ЛК_ОПТИКА. Курс лекций минск 2007 министерство по чрезвычайным ситуациям республики беларусь
 Скачать 1.3 Mb.
|
|
9.5.4. Гармонический осциллятор Напомним, что гармоническим осциллятором называется частица, совер- шающая одномерное движение под действием квазиупругой силы F= – kx. По- тенциальная энергия гармонического осциллятора , 2 2 kx U = его полная энергия в классической механике 2 2 2 2 kx m p E + = (9.21) 100 Используя выражение для циклической частоты колебаний осциллятора m k = ω , выражение для потенциальной энергии можно представить в виде 2 2 2 x m U ω = Уравнение Шредингера для квантового гармонического осциллятора вы- глядит следующим образом: ( ) ( ) , 0 2 2 2 2 2 2 2 = − + x x m E m dx x d ψ ω ψ h где Е – энергия осциллятора. В квантовой механике доказывается, что это уравнение имеет решения, удовлетворяющие набору стандартных условий, при значениях энергии, равных , 2 1 + = n E n ω h (9.22) где n = {0, 1, 2,…} – квантовое число для осциллятора. Схема энергетических уровней гармониче- ского осциллятора приведена на рис. 9.6. Для на- глядности уровни изображены вместе с графиком зависимости потенциальной энергии частицы от координат. Однако следует помнить, что полная энергия в квантовой механике не может быть представлена как сумма точно определенных зна- чений кинетической и потенциальной энергий (это противоречит соотношениям неопределенно- стей). Как видно из выражения (9.22), уровни энергии гармонического осциллятора являются эквидистантными, т.е. расстояние между соседними уровнями одинаково. Наи- меньшее возможное для осциллятора значение энергии, называемое нулевой энергией, равно 2 1 0 ω h = E Существование нулевой энергии следует из соотношений неопределенностей Гейзенберга. Выражение (9.21) для энергии классического осциллятора прини- мает наименьшее, равное нулю, значение при р = 0, х = 0. Однако в квантовой механике координата и импульс не могут иметь одновременно точно опреде- ленных значений. Эксперименты по рассеянию света кристаллами при низких температурах подтверждают наличие нулевой энергии. Квантовая механика дает возможность вычислить вероятность перехода квантовой системы из состояния, в котором она находится, в любое другое воз- можное для этой системы квантовое состояние. Оказывается, что для гармони- Рис. 9.6 E x U(x) E 0 E 3 E 2 E 1 101 ческого осциллятора отличны от нуля лишь вероятности переходов между со- стояниями, которым соответствуют соседние энергетические уровни. При та- ких переходах квантовое число n изменяется на единицу: ∆ n = ± 1. (9.23) Состояние гармонического осциллятора определяется одним квантовым числом n. В общем случае состояние квантовой системы определяется некоторым на- бором квантовых чисел. Квантовая механика допускает переходы между со- стояниями (вероятности переходов отличны от нуля), при которых квантовые числа могут изменяться лишь определенным образом. Условия, накладываемые на изменения квантовых чисел при переходах системы из одного состояния в другое, называются правилами отбора. Правило отбора для осциллятора выра- жается формулой (9.23). Как следует из условия (9.23) гармонический осциллятор, находящийся в квантовом состоянии с n > 0, может либо перейти в состояние со значением квантового числа n / = n – 1, испустив при этом квант энергии h ν, либо, взаимо- действуя с излучением, поглотить квант энергии h ν и оказаться в квантовом со- стоянии с n // = n + 1. Таким образом гипотеза Планка получила в квантовой ме- ханике полное подтверждение. 102 10. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ 10.1. Атом водорода в квантовой механике Атом водорода, состоящий из протона и электрона, является одной из простейших квантово-механических систем, для которой уравнение Шрединге- ра имеет строгое решение. Поскольку масса протона много больше массы электрона (m р = 1836 m е ), будем считать протон неподвижным силовым центром, находящимся в начале прямоугольной декартовой системы координат. Потенциальная энергия взаи- модействия электрона с ядром r e E 0 2 0 пот 4 πε − = ( 2 2 2 z y x r + + = ) не зависит от времени, поэтому для нахождения волновых функций, описывающих возмож- ные состояния электрона в атоме, следует найти удовлетворяющие стандарт- ным условиям решения стационарного уравнения Шредингера ( ) ( ) ( ) , , , , 4 , , 2 0 2 0 2 z y x E z y x r e z y x m ψ ψ πε ψ = − ∆ − h Это уравнение не решается в переменных x, y, z, однако удается найти его решения, если от декартовых координат перейти в сферическим r, Θ, ϕ (рис. 10.1), связан- ным с декартовыми соотношениями x = r sin Θ cosϕ , y = rsin Θ sinϕ, z = rcos Θ. В этих координатах оператор Лапласа вы- глядит следующим образом: , sin 1 sin sin 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ϕ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ = ∆ Θ r Θ Θ Θ Θ r r r r r (10.1) а уравнение Шредингера приобретает вид: ( ) ( ) ( ) , , , , , 4 , , 2 0 2 0 2 ϕ ψ ϕ ψ πε ϕ ψ Θ r E Θ r r e Θ r m = − ∆ − h где оператор ∆ определяется формулой (10.1). y X x Z Y r Θ z ϕ Рис. 10.1 103 В теории дифференциальных уравнений доказывается, что это уравнение имеет решения, описывающие связанные состояния электрона в атоме, при зна- чениях энергии, равных 3 , 2 , 1 , 1 8 2 2 2 0 4 0 = ⋅ − = n n h me E n ε (10.2) Это и есть собственные значения энергии электрона, совпадающие со значе- ниями энергии электрона, полученными в рамках теории Бора. Соответствую- щие этим значениям энергии собственные волновые функции имеют следую- щую структуру: ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , , , , , ϕ ϕ ψ ϕ ψ Θ Y r R Θ r Θ r m l l n m l n = = (10.3) где n, l, m – целые числа, которые называют соответственно главным кванто- вым числом, орбитальным квантовым числом и магнитным квантовым числом. Явный вид функций ( ) ( ) ϕ , и , Θ Y r R m l l n оказывается довольно громоздким и здесь приводиться не будет. Главное квантовое число n определяет энергию электрона в соответствие с формулой (10.2). В квантовой механике доказывается, что электрон, находя- щийся в стационарном состоянии, описываемом волновой функцией ψ n, l, m , обладает, помимо энергии Е n , определенным значением модуля момен- та импульса L и определенным значением L z проекции момента импульса на ось Z используемой системы координат. Эти величины вычисляются по формулам ( ) , 1 m L l l L z h h = + = Следует иметь в виду, что при этом проекции момента импульса электрона на оси Х и У не имеют определенных значений. При фиксированном значении главного квантового числа n орбитальное квантовое число l может принимать значения l = 0, 1, 2,…, n – 1, а при фиксированном l магнитное квантовое число m может иметь значения m = –l, –l +1, …, –1, 0, 1, …, l – 1, l , т.е. всего (2l + 1) значений. Имея конкретное значение энергии Е n , определяемое лишь главным кван- товым числом n, электрон может находиться в различных квантовых состояни- ях с разными допустимыми значениями l и m. Число различных квантовых со- стояний с одним и тем же значением энергии называется кратностью вырожде- ния соответствующего энергетического уровня, а сами такие состояния назы- ваются вырожденными. Кратность вырождения энергетического уровня элек- трона равна 104 ( ) 1 2 2 1 0 n l n l = + ∑ − = Состояния электрона с разными значениями модуля момента импульса имеют специальные названия. Если орбитальное квантовое число l равно нулю, то говорят, что электрон находится в s-состоянии, при l = 1 – в p-состоянии и т.д. Соответствие между значениями l и обозначениями состояний определяют- ся табл. 10.1. Таблица 10.1 Орбитальное число l 0 1 2 3 4 5 Состояние s p d f g h Описывая состояние электрона, значение главного квантового числа ука- зывают перед условным обозначением орбитального квантового числа l. Для электрона в атоме водорода возможны наборы состояний 1s; 2s, 2p; 3s, 3p, 3d; 4s, 4p, 4d, 4f; и т.д. Схема энергетических уровней электрона в атоме водорода приведена на рис. 10.2. Состояния с одним и тем же значением квантового числа l изображе- ны черточками одного столбца. Состояние 1s является основным состоянием Рис.10.2 серия Лаймана серия Бальмера Е,эВ 0 –13,6 1 2 3 4 ∞ n M M M M M M 5 6 s p g f d s h 105 электрона в атоме. В этом состоянии электрон (и атом) обладает минимальной энергией. Все остальные состояния являются возбужденными. Излучение и поглощение света атомом происходит при переходах элек- трона между состояниями, имеющими разные энергии (разные значения глав- ного квантового числа n). Находясь в возбужденном состоянии (n > 1) атом мо- жет самопроизвольно перейти в состояние с меньшим значением энергии, ис- пустив при этом фотон с энергией, равной разности энергий начального и ко- нечного состояний. Наоборот, взаимодействующий атом, поглотив фотон, мо- жет перейти в одно из состояний с большей энергией. Однако следует иметь в виду, что допустимыми являются не все переходы, разрешенные законом со- хранения энергии. В квантовой механике доказывается, что справедливы сле- дующие правила отбора: ∆ l = ± 1, ∆ m = 0, ± 1. Как следствие, отличны от нуля лишь вероятности переходов между состоя- ниями, изображенными черточками соседних столбцов на рис. 10.2. Разрешен- ные переходы, приводящие к излучению частот спектральных серий Лаймана и Бальмера, изображены стрелками на том же рисунке. Поскольку собственные значения энергии (10.2) совпадают со значениями энергии электрона в теории атома водорода по Бору, квантовая механика предсказывает такой же спектр излучения атомарного водорода. Вероятность обнаружения электрона в элементе объема, который в сфе- рических координатах равен dV = r 2 sin Θ dr dΘ dϕ, определяется выражением ( ) sin , , 2 * , , 2 2 , , ϕ ϕ ψ ϕ d d dr Θ r Y Y R dV Θ r dp m l m l nl Θ r Θ = = Здесь учтено, что радиальная часть R n,l (r) волновой функции в (10.3) является вещественной, а угловая часть Y l,m – комплексной функцией своих переменных. Проинтегрировав dр r, Θ,ϕ по угловым переменным Θ, ϕ, получим вероятность dр r обнаружения электрона в тонком шаровом слое толщиной dr, взятом на рас- стоянии r от ядра: sin sin 0 2 0 , * , 2 2 , 0 2 0 2 , * , 2 , ϕ ϕ π π π π d dΘ Θ dr Y Y dr r R d dΘ Θ dr r Y Y R dp m l m l l n m l m l l n r ∫ ∫ ∫ ∫ = = = В квантовой механике доказывается, что последний интеграл равен единице. Поэтому 2 2 , dr r R dp l n r = 106 Из этой формулы следует, что 2 2 , r R l n представляет собой плотность вероятности обнаружения электрона на расстоянии r от ядра. На рис. 10.3 приведены графи- ки плотности вероятности 2 2 , r R l n для состояний 1s, 2p и 3d. За единицу масшта- ба для оси r взят первый боровский радиус а 0 . Из рисунка видно, что плотность вероятности для указанных состояний максимальна на расстояниях от ядра, равных радиусам первой, второй и третьей боровских орбит соответственно. Хотя никаких орбит для электрона в атоме не существует, в некоторых (но да- леко не во всех) состояниях вероятность обнаружения электрона оказывается максимальной на расстояниях от ядра, равных радиусам боровских орбит. 10.2. Спин и системы тождественных частиц При исследовании спектров щелочных металлов с помощью спектраль- ных приборов большой разрешающей силы было обнаружено, что каждая спек- тральная линия, наблюдаемая с помощью прибора с невысокой разрешающей способностью, в действительности расщеплена на две близко расположенных линии, т.е. является так называемым дублетом. Дублетная структура наблюда- ется и в спектре атомарного водорода, однако расщепление спектральных ли- ний гораздо меньше, чем у щелочных металлов. Известно, что значения энергии оптического электрона в атоме щелочно- го металла зависят не только от главного, но и от орбитального квантового чис- ла. Дублетное расщепление спектральных линий говорит о том, что уровни энергии зависят еще от одной величины, которая может принимать лишь два значения. Для объяснения расщепления энергетических уровней Д. Уленбек и С. Гаудсмит выдвинули идею, состоящую в том, что наряду с зарядом и массой электрон обладает еще одной характеристикой – собственным моментом им- пульса – спином. Подчеркнем, что наличие у электрона спина не связано с его движением в пространстве – это внутреннее свойство самой частицы. r 1s 2p 3d a 0 4a 0 9a 0 2 2 r R nl Рис. 10.3 107 Модуль L s собственного момента импульса электрона ( ) , 1 + = s s L s h где s – спиновое квантовое число, принимающее единственное значение s = 1/2. Проекция спина на произвольное избранное направление Z может иметь лишь два значения , s sz m L h = где m s = 1/2, –1/2. Спин является чисто квантовой характеристикой частицы, не имеющей классического аналога. Попытки построить модель электрона в виде маленько- го заряженного шарика, быстро вращающегося вокруг собственной оси, оказа- лись несостоятельными. Отметим также, что наличие у электрона спина выте- кает из релятивистского квантовомеханического уравнения, описывающего движение электрона – уравнения Дирака. Следовательно, можно утверждать, что спин – одновременно и квантовая и релятивистская характеристика элек- трона. Наряду со спином электрон обладает собственным магнитным моментом s µ r , модуль которого , 0 s e s L m e = µ где m e – масса электрона, е 0 – элементарный электрический заряд. Проекция собственного магнитного момента электрона на избранное на- правление Z может принимать лишь два значения 2 0 e sz m e h ± = µ Величина Дж/Тл 10 927 , 0 2 23 0 − ⋅ = = e Б m e h µ называется магнетоном Бора. Нали- чие у электрона магнитного момента приводит к так называемому спин- орбитальному взаимодействию. Вследствие этого взаимодействия, электрон в состояниях с разными проекциями магнитного момента обладает разными энергиями, что позволяет объяснить дублетный характер спектров. Спин- орбитальное взаимодействие можно обосновать двумя способами. Во-первых, как доказывается в электродинамике, движущийся магнитный момент обладает электрическим дипольным моментом, ориентация которого определяется ори- ентацией магнитного момента. Энергия взаимодействия этого электрического дипольного момента с кулоновским полем ядра будет разной для разных ори- ентаций магнитного момента. Другой способ обоснования существования спин- орбитального взаимодействия заключается в следующем. Перейдем в систему отсчета, связанную с электроном, движущимся вокруг ядра. В этой системе яд- ро движется вокруг электрона, создавая магнитное поле с индукцией B r По- скольку потенциальная энергия взаимодействия магнитного момента с магнит- 108 ным полем равна , B s r r µ − а собственный магнитный момент электрона может ориентироваться относительно B r лишь двумя способами, энергия взаимодей- ствия может принимать только два значения B E Б µ ± = Как следствие, каждый энергетический уровень (кроме уровней энергии электрона в s-состоянии) рас- щепляется на два подуровня, что полностью объясняет все особенности дуб- летной структуры спектров излучения. Спином обладают не только электроны, но и другие элементарные части- цы. Так, для нейтрона и протона спиновое квантовое число s = 1/2 , как и для электрона. Для мезонов s = 0, для фотона s = 1, для гипотетической частицы гравитона – кванта гравитационного взаимодействия – s = 2. Исходя из общих принципов квантовой механики можно доказать, что спиновое квантовое число может принимать либо целые, либо полуцелые значения: s = 0, 1/2, 1, 3/2, 2, … Наличие у микрочастиц спина приводит к важным физическим следствиям. Оказывается, что системы одинаковых (тождественных) микрочастиц обладают совершенно разными свойствами в зависимости от значения спинового кванто- вого числа. В классической механике одинаковые частицы (например, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, не теряют своей индиви- дуальности. Можно представить себе частицы, входящие в состав данной фи- зической системы, в некоторый момент времени «пронумерованными» и в дальнейшем следить за движением каждой из них по своей траектории. Тогда в любой последующий момент времени частицы можно будет идентифициро- вать. В квантовой же механике положение совершенно меняется. В силу прин- ципа неопределенности понятие о траектории частицы полностью теряет смысл. Если положение квантовой частицы точно известно в настоящий мо- мент времени, то уже в следующий момент времени ее координаты вообще не имеют никакого определенного значения. Поэтому, пронумеровав частицы в некоторый момент времени, мы этим ничего не добьемся для целей их иденти- фицирования в дальнейшем: обнаружив одну из частиц в какой-либо точке пространства, мы не сможем указать, какая именно из них попала в эту точку. Таким образом, в квантовой механике принципиально не существует никакой возможности следить в отдельности за каждой из одинаковых частиц и тем са- мым различать их. Можно сказать, что в квантовой механике одинаковые час- тицы полностью теряют свою индивидуальность – они становятся полностью неразличимыми. Это утверждение называют принципом неразличимости тож- дественных частиц. Волновая функция, описывающая движение частицы со спином s, имеет вид ( ) ( ) , , , , ξ ψ ψ = s m z y x где ξ означает совокупность пространственных переменных и значение маг- нитного квантового числа m s . Для простейшей системы из двух тождественных частиц, волновая функция ( ) , , 2 1 ξ ξ ψ ψ = 109 где ξ 1 и ξ 2 – совокупность переменных для каждой из частиц. В силу тождест- венности частиц, состояния системы, получающиеся перестановкой частиц, должны быть физически одинаковыми. Формально перестановка частиц озна- чает замену ψ (ξ 1 , ξ 2 ) на ψ (ξ 2 , ξ 1 ). В результате такой замены вероятность обна- ружения частиц в элементах объема dV 1 и dV 2 не должна изменяться, следова- тельно | ψ (ξ 1 , ξ 2 )| 2 = | ψ (ξ 2 , ξ 1 )| 2 Это возможно лишь в двух случаях: либо ψ (ξ 1 , ξ 2 ) = ψ (ξ 2 , ξ 1 ) либо ψ (ξ 1 , ξ 2 ) = – ψ (ξ 2 , ξ 1 ), т.е. волновая функция либо симметрична, либо антисим- метрична. Этот результат непосредственно обобщается на системы, состоящие из произвольного числа одинаковых частиц. Волновая функция системы одина- ковых частиц должна либо совершенно не меняться при перестановке любой пары частиц, т.е. быть симметричной, либо менять знак при перестановке лю- бой пары частиц, т.е. быть антисимметричной. Свойство системы частиц описываться симметричными либо антисим- метричными волновыми функциями зависит от рода частиц. Частицы, системы которых описываются симметричными волновыми функциями, называются бо- зонами. Совокупности таких частиц подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Частицы, системы которых описываются антисимметричными волновыми функциями, называют фермионами и эти системы подчиняются статистике Ферми-Дирака. В релятивистской квантовой механике доказывается, что свой- ство частиц быть фермионами или бозонами зависит от их спина. Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) являются фермионами, а частицы с целым спином (в частности, фотоны) являются бозонами. Пусть для частицы, находящейся в некотором потенциальном поле, име- ется набор квантовых состояний. Если в это поле поместить некоторую сово- купность бозонов, то в одном и том же квантовом состоянии может находиться любое их количество. Если же поместить некоторую совокупность фермионов, то в определенном квантовом состоянии может находиться не более одного фермиона. Состояние электрона, взаимодействующего лишь с ядром атома, опреде- ляется, с учетом спина, четырьмя квантовыми числами: n, l, m, m s . Поскольку электроны являются фермионами, можно сформулировать следующее утвер- ждение, которое называют принципом Паули: в атоме, как и любой другой квантовой системе, не может быть двух электронов, обладающих одинаковым набором квантовых чисел. При учете взаимодействия электронов между собой состояние электрона в атоме в первом приближении можно охарактеризовать тем же набором кван- товых чисел. Совокупность состояний с одним и тем же значением главного квантового числа n образует оболочку атома. Оболочки атома обозначают бук- вами K, L, M…в соответствии с табл. 10.2. Таблица 10.2 Главное квантовое число 1 2 3 4 5 Оболочка K L M N O 110 С учетом спина число состояний в оболочке равно 2n 2 . Приведем таблицу (табл. 10.3) , в которой указаны: число состояний с данными значениями n и l и общее число состояний в оболочке. Таблица 10.3 Число состояний Оболочка n s p d f g Число состоя- ний в оболочке K 1 2 2 L 2 2 6 8 M 3 2 6 10 18 N 4 2 6 10 14 32 O 5 2 6 10 14 18 50 Принцип Паули дает возможность построить схему заполнения оболочек атомов при смещении вдоль периодической системы элементов Менделеева. При построении так называемой идеальной схемы заполнения оболочек прини- мается, что электрон в атоме взаимодействует лишь с кулоновским полем ядра с зарядом Ze 0 , где Z – атомный номер химического элемента. Тогда энергия электрона 2 2 2 0 4 0 2 1 8 n h e mZ E n ⋅ − = ε (10.4) определяется лишь главным квантовым числом n. Отсюда следует, что мини- мальной энергией обладают электроны К-оболочки, затем L-оболочки и т.д. В силу принципа минимума энергии, основному состоянию атома соот- ветствует такое распределение электронов по квантовым состояниям, при кото- ром атом обладает наименьшей энергией. Это означает, что оболочки K, L, M,… должны заполняться последовательно, начиная с К-оболочки. Однако в какой последовательности заполняются состояния s, p, d,… в пределах каждой оболочки, формула (10.4) определить не может. Расчеты показывают, что при учете взаимодействия электронов между собой, энергия электрона в атоме при фиксированном n увеличивается с ростом l . Поэтому при построении идеаль- ной схемы заполнения оболочек принимается, что заполнение оболочки начи- нается с заполнения состояния с l min = 0 и заканчивается заполнением состояния с l max = n – 1. Следовательно, можно сказать, что идеальная схема заполнения строится по такому принципу: каждый вновь присоединяющийся электрон свя- зывается в состоянии с наименьшими допустимыми принципом Паули кванто- выми числами n и l. Когда заполнение оболочки заканчивается, образуется ус- тойчивая электронная конфигурация, соответствующая электронной конфигу- рации благородных (инертных) газов. После этого начинает заполняться сле- дующая оболочка. Повторяемость свойств химических элементов объясняется повторяемостью электронных конфигураций внешних оболочек и подоболочек атомов. |