Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§5 Формула Тейлора 5.1. Многочлен Тейлора Пусть функция ( ) f x определена в некоторой окрестности точки 0 x и в этой точке имеет производную n -го порядка. Составим многочлен ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 2 0 0 0 0 0 0 0 1! 2! ! n n n f x f x f x P x f x x x x x x x n ′ ′′ = + − + − + + − Этот многочлен будем называть многочленом Тейлора n -го порядка для функции ( ) f x в точке 0 x Очевидно, многочлен Тейлора удовлетворяет условиям: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , ...., n n n n n P x f x P x f x P x f x ′ ′ = = = , поэтому его часто называют многочленом наилучшего приближения функции в точке 0 x . Теорема 4.5.1. Если многочлен вида ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 2 0 0 n n n P x a a x x a x x a x x = + − + − + + − удовлетворяет условиям ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 , , ...., n n n n n P x f x P x f x P x f x ′ ′ = = = , то его коэффициенты вычисляются по формулам ( ) ( ) 0 , 0,1,2,..., ! k k f x a k n k = = . ► Найдем производные от данного многочлена: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 0 3 0 0 2 3 n n n P x a a x x a x x na x x − ′ = + − + − + + − , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 0 2 3 2 1 n n n P x a a x x n n a x x − ′′ = + ⋅ − + + − − , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 ! 1 ... 2 1 ... 1 n k k n k k n P x k a k k a x x n n n k a x x − + = + + ⋅ ⋅ − + + − − + − , ( ) ( ) ! n n n P x n a = Отсюда получим ( ) ( ) 0 0 0 n P x f x a = = , ( ) ( ) 0 0 1 n P x f x a ′ ′ = = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ! k k n k P x f x k a = = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 ! n n n n P x f x n a = = , откуда получим требуе- мое. ◄ 151 5.2. Формула Тейлора Пусть ( ) n P x - многочлен Тейлора n -го порядка для функции ( ) f x в точке 0 x . Обозначим ( ) ( ) ( ) n n R x f x P x = − . Тогда формулу ( ) ( ) ( ) n n f x P x R x = + будем называть формулой Тейлора, а величину ( ) n R x - остаточным членом этой формулы. Получим два представления остаточного члена. Теорема 4.5.2. Пусть в некоторой окрестности ( ) 0 U x точки 0 x функция ( ) f x имеет все производные до ( ) 1 n + -го порядка включительно. Тогда для всякого значения ( ) 0 x U x ∈ найдется точка ξ , лежащая между точками x и 0 x такая, что ( ) ( ) ( ) n n f x P x R x = + , где ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ! n n n f R x x x n ξ + + = − + . ► В силу условий, связывающих функцию с ее многочленом Тейлора, имеем ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 n n n n R x R x R x ′ = = = = . Введем функцию ( ) ( ) 1 0 n g x x x + = − , которая удовлетворяет условиям ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 n g x g x g x ′ = = = = Рассмотрим теперь отношение ( ) ( ) n R x g x на промежутке [ ] 0 0 , x x δ + , где ( ) 0 0 x U x δ + ∈ . Применяя теорему 4.4.4(Коши), получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 n n n n R x R x R x R g x g x g x g ξ ξ ′ − = = ′ − , где 0 1 x x ξ < < . Производя аналогичные вы- кладки с частным ( ) ( ) 1 1 n R g ξ ξ ′ ′ , получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 2 1 1 0 2 n n n n R R x R R g g g x g ξ ξ ξ ξ ξ ξ ′ ′ ′ ′′ − = = ′ ′ ′ ′′ − , где 0 2 1 x ξ ξ < < . Таким же образом, применяя далее теорему Коши, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 1 2 n n n n n n n n n n n R R x R R R g x g g g g ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ + + ′ ′′ = = = = = ′ ′′ , где 0 2 1 n x x ξ ξ ξ ξ < < < < < < . Но ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n R x f x + + = и ( ) ( ) ( ) 1 1 ! n g x n + = + , поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 n n n n R R x g x g ξ ξ + + = = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ! n n f x x n ξ + + − + Аналогично рассматривается случай, когда [ ] 0 0 , x x x δ ∈ − . ◄ 152 Замечание. Остаточный член вида ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 ! n n n f R x x x n ξ + + = − + называют ос- таточным членом в форме Лагранжа . Теорема 4.5.3. Пусть существует ( ) ( ) 0 n f x . Тогда формула Тейлора будет иметь вид ( ) ( ) ( ) ( ) 0 n n f x P x o x x = + − при 0 x x → . ► Применяя теорему 4.4.4 (Коши) к функциям ( ) n R x и ( ) ( ) 0 n g x x x = − на промежутке [ ] 0 0 , x x δ + , аналогично тому, как это было сделано в теореме 4.5.2, получим ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 1 0 ! n n n n n n n R R x R x g x n x ξ ξ − − − − − = − , где 0 1 1 n x x ξ ξ − < < < < . Отсю- да ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 lim lim 0 ! ! n n n n n n n n n x x x x n R R x R x R x n x n x x ξ ξ − − − → + → + − − = = = − − , так как 1 0 n x ξ − → при 0 x x → . Следовательно, ( ) ( ) ( ) 0 n n R x o x x = − . ◄ Замечание. Такой вид остаточного члена называется остаточным членом в форме Пеано. Теорема 4.5.4. Пусть существует ( ) ( ) 0 n f x и при 0 x x → справедливо равенст- во ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 2 0 0 0 n n n f x a a x x a x x a x x o x x = + − + − + + − + − . Тогда ( ) ( ) 0 , 0,1,2,..., ! k k f x a k n k = = . ► Так как существует ( ) ( ) 0 n f x , то справедлива формула Тейлора с оста- точным членом в форме Пеано. Таким образом, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1! ! n n n n n n a a x x a x x a x x o x x f x f x f x x x x x o x x n + − + − + + − + − = ′ = + − + + − + − Переходя к пределу при 0 x x → в последнем равенстве, получим ( ) 0 0 a f x = . Отбрасывая равные члены и сокращая это равенство на 0 x x − , при- дем к равенству ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 0 0 0 n n n a a x x a x x o x x − − + − + + − + − = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 1! ! n n n f x f x x x o x x n − − ′ = + + − + − 153 Опять устремляя 0 x x → , получим ( ) 0 1 1! f x a ′ = и, продолжая таким обра- зом, получим ( ) ( ) 0 , 0,1,2,..., ! k k f x a k n k = = . ◄ Замечание. Из этой теоремы следует, что представление функции в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 1 0 2 0 0 0 n n n f x a a x x a x x a x x o x x = + − + − + + − + − единственно. Упражнение. Докажите, что если функция ( ) f x четная, то ее многочлен Тей- лора в точке 0 0 x = содержит только четные степени, а если ( ) f x - нечетная, то этот же многочлен содержит только нечетные степени. 5.3. Разложение основных элементарных функций по формуле Тейло- ра - Маклорена Если 0 0 x = , то формула Тейлора называется формулой Маклорена . Если функция имеет ( ) ( ) 0 n f , то формула Маклорена имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 , 0 ! k n k n k f f x x o x x k = = + → ∑ Получим формулы Маклорена для основных элементарных функций. 1) ( ) x f x e = Функция дифференцируема бесконечное число раз, причем производная n -го порядка равна ( ) ( ) n x x e e = . Поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 n f f f ′ = = = = и фор- мула Маклорена имеет вид ( ) 2 1 1! 2! ! n x n x x x e R x n = + + + + + , где ( ) ( ) 1 , 0 1 1 ! x n n e R x x n θ θ + = < < + 2) ( ) sh f x x = Эта функция также дифференцируема бесконечное число раз и ( ) ( ) ch , , sh sh , n x n нечетное x x n четное − ⎧ = ⎨ − ⎩ Поэтому ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 k f f = = и ( ) ( ) 2 1 0 1, k f k − = ∈ , и ( ) ( ) 3 2 1 2 1 sh 1! 3! 2 1 ! m m x x x x R x m − − = + + + + − , 154 где ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 sh 2 2 ! 2 ! x x m m m x e e R x x x m m θ θ θ − − − = = 3) ( ) ch f x x = Формула Маклорена для этой функции выводится аналогично предыду- щей и имеет вид ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ch ch 1 2! 2 ! 2 1 ! m m x x x x x m m θ + = + + + + + 4) ( ) sin f x x = Как было сказано в пункте 3.1, ( ) ( ) sin sin 2 n n x x π ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , поэтому ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 k f f = = и ( ) ( ) ( ) 1 2 1 0 1 , k k f k − − = − ∈ . Отсюда ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 1 1 2 sin sin 1 1! 3! 2 1 ! 2 ! m m m x m x x x x x m m θ π − − + = − + + − + − 5) ( ) cos f x x = Эта формула получается аналогично предыдущей и имеет вид ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 cos 2 cos 1 1 2! 2 ! 2 1 ! m m m m x x x x x m m π θ + + ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = − + + − + + 6) ( ) ( ) ln 1 f x x = + . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 ! ln 1 1 n n n n x x − − − + = + , поэтому ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0, 0 1 1 ! n n f f n − = = − − и ( ) ( ) ( ) ( )( ) 2 3 1 1 1 ln 1 1 1 2 3 1 1 n n n n n x x x x x x n n x θ + − + + = − + − + − + − + + 7) ( ) ( ) 1 f x x α = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 ... 1 1 n n x n x α α α α α − + = ⋅ − − + + Отсюда ( ) ( ) 0 1, 0 f f α ′ = = , ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ... 1 k f k α α α = ⋅ − ⋅ − + и ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 1 1 1 ... 1 1 1 1! 2! ! 1 ... 1 1 ! n n n n x x x x n n x x n α α α α α α α α α α α θ − − + − − − + + = + + + + + − − + + + 155 Функцию ( ) 1 x α + будем называть биномом или биномиальной функци- ей . Ясно, что формула бинома Ньютона получается из формулы Маклорена для биномиальной функции при α ∈ . Отметим частные случаи формулы Маклорена для биномиальной функ- ции: а) Если 1 α = − , то формула примет вид ( ) ( ) 2 1 1 1 1 n n n x x x R x x = − + − + − + + б) Если в последней формуле заменить x на x − , то получим ( ) 2 1 1 1 n n x x x R x x = + + + + + − Замечания 1. Во всех формулах остаточный член написан в форме Лагранжа, но его можно было бы написать в форме Пеано, например, ( ) ( ) 2 1 1 1 , 0 1 n n n x x x o x x x = − + − + − + → + . 2. В формулах для четных или нечетных функций степень x у остаточного члена можно увеличить на 1. Например, ( ) ( ) 3 2 1 2 1 sh 1! 3! 2 1 ! 2 2 1 ! m x x m x x x e e x x m m θ θ − − + + = + + + + − + . Это возможно, так как многочлен Маклорена для нечетной функции должен иметь только нечетные степени, следовательно, слагаемое со степенью 2m x будет равно нулю. |