матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра

• Название: Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
• Анкор: матан 3 семестр.pdf
• Дата: 09.05.2017
• Размер: 2.42 Mb.
• Имя файла: матан 3 семестр.pdf
• Тип: Контрольные вопросы; #7378
• страница: 6 из 11

9.1.
1 2
n
n
n
∞
=
∑
9.2.
1 1
2 3
n
n
n
∞
=
+
+
∑
Найти частичные суммы и .
2
S
3
S
9.3
1
cos
!
n
n
n
∞
=
π
∑
9.4.
( )
1 1
3
n
n
n
n
∞
=
−
⋅
∑
Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:
9.5.
(
)(
)
1 1
2 1 2 1
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.6.
2 2
2 4
9
n
n
∞
=
−
∑
9.7.
1 2
3 5
n
n
n
n
∞
=
+
∑
9.8.
1 4
3 7
n
n
n
n
∞
=
−
∑
49

Используя достаточное условие расходимости ряда, установить рас- ходимость следующих рядов:
9.9.
2 2
1 5 2 3
2
n
n
n
n
∞
=
−
+
+
∑
1
9.10.
1 3
7 2
4
n
n
n
∞
=
+
+
∑
9.11.
9 1
1 1
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.12.
3 1
18 8
4
n
n
n
∞
=
+
−
∑
9.13.
9.14.
( )
1 1
n
n
∞
=
−
∑
1
sin
2
n
n
∞
=
π
∑
Задачи повышенной сложности
Показать, что следующие ряды сходятся, и найти их суммы:
9.15.
(
)
2 3
2 1
1
n
n
n n
∞
=
+
−
∑
9.16.
(
)
1 1
3
n
n n
∞
=
+
∑
9.17.
2 2
1
ln 1
n
n
∞
=
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.18.
Показать, что ряд
1 1
ln 1
n
n
∞
=
⎛ +
⎜
⎝
⎠
∑
⎞
⎟ расходится.
Используя достаточное условие расходимости ряда, установить рас- ходимость следующих рядов:
9.19.
10 1
n
n
e
n
∞
=
∑
9.20.
2 1
2
n
n
n
∞
=
∑
9.21.
Исследовать на сходимость ряд
(
)
1 2
2
n
n
n
i
n
∞
=
+
⋅
∑
9.22.
Доказать, что если
1
lim
1
n
n
n
u
u
+
→∞
= , но отношение
1
n
n
u
u
+
для всех номеров начиная с некоторого, больше единицы, то ряд расходится.
,
n
9.23
. Пусть ряд сходится, ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
расходится. Доказать, что ряд расходится.
1
(
n
n
n
u
v
∞
=
+
∑
)
9.24.
Может ли сумма двух расходящихся рядов быть сходящимся рядом? Ответ обосновать.
9.25.
Доказать, что если ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
, сходится, то ряд так- же сходится. Показать, что обратное утверждение неверно.
0
n
u
≥
2 1
n
n
u
∞
=
∑
9.26.
Доказать, что если ряды
2 1
n
n
u
∞
=
∑
и
2 1
n
n
v
∞
=
∑
сходятся, то ряд
1
n n
n
u v
∞
=
∑
также сходится.
50

9.27.
Доказать, что если ряды
2 1
n
n
u
∞
=
∑
и
2 1
n
n
v
∞
=
∑
сходятся, то ряд тоже сходится.
(
2 1
n
n
n
u
v
∞
=
+
∑
)
9.28.
Доказать, что если ряд
2 1
n
n
u
∞
=
∑
сходится, то ряд
1
n
n
u
n
∞
=
∑
также схо- дится.
2.Признаки сходимости для рядов с неотрицательными членами. Пусть дан ряд
. Если
, то ряд называется рядом с неотрицательными
членами (с положительными членами).
1
n
n
u
∞
=
∑
(
0
n
n
n
u
u
∀ ∈
≥
>
)
0
Теорема (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными чле-
нами
1
n
n
u
∞
=
∑
,
(2)
1
n
n
v
∞
=
∑
(3)
и пусть существует номер
такой, что для любого
выполняются нера-
венства
, тогда из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2), а из рас-
ходимости ряда (2) следует расходимость ряда (3).
0
n
∈
0
n n
≥
n
u
v
≤
n
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
2 1
ln
n
n
∞
=
∑
3Заметим, что для любого выполняется неравенство
, поэтому
2
n
≥
ln n n
<
1 1
ln
n
n
<
для
. По признаку сравнения из расходимости гармонического ряда
2
n
≥
1 1
n
n
∞
=
∑
следует расходимость ряда
2 1
ln
n
n
∞
=
∑
4
Пример 2. Зная, что ряд
(
)
1 1
1
n
n n
∞
=
+
∑
сходится (см.п.1, пример 1), установить сходимость ряда
2 1
1
n
n
∞
=
∑
3Так как
(
)
2 2
1 0
1 1
1
n
n
n
n
∞
∞
=
=
=
+
∑
∑
, то, учитывая неравенства
(
)
(
)
2 1
1 1
1
n n
n
<
+
+
, n=1,2,…, по признаку сравнения убеждаемся в сходимости ряда
2 1
1
n
n
∞
=
∑
4
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд
5 1
1 cos
2 2
n
n
n
n
∞
=
π
⎛
⎞
+
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
+
∑
51

3Так как при всех
n
∈
выполняется неравенство
1 2
5 2
5 2
2 1 cos
2 2
2 2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
π
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
≤
<
=
+
+
2
, и ряд
2 1
2
n
n
∞
=
∑
сходится, то по признаку сравнения ряд
5 1
1 cos
2 2
n
n
n
n
∞
=
π
⎛
⎞
+
⋅
⎜
⎟
⎝
⎠
+
∑
сходится.
4
Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два ряда с положи-
тельными членами
1
n
n
u
∞
=
∑
и
и существует
1
n
n
v
∞
=
∑
lim
n
n
n
u
k
v
→∞
= ,
0 k
< < +∞
. Тогда ряды
и
сходятся или расходятся одновременно.
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
v
∞
=
∑
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд
2 4
1 5
2 2
3
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
3Так как ряд
2 1
1
n
n
∞
=
∑
сходится
(см. пример 2) и так как
2 4
2 5
2 1
lim
:
2 3
n
n
n
n n
→∞
−
=
+
4 2
4 5
2
lim
2 3
n
n
n
n
n
→∞
−
=
+
5 2
, то ряд
2 4
1 5
2 2
3
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
также сходится.
4
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд
2 1
3 2
4 7
n
n
n
n
∞
=
+
−
∑
3Так как
2 2
2 3
2 1
3 2
3
lim
:
lim
4 7
4 7
n
n
n
n
n
n n
n
n
→∞
→∞
+
+
=
−
−
4
n = , а гармонический ряд
1 1
n
n
∞
=
∑
расхо- дится, то и ряд
2 1
3 2
4 7
n
n
n
n
∞
=
+
−
∑
расходится.
4
Теорема (признак Даламбера). Пусть дан ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
с положительными члена-
ми и существует предел
1
lim
n
n
n
u
l
u
+
→∞
= . Тогда:
при <1 ряд сходится,
l
при >1ряд расходится,
l
при =1 требуется дополнительное исследование.
l
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд
1 3
!
n
n
n
n
n
∞
=
⋅
∑
3Имеем
1 1
1 3
!
3 (
1)
,
(
1)
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
n
n
+
+
+
⋅
+
=
=
+
!
и
1 1
1 3 (
1)!
lim lim
(
1) 3 !
n
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
u
n
n
+
+
+
→∞
→∞
+ ⋅
=
=
+
3 3 (
1) !
3 3
3
lim lim lim
1
(
1) (
1) 3 !
(
1)
1 1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
n
e
n
→∞
→∞
→∞
⋅ + ⋅ ⋅
⋅
=
=
=
+
+ ⋅
+
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
= >
Значит, по признаку Даламбера ряд расходится.
4
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд
(
)
(
)
1 2 5 8 ... 3 1
1 6 11 ... 5 4
n
n
n
∞
=
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
∑
52

3Заметим, что
(
)
(
)
1 3
1 1 3
2 5
1 4
5
n
n
n
n
n
u
u
u
n
n
+
+ −
1
+
=
⋅
=
⋅
+ −
+
. Применим признак Даламбера:
1 3
2 3
lim lim
1 5
1 5
n
n
n
n
u
n
u
n
+
→∞
→∞
+
=
=
+
< , откуда следует, что ряд сходится.4
Теорема (признак Коши). Пусть дан ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
с неотрицательными членами и
существует предел
lim
n
n
n
u
→∞
= l . Тогда
при l<1 ряд сходится,
при l>1 ряд расходится,
при l=1 требуется дополнительное исследование.
Пример 8. Иcследовать на сходимость ряд
2 1
1 1
1 5
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
3Имеем
2 1
1 1
1 1
lim lim
1
lim
1 1
5 5
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
e
n
n
→∞
→∞
→∞
⎛
⎞
⎛
⎞
=
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
5
< , т.е по признаку
Коши ряд сходится.
4
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд
2 3
2 1
1 3 4
2 3
n
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
3Вычислим
2 3
2 1 3 4
lim lim
2 3
n
n
n
n
n
n
u
n
n
→∞
→∞
⎛
⎞
+
=
⎜
⎟
+
⎝
⎠
Так как
3ln
3 1
lim lim
n
n
n
n
n
e
n
−
→∞
→∞
=
=
3ln lim
0 1
n
n
n
e
e
→∞
−
=
=
= и
2 2
3 4
lim
2 3
n
n
n
→∞
+
=
+
3 2
, то
2 3
2 1
3 4
3
lim lim lim
1 2
3 2
n
n
n
n
n
n
n
u
n
n
→∞
←∞
→∞
+
=
⋅
=
+
>
. Согласно признаку Коши данный ряд расходится.
4
Теорема (интегральный признак Коши). Если функция ( )
f x , определенная при
всех
1
x
≥
( )
неотрицательна, непрерывна и убывает на промежутке
, то ряд
[
,
a
+∞)
1
n
f n
∞
=
∑
и несобственный интеграл
( )
a
f x dx
+∞
∫
сходятся или расходятся одновременно.
Пример 10. Исследовать на сходимость ряд
(
) (
)
1 1
1 ln
1
n
n
n
∞
=
+
+
∑
3Функция
( ) ( ) ( )
1 1 ln
1
f x
x
x
=
+
+
удовлетворяет условиям интегрального при- знака Коши: она положительна, непрерывна и убывает на промежутке
[
. Находим
1;
)
+∞
(
) (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
ln
1
lim lim ln ln
1
lim ln ln
1
ln ln 2 1 ln
1
ln
1
b
b
b
b
b
d
x
dx
x
b
x
x
x
+∞
→+∞
→+∞
→+∞
+
=
=
+
=
+ −
+
+
+
∫
∫
= +∞ .
Так как исследуемый несобственный интеграл расходится, то и исследуемый ряд расходится.
4
Пример 11. Выяснить, при каких значениях
α
сходится ряд Дирихле
1 1
,
n
n
∞
α
=
α ∈
∑
53

3Если
, то
0
α ≤
1
lim lim
0
n
n
n
n
−α
α
→∞
→∞
=
≠ , т.е. не выполнен необходимый признак сходимости ряда, и ряд
1 1
n
n
∞
α
=
∑
расходится. Так как при
0
α >
функция
( )
1
f x
x
α
=
в промежутке удовлетворяет условиям интегрального признака Коши, то иссле- дование ряда Дирихле сводится к исследованию сходимости интеграла
[
1;
)
+∞
1
dx
x
+∞
α
∫
. Как из- вестно (см гл.5 §6 п.1), этот интеграл сходится при
1
α > и расходится при
. Сле- довательно, и ряд Дирихле сходится при
1
α ≤
1
α >
и расходится при .
4
Используя признак сравнения или предельный признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:
9.29.
1 1
5 3
n
n
∞
=
−
∑
9.30.
(
)
2 1
1 3
2
n
n
∞
=
−
∑
9.31.
2 1
3 2
n
n
n
∞
=
−
∑
9.32.
2 3
1 2
1
n
n
n
∞
=
−
∑
9.33.
(
)(
)
1 1
1 2
n
n n
n
∞
=
+
+
∑
9.34.
(
)(
)(
)
1 1
1 2
n
n n
n
n
∞
=
3
+
+
+
∑
9.35.
2 2
1 1
1
n
n
n
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.36.
2 3
1 5
3 2
n
n
n
n
∞
=
+
+
∑
9.37.
(
)
(
)
1 2
3 2
3
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.38.
3 2
1 2
n
n
n
∞
=
+
∑
9.39.
3 4
2
ln
n
n
n
∞
=
∑
9.40.
3 1
ln
n
n
n
∞
=
∑
9.41.
2 1
sin
2
n
n
∞
=
π
∑
9.42.
2 1
1
ln 1
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.43.
2 3
2 1
1
arctg
n
n
n
∞
=
∑
9.44.
1 2
sin
n
n
∞
=
π
∑
9.45.
1 1
ln 1
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.46.
3 1
2 1
1
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.47.
2 1
1
n
i n
n
∞
=
+
∑
9.48.
4 1
1
n
n i
n
∞
=
+
+
∑
Пользуясь признаком Даламбера, исследовать на сходимость сле- дующие ряды:
9.49.
2 1
3 2
n
n
n
∞
=
+
∑
9.50.
5 1
5
n
n
n
∞
=
∑
54

9.51.
1
!
n
n
n
n
∞
=
∑
9.52.
2 1
1
!
n
n
e
n
+
∞
=
∑
9.53.
(
)
1 1
1 3
n
n
n
∞
=
⎛ ⎞
+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
9.54.
1 2
!
n
n
n
∞
=
∑
9.55.
1 2
!
n
n
n
n
∞
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
9.56.
( )
1 2 1 2
n
n
∞
=
−
∑
9.57.
(
)
(
)
1 2 5 ... 3 1
1 5 ... 4 3
n
n
n
∞
=
⋅ ⋅ ⋅
−
⋅ ⋅ ⋅
−
∑
9.58.
(
)
(
)
1 100 103 ... 97 3 1 5 9 ... 4 3
n
n
n
∞
=
⋅
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
−
∑
9.59.
(
)
2 1
3 1
8
n
n
n
n
∞
=
+
⋅
∑
9.60.
1
!
2 1
n
n
n
∞
=
+
∑
Пользуясь признаком Коши, исследовать на сходимость следующие ряды:
9.61.
2 1
4 1
3
n
n
n
n
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.62.
1 5
2 2
1
n
n
n
n
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎝
⎠
∑
9.63.
2 1
1 1
1 2
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.64.
1 1
2
n
n
n
n
−
∞
=
∑
9.65.
2 1
1 3
2
n
n
n
n
n
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎝
⎠
∑
9.66.
2 1
1 1
1 3
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.67.
1 1
arcsin
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.68.
3 1
3 1
6 5
n
n
n
n
∞
=
−
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.69.
1 1 cos
n
n
n
∞
=
π
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.70.
1 1
1
sin
2
n
n
n
∞
−
=
∑
Используя интегральный признак Коши, исследовать на сходимость следующие ряды:
9.71.
2 2
1
ln
n
n
n
∞
=
∑
9.72.
2 1
ln
n
n
n
∞
=
∑
9.73.
3 2
1
ln
n
n
n
∞
=
∑
9.74.
3 1
1
(
2)ln (
2
n
n
n
∞
=
)
+
+
∑
9.75.
2 1
arctg
1
n
n
n
∞
=
+
∑
9.76.
2 1
1 1
n
n
∞
=
+
∑
Исследовать на сходимость ряды:
9.77.
1 1
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.78.
1
cos
n
n
∞
=
π
∑
55

9.79.
2 3
1
ln (ln ln )
n
n n
n
∞
=
∑
9.80.
4 4
1 1
ln
n
n
n
∞
=
+
∑
9.81.
1
tg
8
n
n
=
∑
∞
π
9.82.
1
( 2) !
n
n
n
n
=
∑
n
∞
9.83.
2 1
1 1
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.84.
1 7
3 3 4
n
n
n
n
∞
=
−
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.85.
3 2
1 2
1
n
n
n
∞
=
−
∑
9.86.
3 1
ln ln ln
n
n n
n
∞
=
∑
9.87.
1 1
1 1 sin
1 sin
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
. 9.88.
1 1
5
n
n
n
∞
=
∑
+
9.89.
1 10
!
n
n
n
∞
=
∑
9.90.
1 12
!
n
n
n
n
n
∞
=
⋅
∑
9.91.
2 1
sin
n
n n
n n
∞
=
∑
9.92.
2 2
ln
1
n
n n
n
∞
=
∑
−
Задачи повышенной сложности
Исследовать на сходимость ряды:
9.93.
2 2
1 3
1 7
5
n
n
n
n
+
∞
=
∑
9.94.
1 4 3( 1)
2
n
n
n
∞
=
+ −
∑
9.95.
1 1
n
n
ne
∞
=
∑
9.96.
4 2
2 3
4
n
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.97.
1 1
(2 1)ln(
1)
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.98.
2 1
1
(2 3)ln (2 1)
n
n
n
∞
=
+
+
∑
9.99.
1 2 ( 1)
ln
n
n
n
n
∞
=
+ −
−
∑
9.100.
2 4
1
(5 9)ln(
2)
n
n
n
n
∞
=
+
−
−
∑
9.101.
2 3
1 5
2 sin
2
n
n
n
n
∞
=
+
π
⎛
⎞
+
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
2 2
2 1
arctg
1
n
n
n
n
∞
=
−
π
−
∑
9.102.
9.103.
1
n
=
arctg
!
n
∞
∑
n
π
9.104.
1
!
1
tg
(2 )!
n
n
n
n
∞
=
∑
9.105.
(
)
5 2
1 2
arcsin
3
n
n
n
=
+
∑
∞
9.106.
2 1
1 1
n
n
n e
∞
=
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
56

9.107.
3 2
1 3
4
ln (
1) sin
n
n
n
e
n
n
n
∞
=
+
+
+
+ +
∑
9.108.
1 2
2 1
1 1
ln 1 sin cos ln arctg
n
n
e
n
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
+
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
+
+
∑
9.109.
Исследовать на сходимость ряд
2 1
(ln )
p
n
n
n
∞
α
=
∑
при различных действительных значениях p и
α .
9.110.
Исследовать на сходимость ряд
3 1
(ln ) (ln ln )
p
n
n
n
n
∞
α
β
=
∑
при различных действительных значениях p ,
α и β .
9.111.
Положим
. Доказать, что ряд
2 2
n
n
a
=
1
n
n
a
∞
=
∑
расходится, а ряд
1 1
n
n
n
a
S
∞
=
+
∑
сходится.
9.112.
Доказать, что сумма ряда с неотрицательными членами не из- менится при произвольной перестановке его членов.
57

3. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница
Теорема. Пусть дан ряд с произвольными (действительными иликомплексны-
ми) членами
1 2
1
n
n
n
u
u
u
u
∞
=
+ + +
+ =
∑
.
Если сходится ряд
1 2
1
n
n
n
u
u
u
u
∞
=
+
+ +
+ =
∑
,
составленный из абсолютных величин членов данного ряда, то сходится и данный чи-
словой ряд.
Ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами на- зывают абсолютно сходящимся, если сходится действительный ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
из абсо- лютных величин его членов.
Ряд с произвольными (действительными или комплексными) членами на- зывают условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся, т.е. если сходится, а ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
1
n
n
u
∞
=
∑
расходится.
Пример 1. Исследовать на абсолютную сходимость ряд
2 1
cos
n
n
n
∞
=
∑
3Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ряда:
2 1
cos
n
n
n
∞
=
∑
(4)
Так как при любом n имеет место соотношение
2
cos
1
n
n
n
≤
2
, а ряд
2 1
1
n
n
∞
=
∑
сходит- ся (ряд Дирихле,
), то по признаку сравнения ряд (4) сходится. Следовательно, исходный ряд сходится.
4 2 1
α = >
Теорема (признак Лейбница). Пусть знакочередующийся ряд
1 1
1 2
3 1
... ( 1)
( 1)
n
n
n
n
a
a
a
a
a
∞
+
+
=
− + − + −
+ =
−
∑
n
0
n
a
>
, ,
,
n
∈
удовлетворяет условиям:
1.
;
1 2
3 1
n
n
a
a
a
a
a
+
≥
≥
≥ ≥
≥
≥
2. lim
0
n
n
a
→∞
=
Тогда этот знакочередующийся ряд сходится, его сумма положительна и не пре- восходит первого члена.
Если знакочередующийся ряд
, ,
1 1
( 1)
n
n
n
a
∞
+
=
−
∑
0
n
a
>
n
∈
, удовлетворяет услови- ям признака Лейбница, то модуль суммы всякого его остатка
1 1
( 1)
k
n
k
k n
R
a
∞
+
= +
=
−
∑
оцени- вается сверху числом
:
1
n
a
+
1
n
n
R
a
+
≤
,
n
∈
1
n
a
+
. Для вычисления суммы такого ряда с за- данной точностью решаем неравенство
α
< α , откуда находим количество членов
58

ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы ряда с заданной точностью
α
Далее вычисляем n-ю частичную сумму
1 1
2
... ( 1)
n
n
n
S
S
a
a
a
−
≈
= − + + −
( )
1 1
1
!
n
n
n
−
∞
=
−
∑
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд
3Проверим условия признака Лейбница для данного знакочередующегося ряда с
1
!
n
a
n
=
:
1. Последовательность
1
!
n
⎧ ⎫
⎨ ⎬
⎩ ⎭
убывает;
2.
1
lim
0
!
n
n
→∞
= .
Следовательно, по признаку Лейбница исходный ряд сходится.
4
Пример 3. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
1 1
( 1)
n
n
n
−
∞
α
=
−
∑
3Сначала изучим ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
. В нашем случае
1
n
u
n
α
=
. Если
, то
0
α ≤
lim
0
n
n
u
→∞
≠
и, значит, ряд
1 1
( 1)
n
n
n
−
∞
α
=
−
∑
расходится. При
0
α >
возможны два варианта: а) Если
, то ряд
1
α >
1 1
n
n
∞
α
=
∑
сходится, откуда следует, что ряд
1 1
( 1)
n
n
n
−
∞
α
=
−
∑
сходится абсо- лютно; б) Если
, то ряд
0
< α ≤ 1 1
1
n
n
∞
α
=
∑
расходится, значит исходный ряд не будет сходиться абсолютно.
Исследуем ряд
1 1
( 1)
n
n
n
−
∞
α
=
−
∑
на условную сходимость. Докажем, что этот ряд удов- летворяет признаку Лейбница.
Действительно, во-первых, последовательность
1
n
α
⎧
⎫
⎨
⎬
⎩
⎭
убывает, во-вторых,
1
lim
0
n
n
α
→∞
= . Согласно признаку Лейбница ряд сходится.
Таким образом, при ряд
0
α ≤
1 1
( 1)
n
n
n
−
∞
α
=
−
∑
расходится, при сходится ус- ловно, при сходится абсолютно.
4 0
< α ≤ 1 1
α >
Пример 4. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд
1
(3 1)
n
n
n
n i
b
∞
=
−
∑
,
, .
b
∈
0
b
>
3Исследуем этот ряд на абсолютную сходимость. Для выяснения сходимости ряда
1
(3 1)
n
n
n
n i
b
∞
=
−
∑
воспользуемся признаком Даламбера. Обозначая
(3 1)
n
n
n
n i
u
b
−
=
,
59

получаем
3 1 10
n
n
n
n
n
n i
n
u
b
b
−
=
=
,
1 1
1
(
1)(3 1)
n
n
n
n
i
u
b
+
+
+
+
−
=
,
1 1
1
(
1) 3 1
n
n
n
n
i
u
b
+
+
+
+
−
=
=
1 1
(
1) 10
n
n
n
b
+
+
+
=
Следовательно,
1 2
1 1
2
(
1)10
lim lim
10
n
n
n
n
n
n
n
n
u
n
b
u
b n
+
+
→∞
→∞
+
+
=
=
⋅
10 1
10
lim
n
n
b
n
b
→∞
+
=
Таким образом, если
10 1
b
< , т.е.
10
b
>
, то ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
сходится и, следо- вательно, исходный ряд сходится абсолютно. Если же
10 1
b
> , т.е.
10
b
<
, то ряд
1
n
n
u
∞
=
∑
расходится и, следовательно, исходный ряд не является абсолютно сходящим- ся. Более того, исходный ряд в этом случае расходится в силу невыполнения необходи- мого признака сходимости ряда.
При
10
b
=
признак Даламбера использовать нельзя. В этом случае
,
n
u
n
=
и поскольку
n
u
n
=
не стремится к нулю при n
, то не выполняется необходимый признак сходимости как для ряда
→ ∞
1
n
n
u
∞
=
∑
, так и для ряда
1
n
n
u
∞
=
∑
. Следовательно, в этом случае исходный ряд расходится
4
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ря- ды:
9.113
2 1
( 1)
3
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.114.
1 1
( 1)
n
n
n n
∞
=
−
∑
9.115.
1 3
2
( 1)
4 3
n
n
n
n
n
∞
=
−
⎛
⎞
−
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
9.116.
2 1
( 1)
3
n
n
n
n
∞
=
−
∑
9.117.
2
ln
( 1)
n
n
n
n
∞
=
−
∑
9.118.
2
( 1)
ln
n
n
n n
∞
=
−
∑
9.119.
3 1
( 1)
ln ln ln
n
n
n n
n
∞
=
−
∑
9.120.
3 3
1
( 1)
ln (ln ln )
n
n
n n
n
∞
=
−
∑
9.121.
1 1
( 1)
3 1
n
n
n
n
∞
+
=
−
−
∑
9.122.
1 2
( 1)
3 4
n
n
n
n
∞
=
−
∑
−
9.123.
3 1
1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
+
=
−
∑
9.124.
2 3
1
( 1)
3
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.125.
3 1
( 1)
2
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.126.
1
( 1)
(5 3)(4 3)
n
n
n
n
∞
=
−
−
+
∑
60

9.127.
2 1
2 1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
=
−
−
∑
9.128.
1
( 1)
ln
n
n
n
n
∞
=
−
∑
( )
9.129
1
sin ln 3
n
n
n
∞
=
α
∑
9.130.
3 1
cos
n
n
n
∞
=
α
∑
9.131.
1
cos
!
n
n
n
∞
=
∑
9.132.
3 1
sin
n
n
n n
∞
=
∑
( )
9.133.
2 1
( 1)
!
n
n
n
n
n
∞
=
−
∑
9.134.
3 1
cos 2 1
n
n
n
∞
=
∑
+
9.135.
2 1
1
tg
( 1)
n
n
n
n
∞
=
−
∑
3 1
( 1)
2
n
n
n
n
∞
=
+
∑
9.136.
−
−
Установить сходимость рядов и вычислить их суммы с точностью до
0,01.
9.137.
( 1)
n
∞
−
3 1
1
n
n
=
+
∑
9.138.
1
( 1)
n
−
∞
−
3
n
1
n
=
∑
9.139.
( )
1 1
2 !
n
n
n
n
∞
=
−
∑
9.140.
( )
1 1
!
n
n
n
∞
=
−
∑
Задачи повышенной сложности
Исследовать ряды на абсолютную сходимость.
9.141.
1
!(
)
n
n
n
n
n e i
∞
=
−
∑
9.142.
1 3
3
n
n
in
∞
=
+
∑
9.143.
1 2
(1
)
3
n
n
n
i
i n
∞
=
⎛
⎞
+
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
∑
9.144.
1
(2
)
4
n
n
i n i
n
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.145.
1
(1
)
2
n
n
n
i n
∞
=
+
∑
9.146.
1 1
(
)
n
n i n
∞
=
−
∑
(
)
2 2
1
( 1) ln(
5) ln(
1)
n
n
n
n
=
−
+ −
+
∑
Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие ряды:
9.147.
∞
3 1
( 1) sin
7
n
n
n
n
∞
=
π
−
+
∑
9.148.
9.149.
1 7
( 1)
n
n
n
n
n
∞
=
+
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.150.
1
( 1)
1
n
n
n
n
n
∞
=
⎛
⎞
−
⎜
⎟
+
⎝
⎠
∑
61

9.151.
1
( 1)
tg
(
1)
2
n
n
n
n
n
n
∞
=
−
π
+
+
∑
9.152.
1
( 1) tg
4 5
1
n
n
n
n
∞
=
π
−
+
∑
9.153.
1 1
( 1)
(
1)ln(
3)
n
n
n
n
+
∞
=
−
+
+
∑
9.154.
4
( 1)
1 ln(
2)
3
n
n
n
n
∞
=
−
⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.155.
3 1
( 1)
3
ln
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.156.
1
( 1)
ln
n
n
n
n
∞
=
−
+
∑
9.157.
1
n
n
i
n
∞
=
∑
9.158.
1 3
2
n
n
i
∞
=
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.159.
3 3
1
n
n i
n
∞
=
+
∑
9.160.
1 2
3
n
n
i
∞
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
9.161.
Доказать, что члены абсолютно сходящегося ряда можно пе- реставлять произвольным образом; при этом сумма ряда не изменится.
9.162.
Пусть ряд сходится и
1
n
n
a
=
∑
∞
lim
1
n
n
n
a
b
→∞
= . Можно ли утверждать, что сходится ряд
1
n
n
b
∞
=
∑
?
Рассмотреть пример
( )
1 1
n
n
n
∞
=
−
∑
и
( )
1 1
1
n
n
n
n
∞
=
⎡
⎤
−
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∑
9.163.
Показать, что сумма S условно сходящегося ряда
1 1
1
( 1)
n
n
n
∞
+
=
−
∑
уменьшится вдвое, если после каждого положительного члена ряда помес- тить два последующих отрицательных, и увеличится в полтора раза, если после двух положительных членов поместить один отрицательный.
9.164.
Члены сходящегося ряда
1 1
( 1)
n
n
n
+
∞
=
−
∑
переставить так, чтобы он стал расходиться.
62