Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
ГЛАВА IV. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ §1 Производная и дифференцируемость функции 1.1. Определение производной Определение 4.1.1. Пусть функция ( ) y f x = определена в некоторой окрест- ности точки 0 x . Допустим, что существует предел отношения приращения функции в этой точке к вызвавшему его приращению аргумента, когда послед- нее стремится к нулю: ( ) ( ) 0 0 0 lim x f x x f x x ∆ → + ∆ − ∆ . Тогда этот предел называется производной функции в точке 0 x . Производная функции ( ) y f x = в точке 0 x обозначается ( ) 0 f x ′ , ( ) 0 x f x ′ , ( ) 0 df x dx , ( ) 0 y x ′ Таким образом, ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim x x f x x f x f x f x x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ ′ = = ∆ ∆ Операция вычисления производной называется дифференцированием функции. Пример 1. Вычислить производную функции ( ) 2 f x ax = a) в точке 0 1 x = ; б) в произвольной точке x ☺ a) Составим приращение функции 2 ax в точке 0 1 x = : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 2 f a x a a x x ∆ = + ∆ − ⋅ = ∆ + ∆ . Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 1 lim lim lim 2 2 x x x a x x f a x a x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ ∆ = = + ∆ = ∆ ∆ б) Составим приращение функции в произвольной точке x : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 f x a x x ax a x x x ∆ = + ∆ − = ∆ + ∆ Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 2 lim lim lim 2 2 x x x a x x x f x a x x ax x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ ∆ = = + ∆ = ∆ ∆ .☻ Замечание. Производная, вычисленная в произвольной точке, является функци- ей. Если сначала найти эту функцию, а затем вычислить значение производной функции при заданном значении аргумента, то получим производную в кон- кретной точке. В рассмотренном примере, производная в произвольной точке равна 2 ax . Следовательно, в точке 1 x = производная будет равна 1 2 | 2 x ax a = = . Пример 2 . Вычислить производную функции ( ) ( ) 3sin 2 1 f t t = + в произволь- ной точке t 130 ☺ Приращение функции в произвольной точке равно ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3sin 2 1 3sin 2 1 6sin cos 2 1 f t t t t t t ∆ = + ∆ + − + = ∆ + + ∆ . Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 6sin cos 2 1 sin lim 6 lim lim cos 2 1 t t t t t t t f t t t t t ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + + ∆ ∆ ′ = = ⋅ + + ∆ = ∆ ∆ ( ) 6cos 2 1 t = + .☻ 1.2. Задачи, приводящие к производной a) Задача о скорости Пусть материальная точка движется по прямой и путь, пройденный точ- кой от начала движения за время t , равен ( ) S t . Тогда путь, пройденный точкой от момента 0 t до момента 0 t t + ∆ , равен ( ) ( ) 0 0 S t t S t + ∆ − и средняя скорость на этом участке пути будет ( ) ( ) 0 0 ср S t t S t v t + ∆ − = ∆ Назовем скоростью точки в момент 0 t (мгновенной скоростью) пре- дел, к которому стремится средняя скорость этой точки за промежуток времени от 0 t до 0 t t + ∆ , когда 0 t ∆ → , т.е. ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim t S t t S t v t t ∆ → + ∆ − = ∆ Согласно определению производной, получим ( ) ( ) 0 0 v t S t ′ = . Таким обра- зом, производная от функции, задающей закон движения материальной точки вдоль прямой, равна скорости движения этой точки. Пример 3. Закон движения маятника вдоль оси OX : ( ) ( ) 3sin 2 1 x t t = + . Найти скорость (модуль скорости) его движения в момент, когда маятник находится в начале координат. ☺ Скорость движения маятника вдоль оси равна ( ) ( ) 6cos 2 1 x t t ′ = + . Так как функции ( ) x t и ( ) x t ′ периодичны, то можно выбрать значения переменной t , при которых маятник находится в начале координат, лежащие на любом пе- риоде, например, 1 1 2 t = − и 2 1 2 t π − = . Тогда ( ) ( ) 1 2 6 x t x t ′ ′ = = . ☻ б) Задача о касательной. Уравнение касательной Рассмотрим график функции ( ) y f x = . Предположим, что функция не- прерывна в точке 0 x . Пусть ( ) ( ) 0 0 0 1 , f x y f x x y = + ∆ = и проведем прямую че- рез точки графика этой функции ( ) 0 0 0 , M x y и ( ) 0 1 , M x x y + ∆ . Назовем эту пря- мую секущей графика. Угловой коэффициент секущей равен ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 сек f x x f x f x y y k x x x + ∆ − ∆ − = = = ∆ ∆ ∆ , и ее уравнение будет иметь вид: ( )( ) 0 0 0 f x y y x x x ∆ − = − ∆ 131 Очевидно, что, если устремить x ∆ к нулю, то точка ( ) 0 1 , M x x y + ∆ будет двигаться по графику функции к точке ( ) 0 0 0 , M x y . При этом секущая будет по- ворачиваться и стремиться занять некоторое предельное положение, которое мы будем называть касательным положением или касательной к графику функции в точке ( ) 0 0 0 , M x y . Если существует конечный ( ) 0 0 lim x f x x ∆ → ∆ ∆ , то, пе- реходя к пределу в уравнении секущей, получим уравнение касательной ( )( ) 0 0 0 y y f x x x ′ − = − , т.е. ( ) 0 кас k f x ′ = Используя то, что угловой коэффициент пря- мой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс, получаем геометрический смысл производной: производная функции в точке 0 x равна тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции, проведенной в точке ( ) 0 0 0 , M x y , к положительному направлению оси абсцисс. Пример 4. В какой точке графика функции 2 2 y x = касательная будет состав- лять с положительным направлением оси абсцисс угол 45 o ? Составить уравне- ние этой касательной. ☺ Используя результат примера 1, получим ( ) 4 y x x ′ = . Касательная бу- дет составлять с осью абсцисс угол 0 45 в той точке, где ( ) tg 45 1 o y x ′ = = . Решая уравнение 0 4 1 x = , получим 0 1 4 x = . Тогда 0 2 2 1 8 4 y = = и уравнение касатель- ной будет иметь вид ( ) 1 1 1 8 4 y x − = ⋅ − или, после упрощения, 1 8 y x = − . ☻ 1.3. Дифференцируемость функции Определение 4.1.2. Функция ( ) f x называется дифференцируемой в точке 0 x , если существует число A такое, что ( ) ( ) 0 f x A x o x ∆ = ∆ + ∆ при 0 x ∆ → . Теорема 4.1.1. Функция ( ) f x дифференцируема в точке 0 x тогда и только тогда, когда она имеет производную в этой точке. ► Пусть функция ( ) f x дифференцируема в точке 0 x . Тогда ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim lim lim x x x f x A x o x o x A A x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ + ∆ ∆ ⎛ ⎞ = = + = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ⎝ ⎠ , т.е. в этой точке произ- водная существует и равна A . Наоборот, если существует производная в точке 0 x , то по критерию су- ществования предела функции, получим ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x x x α ∆ ′ = + ∆ ∆ , где ( ) 0 x α ∆ → , если 0 x ∆ → . 132 Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x x x x A x o x α ′ ∆ = ∆ + ∆ ∆ = ∆ + ∆ , где ( ) 0 A f x ′ = . ◄ Замечание. Из доказательства теоремы следует, что, если функция диффе- ренцируема, то число A , о котором говорится в определении дифференцируе- мости, равно производной функции в данной точке. Из доказанной теоремы следует, что для функции одной переменной дифференцируемость равносильна существованию производной. Теорема 4.1.2. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке. ►Если функция дифференцируема в точке 0 x , то для ее приращения вы- полняется соотношение ( ) ( ) 0 f x A x o x ∆ = ∆ + ∆ при 0 x ∆ → , откуда следует, что ( ) 0 0 lim 0 x f x ∆ → ∆ = . А это означает, что функция непрерывна в точке 0 x . ◄ Замечание. Эта теорема необратима. Существуют функции, непрерывные в некоторой точке, но не имеющие производной в этой точке. Например, функ- ция ( ) f x x = непрерывна в точке 0 x = , но ее график не будет иметь касательной в этой точке, следова- тельно, она не будет дифференцируемой в ней. Определение 4.1.3. Если функция дифференцируема в каждой точке проме- жутка ( ) , , a b a b − ∞ ≤ < ≤ +∞ , то будем говорить, что она дифференцируе- ма на промежутке ( ) , a b . 1.4. Дифференциал Определение 4.1.4. Допустим, что функция ( ) f x дифференцируема в точке 0 x . Тогда выражение ( ) 0 f x x ′ ∆ будем называть дифференциалом этой функ- ции в точке 0 x и обозначать ( ) 0 df x или df . Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке выполняется ра- венство ( ) ( ) ( ) 0 0 f x df x o x ∆ = + ∆ . Поэтому часто говорят, что дифференциал – это главная, линейная часть приращения функции в данной точке. Отметим на графике функции точку ( ) 0 0 , M x y , построим касатель- ную в этой точке и возьмем некоторое приращение аргумента x ∆ . Тогда ясно, что величина ( ) ( ) 0 0 df x f x x ′ = ∆ совпа- дает с приращением ординаты каса- тельной, соответствующем прираще- нию аргумента x ∆ . В этом состоит геометрический смысл дифференциала. Разность между приращением функции и ее дифференциалом ( ) ( ) ( ) 0 0 f x df x o x ∆ − = ∆ очень мала при малых значениях x ∆ . Это позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений. 133 Найдем дифференциал от функции ( ) f x x = . Для этого найдем сначала производную этой функции: ( ) ( ) 0 0 0 lim lim lim 1 1 x x x x x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ ′ = = = = ∆ ∆ Отсюда 1 dx x = ⋅ ∆ и в формуле ( ) ( ) 0 0 df x f x x ′ = ∆ приращение аргумента можно заменить дифференциалом функции ( ) f x x = : ( ) ( ) 0 0 df x f x dx ′ = , что придает этой формуле симметричный вид. Замечание. Из полученной формулы следует, что производную можно рас- сматривать как частное дифференциала функции и дифференциала аргумен- та: ( ) ( ) df x f x dx ′ = 1.5. Односторонние и бесконечные производные Определение 4.1.5. Допустим, что функция определена на промежутке [ ) 0 0 , x x δ + и существует предел ( ) 0 0 0 lim x x f x x ∆ → + ∆ ∆ . Тогда этот предел будем на- зывать правосторонний производной функции ( ) f x и обозначать ( ) 0 f x + ′ . Аналогично, если функция определена на промежутке ( ] 0 0 , x x δ − и суще- ствует ( ) 0 0 0 lim x x f x x ∆ → − ∆ ∆ , то его будем на- зывать левосторонней производной функции ( ) f x и обозначать ( ) 0 f x − ′ . Прямые, проходящие через точку ( ) 0 0 0 , M x y , где ( ) 0 0 y f x = с угловыми ко- эффициентами ( ) 0 f x + ′ и ( ) 0 f x − ′ естест- венно называть правосторонней и лево- сторонней касательными. Теорема 4.1.3. Для того чтобы существовала производная ( ) 0 f x ′ в точке 0 x необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовали односторонние производные и ( ) ( ) 0 0 f x f x − + ′ ′ = . Доказательство этой теоремы очевидно и предоставляется читателю. Теперь допустим, что ( ) 0 0 lim x f x x ∆ → ∆ = ∞ ∆ . Тогда будем говорить, что в точке 0 x функция имеет бесконечную производную. Запишем уравнение секущей в виде ( )( ) 0 0 0 x y y x x f x ∆ − = − ∆ . Тогда, так как ( ) 0 0 lim 0 x x f x ∆ → ∆ = ∆ , то предельное положение секущей задается уравнением 134 0 x x = . Геометрически это соответствует тому, что касательная к графику функции будет перпендикулярна оси абсцисс. В точке, где производная функции бесконечна, функция не является диф- ференцируемой. Замечания 1. Может оказаться, что ( ) 0 0 lim x f x x ∆ → ∆ = +∞ ∆ или ( ) 0 0 lim x f x x ∆ → ∆ = −∞ ∆ . В этом слу- чае, мы будем говорить, что ( ) 0 f x ′ = +∞ или, соответственно, ( ) 0 f x ′ = −∞ . Графики таких функций в окрестности точки 0 x x = схематически изображе- ны на рисунках. 2. Можно говорить об односторонних беско- нечных производных. При этом, если обе од- носторонние производные бесконечны и раз- ных знаков, то можно написать ( ) 0 f x ′ = ∞ . График такой функций приведен на рисунке. §2 Правила дифференцирования. Таблица производных 2.1. Дифференцирование суммы, произведения, частного Теорема 4.2.1. Пусть функции ( ) f x и ( ) g x дифференцируемы в точке 0 x . То- гда в этой точке дифференцируемы их сумма ( ) ( ) f x g x + , их произведение ( ) ( ) f x g x ⋅ и, при условии, что ( ) 0 0 g x ≠ , их частное ( ) ( ) f x g x , при этом а) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 | x x f x g x f x g x = ′ ′ ′ + = + , б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 | x x f x g x f x g x f x g x = ′ ′ ′ ⋅ = ⋅ + ⋅ , в) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 2 0 | x x f x g x f x g x f x g x g x = ′ ⎛ ⎞ ′ ′ − = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 135 ► Так как ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x x f x ∆ = + ∆ − и ( ) ( ) ( ) 0 0 0 g x g x x g x ∆ = + ∆ − , то ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x x f x f x + ∆ = + ∆ и ( ) ( ) ( ) 0 0 0 g x x g x g x + ∆ = + ∆ Тогда, так как ( ) ( ) 0 0 0 lim x f x f x x ∆ → ∆ ′ = ∆ и ( ) ( ) 0 0 0 lim x g x g x x ∆ → ∆ ′ = ∆ , то a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 | lim x x x f x x g x x f x g x f x g x x = ∆ → + ∆ + + ∆ − + ′ + = = ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim x x x f x g x f x g x f x g x x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ + ∆ ∆ ∆ ′ ′ = = + = + ∆ ∆ ∆ б) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 | lim x x x f x x g x x f x g x f x g x x = ∆ → + ∆ + ∆ − ′ = = ∆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim lim x x x x x f x f x g x g x f x g x x f x g x f x g x f x g x f x g x x x g x f x f x g x f x g x f x g x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ + ∆ − = = ∆ ∆ + ∆ + ∆ ∆ ∆ = = ⋅ + ∆ ∆ ∆ ∆ ′ ′ + ⋅ + ∆ ⋅ = + ∆ ∆ Последний из пределов равен нулю, так как приращение ( ) 0 g x ∆ есть прираще- ние непрерывной в точке 0 x функции, следовательно, бесконечно малая функ- ция, а отношение ( ) 0 f x x ∆ ∆ ограничено в окрестности этой точки. в) Для вычисления производной от частного вычислим сначала приращения ча- стного: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f x x f x f x f x f x f x g x f x g x f g g x x g x g x g x g x g x g x g x + ∆ + ∆ ∆ − ∆ ∆ = − = − = + ∆ + ∆ + ∆ Тогда ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 | lim lim x x x x f f x g x g x f x f x g x x g x x g x g x g x = ∆ → ∆ → ∆ ∆ ∆ ′ − ⎛ ⎞ ∆ ∆ = = = ⎜ ⎟ ∆ + ∆ ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 0 f x g x f x g x g x ′ ′ − = . ◄ Следствие 1. ( ) ( ) ( ) C f x C f x ′ ′ ⋅ = ⋅ ► Вычислим сначала производную от постоянной функции: ( ) 0 0 lim lim 0 0 x x C C C x ∆ → ∆ → − ′ = = = ∆ Тогда, применяя правило дифференцирования произведения, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C f x C f x Cf x Cf x ′ ′ ′ ′ ⋅ = + = . ◄ 136 Следствие 2. Из доказанной теоремы следуют соответствующие формулы для дифференциалов функций: а) ( ) d f g df dg + = + , б) ( ) d f g g df f dg ⋅ = ⋅ + ⋅ , в) 2 f g df f dg d g g ⎛ ⎞ ⋅ − ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . Замечание. Эту теорему с помощью метода математической индукции легко распространить на случай суммы и произведения любого конечного числа функций: ( ) 1 2 1 2 n n f f f f f f ′ ′ ′ ′ + + + = + + , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n f f f f f f f f f f f f ′ ′ ′ ′ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ . 2.2. Дифференцирование обратной функции Теорема 4.2.2. Пусть функция ( ) f x непрерывна и строго монотонна на про- межутке [ ] , a b и точка ( ) 0 , x a b ∈ такова, что существует ( ) 0 0 f x ′ ≠ . Тогда функция ( ) 1 f y − , обратная функции ( ) f x , дифференцируема в точке ( ) 0 0 y f x = и ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 | y y f y f x − = ′ = ′ . ►Допустим для определенности, что функция ( ) f x строго возрастает. Так как точка 0 x - внутренняя точка промежутка [ ] , a b , то существует отрезок [ ] [ ] 0 0 , , x x a b δ δ − + ⊂ , на котором функция ( ) f x строго возрастает, следова- тельно, имеет обратную. Точка ( ) 0 0 y f x = будет внутренней точкой промежут- ка ( ) ( ) 0 0 , f x f x δ δ ⎡ ⎤ − + ⎣ ⎦ , так как в силу монотонности функции ( ) f x будет выполняться неравенство ( ) ( ) ( ) 0 0 0 f x f x f x δ δ − < < + Возьмем приращение y ∆ такое, чтобы ( ) ( ) 0 0 0 , y y f x f x δ δ ⎡ ⎤ + ∆ ∈ − + ⎣ ⎦ . Тогда ( ) ( ) 1 1 0 0 0 x f y y f y − − ∆ = + ∆ − ≠ , так как, в силу монотонности функции ( ) 1 f y − будет выполнено ( ) ( ) 1 1 0 0 f y y f y − − + ∆ ≠ . Кроме того, 0 x ∆ → при 0 y ∆ → , так как функция ( ) 1 f y − непрерывна в точке 0 y Тогда можно написать 1 x y y x ∆ = ∆ ∆ ∆ и, если существует ( ) 0 0 lim 0 x y f x x ∆ → ∆ ′ = ≠ ∆ , то существует и ( ) 0 0 1 lim y x y f x ∆ → ∆ = ′ ∆ . ◄ Замечание. Доказанную формулу можно записать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 | y f x f x f y − = ′ = ′ . 137 2.3. Дифференцирование сложной функции Теорема 4.2.3. Пусть функция ( ) f t дифференцируема в точке 0 t и функция ( ) x ϕ дифференцируема в точке 0 x , такой что ( ) 0 0 x t ϕ = . Тогда сложная функция ( ) ( ) f x ϕ дифференцируема в точке 0 x , причем ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 | x x t x t x f x f t x f x x ϕ ϕ ϕ ϕ = ′ ′ ′ ′ ′ = ⋅ = ⋅ . ► При заданных условиях функция ( ) f t будет определена в некоторой окрестности точки 0 t и непрерывна в этой точке. Аналогично, функция ( ) x ϕ будет определена в некоторой окрестности точки 0 x и непрерывна в ней. В гл3§4 было доказано, что тогда в окрестности точки 0 x будет определена слож- ная функция ( ) ( ) f x ϕ . Возьмем приращение аргумента x ∆ такое, чтобы 0 x x + ∆ принадлежало этой окрестности. Обозначим ( ) ( ) 0 0 t x x x ϕ ϕ ∆ = + ∆ − и отметим, что, так как функция ( ) x ϕ непрерывна в точке 0 x , то 0 t ∆ → при 0 x ∆ → . Тогда, в силу дифференцируемости функции ( ) f t , можно написать ( ) ( ) ( ) 0 0 t f t f t t o t ′ ∆ = ∆ + ∆ , где ( ) ( ) ( ) 0 , 0 t o t t t t α α ∆ → ∆ = ∆ ⋅ ∆ ∆ ⎯⎯⎯→ . Деля последнее равенство на x ∆ и переходя к пределу, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 lim lim t t x x x f x o t t f t f t x x x x ϕ ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ ′ ′ ′ = + = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ⎝ ⎠ , так как 0 lim x t x ∆ → ∆ = ∆ ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 lim x x x x x x x ϕ ϕ ϕ ∆ → + ∆ − ′ = = ∆ и ( ) ( ) 0 0 lim lim 0 x x o t t t x x α ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ = ∆ ⋅ = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ⎝ ⎠ . ◄ Следствие. Инвариантность формы первого дифференциала Форма записи дифференциала ( ) df f t dt ′ = сохраняется, если аргумент t является дифференцируемой функцией какого-нибудь другого аргумента. ► Пусть ( ) t x ϕ = . Тогда по определению дифференциала ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t df f x dx f x x dx ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ = = ⋅ Так как ( ) x dx dt ϕ ′ = , и ( ) x t ϕ = , то ( ) df f t dt ′ = . ◄ Замечание. Необходимо понимать, что сохраняется только форма диффе- ренциала ( ) df f t dt ′ = , но, если аргумент t - независимая переменная, то dt - приращение этого аргумента, а, если t - функция, то dt - это главная часть этого приращения. 138 2.4. Таблица производных Составим теперь таблицу для производных от простейших элементарных функций. 1. ( ) 0 C ′ = , 11. ( ) 2 1 tg cos x x ′ = , 2. ( ) 1 x x α α α − ′ = , 12. ( ) 2 1 ctg sin x x ′ = − , 3. ( ) 1 2 x x ′ = , 13. ( ) 2 1 arcsin 1 x x ′ = − , 4. 2 1 1 x x ′ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , 14. ( ) 2 1 arccos 1 x x ′ = − − , 5. ( ) ln x x a a a ′ = , 15. ( ) 2 1 arctg 1 x x ′ = + , 6. ( ) x x e e ′ = , 16. ( ) 2 1 arcctg 1 x x ′ = − + , 7. ( ) 1 log ln a x x a ′ = , 17. ( ) sh ch x x ′ = , 8. ( ) 1 ln x x ′ = , 18. ( ) ch sh x x ′ = , 9. ( ) sin cos x x ′ = , 19. ( ) 2 1 th ch x x ′ = , 10. ( ) cos sin x x ′ = − , 20. ( ) 2 1 cth sh x x ′ = − . ► Первая формула была получена в следствии 1 из теоремы 4.2.1. Вторую формулу докажем, используя один из пределов, полученных в 5.3 главы 3. ( ) ( ) 1 0 0 0 1 1 lim lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x α α α α α α α δ α α − ∆ → ∆ → → ⎛ ⎞ ∆ ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ∆ − ∆ ′ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = = = ⎜ ⎟ ∆ ∆ ∆ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Формулы 3 и 4 являются частными случаями формулы 2. Также, используя известные пределы, докажем пятую и седьмую формулы. ( ) ( ) 0 0 0 1 ln lim lim lim ln x x x x x x x x x x x a a a a a x a a e a x x x ∆ +∆ ∆ → ∆ → ∆ → − − ∆ ′ = = = = ∆ ∆ ∆ ( ) ( ) 0 0 0 log 1 log log 1 log lim lim lim ln ln a a a a x x x x x x x x x x x x x a x x a ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + ∆ − ∆ ⎝ ⎠ ′ = = = = ∆ ∆ ⋅ ∆ 139 Формулы 6 и 8 являются частными случаями формул 5 и 7 при a e = . Теперь докажем формулы 9 и 10. ( ) ( ) 0 0 0 2sin cos sin sin 2 2 sin lim lim cos 2 lim cos . x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + ∆ − ⎝ ⎠ ′ = = = ∆ ∆ ∆ ⎛ ⎞ ∆ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = ∆ ( ) ( ) 0 0 0 2sin sin cos cos 2 2 cos lim lim sin 2 lim sin . x x x x x x x x x x x x x x x x x ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ ⎛ ⎞ − + ⎜ ⎟ + ∆ − ⎝ ⎠ ′ = = = ∆ ∆ ∆ ⎛ ⎞ −∆ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = = − ∆ Формулы 11 и 12 получаются из правила дифференцирования частного: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 sin cos cos sin cos sin 1 tg cos cos cos x x x x x x x x x x ′ ′ − + ′ = = = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 cos sin cos sin sin cos 1 ctg sin sin sin x x x x x x x x x x ′ ′ − + − ′ = = = − Формулы 13-16 легко получить из правила дифференцирования обратной функции. Рассмотрим функцию arcsin y x = . Обратной к ней функцией будет функ- ция sin , , 2 2 x y y π π ⎡ ⎤ = ∈ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ . Поэтому ( ) ( ) 2 1 1 1 arcsin cos 1 sin x y x y x y ′ = = = ′ − Последняя формула верна, если 2 y π ≠ ± , т.е. если 1 x ≠ ± . Формулы 14-16 доказываются аналогично, и их доказательство предос- тавляем читателю. Доказательство формул 17-20 также предоставляется читателю.◄ 2.5. Логарифмическое дифференцирование Рассмотрим прием, с помощью которого можно дифференцировать пока- зательно-степенную функцию ( ) ( ) ( ) v x u x и некоторые другие функции. Обозначим ( ) ( ) ( ) v x y u x = . Так как эта функция определена при условии, что ( ) 0 u x > , то можно найти ln y : ( ) ( ) ( ) ln ln y v x u x = ⋅ . Продифференцируем обе части последнего равенства по переменной x . Слева это будет производная 140 от сложной функции: ( ) ln x y y y ′ ′ = , справа – производная от произведения: ( ) ( ) ( ) ( ) ln ln u v x u x v u v u ′ ′ ′ ⋅ = ⋅ + Тогда ln y u v u v y u ′ ′ ′ = + , откуда ln ln v u u y y v u v u v u v u u ′ ′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ′ ′ ′ = ⋅ + = ⋅ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Пример 1. Вычислить производную от функции ( ) ln sin x x ☺ Положим ( ) ln sin x y x = . Тогда ( ) ln ln ln sin y x x = ⋅ . Дифференцируя обе части этого равенства, получим ( ) 1 cos ln sin ln sin y x x x y x x ′ = + ⋅ , откуда ( ) ( ) ln 1 cos sin ln sin ln sin x x y x x x x x ⎛ ⎞ ′ = ⋅ + ⋅ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . ☻ 2.6. Дифференцирование функций, заданных параметрически Теорема 4.2.4. Пусть функции ( ) x x t = и ( ) y y t = определены на проме- жутке [ ] 0 0 , t t δ δ − + , причем функция ( ) x t непрерывна и строго монотонна, так что существует обратная функция ( ) t t x = , которая тоже непрерывна и строго монотонна. Допустим также, что функции ( ) x t и ( ) y t дифференци- руемы в точке 0 t , причем ( ) 0 0 x t ′ ≠ . Тогда сложная функция ( ) ( ) y y t x = диф- ференцируема по переменной x в точке ( ) 0 0 x x t = , причем ( ) ( ) ( ) 0 0 0 t x t y t y x x t ′ ′ = ′ . ► По правилу дифференцирования сложной функции получим, что в точке 0 x выполняется равенство ( ) ( ) ( ) t x x y t x y t ′ ′ ′ = ⋅ . По формуле для производ- ных взаимно обратных функций 1 x t t x ′ = ′ , откуда ( ) ( ) ( ) t x t y y t x x ′ ′ = ′ . ◄ Пример 2. Найти точки на кривой, за- данной уравнениями [ ] 3cos , 2sin , 0,2 x t y t t π = = ∈ , в кото- рых касательная будет параллельна оси абсцисс. ☺ Прямая параллельна оси абс- цисс, если ее угловой коэффициент 0 k = . Угловой коэффициент касатель- ной равен производной функции ( ) ( ) y t x по x : 141 2cos 2 ctg 3sin 3 t x t y t y t x t ′ ′ = = = − ′ − . Найдем значения t , при которых 0 x y′ = . На проме- жутке [ ] 0,2 π таких значений будет два: 1 2 t π = и 2 3 2 t π = . Следовательно, на кривой будет две искомые точки ( ) 1 0,2 M и ( ) 2 0, 2 M − . ☻ Замечание. Уравнения [ ] 3cos , 2sin , 0,2 x t y t t π = = ∈ задают две функции ( ) y y x = : первая соответствует [ ] 0, t π ∈ и вторая - [ ] ,2 t π π ∈ . На каждом из этих промежутков функция ( ) x t монотонна и, следовательно, имеет обрат- ную. Тогда теорема 4.2.4 применима. |