Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
Т. В. Родина, Е. С. Трифанова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ – I для напр. «Прикладная математика и информатика» Учебное пособие под редакцией проф. И. Ю. Попова СанктПетербург 2010 3 СОДЕРЖАНИЕ ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ §1 Логическая символика…………………………………………….. 7 §2 Бином Ньютона……………………………………………………... 8 §3 Множества…………………………………………………………… 9 3.1. Множество……………………………..……………………….. 9 3.2. Подмножество. Равенство множеств…………………………. 10 3.3. Операции над множествами…………………………………… 10 3.4. Свойства операций над множествами………………………… 11 3.5. Отображения множеств………………………………………... 12 §4 Аксиомы вещественных чисел…………………………………… 14 4.1. Аксиомы сложения…………………………………………….. 14 4.2. Аксиомы умножения…………………………………………... 16 4.3. Аксиома, связывающая сложение и умножение…………... 18 4.4. Аксиома порядка……………………………………………….. 18 4.5. Аксиома непрерывности……………………………………… 20 § 5 Ограниченность числовых множеств…………………………… 27 § 6 Счетные и несчетные множества………………………………... 29 § 7 Понятие о метрическом пространстве………………………….. 33 7.1. Два замечательных неравенства……………………………….. 33 7.2. Определение метрического пространства…………………….. 34 § 8 Точки и множества в метрическом пространстве…………….. 36 ГЛАВА II. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ §1 Последовательность точек метрического пространства. Предел последовательности………………………………………….. 40 1.1. Основные определения. Способы задания……………………. 40 1.2. Предел последовательности в метрическом пространстве….. 42 1.3. Бесконечно малые последовательности. Критерий существования предела числовой последовательности………………. 45 1.4. Единственность предела сходящейся последовательности…. 46 1.5. Ограниченность сходящейся последовательности…………… 47 1.6. Сходимость последовательности в m \ ………………………. 47 1.7. Свойства сходящихся числовых последовательностей, связанные с неравенствами…………………………………………….. 48 1.8. Теорема о трех последовательностях…………………………. 49 1.9. Теорема Кантора………………………………………………... 52 § 2 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Арифметические свойства предела………………………………….. 52 2.1. Бесконечно малая последовательность……………………….. 52 2.2. Бесконечно большая последовательность……………………. 53 4 2.3. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последовательностями………………………………………………….. 56 2.4. Арифметические свойства пределов………………………….. 56 2.5. Неопределенности……………………………………………… 58 §3 Предел монотонной последовательности. Число e……………... 58 3.1. Определения…………………………………………………….. 58 3.2. Теорема Вейерштрасса…………………………………………. 59 3.3. Число e…………………………………………………………... 60 §4 Частичные пределы. Теорема Больцано-Вейерштрасса………. 61 4.1. Частичные пределы…………………………………………….. 61 4.2. Теорема Больцано-Вейерштрасса……………………………... 65 4.3. Критерий Коши…………………………………………………. 65 §5 Понятие о числовом ряде………………………………………….. 68 5.1. Основные понятия……………………………………………… 68 5.2. Положительные ряды…………………………………………... 74 §6 Компактные множества…………………………………………… 77 ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ §1 Функция одной вещественной переменной……………………... 80 1.1. Определения…………………………………………………….. 80 1.2. Сложная функция………………………………………………. 80 1.3. График функции………………………………………………... 81 1. 4. Обратная функция……………………………………………... 81 1.5. Способы задания функции……………………………………... 82 1.6. Основные свойства функций…………………………………... 85 §2 Определения предела функции…………………………………… 87 2.1. Определение предела функции по Коши……………………... 88 2.2. Определение предела функции по Гейне……………………... 89 2.3. Эквивалентность определений………………………………… 90 2.4. Бесконечные пределы…………………………………………... 91 2.5. Пределы на бесконечности……………………………………. 93 2.6. Односторонние пределы……………………………………….. 94 §3 Свойства пределов функции……………………………………... 95 3.1. Ограниченность функции, имеющей предел…………………. 95 3.2. Предельный переход в неравенстве…………………………… 96 3.3. Теорема о сжатой переменной………………………………… 96 3.4. Теорема отделимости от нуля…………………………………. 97 3.5. Арифметические свойства пределов…………………………... 98 3.6. Пределы монотонной функции………………………………... 98 3.7. Бесконечно малые функции. Критерий существования предела……………………..…………………………………………….. 99 3.8. Критерий Коши…………………………………………………. 100 5 §4 Непрерывность функций………………………………………….. 101 4.1. Непрерывность функции в точке……………………………… 101 4. 2. Точки разрыва………………………………………………….. 103 4.3. Критерий непрерывности функции…………………………… 104 4.4. Непрерывность функции на множестве………………………. 106 4.5. Равномерная непрерывность…………………………………... 110 §5 Элементарные функции и их непрерывность………………….. 112 5.1. Определения……………………………………………………. 112 5.2. Исследование простейших функций………………………….. 112 5.3. Некоторые важные пределы…………………………………… 122 § 6 Сравнение функций. Символы Ландау…………………………. 124 6.1. Сравнение функций…………………………………………….. 124 6.2. Эквивалентность функций……………………………………... 126 ГЛАВА IV. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ §1 Производная и дифференцируемость функции…………….. 129 1.1. Определение производной…………………………………….. 129 1.2. Задачи, приводящие к производной…………………………… 130 1.3. Дифференцируемость функции……………………………….. 131 1.4. Дифференциал…………………………………………………... 132 1.5. Односторонние и бесконечные производные………………… 133 §2 Правила дифференцирования. Таблица производных………... 134 2.1. Дифференцирование суммы, произведения, частного……….. 134 2.2. Дифференцирование обратной функции……………………… 136 2.3. Дифференцирование сложной функции……………………… 137 2.4. Таблица производных………………………………………….. 138 2.5. Логарифмическое дифференцирование………………………. 139 2.6. Дифференцирование функций, заданных параметрически….. 140 §3 Производные и дифференциалы высших порядков…………… 141 3.1. Производные высших порядков……………………………….. 141 3.2. Дифференциалы высших порядков…………………………… 143 §4 Свойства дифференцируемых функций………………………… 144 4.1. Экстремумы……………………………………………………... 144 4.2. Теорема Ферма………………………………………………….. 145 4.3. Теорема Ролля…………………………………………………... 145 4.4. Теорема Лагранжа……………………………………………… 146 4.5. Теорема Коши…………………………………………………... 149 §5 Формула Тейлора…………………………………………………… 150 5.1. Многочлен Тейлора…………………………………………….. 150 5.2. Формула Тейлора……………………………………………….. 151 5.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора-Маклорена……………………………………………………. 153 6 §6 Правило Лопиталя…………………………………………………. 156 6.1. Неопределенность вида 0 0 ……………………………………... 156 6.2. Неопределенность вида ∞ ∞ …………………………………….. 157 §7 Исследование функций с помощью пределов и производных... 159 7.1. Исследование функции на монотонность…………………….. 159 7.2. Экстремумы функции…………………………………………... 161 7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции………………. 164 7.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба…………………… 165 7.5. Асимптоты графика функции………………………………….. 169 7.6. Исследование функции и построение графика……………….. 171 §8 Векторная функция скалярного аргумента…………………….. 176 8.1. Определения…………………………………………………….. 176 8.2. Предел и непрерывность……………………………………….. 176 8.3. Производная и дифференциал…………………………………. 178 Литература……………………………………………………………….. 180 7 ГЛАВА I. ВВЕДЕНИЕ §1 Логическая символика Математика оперирует предложениями, про которые мы обычно можем определенно сказать, истинны они или ложны. Такие предложения называются высказываниями. Высказывания являются объектом изучения раздела матема- тики, который называется математической логикой. Мы не будем вдаваться в детали этого раздела, но будем использовать обозначения, которыми матема- тическая логика пользуется. Для краткой записи математических высказываний мы будем употреблять следующие логические символы: 1. Квантор всеобщности - ∀ , который читается как «любой», «всякий», «для любого», «для всякого». 2. Квантор существования - ∃, который читается как «существует», «можно найти», «найдется». Знак ∀ является перевернутой буквой А, а знак ∃ перевернутой Е, кото- рые являются первыми буквами английских слов All – все и Exists – существу- ет. Например, запись 5 x y x y ∀ ∃ + = читается следующим образом: «для любого x можно найти y так, что 5 x y + = ». 3. Знак следования ⇒ . Если α и β два высказывания, то запись α β ⇒ будет означать: «из α следует β », « α влечет за собой β », «если α , то β », «для того чтобы было выполнено α необходимо, что выполнялось β » или «для того, чтобы выполнялось β , достаточно, чтобы было выполнено α ». Например, запись 6 2 x x ⇒ можно прочитать следующим образом: «если x делится на 6, то x делится на 2» или «для того, чтобы x делился на 6, необходи- мо, чтобы x делился на 2» или «для того, чтобы x делился на 2, достаточно, чтобы x делился на 6». 4. Знак равносильности ⇔ . Запись α β ⇔ означает: « α равносильно β », «из α следует β и из β следует α », « α необходимо и достаточно для выпол- нения β » или « α выполнено тогда и только тогда, когда выполнено β ». Например, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , n n n P x многочлен P x x x x корень P x ∀ − − ⇔ − можно прочитать таким образом: «для того, чтобы многочлен ( ) n P x делился на 0 x x − , необходимо и достаточно, чтобы 0 x было корнем этого многочлена» или «мно- гочлен ( ) n P x делится на 0 x x − тогда и только тогда, когда 0 x является корнем этого многочлена». 5. Знак отрицания . Запись α означает «не α », «неверно, что α имеет место». Замечание. Использование кванторов позволяет легко строить отрица- ние высказываний. Запись ∀ («не для любого») читается таким образом: 8 «существует объект, не обладающий требуемым свойствам», и запись ∃ («не существует») можно прочитать: «любой объект не обладает указанным свойством». Например, высказывание 4 1 n число n простое ∀ ∈ − − означает: «не для всякого натурального числа n число 4 1 n − простое», что равносильно выска- зыванию: «существует натуральное число n, для которого число 4 1 n − со- ставное». А высказывание ( ) 2 1 4 n n ∃ ∈ + означает: «не существует на- турального числа n, для которого 2 1 n + делится на 4», что равносильно вы- сказыванию «для всякого натурального n число 2 1 n + не делится на 4». §2 Бином Ньютона Приведем здесь одну важную формулу, которая является обобщением двух, хорошо известных школьных формул. Обозначим через ! n (читается n-факториал) - произведение всех нату- ральных чисел от 1 до n. Кроме того, положим по определению, 0! 1 = . Биномом Ньютона называется формула ( ) 0 1 1 2 2 2 n n n n k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b − − − + = + + + + + + , где a и b - любые вещественные числа, n - натуральное число, а коэффициенты 0 1 2 , , ,..., ,..., k n n n n n n C C C C C называются биномиальными коэффициентами и вы- числяются по формуле ( ) ! ! ! k n n C k n k = − В школьном курсе формула бинома Ньютона приводится для 2 n = и 3 n = . Прежде чем доказывать формулу бинома Ньютона, сформулируем и дока- жем свойства биномиальных коэффициентов: 1. 0 1 n n n C C = = ; 2. 1 1 n n n C C n − = = ; 3. k n k n n C C − = ; 4. 1 1 1 k k k n n n C C C + + + + = Первые два свойства очевидно следуют из формулы для вычисления коэф- фициентов. Докажем третье свойство: ► ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ! 1 ! ! ! ! 1 ! 1 ! 1 ! ! k k n n n k n k n n C C k n k k n k k n k + + + − + = + = = − + − − + − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ! 1 ! 1 1 ! k n n C k n k + + + = = + + − + ◄ Теперь докажем формулу бинома Ньютона. ►Доказательство проведем методом математической индукции. База индукции. Очевидно, равенство ( ) 1 0 1 1 1 a b C a C b + = + верно. Индукционная теорема. Пусть равенство 9 ( ) 0 1 1 2 2 2 m m m m k m k k m m m m m m m a b C a C a b C a b C a b C b − − − + = + + + + + + верно при некотором натуральном m . Докажем, что будет верным равенство ( ) 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 m m m m k m k k m m m m m m m a b C a C a b C a b C a b C b + + − + − + + + + + + + + = + + + + + + Действительно, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 1 2 2 2 0 1 1 2 1 2 1 0 1 1 2 1 1 1 1 0 1 1 0 m m m m m k m k k m m m m m m m m m m k m k k m m m m m m m m m k m k k m m m m m m m m m m m m m m m a b a b a b C a C a b C a b C a b C b a b C a C a b C a b C a b C ab C a b C a b C a b C ab C b C a C C a b C + − − − + − − + − − − + − + + + = = + + = + + + + + + + = = + + + + + + + + + + + + + + = = + + + ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 m k k m m m m m m m m m m m k m k k m m m m m m m m m m m k m k m m m a b C C ab C b C a C a b C a b C a b C b C b C a b C C a − + − + + − − + + + + + + + + + − − + + + + + + = = + + + + + + + + + + + Таким образом, формула будет верна для любого натурального показателя n.◄ § 3 Множества 3.1. Множество Понятие множества – одно из основных понятий в математике, поэтому точного определения этого понятия не существует. Как все основные понятия, оно определяется аксиоматически, но здесь мы не будем этого делать и вместо точного определения дадим синонимы этого понятия, позволяющие понять, что это такое. Синонимами понятия « множество » являются: совокупность, набор, а также все аналогичные слова, употребляющиеся в более конкретных ситуациях, такие как коллекция, группа, стая и т.п. Например, множество людей, служа- щих на одном корабле – экипаж или команда, множество томов одного автора – собрание сочинений. Один объект, входящий в данное множество, будем называть элементом этого множества . Количество элементов в множестве может быть любым. Если в множестве нет ни одного элемента, то такое множество будем называть пустым Например, множество вещественных решений уравнения 2 6 10 0 x x + + = пусто. Обозначать пустое множество будем символом ∅ . Если множества обозначать большими латинскими буквами, а элементы множества малыми, то запись a A ∈ будет читаться как «a есть элемент множе- ства А» или «элемент a принадлежит множеству А», а запись a A ∉ как «a не является элементом множества А» или «элемент a не принадлежит множеству А». Если количество элементов в множестве невелико, то множество можно задать перечислением его элементов в фигурных скобках, например, 10 { } 1,3,6,10 A = . Также можно задать и бесконечные множества, если ясен закон образования их элементов. Например, { } 1,4,9,16,... B = . Естественно считать, что перед нами множе- ство квадратов натуральных чисел. Поэтому, если не возникает разночтений, в этой ситуации не задают общий член элементов множества. Множества очень часто задаются некоторым свойством, по которому можно определить, входит взятый объект в данное множество или нет. Это свойство будем называть характеристическим свойством множества. Для запи- си такого множества в фигурных скобках сначала пишут, как обозначается эле- мент множества, затем вертикальную черту, после которой записывается харак- теристическое свойство. Например, { } | , 4 1, 0,1,2,3,... C x x натуральное число x n n = − = + = - множество нату- ральных чисел, которые при делении на 4 дают в остатке 1. 3.2. Подмножество. Равенство множеств Если даны два множества A и B и известно, что каждый элемент множе- ства B является элементом множества A , то будем говорить, что множество B является подмножеством множества A или, что множество A содержит в себе множество B . Это обозначается следующей записью: B A ⊂ . Два множества и B называются равными , если B A ⊂ и A B ⊂ . Очевид- но, что множества равны тогда и только тогда, когда они состоят из одинако- вых элементов. 3.3. Операции над множествами Довольно часто в задачах требуется из двух (или более) данных множеств образовать тем или иным способом одно третье множество. Для этого вводится несколько операций над множествами. Объединением двух множеств A и B на- зывается множество C , состоящее из всех эле- ментов, которые входят хотя бы в одно из дан- ных множеств. Обозначается объединение следующим образом: C A B = ∪ . Пример 1. Пусть { } | 2 5 A x x = ≤ < , { } | 4 7 B x x = < ≤ Тогда { } | 2 7 A B x x ∪ = ≤ ≤ Пересечением двух множеств A и B называется множество C , состоящее из всех элементов, ко- торые входят в каждое из данных множеств. Обозначается пересечение C A B = ∩ . Пример 1.3.2. Рассмотрим множества A и B из предыдущего примера. Тогда { } | 4 5 A B x x ∩ = < < Совершенно очевидно, что понятия объединения и пересечения распро- страняются на любое количество множеств. Тогда, если имеется некоторое 11 множество множеств A α , где α образуют некоторую совокупность индексов, то через U A α α ∈ ∪ мы будем обозначать объединение множеств A α , а через U A α α ∈ ∩ - их пересечение. Разностью двух множеств A и B называ- ется множество C , состоящее из всех элемен- тов, которые входят в A , но не входят в B Обозначается разность \ C A B = В предыдущем примере { } \ | 2 4 A B x x = ≤ ≤ Пусть дано некоторое множество, которое со- держит в себе все прочие множества, о которых может идти речь в данном круге задач. Такое множество бу- дем называть универсальным. Тогда дополнением множества A (или дополнением множества A до уни- версального множества) будем называть множество C , состоящее из всех элементов которые входят в универсальное множество, но не входят в множество A Например, когда речь идет о числах, естественно за универсальное мно- жество принять множество всех вещественных (или комплексных) чисел. Тогда дополнением множества рациональных чисел является множество иррацио- нальных чисел и т.п. Дополнение множества A будем обозначать d A Операции над множествами иллюстрируются на так называемых диа- граммах Венна, где каждое множество изображается в виде части плоскости. 3.4. Свойства операций над множествами Операции над множествами обладают рядом свойств, которые полезно знать: 1. A B B A ∪ = ∪ ; 2. A B B A ∩ = ∩ ; 3. ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ ; 4. ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ ; 5. A A ∪ ∅ = ; 6. A ∩ ∅ = ∅ ; 7. ( ) d d d A B A B ∪ = ∩ ; 8. ( ) d d d A B A B ∩ = ∪ Для доказательства этих свойств воспользуемся определением равенства множеств. Докажем, например свойства 3 и 7. Доказательство свойства 3. ► Пусть ( ) a A B C ∈ ∪ ∩ , тогда 12 ( ) ( ) a A a A a B a A a A B a A B A C a B a B C a A C a A a C a C ⎧ ∈ ⎡ ∈ ⎡ ⎪⎢ ∈ ∈ ∈ ∪ ⎡ ⎧ ⎪⎣ ⎢ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∈ ∪ ∩ ∪ ∈ ⎧ ⎨ ⎨ ⎢ ⎢ ∈ ∩ ∈ ∪ ∈ ⎨ ⎡ ⎣ ⎩ ⎪ ⎢ ∈ ⎩ ⎣ ⎢ ⎪ ∈ ⎣ ⎩ Таким образом, мы доказали, что из соотношения ( ) a A B C ∈ ∪ ∩ следует соотноше- ние ( ) ( ) a A B A C ∈ ∪ ∩ ∪ , что означает, что ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∪ ∩ ⊂ ∪ ∩ ∪ Докажем обратное включение. Пусть ( ) ( ) a A B A C ∈ ∪ ∩ ∪ . Тогда a A B a A C ∈ ∪ ⎧ ⎨ ∈ ∪ ⎩ , откуда следует, что a A a A a B a A a B a B C a A a C a C ⎧ ∈ ⎡ ∈ ⎡ ⎪⎢ ∈ ∈ ⎡ ⎪⎣ ⎢ ⇒ ⇒ ∈ ⎧ ⎨ ⎢ ⎢ ∈ ∩ ∈ ⎡ ⎨ ⎣ ⎪ ⎢ ∈ ⎩ ⎣ ⎢ ⎪ ∈ ⎣ ⎩ . Последние со- отношения означают, что ( ) a A B C ∈ ∪ ∩ и ( ) ( ) ( ) A B A C A B C ∪ ∩ ∪ ⊂ ∪ ∩ Окончательно, ( ) ( ) ( ) A B C A B A C ∪ ∩ = ∪ ∩ ∪ .◄ Доказательство свойства 7. ► Пусть ( ) d a A B ∈ ∪ , тогда a A B ∉ ∪ , т.е. a A a B ∉ ⎧ ⎨ ∉ ⎩ , следовательно, d d d d a A a A B a B ⎧ ∈ ⎪ ⇒ ∈ ∩ ⎨ ∈ ⎪⎩ и мы доказали, что ( ) d d d A B A B ∪ ⊂ ∩ Обратно, пусть d d a A B ∈ ∩ Тогда ( ) d d d a A a A a A B a A B a B a B ⎧ ∈ ∉ ⎧ ⎪ ⇒ ⇒ ∉ ∪ ⇒ ∈ ∪ ⎨ ⎨ ∉ ∈ ⎩ ⎪⎩ . Отсюда ( ) d d d A B A B ∩ ⊂ ∪ и окончательно, ( ) d d d A B A B ∪ = ∩ .◄ 3.5. Отображения множеств Определение 1.3.1. Пусть даны два множества X и Y . Правило f , по кото- рому для каждого элемента x X ∈ можно найти единственный элемент y Y ∈ , будем называть отображением множества X в множество Y . Задать отображение – означает задать тройку X , Y и правило f . Тот факт, что задано отображение множества X в множество Y будем обозначать : f X Y → или f X Y → . Если мы хотим указать, какой именно эле- мент y Y ∈ соответствует элементу x X ∈ , то будем писать x y → или ( ) y f x = Множество X будем называть областью определения отображения. Элемент y , соответствующий элементу x X ∈ , называется образом элемента x и обо- значается ( ) f x . Множество образов ( ) { } 0 | f x x X Y ∈ = входит в множество Y , 13 но может не совпадать с ним. Множество 0 Y будем называть множеством значений отображения. Если 0 Y Y = , то будем говорить, что f отображает X на Y или, что отображение f является сюръекцией Пример 2. Пусть X Y = = - множество всех вещественных чисел, и каждому x X ∈ ставится в соответствие его квадрат 2 x . Это правило является отображе- нием множества X в множество Y , но не является сюръекцией, так как есть вещественные числа (отрицательные), которые не являются значениями такого отображения. Если положить X - множество всех вещественных чисел и Y - множест- во неотрицательных вещественных чисел, и 2 x x → , то такое правило отобра- жает X на Y , т.е. является сюръекцией. Пример 3. Пусть X - множество точек полуокружности АВ (конечные точки не принадлежат множеству), Y - множество точек прямой l . Каждой точке полуокружно- сти M сопоставим точку прямой 1 M так, чтобы точки 1 , , A M M лежали на одной прямой. Это отображение множества X в множество Y Если взять X - множество точек окружности с вы- колотой точкой A и Y - множество точек прямой l и ка- ждой точке окружности M сопоставить точку прямой 1 M так, чтобы точки 1 , , A M M лежали на одной прямой, то та- кое правило будет сюръекцией. Пример 4. X = , Y - произвольное мно- жество. Здесь каждому натуральному чис- лу сопоставляется элемент некоторого множества. Такое отображение будем на- зывать последовательностью Элемент множества Y , соответст- вующий натуральному числу n называют общим членом последовательности и обозначают n y . Таким образом, последовательность – это отображение мно- жества натуральных чисел в произвольное множество Y : , , n n n y n y Y → ∈ ∈ . Последовательности будем записывать { } 1 n n y ∞ = или, иногда, в виде упорядочен- ного набора 1 2 3 , , ,... y y y , которые будем называть элементами последователь- ности Замечание . Если отображение задает последовательность, то множество значений этой последовательности также обозначается символом { } n y , но это множество не надо путать с самой последовательностью. Последова- тельность всегда бесконечна, тогда как множество ее значений может быть конечным. Например, пусть общий член последовательности задан формулой 14 ( ) 1 1 , 2 n n y n + − = ∈ . Тогда последовательностью будет бесконечный набор чисел 0, 1, 0, 1, 0,..., а множеством ее значений – множество, состоящее только из двух элементов: { } 0, 1 . Возьмем 0 y Y ∈ . Тогда множество ( ) { } | x f x y = (оно может содержать не единственный элемент) будем называть прообразом элемента y и обозначать ( ) 1 f y − . Это определение можно расширить и предполагать, что y Y ∈ . Тогда, если 0 y Y ∉ , то его прообраз - пустое множество. Если задано отображение X на Y , и прообраз каждого элемента из Y единственен, то будем говорить, что между множествами X и Y установлено взаимно-однозначное соответствие . В этой ситуации пишут X Y ↔ или по элементам x y ↔ и отображение f , устанавливающее это соответствие назы- вают биекцией. Понятия образа и прообраза можно ввести не только для одного элемента, но и для множеств. Так, образом множества A X ⊂ будем называть множест- во ( ) { } | , , y y Y y f x x A ∈ = ∈ , и прообразом множества B Y ⊂ будем называть множество ( ) { } | , , x x X f x y y B ∈ = ∈ . Образ множества A будем обозначать ( ) f A , а прообраз множества B - ( ) 1 f B − |