Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§2 Определения предела функции В этом параграфе везде будем считать, что точка 0 x является предельной точкой области определения функции. Сама она может принадлежать области определения и может не принадлежать ей. 88 2.1. Определение предела функции по Коши Определение 3.2.1. Число A называется пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к 0 x (или в точке 0 x ), если для любого 0 ε > можно найти число 0 δ > так, что для всех значений ( ) x D f ∈ , для которых выполнено неравенст- во 0 0 x x δ < − < , справедливо неравенство ( ) f x A ε − < . Тот факт, что A является пределом функции в точке 0 x , записывается следующим образом: ( ) 0 lim x x f x A → = или ( ) 0 x x f x A → → Напомним, что неравенство 0 t t r − < задает на вещественной прямой ок- рестность точки 0 t радиуса r , а неравенство 0 0 t t δ < − < задает проколотую окрестность. Поэтому сформулированное определение можно изложить на гео- метрическом языке следующим образом: Определение 3.2.1(а). Точка A называется пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к 0 x , если для любой ε - окрестности точки A можно найти такое число 0 δ > , что для всякого значения x из области определения функции и входящего в проколотую δ - окрестность точки 0 x , значения функции будут лежать в ε - окрестности точки A . Рассмотрим несколько примеров. Пример 1 . Докажем, что 2 1 2 4 1 lim 2 2 1 x x x → − = − ☺ Здесь 0 1 2 x = , 2 A = . Возьмем 0 ε > и найдем те значения x , для кото- рых будет выполняться неравенство 2 4 1 2 2 1 x x ε − − < − . Очевидно, что если 1 2 x ≠ , то дробь можно сократить, тогда неравенство преобразуется в неравенство ( ) 2 1 2 x ε + − < или 1 2 2 x ε − < . Это означает, что взять 2 ε δ = и 1 2 x δ − < , 1 2 x ≠ , то значения функции будут удовлетворять неравенству 2 4 1 2 2 1 x x ε − − < − , т.е. лежать в ε - окрестности точки 2. ☻ Пример 2 . Докажем что 2 2 lim 4 x x → = . ☺ Возьмем 0 ε > и найдем значения x, при которых выполняется нера- венство 2 4 x ε − < . Будем считать, что 4 ε < . Тогда, решая это неравенство, по- лучим 4 4 x ε ε − < < + . Последнее неравенство задает два промежутка, причем точка 0 2 x = лежит на том из них, который находится на положитель- ной полуоси. Возьмем ( ) min 2 4 , 4 2 δ ε ε = − − + − . Тогда проколотая δ - ок- 89 рестность точки 0 2 x = входит в найден- ное множество решений неравенства 2 4 x ε − < и, следовательно, 2 2 lim 4 x x → = ☻ Решая предыдущий пример, мы видели, что неравенство ( ) f x A ε − < должно являться только следствием не- равенства 0 0 x x δ < − < , поэтому нера- венство ( ) f x A ε − < вовсе необяза- тельно решать точно. Можно было, например, поступить следующим образом. Возьмем неравен- ство 2 4 x ε − < и запишем его в виде 2 2 x x ε − ⋅ + < . Далее, предположим, что мы будем рассматривать только те значения x, которые лежат на промежутке ( ) 1,3 . Тогда будет справедливо неравенство 2 2 5 2 x x x − ⋅ + < − и, следова- тельно, если потребовать, чтобы выполнялось неравенство 5 2 x ε − < , то для этих значений x будет справедливо 2 4 x ε − < . Это означает, что, если взять min 1, 5 ε δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то для всех значений x из проколотой δ -окрестности точки 2, будет верно неравенство 2 4 x ε − < , что и требуется для того, чтобы число 4 было пределом функции 2 x при x, стремящемся к 2. 2.2. Определение предела функции по Гейне Определение 3.2.2. Число A называется пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к 0 x , если для любой последовательности { } n x точек, взятых из области определения функции, сходящейся к 0 x , последовательность значений функции ( ) n f x будет стремиться к числу A . Это определение не всегда удобно для доказательства того, что некоторое число является пределом функции в заданной точке, так как часто невозможно перебрать все требуемые последовательности { } n x , но это определение очень удобно для доказательства того, что взятое число не является пределом функ- ции или того, что функция вообще не имеет предела при 0 x x → Пример 3. Докажем, что функция 1 sin x не имеет предела при 0 x → . 90 ☺ Возьмем последовательность 1 n x n π ′ = . Тогда 1 sin sin 0 n n x π = = ′ , следо- вательно, 1 lim sin 0 n n x →∞ = ′ Теперь возьмем другую последовательность ( ) 2 4 1 n x n π ′′ = + . Тогда ( ) 4 1 1 sin sin 1 2 n n x π + = = ′′ и 1 lim sin 1 n n x →∞ = ′′ Отсюда следует, что предела функции в точке 0 не существует. ☻ Замечание. Если для некоторой последовательности { } n x , такой что ( ) n x D f ∈ и 0 n n x x →∞ → последовательность ( ) n f x будет стремиться к числу A , то число A будем называть частичным пределом функции в точке 0 x . Теорема 3.2.1 . Функция имеет предел в точке 0 x тогда и только тогда, когда любая последовательность ( ) { } n f x , где ( ) 0 , n n x D f x x ∈ ≠ и 0 lim n n x x →∞ = схо- дится. ►Допустим, что для любой последовательности { } n x такой, что ( ) 0 , n n x D f x x ∈ ≠ и 0 lim n n x x →∞ = последовательность ( ) { } n f x сходится. Возь- мем две последовательности { } n x′ и { } n x′′ значений аргумента функции, удовле- творяющие этим условиям, и предположим, что последовательности ( ) { } n f x′ и ( ) { } n f x′′ имеют разные пределы. Образуем из этих значений последователь- ность ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 , , , , ... f x f x f x f x ′ ′′ ′ ′′ Очевидно, что последовательность значений аргумента 1 1 2 2 3 3 , , , , , ,... x x x x x x ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ сходится к 0 x , но последовательность значений функции в этой точке не имеет предела, так как она имеет два различных частичных пре- дела. Это противоречит условию теоремы. В обратную сторону теорема очевидна. ◄ 2.3. Эквивалентность определений Теорема 3.2.2. Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалент- ны. ►Сначала докажем, что если число A является пределом функции по Коши в точке 0 x , то оно является пределом функции и по Гейне в этой же точ- ке. Возьмем некоторую последовательность n x значений аргумента x такую что ( ) 0 , n n x D f x x ∈ ≠ и 0 n n x x →∞ → Далее, возьмем число 0 ε > и найдем 0 δ > так, чтобы для значений x, удовлетворяющих неравенству 0 0 x x δ < − < , было справедливо неравенство 91 ( ) f x A ε − < . По найденному δ можно найти номер 0 n , начиная с которого будет выполняться неравенство 0 0 n x x δ < − < , т.е. члены последовательности n x будут лежать в проколотой δ - окрестности точки 0 x . Следовательно, для них будет выполнено: ( ) n f x A ε − < , что означает, что число A является пре- делом последовательности ( ) n f x . Теперь предположим, что число A является пределом функции ( ) f x в точке 0 x в смысле определения по Гейне, но не является пределом этой же функции в смысле определения по Коши. Это означает, что можно найти 0 0 ε > такое, что какое бы 0 δ > мы ни взяли, найдется значение ( ) x D f δ ∈ , удовле- творяющее неравенству 0 0 x x δ δ < − < и такое, что справедливо неравенство ( ) 0 f x A δ ε − ≥ . Возьмем последовательность 1 n n δ = и для каждого n δ найдем соответст- вующее значение n x . Тогда, так как каждое из этих значений удовлетворяет не- равенству 0 1 n x x n − < , то 0 n n x x →∞ → , но, с другой стороны для каждого из них будет выполняться неравенство ( ) 0 n f x A ε − ≥ , что противоречит тому, что число A является пределом функции по Гейне. ◄ 2.4. Бесконечные пределы Определение 3.2.3 . Будем говорить, что функция ( ) f x стремится к беско- нечности при x, стремящемся к 0 x , если для любого числа 0 M > можно найти 0 δ > так, что, если значение x удовлетворяет условиям: ( ) 0 , 0 x D f x x δ ∈ < − < , то справедливо неравенство ( ) f x M > . Если функция стремится к бесконечности в некоторой точке, то она назы- вается бесконечно большой в этой точке. Этот факт записывается следующим образом: ( ) 0 lim x x f x → = ∞ . Неравенство ( ) f x M > озна- чает, что ( ) ( ) ( ) , , f x M M ∈ −∞ − ∪ +∞ . Так как объединение ( ) ( ) , , M M −∞ − ∪ +∞ называют окре- стностью бесконечности, то опреде- ление бесконечно большой функции сводится к определению 3.2.1(а) при A = ∞ . Можно рассматривать «одно- сторонние» окрестности бесконечно- 92 сти ( ) , M −∞ − или ( ) , M +∞ . Тогда, будем говорить, что функция стремится к −∞ , если для любого числа 0 M > можно найти 0 δ > так, что, если значения x удовлетворяют условиям: ( ) 0 , 0 x D f x x δ ∈ < − < , то ( ) ( ) , f x M ∈ −∞ − и бу- дем говорить, что функция стремится к +∞ , если для любого числа 0 M > можно найти 0 δ > так, что, если значения x удовлетворяют условиям: ( ) 0 , 0 x D f x x δ ∈ < − < , то ( ) ( ) , f x M ∈ +∞ . Соответствующие рисунки приве- дены на следующей странице. Это записывается, соответственно, так: ( ) 0 lim x x f x → = −∞ или ( ) 0 lim x x f x → = +∞ . Пример 4 . Доказать, что 2 1 1 lim 1 x x → = ∞ − ☺ Возьмем 0 M > и попытаемся найти окрестность точки 0 1 x = такую, что для всякого значения x из этой окрестности будет выполняться неравенство 2 1 1 M x > − . Для этого сначала предположим, что 0 2 x < < . Тогда 2 1 1 1 1 1 3 1 1 x x x x = > + − − − и, если взять 1 min 1, 3M δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 1 x δ − < будет выполняться неравенство 1 3 1 M x > − , следовательно, будет верно 2 1 1 M x > − .☻ Пример 5. Доказать, что ( ) 2 1 1 lim 1 x x → = +∞ − ☺ Возьмем 0 M > и найдем окрестность точки 0 1 x = такую, что для вся- кого значения x из этой окрестности будет выполняться неравенство ( ) 2 1 1 M x > − . Решая последнее неравенство, получим 1 1 x M − < , следова- 93 тельно, если взять 1 M δ = , то из условия ( ) 1 x U δ ∈ будет следовать ( ) ( ) , f x M ∈ +∞ . ☻ Пример 6. Доказать, что ( ) ( ) 2 1 1 lim 1 2 x x x →− = −∞ + − ☺ Возьмем 0 M > и найдем окрестность точки 0 1 x = − такую, что для всякого значения x из этой окрестности будет выполняться неравенство ( ) ( ) 2 1 1 2 M x x < − + − Предположим, что 2 0 x − < < . Тогда ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 1 2 4 1 x x x − < + − + и, если взять 1 min 1, 2 M δ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , то для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 1 x δ + < будет справедливо неравенство ( ) 2 1 4 1 M x − < − + , следовательно, будет верно ( ) ( ) 2 1 1 2 M x x < − + − . ☻ 2.5. Пределы на бесконечности Определение 3.2.4. Будем говорить, что число A является пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к бесконечности , если для любого 0 ε > можно найти число 0 σ > так, что для всех значений ( ) x D f ∈ , для которых выполне- но неравенство x σ > , справедливо неравенство ( ) f x A ε − < . Это означает, что взяв произвольную ε -окрестность точки A - ( ) U A ε на оси ординат, можно найти окрестность бесконечности на оси абсцисс так, что для всех значений аргумента функции, взятых из этой окрест- ности бесконечности, значения функции будут лежать в ( ) U A ε Если значения аргумента брать только из промежутка ( ) , σ −∞ − или только из ( ) , σ +∞ , то будем говорить о пределе при x, стремящемся к −∞ (минус бес- конечности) или, соответственно, к +∞ (плюс бесконечности). Пример 7. Доказать, что 2 2 1 1 lim 2 2 3 x x x →∞ + = − 94 ☺ Возьмем 0 ε > и найдем окрестность бесконечности такую, что для всех значений x из этой окрестности будет выполняться неравенство 2 2 1 1 2 2 3 x x ε + − < − Для этого преобразуем выражение, стоящее под знаком модуля: ( ) 2 2 2 1 1 5 2 2 3 2 2 3 x x x + − = − − и допустим, что 3 2 x > . Тогда неравенство 2 2 1 1 2 2 3 x x ε + − < − примет вид ( ) 2 5 2 2 3 x ε < − и его решением будет множество 5 3 4 2 x ε > + . Следовательно, если положить 5 3 4 2 σ ε = + , то для всех ( ) x U σ ∈ ∞ будет выполняться неравенство 2 2 1 1 2 2 3 x x ε + − < − . ☻ Упражнение. Сформулируйте на языке окрестностей следующие факты: a) ( ) lim x f x →∞ = ∞ ; b) ( ) lim x f x →−∞ = +∞ ; c) ( ) lim x f x →+∞ = −∞ ; d) ( ) lim x f x →+∞ = +∞ ; e) ( ) lim x f x →−∞ = −∞ 2.6. Односторонние пределы Определение 3.2.5. Допустим, что в любой окрестности точки 0 x существу- ют точки из области определения функции ( ) f x , лежащие слева от 0 x , т.е. 0 x x < . Будем говорить, что число A является пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к 0 x слева , если для любого 0 ε > можно найти число 0 δ > так, что для всех значений ( ) x D f ∈ , для которых выполнено неравенство 0 0 x x x δ − < < , справедливо неравенство ( ) f x A ε − < . Определение 3.2.6. Аналогично, допустим, что в любой окрестности точки 0 x существуют точки из области определения функции ( ) f x , лежащие справа от 0 x , т.е. 0 x x > . Будем говорить, что число A является пределом функции ( ) f x при x, стремящемся к 0 x справа , если для любого 0 ε > можно найти число 0 δ > так, что для всех значений ( ) x D f ∈ , для которых выполнено нера- венство 0 0 x x x δ < < + , справедливо неравенство ( ) f x A ε − < . Тот факт, что A является пределом функции в точке 0 x слева или справа, записывается следующим образом: ( ) 0 0 lim x x f x A → − = или ( ) 0 0 lim x x f x A → + = . Для этих пределов также будем применять обозначения: ( ) ( ) 0 0 0 lim 0 x x f x f x → − = − и ( ) ( ) 0 0 0 lim 0 x x f x f x → + = + . 95 Пример 8. Доказать, что 0 0 lim sign 1 x x → − = − 0 0 lim sign 1 x x → + = ☺ Действительно, возьмем 0 ε > и какое-нибудь 0 δ > . Тогда, если x удовлетворяет условию 0 x δ − < < , то sign 1 0 x ε + = < и, если x удовлетворяет условию 0 x δ < < , то sign 1 0 x ε − = < . ☻ Теорема 3.2.3. Функция имеет конечный предел в точке 0 x тогда и только то- гда, когда в этой точке существуют конечные пределы слева и справа и они равны между собой. (Докажите самостоятельно). Замечания 1. Пределы функции при x, стремящемся к −∞ или к +∞ , можно считать односторонними пределами функции на бесконечности. 2. Можно определить бесконечные односторонние пределы в конечной точке: ( ) 0 0 lim x x f x → − = ∞ и ( ) 0 0 lim x x f x → + = ∞. 3. Все особые случаи пределов (бесконечные и односторонние) можно сформулировать на языке последовательностей (по Гейне). 4. Введенный ранее (глава 2) предел последовательности можно рассмат- ривать как частный случай предела функции, определенной на множестве на- туральных чисел при n → +∞ . |