ЛК_ОПТИКА. Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь
 Скачать 1.3 Mb.
|
|
8.4. Корпускулярно-волновой дуализм света Рассмотренные явления (фотоэффект, эффект Комптона) указывают на то, что свет имеет корпускулярную природу, представляя собой поток частиц – фотонов. В то же время явления интерференции и дифракции света можно объ- яснить лишь в рамках волновой теории. Следовательно, свет имеет двойствен- ную природу, называемую корпускулярно-волновым дуализмом. Свет пред- ставляет собой более сложный элемент реальности, нежели просто волны или потоки частиц. Волновой и корпускулярный аспекты поведения света – это раз- личные стороны его природы, проявляющиеся в разных экспериментах. На первых этапах развития квантовой механики Бор выдвинул принцип дополни- тельности, согласно которому для объяснения конкретного эксперимента сле- дует использовать либо волновые, либо корпускулярные представления о при- Θ Рис.8.5 c h ν c h 0 ν v m 84 роде света, но не те и другие одновременно. Однако для полного понимания природы света необходимо учитывать как волновые, так и корпускулярные свойства света. Оба эти аспекта взаимно дополняют друг друга. Проиллюстрируем на примере опыта Юнга, как осуществляется согласо- вание волновых и корпускулярных свойств света в рамках современной кванто- вой оптики. Распределение интенсивности в интерференционной картине на экране определяется квадратом амплитуды колебаний светового вектора волны, образующейся в результате наложения волн от двух щелей. С другой стороны, освещенность участков экрана пропорциональна вероятности попадания фото- нов на этот участок. Следовательно, квадрат амплитуды колебаний электриче- ского вектора в точке экрана характеризует плотность вероятности обнаруже- ния фотона в данной точке. В заключение укажем, что последовательной теорией световых явлений является квантовая электродинамика, однако рассмотрение этой теории выхо- дит далеко за рамки данного пособия. 85 9. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 9.1. Атомные спектры. Атом водорода по Бору Как показали эксперименты, наиболее простыми являются спектры излу- чения разреженных одноатомных газов или паров металлов. Спектры таких га- зов состоят из ряда дискретных спектральных линий разной интенсивности, соответствующих различным длинам волн. По этой причине атомарные спектры называют линейчаты- ми. Схематично линейчатый спектр излучения изображен на рис. 9.1. Линейчатый спектр можно получить, возбуждая атомы различными спо- собами (некоторыми видами электрического разряда, бомбардировкой атомов газа электронами, нагреванием паров и газов). Во всех этих случаях получают- ся спектральные линии, длины волн которых характерны для изучаемого газа. В зависимости от условий возбуждения относительная интенсивность линий может сильно различаться. Некоторые линии вообще могут исчезать при тех или иных способах возбуждения атомов. Однако, изменяя условия возбужде- ния, мы можем заставить исчезнуть или появиться только строго определенные для каждого данного вещества линии, совокупность которых и образует харак- терный для него линейчатый спектр. Нахождение закономерностей в расположении спектральных линий в спектрах излучения атомов различных веществ, а также объяснение этих зако- номерностей было важнейшей физической задачей. Анализ эмпирического ма- териала показал, что линии в спектрах могут быть объединены в группы линий, называемые спектральными сериями. Бальмер в 1885 г. обнаружил, что частоты спектральных линий атомарного водорода в видимой области спектра можно выразить следующей простой формулой: , ,... 5 , 4 , 3 , 1 2 1 2 2 2 = − = n n R n ν где R – постоянная Ридберга (R = 9,3 ⋅ 10 15 Гц). Эта серия линий называется се- рией Бальмера. Частоты спектральных линий, лежащих в ультрафиолетовой области спектра, выражаются формулой ,... 5 , 4 , 3 , 2 , 1 1 1 2 2 1 = − = n n R n ν Соответствующая спектральная серия называется серией Лаймана. Ряд спектральных серий был обнаружен в инфракрасной области. Они получили название серия Пашена, серия Брэкета, серия Пфунда и серия Хэм- фри. Рис. 9.1 86 Частоты спектральных линий всех серий атомарного водорода могут быть описаны одной формулой, которая называется обобщенной формулой Бальме- ра: , 1 1 2 2 − = n m R nm ν (9.1) где m и n – целые числа, n > m. Задание m определяет спектральную серию. Исследование спектров более сложных атомов показало, что частоты их излучения также можно выразить формулами вида ν nm = T m – T n , где T k – харак- терные для атомов данного вида величины, называемые спектральными терма- ми. Однако все попытки теоретического обоснования наблюдаемых на опыте закономерностей расположения линий в спектрах излучения атомов, предпри- нятые в рамках чисто классической теории излучения, базирующейся на клас- сической электродинамике, оказались несостоятельными. Эксперименты Резерфорда по рассеянию α-частиц доказали, что справед- лива планетарная модель атома, согласно которой в центре атома находится положительно заряженное ядро, вокруг которого, подобно планетам, движутся электроны, удерживаемые возле ядра силами кулоновского притяжения. Одна- ко такая модель атома несовместима с представлениями классической физики. Благодаря наличию ускорения у движущихся вокруг ядра электронов, они должны непрерывно излучать электромагнитные волны. В результате потери энергии на излучение радиусы орбит электронов должны непрерывно умень- шаться и, в конце концов, электроны должны упасть на ядро. Следовательно, с точки зрения классической физики атом, как устойчивое образование, в виде планетарной модели вообще существовать не может. Помимо этого, частота обращения электрона вокруг ядра с потерей его энергии должна непрерывно изменяться, поэтому спектр излучения атома не может быть линейчатым. Для объяснения экспериментальных фактов потребовалось введение в физику атома новых представлений, что и было сделано Бором. В основу теории атома Бор положил два постулата. 1. Атомы могут длительное время находиться только в определенных, так называемых стационарных состояниях. Энергии стационарных со- стояний Е 1 , Е 2 , Е 3 , … образуют дискретный набор. 2. При переходе атома из одного (начального) стационарного состояния с энергией E n в другое (конечное) стационарное состояние с энергией E m < E n происходит излучение кванта света частотой ν, причем h E E m n − = ν (9.2) Энергии стационарных состояний определяются правилом квантования. Если орбиты электронов в атоме являются круговыми, то, согласно Бору, ста- ционарными являются лишь те орбиты, при движении по которым момент им- пульса L электрона равен целому числу постоянных Планка h : , h n r m L e = = v (9.3) 87 где n = 1, 2, 3, … – целое число, называемое квантовым числом, m e – масса электрона, v – его скорость, r – радиус стационарной орбиты. Это правило квантования выделяет из всего множества орбит, допускаемых классической механикой, лишь дискретное количество орбит. С помощью правила квантования легко найти радиусы стационарных ор- бит электрона в атоме водорода и соответствующие энергии. В атоме водорода электрон с зарядом –е 0 вращается вокруг ядра (протона) с зарядом +е 0 . Масса ядра много больше массы электрона, поэтому ядро можно считать неподвиж- ным, а электрон – движущимся вокруг ядра по окружности радиуса r. Действующая на электрон со стороны ядра кулоновская сила притяжения равна центростремительному ускорению электрона, умноженному на его массу: 4 2 2 0 2 0 r m r e e v = πε (9.4) Потенциальная и полная энергии электрона в поле ядра соответственно равны: , 8 , 4 0 2 0 пот к 0 2 0 пот r e E E E r e E πε πε − = + = − = (9.5) где Е к – кинетическая энергия электрона, равная 8 2 0 2 0 2 r e m e πε = v Из правила квантования следует, что 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r h n r n m e π = = h v (9.6) Исключая из (9.4) и (9.6) скорость v , получаем выражение для радиусов r n ста- ционарных орбит электрона: 2 2 0 2 0 n e m h r e n π ε = (9.7) Наименьший радиус r 1 орбиты электрона равен o А 0,53 м 10 53 , 0 10 2 0 2 0 1 = ⋅ = = − e m h r e π ε и называется первым боровским радиусом. Его часто обозначают через а 0 (r 1 = а 0 ). Энергия Е n электрона, находящегося на n-й стационарной орбите, опреде- ляется формулой (9.5), в которой под r следует понимать радиус n-й орбиты. Следовательно, 88 1 8 2 2 2 0 4 0 n h e m E e n ⋅ − = ε (9.8) Эта формула определяет уровни энергии стационарных состояний атома водо- рода. Состояние атома с наименьшей энергией Е 1 ≈ –13,6 эВ называется основ- ным. Состояния с n > 1 называются возбужденными. Для них эВ. 6 , 13 2 n E n − = Схема уровней атома водорода показана на рис. 9.2. В соответствии с условием частот Бора (9.2) излучение атома происходит при переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую. Используя формулу (9.8) находим, что частоты излучаемого света , 1 1 2 2 − = n m R nm ν (9.9) где 8 3 2 0 4 0 h e m R e ε = (9.10) Формула (9.9) в точности совпадает с формулой (9.1), найденной эмпирически. Величина R, вычисленная по формуле (9.10), с очень большой точностью сов- падает с эмпирическим значением постоянной Ридберга. Различные спектральные серии в спектре излучения атомарного водорода образуются в результате перехо- дов электрона с внешних орбит на определенную, более близкую к ядру, внутреннюю орбиту. Серия Лаймана излучается в результате переходов на первую боровскую орбиту с n = 1, серия Бальмера – при переходе на орбиту с n = 2 и т.д. Эти переходы изображены стрелками на схеме энергетиче- ских уровней (рис. 9.2). Если атом поглощает энер- гию извне, энергия электрона увеличивается и он переходит на более далекую от ядра орбиту. Если сообщенная электрону энер- гия достаточно велика, он может перейти на орбиту с n = ∞ , т.е. покинуть пределы атома. Как следствие, атом ионизируется. Энергия, необходимая для удаления электрона из атома, называется энергией Рис.9.2 серия Лаймана серия Бальмера серия Пашена Е,эВ 0 –13,6 1 2 3 4 ∞ n 89 ионизации Е ион . Как следует из формулы (9.8), энергия ионизации для атома во- дорода, находящегося в основном состоянии, эВ 6 , 13 8 2 2 0 4 0 ион ≈ = h e m E e ε Это теоретическое значение энергии ионизации атома водорода находится в хорошем соглашении с значением, полученным в результате экспериментов. Теория Бора явилась важным шагом в понимании процессов, происходя- щих на атомном уровне. Она продемонстрировала необходимость привлечения новых квантовых идей при описании систем микрочастиц. Давая возможность качественно интерпретировать многие явления, она, тем не менее, не смогла дать хороших количественных результатов при определении частот спектраль- ных линий многоэлектронных атомов. Даже попытки построить в рамках тео- рии Бора теорию атома гелия, простейшего после атома водорода, закончились неудачей. Как показало дальнейшее развитие физики, теория Бора была еще не вполне квантовой теорией. Описание движения электрона в этой теории явля- ется чисто классическим, что принципиально неверно. Открытие волновых свойств микрочастиц вещества продемонстрировало, что теория Бора явилась лишь промежуточным этапом на пути создания последовательной теории атом- ных явлений. 9.2. Гипотеза де Бройля. Соотношения неопределенностей В 1924 году де Бройль выдвинул парадоксальную на первый взгляд идею, содержание которой сводилось к тому, что корпускулярно-волновой дуализм присущ не только свету, а является универсальным свойством природы. По мысли де Бройля, все материальные частицы (электроны, протоны и т.д.) обла- дают не только корпускулярными, но и волновыми свойствами. Во многих экспериментах электромагнитное излучение частотой ν и дли- ной волны λ ведет себя как поток частиц – фотонов с энергией Е = hν и им- пульсом р = h/ λ. Обратив эти формулы, получим выражения для характеристик волны через характеристики фотонов: , h E = ν (9.11) p h = λ (9.12) По идее де Бройля движению любой микрочастицы, имеющей энергию Е и мо- дуль импульса р, соответствует некий волновой процесс, частота и длина волны которого определяются формулами (9.11) и (9.12). Длина волны, определяемая формулой (9.12), называется длиной волны де Бройля. Обычно длина волны де Бройля очень мала. Например, первоначально покоящаяся микрочастица с величиной заряда е и массой m в результате про- 90 хождения ускоряющей разности потенциалов U приобретает скорость v, кото- рую можно определить из закона сохранения энергии. В случае нерелятивист- ских скоростей v << c имеем , 2 2 eU m = v откуда 2 m eU = v Длина волны де Бройля будет равна 2meU h m h = = v λ Для электрона е = 1,6 ⋅ 10 –19 Кл, m = 9,1 ⋅ 10 –31 кг, поэтому получаем нм. 2 , 1 U = λ При ускоряющем напряжении в несколько вольт длина волны де Бройля порядка 1 нм, что сравнимо с порядком межатомных расстояний в кристаллах. Поэтому волновые свойства электронов при таких энергиях можно обнаружить в опытах по дифракции на кристаллах. Впервые такие опыты были проведены Дэвиссоном и Джермером. Схема одного из их опытов изображена на рис. 9.3. На мо- нокристалл никеля 3, расстояние d между атомными плоскостями которого было хорошо известно, на- правлялся пучок 1 электронов с примерно одинако- выми значениями энергии и импульса. Затем, изме- няя угол падения электронов на поверхность кри- сталла, измерялась интенсивность отраженного пуч- ка 2. Максимумы интенсивности пучка 2 наблюдались при углах скольжения α, определяемых формулой Вульфа-Брэггов 2d sin α = m λ с длиной волны λ, вычисляемой по формуле (9.12). Результаты опытов Дэвис- сона и Джермера, а также других опытов по дифракции электронных пучков подтвердили правильность гипотезы де Бройля и дали количественное под- тверждение справедливости формул (9.11) и (9.12). Упомянутые выше опыты проводились с пучками частиц. В связи с этим возникает вопрос: отражают ли наблюдаемые дифракционные явления свойства пучков частиц или свойства отдельных частиц? Тщательно проведенные опыты по дифракции микрочастиц в условиях, исключающих их взаимодействие меж- ду собой, доказали, что волновыми свойствами обладают отдельно взятые мик- рочастицы. Наличие у микрочастиц материи корпускулярных и волновых свойств по- требовало создания принципиально нового способа описания движения таких объектов. Движение микрочастицы нельзя описать методами классической ме- ханики, задавая ее координаты как функции времени. Классическая частица, движущаяся по определенной траектории, не проявляет никаких волновых свойств. Движение микрочастицы следует описывать с помощью функции ко- ординат и времени, характеризующей сопутствующую движению микрочасти- Рис.9.3 α 1 2 3 91 цы волну. Так, де Бройль описывал движение невзаимодействующей микрочас- тицы посредством комплексной функции ( ) ( ) , exp , − ⋅ = Et r p i A t r Ψ r r h r (9.13) где А – постоянная, i – мнимая единица, p r – импульс микрочастицы, Е – ее энергия, r r – радиус-вектор точки пространства, t – время. Однако де Бройлю не был ясен смысл функции Ψ. Помимо этого, функция (9.13) не содержит инфор- мации о местонахождении микрочастицы, поскольку колебания, описываемые этой функцией, совершаются во всем пространстве, и в нем нет выделенных областей. Попытаемся сузить область пространства, в которой существует в данный момент времени сопутствующая движению микрочастицы волна. Если протяженность этой области пространства вдоль оси Х равна ∆ х, можно счи- тать, что в этой же области находится и микрочастица, однако ее координата определена с неопределенностью ∆ х. Неопределенность координаты микрочас- тицы не может равняться нулю, поскольку не существует волн, локализованных в данный момент времени в одной точке. Локализованную в ограниченной области пространства волну можно об- разовать суперпозицией плоских монохроматических волн с различными дли- нами волн, заполняющими некоторый интервал. Поскольку определенному значению импульса соответствует определенная длина волны, частице, описы- ваемой локализованной в ограниченной области пространства волной, нельзя приписать определенное значение импульса. Как впервые показал Гейзенберг, неопределенности ∆ х, ∆ у, ∆ z кординат микрочастицы и неопределенности про- екций ∆ р х , ∆ р у , ∆ р z ее импульса на координатные оси удовлетворяют соотноше- ниям , , , h h h ≥ ∆ ⋅ ∆ ≥ ∆ ⋅ ∆ ≥ ∆ ⋅ ∆ z y x p z p y p x (9.14) которые называют соотношениями неопределенностей Гейзенберга. Эти соот- ношения показывают, что координаты и проекции импульса микрочастицы не могут одновременно иметь определенных значений. Из (9.14) следует, что чем меньше неопределенность координаты микрочастицы, тем больше неопреде- ленность соответствующей проекции импульса и наоборот. Соотношения (9.14) являются математическим выражением наличия у микрочастиц как корпуску- лярных, так и волновых свойств. В квантовой механике доказывается, что если система может находиться в некотором состоянии ограниченный промежуток времени с неопределенно- стью ∆ t, то в этом состоянии она не обладает строго определенной энергией. Неопределенность ∆ Е энергии этого состояния связана с неопределенностью ∆ t времени его существования соотношением h ≥ ∆ ⋅ ∆ t E 92 Его также называют соотношением неопределенностей Гейзенберга для энер- гии и времени. Как следствие, частота излучаемого фотона имеет неопределен- ность ∆ ν = ∆ Е/h, что приводит к размыванию спектральных линий. Измерив ширину спектральной линии, можно оценить среднее время жизни атома в воз- бужденном состоянии. |