матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
§ 4. Элементы теории устойчивости 1. Основные понятия. Пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 ( , , , , ), ( , , , , ), ( , , , , ) n n n n n x f t x x x x f t x x x x f t x x x = ⎧ ⎪ = ⎨ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⎪ = ⎩ … … … (1) и некоторые начальные условия в точке . Решение 0 t 1 2 ( ), ( ), , ( ) n t t t ϕ ϕ ϕ … системы (1), удовлетворяющее этим начальным условиям, называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое 0 ε > 0 δ > , что для всякого решения 1 2 ( ), ( ), , ( ) n x t x t x t … той же системы, начальные значения которого удовлетворяют неравенствам 0 0 | ( ) ( ) | , 1, 2, , , i i x t t i n − ϕ < δ = … (2) при всех выполняются неравенства 0 t t > | ( ) ( ) | , 1, 2, , i i x t t i n − ϕ < ε = … (т.е. решение изменится сколь угодно мало, если достаточно мало изменятся начальные значения). Если дополнительно при условии (2) lim | ( ) ( ) | 0, 1, 2, , , i i t x t t i →+∞ n − ϕ = = … то это решение называется асимптотически устойчивым. Пример 1. Исследовать на устойчивость решение дифференциального уравне- ния 1 x x = − , удовлетворяющего начальному условию (0) 1 x = . 3Общее решение уравнения ( ) 1 t x t Ce − = + | ( ) ( ) ; частное решение, удовлетворяющее начальному условию, . Так как ( ) 1 t ϕ = | | | t x t t Ce − − ϕ = , то при . Отсюда, если положить | ( ) ( ) | | (0) (0) | x t t x − ϕ < − ϕ 0 t > δ = ε | x , то из (0) (0) | − ϕ < δ | ( ) ( ) | x t t − ϕ < ε следует при . Следовательно, решение 0 t > ( ) 1 t ϕ = устойчиво. Кроме того, так как , то это решение является также асимптотически устой- чивым. 4 lim ( ) | lim 0 t t t →+∞ →+∞ − ϕ = | ( ) x t | | t Ce − = Исследовать на устойчивость решения уравнений: 8.245. 1 x t = − ; (0) 1 x = − . 8.246. ( 1) x t x = − ; (0) 1 x = . 2. Классификация точек покоя однородной линейной системы 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Исследуем на устойчивость точку покоя (нулевое решение , ) о.л.с.д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами 0 x = 0 y = { 11 12 21 22 , x a x a y y a x a y = + = + (3) ( точкой покоя системы (1) называется решение, состоящее из констант). Ограничимся рассмотрением случая 11 12 21 22 det 0 a a A a a = ≠ (4) 42 (при этом условии точка покоя единственна). Если ( ) x x t = , ( ) y y t = ( , , ( , , – произвольное решение системы (3) (или, вообще, нор- мальной системы { ), ) x f t x y g t x = = y y ), то кривую, параметрически заданную на плоскости xy этими уравнениями, называют фазовой траекторией. Через каждую точку плоско- сти xy ( фазовой плоскости) проходит единственная фазовая траектория системы (3). Картина фазовых траекторий системы (3) в окрестности точки покоя (0, 0) и на- правление движений по ним при , определяющие устойчивость или неустойчи- вость точки покоя, существенно зависят от корней t → +∞ 1 λ и 2 λ характеристического урав- нения системы. В связи с этим различают следующие случаи ( 1 2 0 λ λ ≠ ввиду (4)): 1) Корни , 1 λ 2 λ – действительны, 1 2 λ ≠ λ (дискриминант характеристического уравнения ). Тогда: 0 D > а) если и , то точка покоя асимптотически устойчива и носит на- звание устойчивый узел (рис. 1; направление движения по всем траекториям, отличным от точки , – к точке покоя); 1 0 λ < 2 0 λ < (0,0) б) и – точка покоя неустойчива ( неустойчивый узел, рис. 1; на- правление движения – от точки покоя); 1 0 λ > 2 0 λ > в) – точка покоя неустойчива ( седло, рис. 2). 1 2 0 λ λ < Рис. 2. Седло Рис. 1. Узел 2) Корни характеристического уравнения 1,2 i λ = α ± β комплексно сопряжены ( ). Тогда: 0 D < а) если , то точка покоя асимптотически устойчива ( устойчивый фокус, рис. 3; направление движения – к точке покоя); 0 α < б) –точка покоя неустойчива ( неустойчивый фокус, рис. 3; направление движения – от точки покоя); 0 α > в) – точка покоя устойчива ( центр, рис. 4). 0 α = Рис. 3. Фокус Рис. 4. Центр 43 3) характеристическое уравнение имеет двукратный действительный корень λ ( ). Тогда: 0 D = а) если , то точка покоя асимптотически устойчива ( устойчивый вырож- денный узел (рис. 5) при и устойчивый дикритический узел (рис. 6) в противном случае; направление движения – к точке покоя); 0 λ < A aE ≠ б) – точка покоя неустойчива ( неустойчивый вырожденный узел (рис. 5) при 0 λ > A aE ≠ и неустойчивый дикритический узел (рис. 6) в противном случае; направ- ление движения – от точки покоя). Рис. 5. Вырожденный узел Рис. 6. Дикритический узел Итак, в случае асимптотически устойчивой точки покоя (устойчивый узел, в ча- стности, вырожденный или дикритический, устойчивый фокус) движение по всем фа- зовым траекториям, отличным от нее самой, при возрастании t направлено к точке по- коя. Если же точка покоя неустойчива (неустойчивые узлы, седло, неустойчивый фо- кус), то это движение происходит в направлении от точки покоя (за исключением двух траекторий в виде открытых лучей с началом в точке (0, 0) и лежащих на одной прямой в случае седла). Таким образом, если , то при 1 2 0 λ λ ≠ 1 Re 0 λ ≤ и 2 Re 0 λ ≤ точка покоя (0, 0) ус- тойчива (асимптотически устойчива в случае строгих неравенств); в противном случае – неустойчива. Пример 2. Определить характер и исследовать на устойчивость точку покоя системы { 2 , , x x y y x y = − + α = + в зависимости от параметра α ( ). 2 α ≠ − 3 Характеристическое уравнение 2 2 ( 2) 1 1 − − λ α 0 = λ + λ − α + = − λ имеет корни 1,2 1 1 2 2 9 4 λ = − ± + α . Исследуя поведение корней в зависимости от па- раметра α, получаем: если 9 4 α < − , то корни комплексные, 1,2 1 2 Re 0 λ = − < , и, следовательно, точка покоя – устойчивый фокус; если 9 4 α = − , то 1 2 λ = − – отрицательный корень кратности 2; точка покоя – устойчивый вырожденный узел; если 9 4 2 − < α < − , то корни действительные и отрицательные; точка покоя – ус- тойчивый узел; если , то корни действительные и разных знаков; точка покоя – седло. 2 α > − 44 Таким образом, точка покоя асимптотически устойчива при и неустой- чива при 4 2 α < − 2 α > − Определить характер точек покоя следующих систем: 8.247. { 3 , 2 . x x y y x = + = − − y 8.248. { 3 4 2 , x x y y x y = + = + 8.249. { 2 5 2 2 . , x x y y x y = − − = + 8.250. { 2 , 3 x x y y x = + = − + y 8.251. { 3 2 , x x y y x y = + = + 8.252. { 6 5 2 5 , x x y y x = − − = − − y 8.253. { 3 , x x y y y x = + = − 8.254. { , 2 . x y y x y = − = − Задачи повышенной сложности Чтобы более точно изобразить картину фазовых траекторий в окрестности точки покоя системы (3) в случае узла, седла или вырожденного узла, необходимо прежде всего найти фазовые траектории в виде открытых лучей с началом в точке (0, 0). На- правляющими векторами каждой из прямых (двух в случае узла или седла и одной в случае вырожденного узла), на которых лежат эти траектории, являются собственные векторы матрицы системы; направления движения по фазовым траекториям определя- ется знаком соответствующего собственного значения – к точке покоя при , и от нее – в противном случае. В случае узла остальные фазовые траектории (при добавле- нии к ним точки (0, 0)) касаются той прямой, для которой направляющий вектор соот- ветствует меньшему по абсолютной величине собственному значению. 0 λ < Для определения направления, в котором происходит движение по фазовым тра- екториям вокруг фокуса или центра, достаточно построить в какой-нибудь точке ( , ) x y (отличной от начала координат) вектор фазовой скорости ( , ) ( , ) x y x y = v (направляю- щий вектор касательной к фазовой траектории в этой точке), определяемый по форму- лам (3). Аналогично определяется направление движения в случае вырожденного узла. Направление закручивания фазовых траекторий в случае фокуса (по часовой стрелке или против) определяется после этого его устойчивостью или неустойчивостью, т.е. по знаку Re λ Пример 3. Определить характер точки покоя системы { 5 , 3 3 x x y y x y = + = + и нарисовать (схематично) картину ее фазовых траекторий в окрестности начала коор- динат с указанием на них направления движения. 3 Характеристическое уравнение 2 5 1 8 12 3 3 − λ 0 = λ − λ + = − λ имеет корни , 1 2 λ = 2 6 λ = . Так как 1 λ , 2 λ действительны, 1 2 λ ≠ λ и , , то точка покоя – неустойчивый узел. Соответствующие собственные векторы 1 0 λ > 2 0 λ > 1 1 Y = 3 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , 45 2 1 1 Y ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3 y . Следовательно, имеются четыре фазо- вых траектории в виде открытых лучей с началом в точке – две из них лежат на прямой (0,0) x = − , проходящей через точку , две дру- гих – на прямой (1, 3) − y x = . Остальные фазовые траек- тории (при добавлении к ним точки ) каса- ются в начале координат прямой (ее на- правляющий вектор (0, 3 y = − 0) x (1, 3) − соответствует мень- шему собственному значению ). Направление движения по всем фазовым траекториям, отлич- ным от точки , ввиду неустойчивости, – от начала координат (рис. 7). 4 1 λ (0,0) y=x x y y=–3x Рис. 7 Пример 4. Решить аналогичную задачу для системы { 2 , 4 3 . x x y y x = − = − y 46 3 Характеристическое уравнение 2 1 2 4 3 − 2 5 0 − λ = λ + λ + = λ − − имеет комплексно сопряженные корни 1,2 1 2 i λ = − ± 1, x = . Так как , то точка покоя – устойчивый фокус. Следовательно, направление движения по всем фазовым траекториям, отличным от точки , – к началу координат. Для определения направле- ния закручивания фазовых траекторий найдем и построим вектор фазовой скорости, например, в точке : при из данной системы имеем 1,2 Re 0 λ < (0,0) (1, 0) 0 y = 1, x 4 y = = , т.е. (1, 0) (1, 4) = = v v . Таким образом, закручивание происходит против часовой стрелки (рис. 8). 4 x y 1 v Рис. 8 Найти общее решение системы, определить характер ее точки покоя и нарисовать (схематично) картину ее фазовых траекторий в окрестности точки покоя с указанием на них направления движения: 8.255. { 2 , 3 . x x y y x y = − = + 8.256. { 3 2 4 . , x x y y y x = − + = − 8.257. { 3 4 2 . , x x y y x y = − = − 8.258. { , 2 x x y y x = − y = − Определить характер и исследовать на устойчивость точку покоя систем в зависимости от параметра α: 8.259. { , 2 ; x x y y x y = α − = + ( ). 8.260. 0,5 − α ≠ { 3 , ; x x y y y x = − + α α = − + ( ). 2 α ≠ 3 Глава 9 РЯДЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ § 1. Числовые ряды 1. Сходимость ряда. Пусть задана бесконечная последовательность действи- тельных или комплексных чисел 1 2 , ,..., ,... n u u u Выражение вида 1 2 3 1 n n u u u u u ∞ = + + + + + = n ∑ (1) называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда. 1 2 3 , , ,..., ,... n u u u u Числовой ряд, членами которого являются действительные (комплексные) числа называют действительным (комплексным) числовым рядом. Сумма первых n членов ряда называется его n – й час- тичной суммой. 1 2 3 n S u u u u = + + + + n 3, S Рассмотрим частичные суммы: 1 1 , S u = 2 1 2 , S u u = + 3 1 2 S u u u = + + ………………... 1 2 3 n n S u u u u = + + + + , …………………………. Если существует конечный предел lim n n S →∞ = , то ряд (1) называется сходя- щимся, а число S – суммой ряда (1). Если не существует или бесконечен, то ряд (1) называется расходя- щимся. lim n n S →∞ Комплексный числовой ряд 1 n n u ∞ = ∑ сходится к комплексному числу , , тогда и только тогда, когда сходятся действительные ряды и , а их суммы равны числам А и В соответственно. S A iB = + 1 Re n n u ∞ = ∑ , A B ∈ 1 Im n n u ∞ = ∑ Пример 1. Показать, что ряд 1 1 ( 1) n n n ∞ = + ∑ сходится и найти его сумму. 3Так как дробь 1 ( 1) n n + представима в виде 1 1 1 ( 1) n n n n = − + +1 , то 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 ( 1) ( 1) 2 2 3 3 4 1 1 n S n n n n n n n n = + + + + + = − + − + − + + − + − = ⋅ ⋅ ⋅ − + − + 47 1 1 1 n = − + . Следовательно, 1 lim lim 1 1 1 n n n S n →∞ →∞ ⎛ ⎞ = − = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ , т.е. заданный ряд сходится и его сумма равна 1. 4 Пример 2. Исследовать на сходимость ряд 0 n n q ∞ = ∑ и в случае сходимости найти его сумму. 3Имеем 2 1 1 n n S q q q − = + + + + . Если 1 q = , то n S n = , , и, следова- тельно, ряд расходится. Пусть теперь 1 lim n n S →∞ = ∞ q ≠ , тогда 1 1 1 1 1 n n n q q S q q − = = − q − − − Положим , тогда i q re ϕ = n n in q r e ϕ = . При 0 r 1 ≤ < имеем , т.е. lim lim 0 n n in n n q r e ϕ →∞ →∞ = = lim 0 1 n n q q ←∞ = − , откуда 1 lim 1 n n S q →∞ = − . Если же r>1, то и , следовательно, конечного предела n r → ∞ lim 1 n n q q →∞ − , а значит, и предела последовательности частичных сумм не сущест- вует. Наконец, при r=1 и предел 0 ϕ ≠ ( ) sin n i n lim →∞ lim c in n n e ϕ →∞ os = ϕ + ϕ (а потому и предел ) также не существует. lim n n S →∞ Таким образом, ряд ,члены которого составляют бесконечную геометриче- скую прогрессию с первым членом 1 и знаменателем q, сходится при 0 n n q ∞ = ∑ 1 q < и его сумма равна 1 1 q − и расходится при 1 q ≥ 4 Теорема (необходимое условие сходимости). Если ряд сходится, то 1 n n u ∞ = ∑ lim 0 n n u →∞ = Следствие (достаточное условие расходимости). Если , то ряд lim 0 n n u →∞ ≠ 1 n n u ∞ = ∑ расходится. Пример 3. Исследовать сходимость ряда 1 2 3 1 n n n ∞ = + ∑ 3Ряд 1 2 3 1 n n n ∞ = + ∑ расходится, т.к 2 2 lim lim 0 3 1 3 n n n n u n →∞ →∞ = = ≠ + , т.е не выполняется не- обходимое условие сходимости ряда. 4 Ряд ,полученный из ряда (1) путём отбрасывания его пер- вых n членов, называется остатком ряда (1) после n-го члена. 1 2 1 n n k n u u u ∞ + + = + + + = ∑ k Свойства сходящихся рядов. 1. Ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится любой его остаток. 48 2. Если ряд 1 n n u ∞ = ∑ сходится и его сумма равна S, то ряд 1 n n Cu ∞ = ∑ , где C – любое число, также сходится и его сумма равна CS. 3. Если ряды и сходятся и их суммы, соответственно, равны 1 S и 2 S , то ряд ( ) n n u v + также сходится и его сумма, соответственно, равна 1 2 S S + . 1 n n u ∞ = ∑ 1 n ∞ = ∑ 1 n n v ∞ = ∑ Теорема (критерий Коши сходимости ряда). Для того, чтобы ряд схо- дился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер N=N(ε), что при любом n>N и любом целом выполнялось неравенство 1 n n u ∞ = ∑ 0 p > 1 2 n p n n n n p S S u u u + + + + − = + + + < ε . Пример 5. Исследовать на сходимость гармонический ряд 1 1 1 1 1 1 2 3 n n n ∞ = + + + + + = ∑ 3 Здесь 1 lim lim 0 n n n u n →∞ →∞ = = , но ряд расходится. Действительно, для любого n=1,2,… имеем 2 1 1 1 2 2 n n S S n n − = + + + + + 1 n . Заменяя каждое слагаемое меньшей ве- личиной 1 2n , получаем 2 1 1 1 1 2 2 2 2 n n S S n n n n n − > + + + = ⋅ = 1 2 . Это неравенство означа- ет, что при p=n для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и, следова- тельно, ряд расходится. 4 Найти первые 5 членов ряда. |