Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика

• Название: Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
• Дата: 02.09.2022
• Размер: 2.13 Mb.
• Имя файла: Математический анализ_курс лекций.pdf
• Тип: Курс лекций; #659441
• страница: 13 из 16

§3 Производные и дифференциалы высших порядков
3.1. Производные высших порядков
Пусть функция
( )
f x дифференцируема на промежутке
( )
,
a b так, что в каждой точке этого промежутка существует ее производная
( )
f x
′
. Таким обра- зом, эта производная сама является функцией аргумента x . Если эта функция дифференцируема в точке
( )
0
,
x
a b
∈
, то ее производную будем называть
вто-
рой производной
(или
производной второго порядка
) от данной функции в точке
0
x и обозначать одним из следующих способов:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
0 0
0 0
2
,
,
,
xx
d f x
f x
f
x
f
x
dx
′′
′′
Таким образом,
( )
(
)
( )
0 0
0 0
lim
x
f x
x
f x
f x
x
∆ →
′
′
+ ∆ −
′′
=
∆
Выведем формулу для второй производной функции, заданной парамет- рически. Пусть функции
( )
x x t
=
и
( )
y y t
=
удовлетворяют условиям теоремы
4.2.4 так, что для всех значений параметра из некоторого промежутка сущест- вует
x
y′ . Допустим также, что для значения параметра
0
t существуют
tt
x′′ и
tt
y′′ .
Тогда в некоторой окрестности точки
0
t функции
( )
x x t
=
и
( )
( )
( )
t
x
t
y t
y
t
x t
ϕ
′
′ =
=
′
являются параметрическим заданием функции
( )
(
)
x
y t x
′
, которая является про- изводной функции
( )
(
)
y t x по переменной x . По правилу дифференцирования такой функции получим
( )
(
)
(
)
( )
( )
2 3
tt t
t tt
t
t
t
t
t
tt t
t tt
xx
x
t
t
t
t
y x
y x
y
x
x
y x
y x
y
t x
x
x
x
x
ϕ
ϕ
′
′′ ′
′ ′′
−
⎛
⎞
′
⎜
⎟
′
′
′
′′ ′
′ ′′
−
⎝
⎠
′
′′ =
=
=
=
=
′
′
′
′

142
Аналогично, можно ввести производную от второй производной, кото- рую будем называть
третьей производной
и обозначать
( )
( )
3
f
x
, четвертую и т.д.
Пусть функция
( )
f x определена на промежутке
( )
,
a b и имеет там про- изводные
( )
( )
( )
( )
1
,
,...,
n
f x
f x
f
x
−
′
′′
до
(
)
1
n
− - го порядка включительно. Если в точке
( )
0
,
x
a b
∈
функция
( )
( )
1
n
f
x
−
дифференцируема, то ее производную на- зывают
производной n-го порядка
от функции
( )
f x в точке
0
x и обозначают
( )
( )
0
n
f
x
или
( )
0
n
n
d f x
dx
Таким образом,
( )
( )
( )
( )
(
)
0 1
0
|
n
n
x x
f
x
f
x
−
=
′
=
Очевидно, что, если функции
( )
f x и
( )
g x имеют производные n-го по- рядка в некоторой точке, то
( )
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1 2
n
n
n
C f x
C g x
C f
x
C g
x
+
=
+
Приведем формулы для производных n-го порядка некоторых основных функций:
1.
( )
( )
(
) (
)
1 ...
1
n
n
x
n
x
α
α
α α
α
−
= ⋅
−
− +
В частности, если
m
α
= ∈ , то
( )
( )
(
) (
)
1 ...
1
,
,
!,
,
0,
n m
n
m
m m
m n
x
n m
x
m
n m
n m
−
⎧
−
− +
<
⎪
=
=
⎨
⎪
>
⎩
2.
( )
( )
n
x
x
e
e
=
3.
(
)
(
)
( )
( ) (
)
(
)
1 1
1 !
ln
n
n
n
n
a x
a x
−
−
−
+
=
+
► Чтобы получить эту формулу, возьмем первую производную от лога- рифма
(
)
(
)
(
)
1 1
ln a x
a x
a x
−
′
+
=
=
+
+
, а затем докажем данную формулу с по- мощью метода математической индукции. ◄
4.
(
)
( )
sin sin
2
n
n
x
x
π
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
,
(
)
( )
cos cos
2
n
n
x
x
π
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
Эти формулы доказываются с помощью метода математической индук- ции.

143
Теорема 4.3.1. (Формула Лейбница)
Пусть функции
( )
u x и
( )
v x имеют в точке x производные n -го порядка.
Тогда их произведение тоже имеет производную n -го порядка, причем
(
)
( )
( ) (
)
0
n
n
k
n k
k
n
k
u v
C u v
−
=
⋅
=
∑
.
Замечания
1.
Здесь
k
n
C - биномиальные коэффициенты.
2.
Под производной нулевого порядка будем понимать саму функцию, т.е.
( )
( ) ( )
0
u
x
u x
=
и
( )
( ) ( )
0
v
x
v x
=
.
►Воспользуемся методом математической индукции.
При
1
n
= биномиальные коэффициенты
0 1
1 1
1
C
C
=
= и формула Лейбница дает равенство
( )
uv
uv
u v
′
′
′
=
+
, которое совпадает с правилом дифференциро- вания произведения.
Допустим, что формула верна для
n m
= , т.е.
( )
( )
( )
(
)
( )
1 0
1
m
m
m
m
m
m
m
m
uv
C uv
C u v
C u
v
−
′
=
+
+ +
Докажем, что формула будет верна для
1
n m
= + .
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
( )
(
)
1 1
0 1
1 1
1 0
0 1
1 1
1 0
0 1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
uv
uv
C uv
C u v
C u
v
C u v
C uv
C u v
C u v
C u
v C u
v
C uv
C
C u v
C
C
u
v
C u
v
+
−
+
−
+
+
+
−
′
′
′
=
=
+
+ +
=
′
′′
′
′
=
+
+
+
+ +
+
=
′
′
=
+
+
+ +
+
+
=
(
)
( )
( )
(
)
1 1
0 1
1 1
1 1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
C
uv
C
u v
C
u
v
C
u
v
+
+
+
+
+
+
+
′
′
=
+
+ +
+
◄
Замечание.
Доказательство аналогично выводу формулы бинома Ньютона и
использует свойства биномиальных коэффициентов.
3.2. Дифференциалы высших порядков
Пусть функция
( )
f x определена и дифференцируема на промежутке
( )
,
a b . Ее дифференциал
( )
df
f x dx
′
=
, который мы будем называть первым дифференциалом функции, зависит от двух переменных x и dx
x
= ∆ . Зафикси- руем приращение аргумента dx , тогда первый дифференциал можно рассмат- ривать как функцию от переменной x . Если эта функция дифференцируема по
x , то можно говорить о величине
( )
( )
( )
(
)
( )( )
2 2
d f x
d df
f x dx dx
f x dx
′
′
′′
=
=
=
, которую называют вторым дифференциалом функции
( )
f x или дифферен-
циалом второго порядка
. Очевидно, второй дифференциал существует, если функция имеет вторую производную.

144
Принято записывать
( )
2 2
dx
dx
=
, поэтому для второго дифференциала справедлива формула
( )
2 2
d f
f x dx
′′
=
Аналогично, положим
(
)
1
n
n
d f
d d
f
−
=
. Тогда методом индукции легко получить
( )
( )
n
n
n
d f
f
x dx
=
, где
( )
n
n
dx
dx
=
Данные формулы справедливы только тогда, когда переменная x являет- ся независимой переменной. Если переменная x сама является функцией, то величина dx будет дифференциалом этой функции, и ее нельзя считать кон- стантой. Следовательно,
( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )
( )
2 2
2 2
d f
d df
d f x dx
d f x
dx
f x d x
f x dx
f x d x
′
′
′
′′
′
=
=
=
⋅
+
=
+
По сравнению с дифференциалом функции, где x была независимой пе- ременной, здесь появилось слагаемое
( )
2
f x d x
′
, в котором
2
d x
- второй диф- ференциал функции
( )
x x t
=
, т.е. равен
( )
2 2
d x x t dt
′′
=
и обращается в нуль только когда
( )
x t
at b
=
+ (будет доказано в следствии 3 из теоремы 4.4.3 (Ла- гранжа)). Это означает, что форма второго дифференциала
( )
2 2
d f
f x dx
′′
=
со- храняется для случая зависимой переменной, только если x at b
=
+ .
§4 Свойства дифференцируемых функций
4.1. Экстремумы
Определение 4.4.1.
Пусть функция
( )
f x определена в точке
0
x
и некоторой
ее окрестности
( )
0
U x , причем для всех значений
( )
0
x U x
∈
выполняется нера-
венство
( )
( )
0
f x
f x
≥
. Тогда точку
0
x
будем называть точкой максимума
этой функции.
Аналогично, если функция
( )
f x определена в точке
0
x
и некоторой ее
окрестности
( )
0
U x и для всех значений
( )
0
x U x
∈
выполняется неравенство
( )
( )
0
f x
f x
≤
, то точку
0
x
будем называть точкой минимума этой функции.
Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.
Замечание.
Если в окрестности
( )
0
o
U x выполняется одно из неравенств
( )
( )
0
f x
f x
>
или
( )
( )
0
f x
f x
<
, то будем говорить, что в точке
0
x функция
имеет строгий максимум или, соответствен-
но, минимум.
На рисунке справа точки
1
x ,
3
x являются точками строгого максимума, а точка
2
x - стро- гого минимума.

145
4.2. Теорема Ферма
Теорема 4.4.1
(Ферма). Пусть функция
( )
f x определена в некоторой окрест-
ности точки
0
x , имеет экстремум в этой точке и дифференцируема в ней. То-
гда
( )
0 0
f x
′
= .
► Пусть функция
( )
f x определена в
( )
0
U x и в точке
0
x имеет макси- мум, т.е. для всех
( )
0
x U x
∈
выполняется неравенство
( )
( )
0
f x
f x
≥
. Тогда, ес- ли
( )
0 0
,
x x
U x
∈
такие, что
0
x x
< , то будет справедливо неравенство
( )
( )
0 0
0
f x
f x
x x
−
≥
−
, следовательно,
( )
( )
0 0
0 0
lim
0
x x
f x
f x
x x
→ −
−
≥
−
, а так как в точке
0
x существует конечная производная, то
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
lim
0
x x
f x
f x
f x
x x
→ −
−
′
=
≥
−
Аналогично, если взять
( )
0 0
,
x x
U x
∈
такие, что
0
x x
> , то будет выполне- но неравенство
( )
( )
0 0
0
f x
f x
x x
−
≤
−
и, переходя к пределу при
0 0
x
x
→
+
, получим
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
lim
0
x x
f x
f x
f x
x x
→ +
−
′
=
≤
−
Неравенства
( )
0 0
f x
′
≥ и
( )
0 0
f x
′
≤ оз- начают, что
( )
0 0
f x
′
= .
В случае минимума доказательство ана- логично. ◄
4.3. Теорема Ролля
Теорема 4.4.2
(Ролля). Пусть функция
( )
f x
a) непрерывна на отрезке
[ ]
,
a b ;
б) дифференцируема на интервале
( )
,
a b ;
в) принимает равные значения на концах промежутка, т.е.
( )
( )
f a
f b
=
.
Тогда на интервале
( )
,
a b существует хотя бы одна точка c такая, что
( )
0
f c
′
= .
►По второй теореме Вейерштрасса (теорема 4.4.5) функция непрерывная на замкнутом промежутке достигает на этом промежутке своего наибольшего и наименьшего значений. Обозначим их через M и m , соответственно. Возмож- ны два случая:
1) M
m
= . Тогда
( )
f x
const
=
и
( )
0
f x
′
= в любой точке промежутка
( )
,
a b .
2) M
m
≠ . Тогда, так как значения функции на концах промежутка совпадают, то по крайней мере, одно из этих значений функция принимает во внутренней

146 точке отрезка
[ ]
,
a b . Обозначим эту точку через c . Тогда эта точка является точкой экстремума и по теореме Ферма
( )
0
f c
′
= . ◄
Замечания
1.
Геометрически эта теорема означает,
что, если функция непрерывна на отрезке,
дифференцируема на интервале и принимает
равные значения на концах этого отрезка, то
на графике этой функции найдется по край-
ней мере одна точка, в которой касательная
будет параллельна оси абсцисс.
2.
Все условия теоремы существенны. При-
меры показывают, что, если убрать одно из условий, то может не существо-
вать точки, в которой
( )
0
f x
′
= . Некоторые из таких ситуацийизображены
на рисунках:
3.
Если
( )
( )
0
f a
f b
=
= , то теорему можно сформулировать следующим обра-
зом: между двумя нулями дифференцируемой функции лежит, по крайней ме-
ре, один нуль производной этой функции.
4.
Теорема остается верной, если предположить, что существуют точки, в
которых производная принимает бесконечное значение определенного знака.
4.4. Теорема Лагранжа
Теорема 4.4.3
(Лагранжа). Пусть функция
( )
f x
а) непрерывна на отрезке
[ ]
,
a b ;
б) дифференцируема на интервале
( )
,
a b .
Тогда на интервале
( )
,
a b существует, по крайней мере, одна точка c , в кото-
рой выполняется равенство
( )
( )
( )
f b
f a
f c
b a
−
′
=
−
.
► Рассмотрим функцию
( )
( )
x
f x
x
ϕ
λ
=
−
. Эта функция будет непрерыв- на на отрезке
[ ]
,
a b и дифференцируема на интервале
( )
,
a b . Коэффициент
λ

147 выберем так, чтобы
( )
( )
a
b
ϕ
ϕ
=
. Для этого должно быть
( )
( )
f a
a
f b
b
λ
λ
−
=
−
, т.е.
( )
( )
f b
f a
b a
λ
−
=
−
Тогда функция
( )
x
ϕ
будет удовлетворять условиям теоремы Ролля (тео- рема 4.4.2) и будет существовать точка c , в которой
( )
0
c
ϕ
′
= . Так как
( )
( )
x
f x
ϕ
λ
′
′
=
− , то
( )
( )
( )
f b
f a
f c
b a
λ
−
′
= =
−
◄
Замечания
1.
Рассмотрим график функции, о которой
говорится в теореме. Проведем отрезок, со-
единяющий концы этого графика – точки
( )
(
)
,
A a f a
и
( )
(
)
,
B b f b
. Тогда частное
( )
( )
f b
f a
b a
−
−
равно тангенсу угла наклона этого отрезка, а
( )
f c
′
есть тангенс
угла наклона касательной к графику функции, проведенной в точке
( )
(
)
,
M c f c .
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что на графике функции су-
ществует хотя бы одна точка, в которой касательная к графику функции бу-
дет параллельна хорде АВ.
2.
Заключение теоремы Лагранжа иногда записывают в другом виде. Умно-
жим обе части равенства
( )
( )
( )
f b
f a
f c
b a
−
′
=
−
на знаменатель. Получим
( )
( )
( )(
)
f b
f a
f c b a
′
−
=
− . Далее введем величину
c a
b a
θ
−
=
−
. Так как a c b
< < ,
то 0 1
θ
< < . Тогда
(
)
, 0 1
c a
b a
θ
θ
= +
−
< < и заключение теоремы примет вид
( )
( )
(
)
(
)
(
)
f b
f a
f a
b a
b a
θ
′
−
=
+
−
−
.
Эту формулу принято называть формулой конечных приращений. Если
положить
,
a x b x
x
=
= + ∆ , то формула конечных приращений примет вид
(
)
( )
(
)
, 0 1
f x
x
f x
f x
x
x
θ
θ
′
+ ∆ −
=
+ ∆ ∆
< < .
Следствие 1.
Если функция
( )
f x дифференцируема на интервале
( )
,
a b и во
всех точках этого интервала
( )
0
f x
′
= , то
( )
( )
,
,
f x
const x
a b
=
∈
.
► Возьмем точки
( )
0
,
,
x x
a b
∈
и положим
0
x x x
∆ = − , т.е.
0
x x
x
=
+ ∆ . То- гда по формуле конечных приращений получим
(
)
( )
(
)
0 0
0
, 0 1
f x
x
f x
f x
x
x
θ
θ
′
+ ∆ −
=
+ ∆ ∆
< < , откуда
(
)
( )
0 0
0
f x
x
f x
+ ∆ −
= .
Это означает, что для любого
( )
,
x
a b
∈
справедливо равенство
( )
( )
0
f x
f x
const
=
=
. ◄

148
Следствие 2.
Если функции
( )
f x и
( )
g x дифференцируемы на интервале
( )
,
a b и во всех точках этого интервала
( )
( )
f x
g x
′
′
=
, то
( )
( )
f x
g x
C
=
+ .
► Доказательство следует из первого следствия, если его применить к функции
( )
( )
f x
g x
−
. ◄
Следствие 3.
Если функция
( )
f x непрерывна на отрезке
[ ]
,
a b , дифференци-
руема на интервале
( )
,
a b и во всех точках этого интервала
( )
f x
k
′
= , где k -
константа, то
( )
[ ]
,
,
f x
kx d x
a b
=
+
∈
.
► Пусть
( )
,
x
a b
∈
. Тогда по формуле конечных приращений получим
( )
( ) (
)
f x
f a
k x a
−
=
−
. Отсюда
( )
f x
kx d
=
+ , где
( )
d
f a
ka
=
−
. ◄
Отсюда следует, что, если
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′′
=
∈
, то функция линейная:
( )
f x
kx d
=
+ .
Следствие 4.
Пусть функция
( )
f x непрерывна на интервале
( )
,
a b и диффе-
ренцируема в каждой точке этого интервала за исключением, быть может,
точки
( )
0
,
x
a b
∈
. Тогда, если существует конечный или бесконечный
( )
0 0
lim
x x
f x
A
→ −
′
= , то в точке
0
x существует левосторонняя производная
( )
0
f x
A
−
′
= . Аналогично, если существует
( )
0 0
lim
x x
f x
B
→ +
′
= , то существует пра-
восторонняя производная
( )
0
f x
B
+
′
= .
► Возьмем
0
a x x
< < и применим теорему Лагранжа к данной функции на промежутке
[
]
0
,
x x :
( )
( )
(
)
(
)
0 0
0 0
f x
f x
f x
x x
x x
θ
−
′
=
+
−
−
. Если
0
x
x
→ , то суще- ствует
(
)
(
)
0 0
0 0
lim
x x
f x
x x
A
θ
→ −
′
+
−
= .
Следовательно, существует и
( )
( )
0 0
0 0
lim
x x
f x
f x
x x
→ −
−
−
, который с одной стороны равен левосторонней производ- ной функции в точке
0
x , с другой стороны равен числу A . Таким образом,
( )
( )
0 0
0
lim
x x
f x
f x
−
→ −
′
′
=
Вторая часть следствия доказывается аналогично. ◄
Отсюда следует, что, если функция в точке
0
x имеет конечную производ- ную
( )
( )
( )
0 0
0
f x
f x
f x
−
+
′
′
′
=
=
и существуют пределы
( )
0 0
lim
x x
f x
→ −
′
и
( )
0 0
lim
x x
f x
→ +
′
, то выполняется равенство
( )
( )
( )
0 0
0 0
0
lim lim
x x
x x
f x
f x
f x
→ −
→ +
′
′
′
=
=
, которое означает, что
( )
f x
′
непрерывна в точке
0
x . Следовательно, если функция, дифференци-
руема на интервале, то ее производная не может иметь на этом интервале
точек разрыва первого рода.

149
Упражнение.
Докажите, что функция
( )
2 1
sin ,
0,
0,
0
x
x
f x
x
x
⎧
≠
⎪
= ⎨
⎪
=
⎩
дифференци- руема в произвольной окрестности нуля, но ее производная имеет в нуле раз- рыв второго рода.
Следствие 5.
Если функции
( )
f x и
( )
g x дифференцируемы при
0
x x
≥
и вы-
полняются условия
( )
( )
0 0
f x
g x
=
,
( )
( )
f x
g x
′
′
>
при
0
x x
>
, то
( )
( )
f x
g x
>
при
0
x x
> .
► Рассмотрим функцию
( )
( )
( )
x
f x
g x
ϕ
=
−
. По условию
( )
0 0
x
ϕ
= и
( )
0
x
ϕ
′
> при
0
x x
>
. Тогда
( )
( )
( )
(
)
(
)
(
)
0 0
0 0
0
x
x
x
x
x x
x x
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
θ
′
=
−
=
+
−
−
> при
0
x x
> . ◄
Пример 1.
Доказать, что
(
)
ln 1
,
0
x
x x
+
<
> .
☺ Положим
0 0
x
=
. Тогда
( )
0
|
0
x
f x
x
=
=
= и
( )
(
)
0
ln 1
|
0
x
g x
x
=
=
+
= . Кроме того,
( )
( )
1 1
1
f x
g x
x
′
′
= >
=
+
при
0
x
> , откуда следует требуемое неравенство.
☻
4.5. Теорема Коши
Теорема 4.4.4
(Коши). Пусть функции
( )
f x и
( )
g x непрерывны на отрезке
[ ]
,
a b и дифференцируемы на интервале
( )
,
a b , причем
( )
0
g x
′
≠ во всех точках
этого интервала. Тогда на интервале
( )
,
a b найдется хотя бы одна точка c , в
которой
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f b
f a
f c
g b
g a
g c
′
−
=
′
−
.
► Рассмотрим функцию
( )
( )
( )
x
f x
g x
ϕ
λ
=
− ⋅
, где множитель
λ
выбе- рем так, чтобы
( )
( )
a
b
ϕ
ϕ
=
, т.е.
( )
( )
( )
( )
f a
g a
f b
g b
λ
λ
− ⋅
=
− ⋅
. Отсюда полу- чим
( )
( )
( )
( )
(
)
f b
f a
g b
g a
λ
−
=
−
. Если бы
( )
( )
g b
g a
=
, то по теореме 4.4.2
(Ролля) на интервале
( )
,
a b существовала бы точка
ξ
, в которой
( )
0
g
ξ
′
= , что противоречит условию теоремы. Тогда
( )
( )
0
g b
g a
−
≠ и
( )
( )
( )
( )
f b
f a
g b
g a
λ
−
=
−
Таким образом, функция
( )
x
ϕ
удовлетворяет всем условиям теоремы
Ролля и существует точка
( )
,
c
a b
∈
, в которой
( )
0
c
ϕ
′
= . Так как
( )
( )
( )
x
f x
g x
ϕ
λ
′
′
′
=
−
, то
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
f b
f a
f c
g c
g c
g b
g a
λ
−
′
′
′
=
=
⋅
−
. Деля обе части последнего равенства на
( )
g c
′
, получим
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f b
f a
f c
g b
g a
g c
′
−
=
′
−
. ◄

150
Замечания
1.
В теоремах Ролля, Лагранжа и Коши речь идет о значениях производной
функции в некоторой точке, которая лежит внутри промежутка. Поэтому
эти теоремы часто называют теоремами о среднем.
2.
Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, а теорема
Лагранжа частным случаем теоремы Коши.
3.
Эти три теоремы часто называют французскими.