матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
ГЛАВА 9 9.1. 1 1 3 1 5 ; ; ; ; 2 2 8 4 32 . 9.2. 2 3 4 5 6 ; ; ; ; 5 7 9 11 13 . 9.3. 1 2 ; 2 3 − − . 9.4. 1 2 ; 9 9 − − . 9.5. 1 2 . 9.6. 23 45 9.7. 1 2 6 . 9.8. 7 12 . 9.15. 11 12 . 9.16. 11 18 . 9.17. 1 ln 2 . 9.21. Расходится. 9.23. От противно- го. 9.24. Да. Например, сумма расходящихся рядов 1 1 1 2 n n ∞ = ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ и будет сходя- щимся рядом 1 ( 1) n ∞ = − ∑ 1 1 2 n n ∞ = ∑ . 9.26. Доказать и использовать неравенство 2 2 uv u v ≤ + 9.28. Воспользоваться задачей. 9.26., положив 1 n v n = . 9.29. Расходится. 9.30. Сходит- ся. 9.31. Расходится. 9.32. Расходится. 9.33. Сходится. 9.34. Сходится. 9.35. Сходится. 9.36. Расходится. 9.37. Расходится. 9.38. Сходится. 9.39. Расходится. 9.40. Расходится. 9.41. Сходится. 9.42. Сходится. 9.43. Сходится. 9.44. Расходится. 9.45. Расходится. 9.46. Сходится. 9.47. Сходится. 9.48. Сходится. 9.49. Сходится. 9.50. Сходится. 9.51. Расходится. 9.52. Сходится. 9.53. Сходится. 9.54. Сходится. 9.55. Сходится. 9.56. Сходится. 9.57. Сходится. 9.58. Сходится. 9.59. Расходится. 9.60. Расходится. 9.61. Расходится. 9.62. Расходится. 9.63. Расходится. 9.64. Сходится. 9.65. Сходится. 9.66. Сходится. 9.67. Сходится. 9.68. Сходится. 9.69. Сходится. 9.70. Сходится. 9.71. Сходится. 9.72. Расходится. 9.73. Расходится. 9.74. Сходится. 9.75. Сходится. 9.76. Расходится. 9.77. Расходится. 9.78. Расходится. 9.79. Сходится. 9.80. Сходится. 9.81. Расходится. 9.82. Сходится. 9.83. Сходится. 9.84. Расходится. 9.85. Сходится. 9.86. Расходится. 9.87. Расходится. 9.88. Сходится. 9.89. Сходится. 9.90. Расходится. 9.91. Сходится. 9.92. Расходится. 9.93. Расходится. 9.94. Сходится. 9.95. Сходится. 9.96. Сходится. 9.97. Расходится. 9.98. Сходится. 9.99. Расходится. 9.100. Расходится. 9.101. Расходится. 9.102. Расходится. 9.103. Сходится. 9.104. Сходится. 9.105. Схо- дится. 9.106. Расходится. 9.107. Сходится. 9.108. Сходится. 9.109. Если p>1 , то ряд сходится при всех , а если p<1, то расходится. Если p=1, то ряд сходится при и любых β и расходится при . Если же 1 α 1 α > 1 α < p = α = , то ряд сходится при 1 и расхо- дится при 1. 9.110. Если p>1, то ряд расходится при любых β > β ≤ α и , а если p<1, то расходится. Если p=1 , то ряд сходится при β 1 α > и любых β и расходится при 1 α < Если же 1, то ряд сходится при 1 p = α = β > и расходится при 1 β ≤ . 9.111. Указание: 9.113. Сходится абсолютно. 9.114. Сходится абсолютно. 9.115. Сходится абсолютно. 9.116. Сходится абсолютно. 9.117. Сходится условно. 9.118. Сходится ус- ловно. 9.119. Сходится условно. 9.120. Сходится абсолютно. 9.121. Расходится. 9.122. Расходится. 9.123. Сходится абсолютно. 9.124. Сходится условно. 9.125. Сходится ус- ловно. 9.126. Сходится абсолютно. 9.127. Сходится абсолютно. 9.128. Сходится ус- ловно. 9.129. Сходится абсолютно. 9.130. Сходится абсолютно. 9.131. Сходится абсо- лютно. 9.132. Сходится абсолютно. 9.133. Сходится абсолютно. 9.134. Сходится абсо- лютно. 9.135. Сходится абсолютно. 9.136. Сходится условно. 9.137. – 0,41. 9.138. 0,95. 9.139. –0,40. 9.140. 0,36. 9.141. Сходится абсолютно. 9.142. Сходится абсолют- но. 9.143. Сходится абсолютно. 9.144. Сходится абсолютно. 9.145. Сходится абсолют- но. 9.146. Сходится абсолютно. 9.147. Сходится абсолютно. 9.148. Сходится условно. 9.149. Расходится. 9.150. Расходится. 9.151. Сходится условно. 9.152. Сходится ус- ловно. 9.153. Сходится условно. 9.154. Сходится условно. 9.155. Сходится условно. 1 n S + > 2 a n n 95 9.156. Сходится условно. 9.157. Сходится условно. 9.158. Расходится. 9.159. Сходится абсолютно. 9.160. Сходится абсолютно. 9.162. Нет. 9.163. После первой перестановки напишем ряд в виде 1 1 1 2 4 ⎛ ⎞ − − + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 1 1 3 6 8 5 10 12 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − − + − − + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Выполнив действие в скобках, получен ряд, члены которого вдвое меньше членов данного ряда. После вто- рой перестановки преобразуем n–ю тройку членов: 1 1 1 1 1 1 4 3 4 1 2 4 3 4 2 4 1 n n n n n n + − = − + − − − − − − 1 1 1 ; 4 4 2 4 n n n − + − − при n=1,2,3,… первые четыре члена образуют данный ряд с суммой S, а последние два – ряд с суммой 2 S . 9.164. 1 1 1 6 5 6 3 n n n ∞ = ⎛ + + ⎜ − − ⎝ ∑ 1 1 6 1 2 n n ⎞ + − ⎟ − ⎠ . 9.165. ( ) 0; ; ∞ сходится абсолютно при . 9.166. ( 1; x ∈ +∞ ) 1 ;e e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ; сходимость всюду абсолютная. 9.167. 1 ;e e ; ⎡ ⎞ ⎟ ⎢⎣ ⎠ сходится аб- солютно при 1 ; x e e ⎛ ∈⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ . 9.168. { } \ 3 − Сходимость всюду абсолютная. 9.169. [ ) 0; ; +∞ сходится абсолютно при . 9.170. ( ) 0; ∈ +∞ x ( ) ;0 ; −∞ сходимость всюду абсолютная. 9.171. ( ] 3; 1 ; − − сходится абсолютно при ( ) 3; 1 x ∈ − − . 9.172. ( ] 1;3 ; сходится абсолютно при . 9.173. ( 1; x ∈ ) 3 ( ] ( 1; ; ∪ +∞ ) ; 3 − −∞ сходится абсолютно при 9.174. ( ) ; 3 x ∈ −∞ − ( 1; ∪ +∞ ) ( ] ( 1; +∞ ) ; 3 − −∞ ∪ − сходится абсолютно при ( ) ( ) 1; ; 3 x ∈ −∞ − ∪ − +∞ . 9.175. 1 1 z + > . 9.176. 2 1 z − > . 9.177. Полуплоскость . 9.178. Re z 0 > 3 2 z i − > . 9.185. Сходится равномерно и абсолютно при x ∈ . 9.186. Сходится равномерно и абсолют- но при . 9.189. Сумма ряда x ∈ 1 ( ) 1 S x x = − при x<1, остаток 1 n n n x R S S x = − = − На отрезке 1 0; 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 1 n − < < 0,001 2 n R , как только lg1000 1 ; 11 lg 2 n n − > ≥ . 9.190. Ряд имеет сумму 1 при при 0 1 0. x x < ≤ = , 0 1 ) x x ⎧ = = ⎨ − − ⎩ 1 ( S и остаток ( ) при и 0. n x 1 0 1, 0 пр x x n R ⎧ − < ≤ ⎪ = ⎨ ⎪⎩ = При любом n остаток n R будет больше, например, 0,9, как только 1 0,9 n x < − , т.е . на отрезке [ ] 0;1 ряд сходится неравномерно. Но на отрезке 1 ;1 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ он сходится равномерно, ибо тогда при любом 1 2 n n x R < < ε , как только lg lg 2 ; n − ε > в частности, 0,01 n R < при 9.191. 7 n ≥ ( ) 1 1 1 n f x x n = + − x − + n . Поэтому 1 n S x = − 1 x n − + ; 1 lim n S n S x →∞ = = при любом . В частности, 0 x ≠ ( ) 1 1 0,1 ≤ n R x x n n = < + при , как только . 9.192. Остаток знакочередующегося ряда меньше по модулю первого отброшенного члена. Поэтому на отрезке 0 > n ≥ x 10 [ ] 0;1 ( ) n R x < ( ) 1 1 n x + − < < + ряд (6) сходится в 1 0,1 ≤ n 1 0 z z z 1 1 n n + точке , как только или 1 10 + ≥ 9 n ≥ 9.193. Если степенной = ≠ , то он абсолютно сходится в круге 96 0 1 0 z z z z − < − и равномерно сходится в любом м круге замкнуто 0 z z r − ≤ , где 1 0 r z z < − ходится в точке 2 z z = , то он расходится и вне круга Если ряд (6) рас 0 2 z z 0 z z − > − 9.194. Сходится абсолютно. 9.195. 5 2 . 9.196. (-2;4). 9.197. Сходи 9.1 тся абсолютно. 98. 5. 9.199. [ ] 3;1 − . 9.200. [ ] 1;3 − . 9.20 1. [ ) 3;3 − . 9.202. (0;2). 9.203. (-1;1). 9.204. ( ] 1;7 − 9.205. ∞ . 9.206 +∞ . 9.2 ( ) ; −∞ + . ; −∞ ( ) 07. ( ] 6;8 . 9.208. (-3;7). 9.209. 5 13 ; ⎛ ⎞ − 4 4 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9.210. . 9.211. . 9.214. 1 1 ; 3 3 ⎡ ⎤ − [ ) 2; 4 − [ ) 2;0 − . 9.212. ( ] 1;3 . 9.213. [ ] 1;3 ⎢ ⎥⎦ . 9.215. [ ) 3;7 ⎣ 9.216. . 9.217. 9.218. [ ) 2; 2 − (0;2). [ ) 0; 2 . 9.220. 1 5 z < . 9.221. 1 2 + ≤ 9.219. 1 z < z i 9.222. 2 2 z i − < . 9.225. 1 1 x . 9.223. 1 2 < z i − + 9.224. 1 1 ln arctg , 4 1 2 2 z x < x − − 9.226. ) . 9.227. + ( ) 1;1 x ∈ − ( ) 2 1 , 1;1 x x − ( − ∈ ( ) 2 2 2 1 1 ..., 2! ! n n x x x n − + − + − + ( ) ; ∞ +∞ x ∈ − . 9.228. ( ) ( ) 1 0 , ; n n x x + = ⋅ 1 2 ! n n n − ⋅ ∈ −∞ +∞ ∑ . 9.229. ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 , 2 2 n n n x n ∞ = − ∑ ! 9.230. ( ) ; ∞ +∞ x ∈ − ( ) ( ) ( ) 4 1 2 2 1 n n + + 2 1 1 , ! n n x x + − ∈ 0 n ∞ = ∑ ; −∞ +∞ . 9.231. ( ) 2 1 1 0 1 , 4 n n n n x + ∞ + = − ∑ ( ) 2; 2 x ∈ − 9.232. ( ) 1 1 0 n = ∑ 4 3 1 , ; 3 4 n n n n x + + ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 4 . 9.233. x − ∈ ∞ ln 2 + ( ) ( ) 1 1 1 1 2 n n n n x n ∞ + − = + − + ∑ , ( ] 1;1 x ∈ − 9.234. ( ) 1 1 n n + ∞ = 1 2 1 1 1 , ; 2 2 n n − − ⎛ ⎤ ∈ − ⎜ n x x ⎥ ⎝ ⎦ . 9.235. , 9.237. ∑ ( ) , 1;1 ∑ ( ) ( ) 1 1 n n n x − + ( ) 1;1 x ∈ − 9.236. 0 n n ∞ = ∑ x x ∈ − ( ) ( ) 1 x x ∈ − 0 1 , 3 2 n n n n ∞ = ⎛ ⎞ − − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 1 1;1 . 9.238. ( ) ( ) 1 2 , n n x x + 0 n ∞ = ∑ 1 1 ⎛ ⎞ 1 1 + − ; 2 2 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n ∈ − 9.239. ( ) , 1;1 2 1 x ∈ − . 9.240. 2 1 n x + ∞ 0 n n = + ∑ 3 27 x − − ( ) ( ) ; 27 . 4 1 3 n n − ⋅ 2 n = ∑ 2 ∞ ⋅ ⋅ 5 8 ... ! 3 n ⋅ 4 − , 27 − 9.241. n x x − ∈ ( ) ( ) ( ) 4 2 2 2 1 ! 2 1 n x n n + 0 1 n n = − ∞ ⋅ + + , ( ) ; x ∈ −∞ +∞ ∑ 9.242. ( ) ( ) 2 1 1 , 2 1 n n n + + ( ) 4 1 x x + − x ∈ − 0 n ∞ = − ∑ 3 2 + − 1 1 n n nx ∞ − = ∑ 2 ! n x n ( ) 1 . 9.243. 9.247. ( ) ; ∞ +∞ x ∈ − ( ) 2 3 1 x + − ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 59 4 14 4 4 x x x + − + + + ( ) ( ) ( ) 2 0 1 2 1 , 1;1 n n n n x x ∞ = − + ∈ − ∑ ( ) ( ) 78 − + 9.245. 9.244. 9.246. 1; 1 1 5 1 2 1 , n n n n n x n + = − + − ⋅ ∑ 3 13 ; 8 5 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ • 3ln 5 x ∈ ∞ ln(5x 3) ln + = 8 + ( ) 1 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 ln 1 8 x + − . 9.248. ( ) ( ) ( ) 5; 1 2 1 1 3 1 4 n n n x n ∞ + = + ln 4 , n x + − ∈ − − ⋅ ∑ 97 9.249. ( ) ( 2 1 0 3 , 1;5 4 n n n x x ∞ + = − − ∑ ) ∈ ) 2 . 9.250. ( ) ( ) ( 1 1 0 2 3 4 , 6; n n n n x x ∞ − − − − = − + ∈ − ∑ − . 9.251. ( 1 0 1 1 , 2; 3 2 n n n n x x ∞ + = ⎛ ⎞ − ∈ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ) 2 . 9.252. ( ) ( ) ( ) 2 2 0 1 1 1 2 n n n n n x ∞ + = + − − ∑ , ( ) 1 2;1 2 x ∈ − + 9.253. 2 0 ln 7 ! n n n x n ∞ = ∑ , ( ; x ) ∈ −∞ +∞ . 9.254. 2 0 ln 12 , ! n n n x n ∞ = ∑ ( ) ; x ∈ −∞ +∞ 9.255. ( ) ( ) ( ) 2 1 1 , 2 1 ! n n n x n − ⋅ ∈ −∞ + 1 1 2 ; n n ∞ + = − +∞ ∑ • 2 cos sin sin x x x x x ′ x − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ( ) 9.256. ( ) 2 2 2 1 1 2 ! n n x n − − x , ( ) ; ∈ −∞ +∞ • 2 sin 1 cos 1 cos x x x x x ′ − + − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ x 1 1 n n ∞ + = − ∑ 9.257. ( ) ( )( ) 2 2 1 n n x n n + + + 0 1 3 2 2 n ∞ = − + ∑ , ( ) 1;1 ∈ − x . 9.258. ( ) ( ) ( ) ( ) 6 3 3 2 1 1 1 2 1 !! 1 ln 3 , 3 2 !! 2 1 3 n n n n n x x n n + ∞ + = − − + + + ∑ ( ) 3 3 3; 3 x ∈ − , где ( ) ( ) ( ) 2 !, 2 1 !! 1 3 5 ... 2 1 n n n = ⋅ − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − 2 !! 2 4 = ⋅ 6 ... 2 n n ⋅ ⋅ ⋅ n . 9.259. 9999 при x=1 или 9 при x= - 0,5. 9.260. Два, абсолютная погрешность 4 1 0, 24 18 π ⎛ ⎞ ε < = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 9.261. 1,6487. 9.262. 0,3679. 9.263. 0,2079. 0000386 0,0001 < 9.264. 0,5403. 9.265. 5,1437. • ( ) 1 1 4 4 4 3 700 625 25 5 1 25 ⎛ = + = + ⎜ ⎝ ⎠ ⎞ ⎟ . 9.266. 3,8730. • 1 2 1 1 16 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 9.267. 0, 6931. •Использовать разложение 15 16 1 4 = − = 1 ln 1 x x + = − 2 1 0 2 2 1 n n x n + ∞ = + ∑ при 1 3 x = . 9.268. 8,0411. • ( ) 1 1 3 3 3 1 520 512 8 8 1 64 ⎛ ⎞ = + = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 9.269. ( ) 2 1 2 1 1 2 n n n x n ∞ + = − ∑ . 9.270. ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 2 1 ! 4 3 n n n x n n + ∞ = − + + ∑ . 9.271. ( ) ( ) ( ) 4 1 0 1 2 ! 4 1 n n n x n n + ∞ = − + ∑ 9.272. ( ) ( ) ( ) 3 1 0 2 1 !! 1 2 ! 3 1 n n n n n x n n + ∞ = + − ⋅ + ∑ . 9.273. 0, 1991. 9.274. 0,2800. 9.275. 0,6225. 9.276. 0,4613. 9.277. 0,7627. 9.278. 0,9461. 9.279. ( ) y x = ( ) ( ) 4 4 1 1 2 5 6 ... (4 3)(4 2) 2 3 6 7 ... (4 2)(4 1) 1 , 4 ! 4 1 ! n n n n n n n x x 1 n n ∞ + = ⎛ ⎞ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − = + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ∑ x x ∈ 9.280. ( ) ( ) 3 2 0 ( 1) , 2 5 ... 3 2 n n n x y x x n + ∞ = = − ∈ ⋅ ⋅ ⋅ + ∑ . 9.281. ( ) 3 1 3 x y x x = + − − 4 6 5 + 6 4 x x − + 9.282. ( ) 2 3 5 6 5 1 2! 3! 5! 6! x x x x y x = + + + − + . 9.283. ( ) y x = 2 2 1 1 2 1 ( 1) 2 ! x m m m m x e m − + ∞ = − = = − ∑ 9.284. 1 2 1 1 2 ( 1)! ( ) , (2 1)! m m m m y x x m − ∞ + = − = + ∑ x ∈ 9.285. 2 1 1 1 ( 1) ( ) y x x , 2 (2 1)!! m m m x x m ∞ + = − = + ∈ + ∑ 98 9.286. 2 1 0 ( 1) ( ) sin , (2 1)! n n n x y x x x n + ∞ = − = = + ∑ ∈ . 9.289. 7 2 . 9.290. 3 2 . 9.291. 1 1 sin sin 3 4 4 x x + 9.292. 1 1 1 cos cos 3 2 2 x x + + . 9.293. 1 3 − π . 9.294. 0. 9.295. 3 2 π . 9.296. 2 3 π . 9.297. Для четной: 1 1 0 2 0, ( ) cos , l nx b a f x d l l π = = ∫ x а для нечетной 0 2 0, ( )sin l n n nx a b f x d l l π = = ∫ x . 9.299. 1 1 2 sin(2 1) ( ) , 2 2 m m x f x m ∞ = − = + π − ∑ 1 1 ( ) 2 S π = . 9.300. 1 sin ( ) , 2 4 k kx f x S k ∞ = π π ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ 9.301. ( ) ( ) ( ) 2 1 cos 2 1 4 2 2 1 k k f x k ∞ = − π = + π − ∑ x . 9.302. ( ) ( ) 1 1 1 2 si k k n f x k k + ∞ = − = ∑ x . 9.303. 2 ( ) f x = + π 1 2 1 4 ( 1) cos 2 4 1 k k kx k + ∞ = − + π − ∑ . 9.304. 2 1 2 4 cos 2 ( ) 4 1 k kx f x k ∞ = = − π π − ∑ . 9.305. 2 2 1 2sin sin ( 1) k k a k a k ∞ = π − kx π − ∑ , ес- ли – не целое, ,если . 9.306. a sin ax a ∈ 2 2 1 2sin 1 cos ( 1) 2 k a ka a a ∞ = π ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ π − ⎝ ⎠ ∑ kx k , если – не целое, ,если . 9.307. a cos ax a ∈ 1 2 sin 2 1 k k x k ∞ = π − π ∑ . 9.308. 1 10 sin ( 1) k k kx k ∞ = − π ∑ 9.309. ( ) 2 0 2 c 1) 4 m m x ∞ = π ∑ os(2 2 1 m π + − + − 1 1 ( 1 n ∞ = − ∑ sin ) n nx n − . 9.310. 0 1 6 sin(2 1) 2 2 n n n ∞ = + − − π + ∑ 1 x . 9.313. 1 2 9.314. 4 π |