ЛК_ОПТИКА. Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь

• Название: Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь
• Дата: 14.04.2021
• Размер: 1.3 Mb.
• Имя файла: ЛК_ОПТИКА.pdf
• Тип: Курс лекций; #194692
• страница: 11 из 15

9.3. Волновая функция и ее статистический смысл
Развитие идеи де Бройля о волновых свойствах микрочастиц привело к созданию квантовой механики. В квантовой механике движение микрочастицы описывается функцией координат и времени
Ψ(х, у, z, t) – волновой функцией, несущей всю информацию о микрочастице.
Волновая функция (часто называемая пси-функцией) является комплекс- ной функцией. Общепринятую интерференцию волновой функции дал Борн.
Согласно Борну, сами значения пси-функции не имеют определенного физиче- ского смыла. Квадрат модуля волновой функции |
Ψ (х, у, z, t) |
2
имеет смысл плотности вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z. Ве- личина
dp = |
Ψ
(х, у, z, t)|
2
dx dy dz =
Ψ
*(х, у, z, t)
Ψ
(х, у, z, t) dx dy dz
(9.15) равна вероятности обнаружения микрочастицы в элементарном объеме
dV =
dx dy dz
, содержащем точку с координатами
x, y, z
. Вероятность обнару- жить частицу в конечном объеме V равна
∫
=
V
dV
Ψ
p
2
Интеграл от выражения (9.15), взятый по всему пространству, должен равняться единице:
∫
=
1 2
dxdydz
Ψ
(9.16)
Это следует из того, что этот интеграл равен вероятности обнаружения частицы во всем пространстве, что равно единице при наличии частицы. Условие (9.16) называют условием нормировки для волновой функции.
Волновая функция должна удовлетворять набору стандартных условий.
Она должна быть непрерывной, однозначной и конечной; иметь непрерывные частные производные; в точках пространства, в которых потенциальная энергия микрочастицы обращается в бесконечность, волновая функция должна обра- щаться в ноль.
Из смысла волновой функции следует, что квантовая механика имеет ста- тистический характер. В квантовой механике у частицы нет траектории. Знание волновой функции дает возможность вычислить лишь вероятность обнаруже- ния частицы в произвольной области пространства в любой момент времени.

93
9.4. Уравнение Шредингера
В формализме квантовой механики волновые функции частицы, движу- щейся в общем случае в некотором потенциальном поле, находятся путем ре- шения волнового уравнения, которое имеет следующий вид:
(
)
(
) (
) (
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
,
,
,
2
t
z
y
x
Ψ
t
z
y
x
U
t
z
y
x
Ψ
m
t
t
z
y
x
Ψ
i
+
∆
−
=
∂
∂
h h
(9.17) где m – масса частицы, U(x, y, z, t) – потенциальная энергия частицы, находя- щейся в точке с координатами (x, y, z) и в общем случае зависящая от времени,
2 2
2 2
2 2
z
y
x
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=
∆
– оператор Лапласа, действие которого на волновую функцию сводится к взя- тию ее частных производных второго порядка с их последующим суммирова- нием. Уравнение (9.17) является фундаментальным уравнением нерелятивист- ской квантовой механики и называется общим или временным уравнением
Шредингера. Как и любое другое фундаментальное уравнение физики, оно не может быть выведено из более общих принципов, хотя при его получении
Шредингер использовал так называемую оптико-механическую аналогию.
Уравнение Шредингера справедливо в случае, когда скорость частицы много меньше скорости света. В релятивистском случае пользуются другими уравнениями. Для электрона, движущегося со скоростью, близкой к скорости света, для нахождения волновой функции применяется уравнение Дирака.
Если ввести оператор Гамильтона (гамильтониан)
,
2
ˆ
2
U
m
H
+
∆
−
=
h уравнение (9.17) записывается в следующей компактной форме:
ˆΨ
H
t
Ψ
i
=
∂
∂
h
Заметим, что в математическом формализме квантовой механики любой физической величине соответствует определенный оператор, действующий в пространстве волновых функций, однако в нашем курсе это обстоятельство не используется.
В том случае, когда потенциальная энергия частицы в силовом поле не зависит от времени, уравнение Шредингера (9.17) имеет решения следующего вида:
(
) (
)
,
,
,
,
,
,
Et
i
e
z
y
x
t
z
y
x
Ψ
h
−
=
ψ
(9.18) где Е – энергия частицы.

94
Подстановка (9.18) в (9.17) приводит к следующему уравнению для простран- ственной части волновой функции
ψ(x, y, z):
(
)
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
2 2
z
y
x
E
z
y
x
U
z
y
x
m
ψ
ψ
ψ
=
+
∆
−
h
(9.19)
Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера или уравне- нием Шредингера для стационарных состояний.
В том случае, когда движение частицы описывается волновой функцией вида (9.18) говорят, что частица находится в стационарном состоянии. Замеча- тельным свойством стационарных состояний является то, что вероятность об- наружения частицы, находящейся в таком состоянии, в произвольном объеме
dV
(
) (
)
dV
z
y
x
z
y
x
dV
e
e
dV
Ψ
dp
Et
i
Et
i
,
,
,
,
*
*
2
ψ
ψ
ψ
ψ
=
⋅
=
=
−
h h
не зависит от времени.
В стационарное уравнение Шредингера (9.19) как параметр входит энер- гия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что в общем случае это уравнение имеет решения
ψ, удовлетворяющие стандартным условиям, не при всех, а лишь при некоторых избранных значениях энергии.
Эти значения называют собственными значениями энергии, а соответствующие им решения
ψ называют собственными волновыми функциями. Во многих за- дачах квантовой механики собственные значения энергии образуют дискрет- ный набор Е
1
, Е
2
, … . Следовательно, квантование энергии следует из набора стандартных условий для волновых функций без всяких дополнительных по- стулатов и гипотез.
9.5. Простейшие задачи квантовой механики
9.5.1. Свободная частица в квантовой механике
В случае свободного движения внешние силы, действующие на частицу, отсутствуют, поэтому потенциальная энергия частицы U = 0. Стационарное уравнение Шредингера для свободной частицы
ψ
ψ E
m
=
∆
−
2 2
h имеет решения вида
( )
,
r
p
i
Ae
r
r r
h r
⋅
=
ψ
где
p
r
– импульс частицы,
x
p
x
p
x
p
r
p
z
y
x
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
r r
– скалярное произведение импульса на радиус-вектор точки пространства с координатами x, y, z.

95
Собственные значения энергии частицы
0 2
2
>
=
m
p
E
образуют непрерывный набор (непрерывный спектр энергии). Полные (завися- щие от времени) волновые функции состояний частицы имеют вид
(
)
,
Et
r
p
i
Ae
Ψ
−
⋅
=
r r
h
(9.20) где А – постоянная. Функция (9.20) совпадает с (9.13), описывающей волну де
Бройля свободной частицы.
Найдем вероятность обнаружения частицы в элементарном объеме dV:
,
2
*
dV
A
dV
ΨΨ
dp
=
=
т.е. плотность вероятности обнаружения частицы не зависит от координат. Од- нако волновые функции вида (9.20) не могут описывать реальных движений частицы, поскольку не удовлетворяют условию нормировки:
2 2
*
∫
∫
∫
∞
=
=
=
dV
A
dV
A
dV
ΨΨ
Реальное движение квантовой свободной частицы можно описать волновыми функциями, являющимися суперпозицией плоских волн вида (9.20). Однако в таких состояниях частица не имеет определенных значений энергии и импуль- са.
9.5.2. Туннельный эффект
Принципиальное отличие в поведении классической и квантовой частицы обнаруживается при анализе ее движения в области так называемого потенци- ального барьера. Потенциальным барьером называется область пространства, в которой потенциальная энергия частицы больше, чем в окружающих областях пространства. Огра- ничимся случаем одномерного движения частицы вдоль оси Х и барьером прямо- угольной формы (рис. 9.4). В областях I и III потенциальную энергию частицы примем равной нулю, а в области II U = U
0
= const.
Энергию U
0
называют высотой потенциаль- ного барьера.
Пусть классическая частица с энергией Е движется в области I в направ- лении потенциального барьера. Тогда при Е > U
0
она, замедлив скорость, пройдет область потенциального барьера и попадет в область III, в которой бу- дет продолжать движение с кинетической энергией Е в положительном направ- лении оси Х. При Е < U
0
частица не сможет преодолеть потенциальный барьер, поскольку в области барьера для нее кинетическая энергия W = Е – U
0
< 0, что
U
Х
a
I
II
III
0
U
0
Рис. 9.4

96 бессмысленно. Частица отразится от барьера и станет удаляться от него с прежней скоростью.
Приведенная выше аргументация непригодна при рассмотрении движе- ния квантовой частицы. Квантовой частице, движущейся в потенциальном по- ле, нельзя приписать определенное значение кинетической энергии и опреде- ленное значение потенциальной энергии, поскольку соотношения неопределен- ностей Гейзенберга запрещают квантовой частице одновременно иметь опреде- ленные значения координат и проекций импульса. Для квантовой частицы оп- ределенное значение может иметь лишь полная энергия. Для квантовой части- цы при Е < U
0
существует отличная от нуля вероятность проникновения части- цы из области I в область III. Явление проникновения частицы с энергией, меньшей высоты потенциального барьера, через этот барьер называют тун-
нельным эффектом.
Запишем стационарные уравнения Шредингера при Е < U
0
для областей
I, II, III:
(
)
2
,
0
;
2
,
0
;
2
,
0 2
2 1
2 2
3 3
2 3
2 3
2 0
2 2
2 2
2 2
2 21 2
2 2
2 1
1 2
1 2
1 2
k
k
mE
k
k
dx
d
E
U
m
k
k
dx
d
k
mE
k
k
dx
d
=
=
=
=
+
−
=
=
−
=
=
=
+
h h
h
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψ
В области I волновую функцию
ψ
1
ищем в виде
,
1 1
1
ikx
ikx
e
B
e
A
−
+
=
ψ
являющемся суперпозицией падающей и отраженной волны, в области II
,
2 2
2 2
2
x
k
x
k
e
B
e
A
+
=
−
ψ
а в области III
(
)
3 3
a
x
ik
e
A
−
=
ψ
Можно доказать, что при падении пучка частиц выражения для плотности потоков падающих на барьер, отраженных и прошедших частиц имеют сле- дующий вид:
,
,
2 3
прош.
2 1
отр.
2 1
пад.
A
m
k
j
B
m
k
j
A
m
k
j
h h
h
=
−
=
=
Коэффициентом прохождения (коэффициентом прозрачности) потенциального барьера называется отношение плотности потока прошедших частиц к плотно- сти потока частиц, падающих на барьер:
2 1
2 3
пад.
прош.
A
A
j
j
D
=
=

97
Из условий непрерывности волновой функции и ее производной в точках х = 0 и х = а можно в результате довольно громоздких выкладок найти связь между
А
1
и А
3
и показать, что
(
)
(
)
(
)
,
1 16 1
16 0
2 8
2 2
2 2
2 2
2
E
U
m
a
a
k
e
n
n
e
n
n
D
−
−
−
+
=
+
=
h где
0
E
U
E
n
−
=
Можно доказать, что для потенциального барьера произвольной формы, когда потенциальная энергия U = U(x) и отлична от нуля на интервале (х
1
, х
2
), коэф- фициент прохождения
( )
[
]
8 1
exp

2 1








−
−
∫
x
x
dx
E
x
U
m
D
h
Прохождение микрочастицы через потенциальный барьер приводит к хо- лодной эмиссии электронов из металла. Потенциальная энергия электрона в ме- талле меньше, чем в окружающем пространстве. Если вблизи поверхности ме- талла создать электрическое поле с напряженностью порядка 10 8
В/м, стремя- щееся вырвать электроны из металла, электроны начинают покидать поверх- ность металла. Это явление называется холодной эмиссией. В рамках классиче- ской физики оно непонятно, поскольку электрическое поле в металл не прони- кает и изменяет потенциальную энергию лишь вне металла. Для того чтобы по- кинуть поверхность металла электрону необходимо преодолеть потенциальный барьер. Однако энергия электрона меньше высоты этого барьера, и преодолеть его он может лишь благодаря квантовому туннельному эффекту.
Вследствие туннельного эффекта возможен и
α-распад радиоактивных ядер. Образовавшаяся в ядре
α-частица, представляющая собой ядро атома ге- лия, оказывается в поле кулоновских и ядерных сил. Эксперименты показыва- ют, что энергия
α-частицы меньше высоты потенциального барьера и α- частица по законам классической физики не могла бы покинуть ядро.

98
9.5.3. Частица в бесконечно глубокой потенциальной яме
Потенциальной ямой называют область пространства, в которой потенци- альная энергия частицы меньше, чем в окружающих областях. Проиллюстриру- ем на примере потенциальной ямы, как использование стандартных условий, накладываемых на решения уравнения
Шредингера, приводит к квантованию энергии частицы. Снова рассмотрим одномерное движение частицы. Пусть потенциальная яма имеет бесконечную глубину. Потенциальную энергию бу- дем считать равной нулю в интервале
(0, l), а вне этого интервала U =
∞
(рис. 9.5).
Вследствие стандартных условий волновая функция должна обращаться в нуль вне потенциальной ямы. Внутри ямы волновые функции, описывающие возможные состояния частицы, удовле- творяют уравнению Шредингера
( )
( )
2 2
2 2
x
E
dx
x
d
m
ψ
ψ
=
−
h
Представим это уравнение в следующем виде:
( )
( )
0 2
2 2
2
=
+
x
mE
dx
x
d
ψ
ψ
h
Как хорошо известно, общее решение этого уравнения
( )
0 2
sin
2
cos
2 2
=




+




=
x
mE
B
x
mE
A
x
h h
ψ
Поскольку волновая функция должна быть непрерывной в точке х = 0, а левее этой точки
ψ = 0, то волновая функция должна обращаться в нуль и при
х = 0. Следовательно,
ψ (0) = 0 = Аcos 0 + Bsin 0 = A
Отсюда вытекает, что А = 0. Из условия непрерывности волновой функции в точке х = l следует, что
( )
0 2
sin
2
=




=
l
mE
B
l
h
ψ
Это возможно при выполнении условия
,
3
,
2
,
1
,
2 2
=
=
n
n
l
mE
π
h
U
x
l
0
U =
∞
Рис. 9.5
U = 0
U =
∞

99
Отсюда находим собственные значения энергии частицы, образующие дис- кретный набор:
,...
3
,
2
,
1
,
2 2
2 2
2
=
⋅
=
n
n
ml
E
n
h
π
Соответствующие этим значениям энергии собственные волновые функции
( )
sin






=
x
l
n
B
x
n
π
ψ
Квантовое число n не может иметь значение, равное нулю, так как при n = 0 волновая функция обращается в нуль во всем пространстве, а это означает от- сутствие самой частицы. Отрицательные значения n в предыдущих формулах также отброшены, поскольку замена n
→
– n в выражении для
ψ
n
(х) приводит лишь к переобозначению постоянного множителя В и не дает новой волновой функции.
Множитель В в выражении для волновой функции частицы находится с помощью условия нормировки:
1
sin
0 2
2
=






∫
dx
x
l
n
B
l
π
Выполнив элементарное интегрирование, получим
2
l
B
=
Следовательно, нормированные собственные функции частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме имеют вид
( )
sin
2






=
x
l
n
l
x
n
π
ψ