39_tot (1)-конвертирован. Курс лекций по дисциплине теоретические основы теплотехники удк 621 016 Краткий курс лекций по дисциплине "Теоретические основы теплотехники" Учеб пособие А. А. Джамалуева, 2020. 127 с

• Название: Курс лекций по дисциплине теоретические основы теплотехники удк 621 016 Краткий курс лекций по дисциплине "Теоретические основы теплотехники" Учеб пособие А. А. Джамалуева, 2020. 127 с
• Дата: 28.12.2021
• Размер: 0.66 Mb.
• Имя файла: 39_tot (1)-конвертирован.docx
• Тип: Курс лекций; #320815
• страница: 5 из 11

l = l₁ - l₂ = q = q₁ – q₂. (1.42)

Часть подведенной теплоты превращается в положительную работу, чем больше эта работа, тем эффективнее работает тепловой двигатель. Эффективность оценивают термическим коэффициентом полезного действия цикла (η _t):

^η . (1.43)

t

Термический коэффициент полезного действия показывает отношение работы, производимой двигателем за цикл, к количеству теплоты, подведенной за этот цикл от горячего источника. Он

характеризует степень совершенства цикла теплового двигателя. Чем больше КПД, тем большая часть подведенной теплоты превращается в работу.

Термический КПД прямого обратимого цикла всегда меньше 1. Это говорит о том, что не всю теплоту можно превратить в работу без отвода части теплоты в окружающую среду.

3. 
   Прямой обратимый цикл Карно
   

Карно в 1824 г. рассмотрел тепловой цикл идеальной тепловой машины. Этот цикл теоретический, протекает при следующих допущенях:

процессы расширения и сжатия протекают в две стадии: на 1-й стадии они проходят изотермично, на второй – адиабатно;

цилиндр паровой машины считается абсолютно теплопроводным в изотермическом процессе и абсолютно нетеплопроводным в адиабатном процессе.

Рассмотрим цикл Карно на PV– диаграмме (рис. 1.12).

Р P₁,v₁,T_{1 q1} 1

2 P₂,v₂,T₁

4

P₄,v₄,T₂

3 P₃,v₃,T₂

q₂

рно в
Рисунок 1.12 – Прямой обратимый цикл Ка ^V
PV-координатах

Начальное состояние газа характеризуется параметрами P₁,V₁,T₁ (точка 1). 1-я стадия расширения – изотермический процесс (линия 12 – равнобокая гипербола). К газу подводится теплота q₁. На этом этапе цилиндр считается абсолютно теплопроводным. В

точке 2 состояние газа оценивается параметрами P₂,V₂,T₁. 2-я стадия расширения – адиабатный процесс – линия 23 – неравнобокая гипербола. Газ расширяется без теплообмена с внешней средой. Цилиндр считается абсолютно нетеплопроводным. В точке 3 состояние газа оценивается параметрами P₃,V₃,T₂. 1-я стадия сжатия – изотермический процесс – линия 34 – равнобокая гипербола. Сжатие газа осуществляется с отводом теплоты q₂ в окружающую среду. В точке 4 параметры газа P₄,V₄,T₂. 2-я стадия сжатия – адиабатный процесс – линия 41 – неравнобокая гипербола.

Цикл Карно можно рассмотреть в TS – координатах (рис. 1.13).

Т

4

T₁ T₂

S

q₂

12 – изотермическое расширение; 23 – адиабатное расширение; 34 – изотермическое сжатие;41 – адиабатное сжатие
Рисунок 1.13 – Прямой обратимый цикл Карно в TS-координатах

Теплота процесса эквивалентна площади под линией процесса на TS-диаграмме (см. рис.1.13):

q1 T1(S2

S1)

_, q2

T2(S2

S1) _.

Подставим полученные выражения в уравнение для η_t

(уравнение 1.43):

η_t 1

T2(S2-S1)

;

T1(S2 -S1)

η_t 1 _T

T2

1
. (1.44)

Рассмотренный цикл Карно позволяет при определении термического КПД перейти от теплоты, которую достаточно трудно измерить, до абсолютной температуры, которую легко определить.

Анализ уравнения (1.44) показывает:

термический КПД всегда меньше 1, равенство могло бы быть при Т₂=0 или Т₁=∞, что в земных условиях невозможно;

термический КПД будет равен нулю при Т₂=Т₁, т.е. при тепловом равновесии, при котором невозможно превратить теплоту в работу;

для повышения термического КПД теплового двигателя необходимо повышать температуру рабочего тела при его расширении и понижать ее при сжатии.

Термический КПД цикла Карно имеет наибольшее значение по сравнению с КПД любого цикла, осуществляемого в одном и том же интервале температур. Поэтому такое сравнение позволяет делать заключение о степени совершенствования использования теплоты в машине. В реальных двигателях цикл Карно неосуществим вследствие практических трудностей. Однако теоретическое и практическое значение цикла Карно весьма велико.

3. 
   Математическое выражение второго закона
   

термодинамики

Сравним выражение для термического КПД в двух формах – через теплоту и через температуру (для произвольной массы газа). Из сравнения уравнений (1.43) и (1.44) получим:

Q2 T2

Q1 T1

, или ^Q2 T2

^Q1 , или

T1

Q2 Q1 _{0 .}

T2 T1

Принято считать подводимую теплоту (Q₁) положительной, а отводимую ( Q₂ ) – отрицательной, тогда

Q1 T1

или в общем виде

( ^Q2 ) 0;

T2

Q1 Q2 _{0 ,}

T1 T2

. (1.45)
Алгебраическая сумма приведенных теплот для обратимого цикла Карно равна нулю.

В произвольном обратимом цикле можно выделить элементарные циклы Карно. Для каждого элементарного цикла Карно можно записать:
.
тогда для всего произвольного цикла (после интегрирования по замкнутому контуру):
. (1.46)
Таким образом, алгебраическая сумма приведенных теплот для любого обратимого цикла равна нулю. Уравнение (1.46), выведенное Клаузиусом в 1854г., представляет собой математическое выражение 2-го закона термодинамики для произвольного обратимого цикла и называется первым интегралом Клаузиуса.

Для необратимых циклов, что характерно для реальных тепловых двигателей, термический КПД будет меньше, чем для обратимого цикла:

η_tнеобр η_tобр_.

Это происходит вследствие протекания трения, диффузии и других односторонне направленных процессов. В этом случае можно записать с учетом уравнений (1.43) и (1.44) :

T2 Q2

, или ^Q1 ^Q2 , или

Q1 _- Q2 _{0 ;}

^Q1 -(-^Q2 ) 0.

T1 Q1

T1 T2

T1 T2

T1 T2

В общем случае можно записать:
(1.47)
Алгебраическая сумма приведенных теплот для необратимого цикла Карно меньше нуля.

Для произвольного необратимого цикла, составленного из бесконечно большого количества необратимых элементарных циклов, после интегрирования по замкнутому контуру получим:
. (1.48)
Неравенство (1.48) представляет собой математическое выражение 2-го закона термодинамики для произвольного необратимого цикла и называется вторым интегралом Клаузиуса.

Объединяя обе формулы (1.46) и (1.48), можно математическое выражение 2-го закона термодинамики представить одним уравнением:

. (1.49)
Знак равенства относится к обратимым, а знак неравенства – к необратимым циклам. Выражение (1.49) называют объединенным интегралом Клаузиуса.

В конце XIX века ряд ученых доказал, что 2-й закон термодинамики не является абсолютным законом природы, имеет значение для макропроцессов и неприменим для микросистем.

Больцман указал на относительный характер 2-го закона термодинамики: всякое изменение состояния системы происходит самопроизвольно только в том направлении, при котором может иметь место переход частей системы от менее вероятного к более вероятному распределению. Самопроизвольные процессы всегда сопровождаются увеличением энтропии.

3. 
   Вопросы для самоконтроля
   

1. 
   Сформулировать сущность 2-го закона термодинамики.
   
2. 
   Что характеризует термический коэффициент полезного действия цикла?
   
3. 
   Сформулировать сущность объединенного интеграла Клаузиуса.
   
4. 
   В чем заключается практическое и теоретическое значение цикла Карно?
   

4. 
   Истечение паров и газов
   

1. 
   Основное уравнение вытекания паров и газов
   

В технике часто приходится иметь дело с процессами истечения, характеризуемыми большой кинетической энергией рабочего тела, которая используется в разного рода машинах и устройствах (паровые и газовые турбины, эжектора, реактивные двигатели, ракеты и др.). Для расчета этих машин и устройств необходимо знать закономерности процесса истечения рабочего тела и изменения его параметров.

Для получения потоков с большой кинетической энергией используются короткие каналы переменного сечения – насадки.

По принципу работы насадки делятся:

равномерно сужающиеся к выходу – конфузор или сопло; равномерно расширяющиеся к выходу – диффузор;

насадки конфузорно-диффузорного типа, состоящие из 2 частей: равномерно сужающейся и равномерно расширяющейся; переход из одной части в другую осуществляется через минимальный диаметр ( d_min); такой канал получил название реактивное сопло Лаваля.

Рассмотрим течение потока газа массой 1 кг. Через насадку переменного сечения (рис.1.14). На входе поток имеет параметры P₁, ω₁; на выходе - P₂, ω₂. Запишем уравнение 1-го закона термодинамики для потока газа:

_w2 _w2

q h₂

h₁ l_T

2 1 _.

2

^Р1 ^Р2

ω₁ ω₂

Рисунок 1.14 – Насадка переменного сечения

Для неподвижных насадок техническая работа равна нулю. Процесс истечения протекает очень быстро, поэтому можно считать, что теплообмен с окружающей средой отсутствует. Тогда можно записать:
₂ ⁰. (1.50)

Из уравнения (1.50) легко определить скорость потока на выходе из насадки:

w

w
2

2 1 . (1.51)
Если скорость на входе (w₁) несравненно меньше скорости на выходе сопла (w₂), величиной w₁ можно пренебречь. Тогда получим:

w₂ 1.41 h₁

^h2 . (1.52)

Таким образом, для определения скорости истечения необходимо знать изменение энтальпии, которое зависит от разницы давлений газа. Изменение энтальпии легко определить по h–s-диаграмме (рис. 1.15). Процесс истечения - адиабатный процесс, на hS-диаграмме он изображается вертикальной прямой – линия 13. Это характерно для идеальных процессов и в этом случае изменение энтальпии равно Δh _t.

Δh _t

S
Рисунок 1.15 – Процессы обратимого и необратимого расширения газа в сопле

В реальных процессах из-за наличия сил трения выделяется тепло и энтропия газа увеличивается, поэтому процесс изображается линией 12. Изменение энтальпии равно Δh. Из

диаграммы видно (см. рис. 1.15), что Δh < Δh _t , т.е. реальные процессы истечения характеризуются меньшей скоростью истечения, что учитывается коэффициентом ψ.

w₂ 1.41

h₁ h<sub>2

.</sub> (1.53)

Коэффициент ψ всегда меньше 1, его называют скоростной коэффициент сопла. Современная техника позволяет создать хорошо спрофилированные и обработанные сопла, у которых ψ = 0,95 – 0,98.

Согласно закону сохранения массы расход газа на входе и выходе сопла будет одинаковый, т.е. можно записать:

ρ w₁ f₁ = ρ w₂ f₂, (1.54) где f – площадь поперечного сечения, м²;

ρ – плотность газа, кг/м³.

Из уравнения (1.54) можно записать:


f<sub>2

f1</sub> . (1.55)
Скорость истечения газа обратно пропорциональна площади поперечного сечения канала. Если канал сужается (конфузор, сопло), то скорость будет увеличиваться; если канал расширяется (диффузор), то скорость будет уменьшаться.

Рассмотрим зависимость статического давления газа от скорости. Для этого запишем 1-й закон термодинамики в дифференциальном виде для общего случая и для потока газа:

dq = dh – v dp и dq = dh + dl_т+ w dw.

Для неподвижных насадок техническая работа равна нулю. Левые части рассматриваемых уравнений равны, значит, можно записать:

w dw = - v dp. (1.56) Из уравнения 1.56 видно, что скорость и статическое давление имеют разные знаки, т.е. с ростом скорости газа давление будет уменьшаться. Этот принцип используется в эжекторах, инжекторах,

эрлифтах, т.е. установках, которые перемещают газ или жидкость с помощью потока сжатого газа.

2. 
   Влияние профиля канала на скорость
   

истечения

Исследования показали, что форма поперечного сечения канала практически не влияет на скорость истечения. Основную роль играет профиль канала, т.е. изменение сечения вдоль потока. Поэтому для получения определенной скорости истечения требуется выбрать соответствующий профиль канала.

Для получения скорости истечения газа, меньшей скорости звука в данной среде, используют равномерно сужающуюся насадку.

Для получения скорости истечения газа, равной скорости звука в данной среде, используют насадку, состоящую из равномерно сужающейся части и цилиндрической части (рис. 1.16).
w₁ ^w2

P₁ ^P2
Рисунок 1.16 – Насадка для получения скорости истечения, равной

скорости звука

Для каждого газа в зависимости от его состава давление, при котором достигается скорость звука, (Р_кр) будет разным. Для определения P_кр используют уравнение

^Ркр Р₁

где к – показатель адиабаты.

к
, (1.57)

Из уравнения (1.57) видно, что отношение критического давления к давлению перед насадкой (β_кр) есть величина постоянная, зависящая только от показателя адиабаты:

для одноатомного газа (к = 1.66) - β_кр= 0.49; для двухатомных (к = 1.4) - β_кр = 0.528;

для 3-х и многоатомных и перегретого пара (к=1.3) - β_кр= 0.546. Для получения скорости газа, большей скорости звука, используют комбинированную насадку, которая состоит из относительно короткой части с равномерным сужением и длинной

расширяющейся части (реактивное сопло Лаваля) – рис.1.17..

Р₂

w₂

P₁

w₁

Рисунок 1.17 – Реактивное сопло Лаваля

Такое сопло впервые было применено шведским инженером Лавалем в 80-х годах прошлого столетия для получения сверхзвуковых скоростей пара. Сейчас сопло Лаваля применяют в реактивных двигателях самолетов и ракет.

Форма насадки выбирается в зависимости от давления на выходе сопла. Находят величину β, равную отношению давления

газа на выходе из канала к давлению на входе, и сравнивают ее с величиной β_кр [уравнение (1.57)]:

если β > β_кр , то скорость истечения будет меньше скорости звука и выбираем сопло равномерно суживающееся (см. рис.1.14);

если β = β_кр, то скорость истечения будет равна скорости звука , выбираем сопло, состоящее из равномерно суживающейся части и части с постоянным сечением ( см. рис. 1.16);

если β < β_кр, то скорость истечения будет больше скорости звука и необходимо использовать сопло Лаваля (см. рис. 1.17).

Расчет насадки сводится к определению скорости газа на выходе, минимальных площади сечения и диаметра канала.

3. 
   Дросселирование газов и паров
   

Под процессом дросселирования газа понимают необратимый процесс изменения его состояния, вызванного местным сужением сечения по пути движения газа (заслонка, задвижка, вентиль, диафрагма, шайба и т.п.). При прохождении через сужение скорость газа , как и при истечении, увеличивается, а давление его падает. При этом давление после препятствия всегда оказывается меньшим, чем перед ним. Этот процесс уменьшения давления, в итоге которого нет ни увеличения кинетической энергии, ни совершения технической работы, называется дросселированием.

Рассмотрим движение потока при сужении сечения, например трубопровод с шайбой (перегородка с отверстием) на рис. 1.18.

w₁ w₂

p₁ p₂

w₂ ≈ w₁ P₂ < P₁


l
Рисунок 1.18 – Дросселирование рабочего тела

В месте сужения скорость газа увеличивается, а после сужения уменьшается и достигает приблизительно начальной величины, если размер канала остается постоянным. Давление газа при сужении уменьшается, а после – увеличивается, но остается меньше начального. Это связано с тем, что часть энергии затрачивается на преодоление сопротивления при проходе через суженное сечение.

Запишем 1-й закон термодинамики для потока газа:

_w2 _w2

q h₂

h₁ l_Т

2 1

₂ .

В месте сужения канала теплота извне не подводится (q=0); техническая работа при дросселировании не совершается (l_т=0). Если размер канала постоянный, то скорость потока не изменяется.Тогда получаем:

h₂ = h₁.

Исходя из выражения для изменения энтальпии (1.15), получим:




h₂ – h₁ = C_p (t₂ – t₁) = 0 или t₂ = t_1.

Таким образом, при дросселировании идеальных газов энтальпия и температура газа не изменяются. Не следует делать вывод, что дросселирование газа протекает при неизменной его энтальпии. Надо понимать так, что лишь при завершении процесса дросселирования и стабилизации состояния газа (т.е. выравнивании потока) его энтальпия оказывается такой же, что и до начала процесса.

При дросселировании реальных газов, как установлено исследователями, температура газа изменяется. В реальных газах из-за наличия сил притяжения между молекулами на расширение газа за сужением должна затрачиваться какая-то энергия. К месту дросселирования извне не подводится ни теплота, ни работа, поэтому расширение происходит за счет внутренней энергии газа. Это приводит к уменьшению температуры потока. Изменение температуры при дросселировании называется эффектом Джоуля- Томсона. Томсона. Для идеальных газов эффект Джоуля-Томсона равен нулю, для реальных газов он может быть положительным или отрицательным. Этот эффект широко используется для получения низких температур, например, в бытовом холодильнике.

Дросселирование является типичным необратимым процессом, в результате которого энтропия рабочего тела возрастает без подвода теплоты. Как и всякий необратимый процесс, дросселирование приводит к потере работы. Покажем это на примере водяного пара на hS-диаграмме (рис.1.19). На диаграмме изображены три изобары, причем Р₁ > Р₂ > Р₃. Точка 1


h
характеризует перегретый пар. Направим этот пар на лопатки паровой турбины, где он будет расширяться до давления Р₃. Процесс расширения адиабатный, изображается





S
Рисунок 1.19 – Дросселирование водяного пара

вертикальной прямой 12. При этом пар выполняет работу l₁₂ = h₁ - h₂. Если сначала провести процесс дросселирования до давления Р₂ (процесс изображается горизонтальной прямой 13), а затем пар направить на лопатки турбины (линия 34), то работа, которую пар при этом выполнит, равна l₃₄ = h₁ - h₄. По диаграмме четко видно, что во втором случае мы получаем меньшее количество работы. Таким образом, при дросселировании газов и паров мы теряем часть полезной энергии.

Дросселирование используют для регулирования (уменьшения) мощности тепловых двигателей. Такое регулирование, конечно, не экономично, т.к. часть работы безвозвратно теряется, но вследствие своей простоты оно применяется довольно широко.

4. 
   Вопросы для самоконтроля
   

1. 
   Какие типы насадок применяют для получения потоков газа с большой кинетической энергией?
   
2. 
   Чем определяется величина скорости, полученной на выходе из насадки?
   
3. 
   Каким образом связаны величины скорости газа и площади сечения канала?
   
4. 
   Как связаны между собой скорость потока газа и его статическое давление?
   
5. 
   Какое влияние оказывает на скорость газа профиль канала? На чем основан выбор профиля канала?
   
6. 
   Какой процесс называют дросселированием? Перечислить его основные особенности.
   
7. 
   Доказать, что процесс дросселирования всегда приводит к потере полезной работы.
   

2. 
   Теплопередача
   
   1. 
      Теплопроводность
      

1. 
   Основные положения теплопроводности
   

Согласно 2-му закону термодинамики самопроизвольный процесс переноса теплоты в пространстве возникает под действием разности температур и направлен в сторону уменьшения температуры. Закономерности переноса теплоты и количественные характеристики этого процесса являются предметом исследования теории теплообмена (теплопередачи). Теплопередача

рассматривает процессы переноса теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Известно 3 способа переноса теплоты: теплопроводностью; конвекцией; излучением.

Во всех веществах теплота передается теплопроводностью за счет переноса энергии микрочастицами. Теплопроводность – это процесс распространения теплоты между соприкасающимися телами или частями одного тела с различной температурой. Для осуществления теплопроводности необходимы два условия: контакт и разница температур.

Под конвекцией тепла понимают процесс передачи его из одной части пространства в другую перемещающимися микроскопическими объектами жидкости или газа. Тепло передается не только в результате перемещения потоков жидкости или газа, но и в результате обмена энергией между частицами (при контакте), т.е. теплопроводностью. Совокупность 2 процессов (конвекции и теплопроводности) называют конвективным теплообменом. В зависимости от причины, вызывающей движение, конвективный теплообмен мо-жет быть:

естественным (свободным); вынужденным.

Естественная конвекция вызывается разностью удельных весов неравномерно нагретой среды, осуществляется за счет действия сил тяжести (нагретые частицы вытесняются холодными вверх).

Вынужденный теплообмен осуществляется за счет перемещения жидкости или газа механическими устройствами (вентиляторы, насосы, компрессор, мешалка и др.).

Третий метод передачи теплоты – излучение. Тепловое излучение представляет собой процесс превращения тепла в

лучистую энергию и передачи ее в окружающее пространство. Передается во всех лучепрозрачных средах, в том числе и в вакууме. Теплообмен осуществляется за счет распространения электромагнитных волн. Носителями энергии являются фотоны, излучаемые или поглощаемые телами, участвующими в теплообмене.

Часто перенос теплоты осуществляется одновременно различными способами – случай сложного теплообмена. Например, конвективная теплоотдача от газа к стенке практически всегда сопровождается параллельным переносом теплоты излучением.

Сначала мы рассмотрим элементарные процессы теплообмена теплопроводностью, конвекцией и излучением, а затем - совместные процессы теплопередачи всеми видами теплообмена. Такое последовательное рассмотрение вопросов целесообразно и значительно упрощает изучение теории.

Рассмотрим процесс теплопроводности.

Перенос теплоты теплопроводностью зависит от распределения температуры по объему тела. В общем виде температура зависит: t = f (x, y, z, ),

где x,y,z – координаты точки, – время.

Совокупность значений температуры во всех точках тела в

данный момент времени называется температурным полем. Очень часто температура изменяется только по одной или двум пространственным координатам, соответственно, температурное поле будет одно- или двухмерным. Кроме того, различают стационарное температурное поле, когда температура во всех

точках тела не меняется с течением времени, и нестационарное поле.

Поверхность, во всех точках которой температура одинакова, называется изотермической. Быстрее всего температура изменяется при движении в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности. Рассмотрим две изотермические поверхности с разной температурой (рис.2.1).
t+∆t





Рисунок 2.1 – Изменение температуры относительно изотермических поверхностей

Возьмем точку А на нижней поверхности и рассмотрим, как будет изменяться температура при перемещении. В направлении АВ температура постоянная, в направлениях AS и АN температура изменяется, при этом в направлении, перпендикулярном изотермической поверхности, (АN) изменение температуры будет наибольшим. Таким образом, наибольшее изменение температуры происходит по нормали к изотермической поверхности.

Градиент температуры – это векторная величина, направленная по нормали к изотермической поверхности в сторону увеличения температуры и численно равная производной от температуры по этому направлению. То есть градиент показывает, как увеличивается температура относительно расстояния. Это важная величина, определяющая многие физические процессы, ^оС/ м:
^{grad t=} lim ^.
Количество теплоты (Q), проходящее в единицу времени через изотермическую поверхность (F), называют тепловым потоком, обозначают Q^*, единицы измерения – ватт. Тепловой поток, приходящийся на 1м² поверхности, называют удельным тепловым потоком (плотностью теплового потока или тепловой нагрузкой поверхности нагрева), обозначают q, единицы измерения – ватт на квадратный метр:

Q* _; q ^Q* _.


Тепловой поток и плотность теплового потока являются векторами, направленными по нормали к изотермической поверхности, причем за положительное направление принимается направление в сторону уменьшения температуры. Направления векторов теплового потока и градиента температур противоположны.

Основной закон теплопроводности формулируется следующим образом: плотность теплового потока пропорциональна градиенту температуры (закон Фурье):
q = - grad t, (2.1)

где - коэффициент пропорциональности, Вт/(м К).

Знак минус указывают на то, что тепло распространяется в сторону падения температуры и, следовательно, приращение температуры в этом направлении имеет отрицательное значение.

Общее количество тепла, переданное теплопроводностью

через стенку поверхностью f за время

составит

Q=q F


(2.2)

Коэффициент пропорциональности называют коэффициентом теплопроводности. Он характеризует способность материала проводить тепло. Значение коэффициентов приводится в справочниках теплофизических свойств веществ.

Коэффициент теплопроводности показывает количество теплоты, которое проходит через единицу изотермической поверхности за единицу времени, если градиент температуры равен единице.

Величина коэффициента теплопроводности зависит от природы тел и от их температуры. Для большинства материалов эта зависимость линейная:

_t = ₀ (1 + b t),

где – значение коэффициента теплопроводности

соответственно при 0⁰С и при данной температуре t, Вт/(м К); b – константа, определяемая экспериментально.

Наихудшими проводниками тепла являются газы (носитель – хаотически движущиеся молекулы), для которых = 0,006 – 0,6 Вт/(м К). В металлах теплопроводность обеспечивается за счет

теплового движения электронов. Величина для чистых металлов колеблется от 12 до 420 Вт/(м К). Примеси к металлам вызывают значительное уменьшение теплопроводности. Пористые материалы, плохо проводящие тепло, называют теплоизоляционными (шлаковата, минеральная шерсть, асбест, диатомит и др.). Значение для них находится в пределах от 0,02 до 0,23 Вт/(м К). Чем более порист материал (больше содержится пузырьков нетеплопроводного воздуха; меньше плотность), тем менее он теплопроводен.

2. 
   Дифференциальное уравнение теплопроводности
   

Это уравнение устанавливает зависимость изменения температуры тела во времени от свойств материала и координат точки. Уравнение можно вывести на основе закона сохранения энергии при рассмотрении изменения температуры в любой точке нагреваемого однородного и изотропного (свойства одинаковы по всем направлениям) тела в зависимости от времени. Уравнение имеет следующий вид:

⁾ , (2.3)
где - коэффициент теплопроводности, Вт/(м К);

- плотность материала, кг/м³;

с- теплоемкость материала, Дж/(кг К).

Это уравнение называют дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. Наиболее просто это уравнение выглядит для случая распространения тепла для плоской стенки (пластины

неограниченного размера), когда тепло распространяется только в направлении оси х и когда отсутствуют внутренние источники тепла:
,
где а – коэффициент температуропроводности, м²/с.

Чем больше коэффициент температуропроводности, тем пропорционально быстрее распространяется температура в теле, т.е. оно быстрее нагревается или охлаждается. Газы имеют малую, а металлы большую температуропроводность.

Дифференциальное уравнение теплопроводности позволяет решать многие практические задачи, однако решения получаются не всегда простыми.

3. 
   Условия однозначности
   

Уравнение Фурье описывает явление в самом общем виде, т.е. описывает класс явлений теплопроводности. Для рассмотрения конкретного процесса следует дать дополнительное математическое описание этого процесса, называемое условиями однозначности (единственности), которые включают в себя:

геометрическую форму и размеры тела;

начальные условия распределения температур в начальный момент времени ( = 0);

граничные условия, характеризующие условия теплообмена между телом и окружающей средой;

физические свойства тела и окружающей среды, определяемые физическими параметрами.

Совокупность начальных и граничных условий называют

краевыми условиями.

Обычно начальные условия распределения температуры сказываются только в начальный период, по истечении некоторого времени наступает регулярный режим, при котором распределение температуры в теле определяется только граничными условиями и не зависит от начальных.

Граничные условия могут быть заданы тремя способами:

граничные условия 1-го рода задаются распределением температуры на поверхности тела для любого момента времени;

граничные условия 2-го рода задаются поверхностной плотностью теплового потока в каждой точке поверхности тела для любого момента времени;

граничные условия 3-го рода задаются температурой среды, окружающей тело, и законом теплоотдачи между поверхностью тела и окружающей средой. Они задаются уравнением Ньютона-Рихмана:

q = α (t_cm - t_ж) , (2.4)

где q - плотность теплового потока, Вт/м²;

t_cm – температура поверхности тела (стенки), ⁰С;

t_ж – температура окружающей среды (жидкости), ⁰С;

α - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплоотдачи, Вт/(м²К).

Коэффициент теплоотдачи характеризует интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Он численно равен количеству теплоты, отдаваемой (или воспринимаемой) единицей поверхности в единицу времени при разности температур между поверхностью тела и окружающей средой в 1 ^оС.

Различают 2 режима распространения тепла в теле:

установившийся (стационарный) режим – температурное поле тела не изменяется во времени;

неустановившийся (нестационарный) режим – температурное поле изменяется во времени.

Рассмотрим конкретные случаи теплопроводности.

4. 
   Теплопроводность через плоскую стенку при стационарном режиме и граничных условиях 1-го рода
   

Рассмотрим (рис.2.2) однослойную плоскую стенку (длина и ширина бесконечно велики по сравнению с толщиной). Будем считать, что стенка имеет во всех своих частях одинаковую толщину

причем температуры поверхностей

/


t
cm ^и

//


t
_cm поддерживаются

постоянными, т.е. эти поверхности являются изотермическими. Температура меняется только в направлении, перпендикулярном плоскости стенки, которое принимаем за ось х. Теплопроводность будем считать постоянной для всей стенки.
t


t
/

ст


x, м

Рисунок 2.2 – Теплопроводность через плоскую стенку

Запишем дифференциальное уравнение Фурье (2.3) и проанализируем величины, входящие в него:

t λ ₍ ²t ²t

τ ρc _x² _y²

2_t

z₂ ) _.

Левая часть уравнения

^t 0 ,т.к. процесс стационарный. В правой

τ

части уравнения ^λ

ρc

0 ^{, следовательно, нулю равно выражение в}

скобках. Но при принятых условиях (температура изменяется только в направлении х) первые и вторые производные от t по у и z также равны 0. Следовательно, мы можем записать:

dt

Интегрируя данное уравнение, находим: _dx