матан 3 семестр. Контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра Москва 2007 удк 517 (075. 8) Задачи и контрольные вопросы по математике для студентов 3 семестра
 Скачать 2.42 Mb.
|
|
§ 2. Дифференциальные уравнения высших порядков 1. Основные понятия. Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид: ( ) ( 1) ( , , , , ) n y f x y y y − n ′ = … . (1) Начальными условиями для уравнения (1) называются n равенств вида ( 1) ( 1) 0 0 0 0 0 0 ( ) , ( ) , , ( ) n n y x y y x y y x y − − ′ ′ = = = … (2) (или , , , 0 0 | x x y y = = 0 0 | x x y y = ′ ′ = … 0 ( 1) ( 1) 0 | n n x x y y − − = = ), где 0 x , – заданные числа (начальные значения). ( 1) 0 0 0 , , , n y y y − ′ … Задача отыскания решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным началь- ным условиям (2), называется задачей Коши для этого уравнения. 19 Теорема (существования и единственности решения задачи Коши для уравне- ния (1)). Если функция непрерывна вместе с частными производ- ными ( 1) ( , , , , ) n f x y y y − ′ … f y ∂ ∂ , f y ∂ ′ ∂ ,… , ( 1) n f y − ∂ ∂ в некоторой области 1 n D + ⊂ R , то для любой точки ( 1) n 0 0 0 0 ( , , , , ) x y y y ′ D − ∈ … задача Коши для дифференциального уравнения (1) с началь- ными условиями (2) имеет и притом единственное решение. Функция 1 2 ( , , , , ) n y x C C C = ϕ … называется общим решением уравнения (1), если: 1) при любых допустимых значениях параметров она является ре- шением этого уравнения; 1 2 , , , n C C C … 2) любое его частное решение (кроме, быть может, отдельных решений) пред- ставимо в виде 1 2 ( , , , , ) n y x C C C = ϕ … ( 1) 0 0 0 0 , , , , ) n при некоторых значениях параметров (т.е. для любой точки (x y y y D − ′ ∈ … ( , (см. теорему) найдутся такие значения парамет- ров C C C … , что функция 1 2 , , , n 1 2 , , , ) n y x C C C = ϕ … будет удовлетворять начальным условиям (2)). Уравнение , определяющее общее решение уравнения (1) неявно, называют общим интегралом этого уравнения. 1 ( , , , , ) 0 n x y C C Φ … = Пример 1. Показать, что функция 1 2 x x y C e C e − = + является общим решением уравнения 0 . Найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее на- чальным условиям , y y ′′ − = ( y 0) 0 = (0) 1 y′ = . 3Проверим выполнение условий из определения общего решения. 1) Число произвольных постоянных в данной функции равно 2, что совпадает с поряд- ком уравнения. 2) При любых значениях 1 C и 2 C эта функция является решением уравнения: 1 2 1 2 1 2 x x x x x x y C e C e y C e C e y C e C e − − − ′ ′′ = + ⇒ = − ⇒ = + ; подставляя y′′ и y в уравнение, получим тождество: 1 2 1 2 ( ) 0 0 0 x x x x C e C e C e C e x − − + − + = ⇒ = ∀ ∈ R 3) Каковы бы ни были начальные значения 0 0 0 , , x y y′ , система уравнений { 0 0 0 0 0 1 2 0 1 2 , x x x x y C e C e y C e C e − − = + ′ = − имеет, притом единственное решение относительно и , т. к. ее определитель 1 C 2 C 0 0 0 0 2 0 x x x x e e e e − − Δ = = − ≠ − Поскольку все условия определения общего решения выполнены, то данная функция является общим решением данного уравнения. Для нахождения частного решения после подстановки начальных значений , и 1 в общее решение и его производную получим систему 0 x = 0 y = y′ = { 1 2 1 2 0 , 1 , C C C C = + = − откуда 1 1 2 C = , 2 1 2 C = − и, следовательно, искомое частное решение 2 x x e e y − − = 4 20 8.101. Являются ли равенства (2) 1 y = − , ( 1) 2 y′ − = начальными ус- ловиями для уравнения ? ( , , y f x y ′′ ′ = ) y 8.102. Является ли гипербола 3 xy = интегральной кривой уравне- ния 2 2 ? yy y ′′ ′ = 8.103. Является ли функция 2 3 y Cx C = + общим решением уравне- ния xy y ′′ ′ = ? 8.104. Является ли функция n x 1 2 ( )si y C C = + общим решением уравнения tg 0? y y x ′′ ′ + = 8.105. Показать, что функция 3 2 1 y C x C = + является общим решени- ем уравнения 2 0 xy y ′′ ′ − = 8.106. Показать, что функция 1 2 ) x C + при любых 1 0 C 1 sin( y C C = 1 ≠ и 2 C является решением уравнения 2 1 yy y ′′ ′ + = 2. Уравнения, допускающие понижение порядка. а) Уравнения вида . Общее решение этого уравнения получается пу- тем n-кратного интегрирования (при каждом интегрировании порядок уравнения по- нижается на 1). ( ) ( ) n y f = x б) Уравнения 2-го порядка вида ( , , ) 0 F x y y ′ ′′ = (не содержащие явно y). С по- мощью замены ( ) y z x ′ = , y z ′′ ′ = порядок уравнения понижается до 1-го: ( , , ) 0 F x z z′ = . Если – общее решение последнего уравнения, то, интегрируя равенство , получаем общее решение данного уравнения: 1 ) C ( , z z x = 1 ( , ) x C y z ′ = 1 2 ( , ) y z x C dx C = + ∫ ( , , ) 0 F y y y ′ ′′ = в) Уравнения 2-го порядка вида (не содержащие явно x). С по- мощью замены ( ) y p y ′ = , dp y p dy ′′ = данное уравнение приводится к уравнению 1-го порядка (относительно функции ( ) p p y = ): ( , , ) 0 dp F y p p dy = . Если – общее решение последнего уравнения, то, решая уравнение с разделяющимися переменными , получаем общий интеграл данного уравнения: 1 ( , ) p p y C = 1 ( , ) y p y C ′ = 1 ( , ) dy p y C dx = ⇒ 1 ( , ) dy dx p y C = ∫ ∫ (а также решения вида ⇒ ( , P y C 1 ) x = + 2 C 0 y y = , если 0 1 ( , ) p y C 0 = ). Пример 2. Решить уравнение 2 6 xy y x ′′ ′ + = 3Данное уравнение 2-го порядка и не содержит y. Положим y z ′ = ; тогда y z ′′ ′ = и уравнение принимает вид 2 6 xz z x ′ + = , или 2 6 z z x ′ + = . Это линейное уравне- ние 1-го порядка. Решая его с помощью подстановки z uv = , найдем 2 1 v x = , , и общее решение 3 2 u x = 1 C + 1 2 2 C z x x = + . Следовательно, 1 2 2 y x C x ′ = + , откуда, интег- рируя, получим общее решение данного уравнения 1 2 2 C C y x x = − + 4 21 Пример 3. Найти частное решение уравнения 2 y y y ′ ′′ = , удовлетворяющее на- чальным условиям (0) (0) 1 y y′ = = − 3Уравнение 2-го порядка и не содержит x. Положим ( ) y p y ′ = ; тогда dp y p dy ′′ = и уравнение принимает вид 2 dp 2 p y dy = . Это уравнение с разделяющимися переменны- ми. Разделяя переменные и интегрируя, найдем его общий интеграл . Ис- пользуя начальные значения , 3 3 1 p y C = + 1 1 y p y = − ′ = = − (при 0 x = ), получим . Следова- тельно, 1 0 C = y y ′ = . Решая это уравнение с разделяющимися переменными, найдем его об- щее решение 2 x y C e = , а из условия (0) 1 y = − следует 2 C 1 = − . Итак, искомое частное решение есть x y e = − 4 Решить дифференциальные уравнения: 8.107. . 8.108. 2 2 (1 ) 2 0 x y x ′′ + + = x 6 4sin 2 y x ′′ = + 8.109. (2 . 8.110. 1) 2 0 x y y ′′ ′ + + = 3 xy y ′′ ′ = 8.111. (1 . 8.112. ) 0 x x e y e y ′′ ′ + − = 2 0 y y ′′ ′ + = 8.113. 2 2 1 yy y ′′ ′ = + . 8.114. 2 ( 1) 2 y y y ′′ ′ − = 8.115. . 8.116. 3 3 4 y y y ′′ ′ = 2 3 12 0 y y y ′′ ′ + = 8.117. . 8.118. 2 ( 2) 3 y y y ′′ ′ − = 2 0 yy y ′′ ′ + = Решить задачи Коши: 8.119. 3 2 x y′′′ = ; , (1) 1 y = (1) 1 y′ = − , (1) 3 y′′ = − 8.120. 2 3 xy′′ = ; (1) 1 y = − , (1) 0 y′ = 8.121. ( 6 ; ) 2( 3 x y y ′′ ′ − = − ) (7) 22 y = , (7) 0 y′ = 8.122. ( 1 ; ) x y y ′′ ′ − = + 2 (3) 1 y = , (3) 2 y′ = 8.123. ; 2 2 (1 4 ) 2 2 0 x y y ′′ ′ + − − = (0) 1 y = , (0) 0 y′ = 8.124. ; 2 x y e y ′′ ′ = (0) 2 y = , (0) 1 y′ = − 8.125. 2 0 y y e − ′′ + = ; (0) 0 y = , (0) 1 y′ = 8.126. ; 2 2 (1 ) 2 y y yy ′′ ′ + = (0) 0 y = , (0) 1 y′ = Задачи повышенной сложности Решить дифференциальные уравнения: 8.127. 3 2 1 0 x y x y ′′ ′ + − = 8.128. 2 x xy y x e ′′ ′ − = 8.129. 8.130. tg sin 2 y y x ′′ ′ + = x ( 2) 2 x y y ′′ ′ − = 8.131. 8.132. 3 yy y y ′′ ′ ′ + = 2 2 yy y y ′′ ′ ′ = + 8.133. 2 2 3 4 yy y y ′′ ′ 2 − = 8.134. 2 2 yy y y y ′′ ′ ′ − = Решить задачи Коши: 8.135. ; 2 tg 2 y y y ′′ ′ = 2 (0) y π = , (0) 1 y′ = − 8.136. ln y x xy y ′ ′′ ′ = ; (1) 0 y = , (1) y e ′ = 22 8.137. Тело, находящееся от центра Земли на расстоянии H , падает на Землю из состояния покоя под действием силы притяжения с ускорени- ем, обратно пропорциональным квадрату его расстояния от центра Земли (закон Ньютона). Радиус Земли равен R , ускорение на поверхности равно g . Пренебрегая сопротивлением атмосферы, определить, через сколько времени оно упадет на Землю. 8.138. Тело массой m движется прямолинейно под действием посто- янной силы F . Найти скорость движения тела и пройденный им путь как функции времени, если в начальный момент они оба равны нулю, а сопро- тивление среды пропорционально квадрату скорости с коэффициентом пропорциональности k 3. Линейные уравнения. Линейным дифференциальным уравнением n-го поряд- ка называется уравнение вида ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y a x y a x y a x y b − − x ′ + + + + = … , (3) где коэффициенты , а также правая часть предполагаются непрерывными функциями на некотором интервале I. Все решения этого уравнения оп- ределены на интервале I. 1 2 ( ), ( ), , ( ) n a x a x a x … ( ) b x Если ( ) 0 b x = x I ∀ ∈ , то уравнение (3) имеет вид ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) 0 n n n n y a x y a x y a x y − − ′ + + + + … = 2 (4) и называется однородным; в противном случае уравнение (3) называется неоднородным. Множество решений однородного линейного дифференциального уравнения (о.л.д.у.) обладает следующими свойствами: 1) если и – какие-нибудь два решения уравнения (4), то их сумма также есть решение этого уравнения; 1 ( ) y x 2 ( ) y x 1 y y + 2) если – какое-нибудь решение уравнения (4) и C – любое число, то их произведение Cy также есть решение этого уравнения. ( ) y x Совокупность (система) из m функций называется линей- но зависимой на интервале I, если существуют числа 1 2 ( ), ( ), , ( ) m y x y x y x … 1 2 , , , m α α α … , не все равные нулю и такие, что 1 1 2 2 0 m m y y y α + α + + α = … x I ∀ ∈ ; если же это равенство возможно только в случае 1 2 0 m α = α = = α = … 2 y 2 0 y , то система на- зывается линейно независимой. Две функции и ( 1 y ≠ ), в частности, тогда и только тогда линейно зависимы, когда 1 2 const y y = Определителем Вроньского (вронскианом) системы функций называется определитель 1 2 ( ), ( ), , y x y x … ( ) m y x 1 2 1 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 ( ) m m m m m m y y y y y y W x y y y − − − ′ ′ ′ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ … … … 23 Если хотя бы в одной точке 0 x I ∈ имеем 0 ( ) 0 W x ≠ , то система функций линейно неза- висима на I. Всякая система из n линейно независимых решений о.л.д.у. n-го порядка назы- вается фундаментальной системой решений этого уравнения. Справедлива Теорема (о структуре общего решения о.л.д.у.). Если – какая- нибудь фундаментальная система решений уравнения (4), то его общее решение имеет вид: 1 2 , , , n y y y … 1 1 2 2 n n y C y C y C y = + + + … , где – произвольные постоянные. 1 2 , , , n C C C … Для данного неоднородного уравнения (3) однородное уравнение (4) (с той же левой частью) называется соответствующим однородным уравнением. Множество решений неоднородного линейного дифференциального уравнения (н.л.д.у.) обладает следующими свойствами: 1) если – какое-нибудь решение неоднородного уравнения (3), а – какое-нибудь решение соответствующего однородного уравнения (4), то их сумма есть решение уравнения (3); 1 ( ) y x 0 ( ) y x 1 y y + 0 2 i 2) если и – какие-нибудь два решения уравнения (3), то их разность есть решение соответствующего однородного уравнения (4). 1 ( ) y x 2 ( ) y x 1 y y − Теорема (о структуре общего решения н.л.д.у.). Общее решение н.л.д.у. равно сумме любого частного решения этого уравнения и общего решения соответствующе- го о.л.д.у. Если правая часть н.л.д.у (3) есть сумма нескольких функций 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) k b x b x b x b x = + + + … и – какие-нибудь частные решения уравнений ( ) i y x ( ) ( 1) 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n y a x y a x y a x y b x − − ′ + + + + = … ( ) соответственно, то их сумма 1, 2, , i = … k 1 2 k y y y + + + … есть решение уравнения (3) (принцип суперпозиции решений). Пример 4. Проверить, что функции x и cos x являются решениями уравнения (1 tg ) 0 x x y xy y ′′ ′ + − + = , и найти его решение, удовлетворяющее начальным условиям (0) 1 y = − , (0) 2 y′ = 3Имеем y x = , , . Подставив в уравнение, получаем тождество: 1 y′ = 0 y′′ = (1 tg ) 0 1 0 0 0 x x x x + ⋅ − ⋅ + = ⇒ = . Аналогично проверяется вторая функция. Данное уравнение является однородным линей- ным дифференциальным уравнением 2-го порядка (к виду (4) оно приводится путем деле- ния на коэффициент при y′′ ; один из интервалов непрерывности коэффициентов, содер- жащий точку , – 0 x = 2 2 ( , I π π ) = − ). Так как решения x и cos x линейно независимы ( const cos x x ≠ ), то они образуют фундаментальную систему решений данного уравнения, и по теореме о структуре общего решения о.л.д.у. его общее решение имеет вид 1 2 cos y C x C x = + 24 |