,
; устойчивый узел; прямолинейные фазовые траектории лежат на прямых
2 1
t
−
=
−
x
y
5 2
t
−
0
y
C e
C e
2
−
= и
0
x
y
+ = , остальные касаются прямой в начале координат; направление движения по всем фазовым траекториям – к началу координат. 8.257.
2 0
x
y
−
=
2
t
t
1 2
4
x
C e
−
C
=
+
e ,
2 2
t
1
t
y
C e
C
−
=
+ e ; седло; прямолинейные фа- зовые траектории лежат на прямых
0
x
y
− = (направление движения – к началу коор- динат) и
(направление движения – от начала координат).
8.258.
4
x
y
0
=
1 2
sin
−
cos
x
C
t
=
+ C
t ,
1 2
(
)
1 2
(
cos
)sin
y
C
C
=
−
t
+ C C
+
t
0
; центр; направление движе- ния по фазовым траекториям – против часовой стрелки. 8.259. При
– седло, при
– неустойчивый узел, при
(
, 0,5)
α ∈ −∞ −
( 0
α ∈ − ,5; 0) ∪ (4,
)
+ ∞
α =
и
– неустойчи- вый вырожденный узел, при
– неустойчивый фокус; точка покоя неустойчива при любых
α. 8.260. При
4
α =
(
α ∈ 0, 4)
(
3, 3) –
α
седло, при
∈ −
( 2,
3) (
∈ − −
∪
(
,
3, 2) –
2) ( 2,
)
α
устойчи- вый узел, при
α
устойчивый вырожденный узел, при
2
–
= ±
α ∈ −∞
у
−
+ ∞
∪
– ус чивый фокус; т ка коя имптотически стойчива при той оч по ас
(
,
α ∈ −∞ − 3) (
∪
3,
+ ∞) и неустойчива при
(
3
− , 3)
α ∈
94