Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика

• Название: Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
• Дата: 02.09.2022
• Размер: 2.13 Mb.
• Имя файла: Математический анализ_курс лекций.pdf
• Тип: Курс лекций; #659441
• страница: 16 из 16

§8 Векторная функция скалярного аргумента
8.1. Определения
Определение 4.8.1.
Если каждому значению
t G
∈ , где G ⊂ , ставится в соот- ветствие вектор
( )
r t трехмерного пространства, то будем говорить, что на множестве
G задана векторная функция
( )
r t скалярного аргумента
t
или
вектор-функция
( )
r t .
Если в пространстве задана прямоугольная система координат, то задание векторной функции
( )
r t равносильно заданию трех координатных функций
( ) ( )
,
x t
y t и
( )
z t . Это можно записать в виде
( )
( ) ( ) ( )
(
)
,
,
r t
x t y t z t
=
или, ис- пользуя координатные орты,
( ) ( )
( )
( )
r t
x t i y t j z t k
=
+
+
Если
( )
0,
z t
t G
=
∈ , то функцию
( )
r t называют двумерной.
Будем считать, что начало вектора
( )
r t находится в начале координат, т.е. векторы
( )
r t являются радиус-векторами. Тогда множество концов этих векторов называют годографом
вектор-функции.
Символом
( )
r t будем обозначать длину вектора
( )
r t , т.е.
( )
( )
( )
( )
2 2
2
r t
x t
y t
z t
=
+
+
8.2. Предел и непрерывность
Определение 4.8.2.
Вектор a называют пределом вектор-функции
( )
r t при
0
t
t
→
, если
( )
0
lim
0
t t
r t
a
→
− = .
Записывать этот факт будем следующим образом
( )
0
lim
t t
a
r t
→
=
Теорема 4.8.1.
Вектор
(
)
1 2
3
, ,
a
a a a
=
тогда и только тогда будет пределом
вектор-функции
( )
r t
при
0
t
t
→ ,
когда
( )
( )
( )
0 0
0 1
2 3
,
,
t t
t t
t t
x t
a y t
a z t
a
→
→
→
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
.
► Пусть
( )
0
lim
t t
a
r t
→
=
, т.е.
( )
0
lim
0
t t
r t
a
→
− = . Тогда
( )
0 1
t t
x t
a
→
⎯⎯⎯
→ ,
( )
( )
0 0
2 3
,
t t
t t
y t
a z t
a
→
→
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
так как
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
1 2
3
x t
a
x t
a
y t
a
z t
a
−
≤
−
+
−
+
−
,
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 2
1 2
3
y t
a
x t
a
y t
a
z t
a
−
≤
−
+
−
+
−
,
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
2 2
2 3
1 2
3
z t
a
x t
a
y t
a
z t
a
−
≤
−
+
−
+
−

177
Обратно, если
( )
( )
( )
0 0
0 1
2 3
,
,
t t
t t
t t
x t
a y t
a z t
a
→
→
→
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯
→
, то
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
0 2
2 2
1 2
3 0
t t
r t
a
x t
a
y t
a
z t
a
→
− =
−
+
−
+
−
→ . ◄
Очевидно, что для векторной функции выполнено утверждение:
для того
чтобы вектор a был пределом вектор-функции
( )
r t при
0
t
t
→
необходимо и
достаточно, чтобы вектор-функцию можно было представить в виде
( )
( )
r t
a
t
γ
= +
, где
( )
0 0
t t
t
γ
→
→ .
Свойства пределов вектор-функции
Свойство 1
Если
( )
0
lim
t t
r t
a
→
= , то
( )
0
lim
t t
r t
a
→
= .
Доказательство следует из неравенства
( )
( )
r t
a
r t
a
−
≤
− .
Свойство 2.
Равенство
( )
0
lim
0
t t
r t
→
= равносильно равенству
( )
0
lim
0
t t
r t
→
= .
В одну сторону это свойство следует из свойства 1, а в обратную из опре- деления предела вектор-функции.
Свойство 3
Если
( )
r t - векторная функция, а
( )
f t - скалярная функция аргу-
мента t G
∈ , причем
( )
0
lim
t t
r t
a
→
= и
( )
0
lim
t t
f t
A
→
= , то
( ) ( )
(
)
0
lim
t t
f t r t
A a
→
⋅
= ⋅ .
► По критерию того, что число
A является пределом функции
( )
f t , по- лучим
( )
( )
f t
A
t
β
= +
, где
( )
0
t
β
→ при
0
t
t
→ .
Аналогично,
( )
( )
r t
a
t
γ
= +
, где
( )
0
lim
0
t t
t
γ
→
= . Тогда
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
(
)
f t r t
A
t
a
t
A a
t a A t
t
t
β
γ
β
γ
β
γ
⋅
=
+
+
= ⋅ +
+
+
, причем
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
t a A t
t
t
t a
A
t
t
t
β
γ
β
γ
β
γ
β
γ
+
+
≤
+
+
, так как каждая компонента правой части стремится к нулю, то
( )
( )
( ) ( )
0
t a A t
t
t
β
γ
β
γ
+
+
→ , следовательно,
( ) ( )
(
)
0
lim
t t
A a
f t r t
→
⋅ =
⋅
. ◄
Свойство 4.
Если
( )
0 1
1
lim
t t
r t
a
→
= и
( )
0 2
2
lim
t t
r t
a
→
= , то
a)
( )
( )
(
)
0 1
2 1
2
lim
t t
r t
r t
a
a
→
+
= + ;
б)
( ) ( )
(
)
0 1
2 1
2
lim
t t
r t r t
a a
→
⋅
= ⋅ ;
в)
( )
( )
(
)
0 1
2 1
2
lim
t t
r t
r t
a
a
→
×
= × .
► Формула a) очевидно следует из того, что по условию можно записать
( )
( )
1 1
1
r t
a
t
γ
=
+
и
( )
( )
2 2
2
r t
a
t
γ
=
+
, где
( )
( )
0 0
1 2
lim lim
0
t t
t t
t
t
γ
γ
→
→
=
= .
Для доказательства формулы б) используем эти же представления век- торных функций и свойства скалярного произведения:

178
( ) ( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( ) ( )
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
2 1
1 2
r t r t
a a
a
t
a
t
a a
a
t
a
t
t
t
γ
γ
γ
γ
γ
γ
⋅
− ⋅
=
+
+
− ⋅
=
= ⋅
+
⋅
+
⋅
Так как выполнено неравенство
( )
a b
a b
⋅
≤
, то правая часть разности стремится к нулю.
Формула в) доказывается аналогично, так как
( )
a b
a b
×
≤
. ◄
Определение 4.8.3.
Вектор-функцию
( )
r t будем называть непрерывной в
точке
0
t t
= , если
( )
( )
0 0
lim
t t
r t
r t
→
=
.
Пусть дана вектор-функция
( )
r t , определенная в некоторой окрестности точки
0
t t
= . Разность
( ) (
) ( )
0 0
0
r t
r t
t
r t
∆
=
+ ∆ −
будем называть приращением
вектор-функции
( )
r t в точке
0
t t
= .
Очевидно, что
вектор-функция непрерывна в точке
0
t t
=
тогда и только
тогда, когда
( )
0 0
lim
0
t
r t
∆ →
∆
=
Очевидно также, что
непрерывность векторной функции в точке
0
t t
=
равносильна непрерывности в этой точке координатных функций
( ) ( ) ( )
,
,
x t
y t z t .
8.3. Производная и дифференциал
Определение 4.8.4.
( )
0 0
lim
t
r t
t
∆ →
∆
∆
, если он существует, называют производной
вектор-функции
( )
r t в точке
0
t t
=
и обозначают
( )
0
r t
′
,
( )
0
r t
i
, или
( )
0
dr t
dt
.
Таким образом,
( )
(
) ( )
0 0
0 0
lim
t
r t
t
r t
r t
t
∆ →
+ ∆ −
′
=
∆
Из свойств пределов следует, что
( )
( ) ( ) ( )
(
)
0 0
0 0
,
,
r t
x t
y t
z t
′
′
′
′
=
Из определения производной получим
( )
( )
( )
0 0
r t
r t
t
t
t
γ
′
∆
=
∆ +
∆ ∆
, где
( )
0
lim
0
t
t
γ
∆ →
∆ = . Отсюда следует
непрерывность векторной функции в каждой
точке, где эта функция имеет производную.
Произведение
( )
0
r t
t
′
∆
будем называть
дифференциалом векторной
функции
, а функцию, имеющую дифференциал, -
дифференцируемой
Выясним геометрический смысл производной векторной функции.
Пусть
( )
r t
векторная функция, дифференцируемая в точке
0
t t
=
, причем
( )
0 0
r t
′
≠
. На годографе функции
( )
r t
построим точки
(
)
0 0
0 0
, ,
M x y z
и
(
)
1 1
1 1
, ,
M x y z
, где
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
,
,
x
x t
y
y t
z
z t
=
=
=
и
(
)
1 0
x
x t
t
=
+ ∆
,
(
)
1 0
y
y t
t
=
+ ∆
,
(
)
1 0
z
z t
t
=
+ ∆
. Тогда прямая
0 1
M M называется
секущей
, а вектор

179
( ) (
) ( )
0 0
0 0
1
r t
r t
t
r t
M M
∆
=
+ ∆ −
=
-
вектором
секущей
. Если
( )
0 0
r t
′
≠
, то в некоторой окре- стности точки
0
t t
= вектор
( )
0 0
r t
∆
≠
и отно- шение
( )
0 0
r t
t
∆
≠
∆
. Тогда параметрическое уравнение секущей можно записать в виде
( )
( )
( )
0 0
,
r t
r
r t
t
λ
λ λ
∆
=
+
∈
∆
При
0
t
∆ →
точка
1
M
будет перемещать- ся по кривой и стремиться к точке
0
M
. При этом секущая будет поворачиваться и стремится занять предельное положение, которое мы будем называть
касательным
. Таким образом, если существует
( )
0 0
r t
′
≠
, то, переходя к пределу в уравнении секущей, получим уравнение ка- сательной
( )
( )
( )
0 0
,
r
r t
r t
λ
λ λ
′
=
+
∈
или в канонической форме
( )
( )
( )
0 0
0 0
0 0
x x
y y
z z
x t
y t
z t
−
−
−
=
=
′
′
′
Таким образом, мы доказали, что
( )
0
r t
′
- вектор касательной к годогра-
фу функции
( )
r t в точке
(
)
0 0
0 0
, ,
M x y z и, что этот вектор существует, если
( )
0 0
r t
′
≠ .
Замечание
Иногда под понятием «касательная» понимается касательный
вектор. Так как график обычной функции можно понимать, как кривую, задан-
ную параметрически (где в качесве параметра берется x ), то при таком под-
ходе, то при таком подходе функция не будет иметь касательную в точках,
где ее производная бесконечна, но знак этой бесконечности не определен.
Теорема 4.8.2.
Если функции
( )
1
r t ,
( )
2
r t и
( )
f t имеют производные в точке
t
,
то в этой точке справедливы формулы
a)
(
)
1 2
1 2
r
r
r
r
′
′
′
+
= + ;
б)
(
)
f r
f r
f r
′
′
′
⋅
=
⋅ + ⋅ ;
в)
(
)
1 2
1 2
1 2
r r
r r
r r
′
′
′
⋅
= ⋅ + ⋅ ;
г)
(
)
1 2
1 2
1 2
r r
r
r
r r
′
′
′
×
= × + × .
Доказательство теоремы легко следует из определения производной и свойств скалярного и векторного произведений, и предоставляются читателю.

180
ЛИТЕРАТУРА
[1] Г.М.Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, т. 1-3, Лань, 2009.
[2] А.М.Тер-Крикоров, М.И.Шабунин, Курс математического анализа,
Физматлит, 2003.
[3] Л.Д.Кудрявцев, Курс математического анализа, т.1-3, Дрофа, 2006.
[4] Л.Д.Кудрявцев, Математический анализ, т.1-3, М.: Высшая школа, 1989.
[5] У. Рудин, Основы математического анализа, Лань, 2004.
[6] В.И.Смирнов, Курс высшей математики, т. 1, Дрофа, 2003.
[7] Б.Гелбаум, Дж,Олмстед, Контрпримеры в анализе, ЛКИ, 2007.
[8] И.А.Виноградова, С.Н. Олехник и др. Задачи и упражнения по математическому анализу, кн.1-2, Дрофа, 2004.
[9] Л.Д.Кудрявцев, А.Д.Кутасов и др. Сборник задач по математическому анализу, т. 1-3, 2003.
[10] Б.П.Демидович, Сборник задач и упражнений по математическому анализу, АСТ, 2009.