Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика

• Название: Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
• Дата: 02.09.2022
• Размер: 2.13 Mb.
• Имя файла: Математический анализ_курс лекций.pdf
• Тип: Курс лекций; #659441
• страница: 11 из 16

§5 Элементарные функции и их непрерывность
В этом параграфе мы изучим конкретные функции и получим ряд замеча- тельных пределов, которые понадобятся нам на практике.
5.1. Определения
Определение 3.5.1.
Простейшими функциями
будем называть следующие
функции:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1.
9.
th
2.
,
10.
cth
3.
sin
11.
,
0,
1 4.
cos
12.
log
,
0,
1 5.
tg
13.
arcsin
6.
ctg
14.
arccos
7.
sh
15.
arctg
8.
ch
16.
arcctg
x
a
f x
c
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
a
a
a
f x
x
f x
x a
a
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
f x
x
α
α
=
=
=
∈
=
=
=
>
≠
=
=
>
≠
=
=
=
=
=
=
=
=
Замечание.
Не все простейшие функции были точно определены в школе. По-
этому мы дадим далее определения таких операций.
Определение 3.5.2.
Элементарными функциями будем называть функции,
образованные из простейших функций с помощью конечного числа арифмети-
ческих действий и конечного числа композиций функций.
Если мы докажем, что каждая простейшая функция непрерывна на своей области определения, то по свойствам непрерывных функций получим, что лю- бая элементарная функция непрерывна на своей области определения.
5.2. Исследование простейших функций
1)
Непрерывность функции
( )
f x
c
= мы уже доказали (пример 6 §4).
2)
Рассмотрим функцию
( )
f x
x
α
=
Уже определена и доказана непрерыв- ность функций
( )
n
f x
x
=
и
( )
n
f x
x
=
,
n
∈ (примеры 8 и 10 §4). Если
α
- целое отрицательное число, то
1
n
x
x
α
=
, где
n
α
= − ∈ . Эта функция определена и не- прерывна на множестве
{ }
\ 0 .

113
Если
α
∈ , то
,
,
,
2
m
n
m
n
x
x
x
m
n
n
α
=
=
∈
∈
≥ .
Таким образом, функция
( )
f x
x
α
=
определена при
α
∈ и непрерывна, как композиция непрерывных функций во всех точках, где она определена. Пе- речислим основные свойства степени с рациональным показателем (при
,
0
x y
> ):
1.
1 2
1 2
x
x
x
α
α
α α
+
⋅
=
;
2.
( )
2 1
1 2
x
x
α
α
α α
⋅
=
;
3.
( )
( )
x
x
y
y
α
α
α
⎛ ⎞
=
⎜ ⎟
⎝ ⎠
;
4.
Если
1,
0
x
α
>
> , то
1
x
α
> ;
5.
Если
1
x
> и
1 2
α α
>
, то
1 2
0
x
x
α
α
>
> и, если
0 1
x
< < и
1 2
α α
>
, то
1 2
0
x
x
α
α
<
<
.
Эти свойства легко доказываются на основании свойств степени с целым показателем и свойств арифметических корней.
Для иррациональных показателей определение степени введем позже.
3)
Рассмотрим теперь показательную функцию
( )
,
0,
1
x
f x
a
a
a
=
>
≠
Из предыдущего пункта ясно, что эта функция сейчас определена только для x ∈ . Докажем два свойства этой функции.
Свойство 1.
Функция
( )
( )
,
x
f x
a
D f
=
= непрерывна в точке 0
► Используя определение непрерывности на языке последовательности, докажем, что если
,
0
n
n
n
r
r
→∞
∈
→ , то
1
n
r
a
→
В примере 16 §1 и §2 главы 2 было доказано, что lim
1
n
n
a
→∞
=
Допустим, сначала, что
1
a
>
. Возьмем
0
ε
>
. Тогда можно найти номер
0
k
∈
такой, что будут выполняться неравенства
0 1
0 1
k
a
ε
<
− <
и
0 1
0 1
k
a
ε
−
< −
<
. Из этих неравенств, используя монотонность степени с рацио- нальным показателем, получим
0 0
1 1
1 1
k
k
a
a
ε
ε
−
− <
<
< +

114
Так как
0
n
r
→
при
n
→ ∞
, то можно найти номер
0
n
, начиная с которого будет выполняться неравенство
0 1
n
r
k
<
. Тогда для этих же членов последова- тельности
{ }
n
r
будет справедливо
0 0
1 1
1 1
n
k
r
k
a
a
a
ε
ε
−
− <
<
<
< +
, а это означа- ет, что lim
1
n
r
n
a
→∞
=
Очевидно, что при 0 1
a
< <
, доказательство останется верным, изменятся лишь знаки неравенств, написанных на основании монотонности функции. ◄
Свойство 2.
Если последовательность
{ }
n
r рациональных чисел сходится, то
последовательность
{ }
n
r
a
тоже сходится.
►Воспользуемся критерием сходимости Коши. Возьмем
0
ε
>
и дока- жем, что последовательность
n
r
a
фундаментальна. Для этого рассмотрим
1
n
m
m
n
m
r
r
r
r r
a
a
a
a
−
−
=
−
Опять предположим, для определенности, что
1
a
>
Так как последовательность
{ }
n
r
сходится, то она ограничена. Допустим, что
n
c r
d
≤ ≤
. Тогда по монотонности степени с рациональным показателем будет верным неравенство
n
r
c
d
a
a
a
≤
≤
Так как
0
lim
1,
r
r
a
r
→
=
∈
, то по заданному
ε
можно найти
0
δ
>
такое, что из неравенства
r
δ
<
будет следовать
1
r
d
a
a
ε
− <
. Последовательность
n
r
сходится, следовательно, она сходится в себе и по найденному числу
δ
можно найти такой номер
0
n
, что если
0
n n
≥
и
0
m n
≥
, то
n
m
r
r
δ
−
<
и, следовательно, для этих членов последовательности будет выполняться неравенство
1
n
m
r r
d
a
a
ε
−
− <
. Тогда для этих же членов последовательности будет справед- ливо
1
n
m
m
n
m
r
r
r
r r
d
d
a
a
a
a
a
a
ε
ε
−
−
=
− <
= .
Для случая 0 1
a
< < доказательство аналогично. ◄
Теперь можно определить степень числа ,
0,
1
a a
a
>
≠ с произвольным вещественным показателем.
Определение 3.5.3.
Пусть x - произвольное вещественное число и
{ }
n
r - после-
довательность рациональных чисел, сходящаяся к x . Тогда положим
lim
n
r
x
n
a
a
→∞
=
.
Замечания
1.
Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к вещественному
числу x , всегда существует, так как каждое вещественное число является
предельной точкой множества рациональных чисел.

115
2.
Так как последовательность
{ }
n
r
a
сходится, какова бы ни была сходя-
щаяся к x последовательность
{ }
n
r , то lim
n
r
n
a
→∞
не будет зависеть от последо-
вательности
{ }
n
r (теорема 3.2.1) .
Таким образом, определена функция
( )
,
0,
1
x
f x
a
a
a
=
>
≠ , где x∈ .
Сформулируем и докажем свойства показательной функции.
Свойство 1.
Для любых вещественных чисел
1
x и
2
x справедливо равенство
1 2
1 2
x
x
x x
a
a
a
+
⋅
=
.
► Пусть
{ }
n
r′ и
{ }
n
r′′ - последовательности рациональных чисел такие, что при n
→ ∞ выполняется:
1
n
r
x
′ → и
2
n
r
x
′′ → . Тогда
1 2
n
n
r
r
x
x
′
′′
+ → + и
1
lim
n
r
x
n
a
a
′
→∞
=
,
2
lim
n
r
x
n
a
a
′′
→∞
=
,
1 2
lim
n
n
r r
x x
n
a
a
′ ′′
+
+
→∞
=
Требуемое равенство получим, переходя к пределу в равенстве
1 2
1 2
r
r
r r
a a
a
′
′′
′ ′′
+
⋅
=
. ◄
Следствие.
Для любых вещественных чисел
1
x и
2
x справедливо равенство
1 1
2 2
x
x x
x
a
a
a
−
=
.
Свойство 2.
Для любого вещественного x выполняется неравенство
0
x
a
> .
► Допустим, что
1
a
> и найдем
r
- рациональное число такое, что x r
> .
Возьмем
{ }
n
r - последовательность рациональных чисел, сходящуюся к x . То- гда, начиная с некоторого номера, будет выполняться неравенство
n
r
r
> и, сле- довательно, будет верным неравенство
n
r
r
a
a
>
. Переходя к пределу в послед- нем неравенстве, получим
0
x
r
a
a
≥
> .
Если 0 1
a
< < , то аналогичные рассуждения можно провести для основа- ния степени, равного
1
a
. ◄
Свойство 3.
Функция
( )
,
1
x
f x
a
a
=
> строго возрастает и функция
( )
, 0 1
x
f x
a
a
=
< <
строго убывает.
► Допустим, что
1
a
> , и возьмем два вещественных числа
1
x и
2
x таких, что
1 2
x
x
< . Найдем какие-нибудь рациональные числа
1
r и
2
r так, чтобы вы- полнялось неравенство
1 1
2 2
x
r
r
x
< < <
и возьмем последовательности рацио- нальных чисел
( )
{ }
1
n
r
, сходящуюся к
1
x , и
( )
{ }
2
n
r
, сходящуюся к
2
x . Тогда мож- но найти номер, начиная с которого будут выполняться неравенства
( )
1 1
n
r
r
< и
( )
2 2
n
r
r
<
. По монотонности показательной функции с рациональным показате- лем для этих значений n будет верным неравенство
( )
( )
1 2
1 2
n
n
r
r
r
r
a
a
a
a
<
<
<

116
Тогда, переходя к пределу в последнем неравенстве, получим
1 1
2 2
x
r
r
x
a
a
a
a
≤
<
≤
, откуда следует требуемое.
Для доказательства этого свойства при 0 1
a
< < можно применить дока- занное к основанию
1
a
и воспользоваться свойствами неравенств. ◄
Свойство 4.
Функция
( )
,
0,
1
x
f x
a
a
a
=
>
≠
непрерывна на .
► Предположим, для определенности, что
1
a
> .
Докажем сначала, что функция
x
a непрерывна в нуле. Возьмем произ- вольную последовательность вещественных чисел
{ }
n
x , сходящуюся к нулю.
Тогда для каждого n
∈ можно найти рациональные числа
( )
1
n
r и
( )
2
n
r
такие, что
( )
( )
1 2
1 1
n
n
n
n
n
x
r
x
r
x
n
n
− <
<
<
<
+ . Тогда обе последовательности
( )
{ }
1
n
r
и
( )
{ }
2
n
r
стремятся к нулю, и, следовательно, по непрерывности в нуле показательной функции с рациональным показателем будет выполнено
( )
( )
1 2
lim lim
1
n
n
r
r
n
n
a
a
→∞
→∞
=
= .
С другой стороны, по монотонности показательной функции получим не- равенство
( )
( )
1 2
n
n
n
r
x
r
a
a
a
<
<
, откуда по теореме о сжатой переменной получим lim
1
n
x
n
a
→∞
= . Непрерывность в нуле доказана.
Теперь возьмем произвольную точку
0
x
и докажем, что функция
x
a
не- прерывна в этой точке. Найдем приращение функции в этой точке:
( )
(
)
0 0
0 0
1
x
x
x
x
x
f x
a
a
a
a
+∆
∆
∆
=
−
=
−
. Так как
0
lim
1
x
x
a
∆
∆ →
= , а
0
x
a - константа (не за- висит от x
∆ ), то по теореме о пределе произведения двух функций получим
( )
0 0
lim
0
x
f x
∆ →
∆
= , т.е. показательная функция непрерывна в произвольной точке
0
x . ◄
Свойство 5.
Для любых вещественных
1
x
и
2
x
выполняется равенство
( )
2 1
1 2
x
x
x x
a
a
⋅
=
.
► Проведем доказательство в два этапа. Сначала предположим, что
2
x
r
= - рациональное число. Возьмем
{ }
n
r - последовательность рациональных чисел, сходящуюся к
1
x
. Тогда
( )
1
n
n
r
r
r r
x r
a
a
a
=
→
при n
→ ∞ . С другой сторо- ны,
1
n
r
x
n
s
a
a
=
→
и
( )
( )
1
r
r
x
n
s
a
→
по непрерывности степенной функции с ра- циональным показателем. Следовательно,
( )
1 1
r
x
x r
a
a
=
Теперь докажем это свойство для любых вещественных значений
1
x и
2
x .
Пусть
{ }
n
ρ
- последовательность рациональных чисел, сходящаяся к
2
x . Тогда,

117 по доказанному в первой части, получим
( )
1 1
n
n
x
x
a
a
ρ
ρ
=
. По определению степе- ни имеем:
( ) ( )
2 1
1
lim
n
x
x
x
n
a
a
ρ
→∞
=
и
1 1 2
lim
n
x
x x
n
a
a
ρ
→∞
=
. Отсюда
( )
2 1
1 2
x
x
x x
a
a
⋅
=
. ◄
Свойство 6.
Если
1
a
> , то lim
x
x
a
→+∞
= +∞ и lim
0
x
x
a
→−∞
= , и если 0 1
a
< < , то
lim
0
x
x
a
→+∞
=
и
lim
x
x
a
→−∞
= +∞
.
► Допустим, что
1
a
> и
x
→ +∞
Пусть
[ ]
n
x
=
- целая часть числа x . Тогда по доказанному в (пример 18
§1 главы 2) будет существовать номер, начиная с которого будет выполнено неравенство
1
n
n
a
< , т. е. неравенство
n
a
n
> . Следовательно,
x
n
a
a
≥
→ +∞ при
x
→ +∞ .
Все остальные утверждения этого свойства следуют из доказанного. ◄
Следствие.
Областью изменения показательной функции является множество
(
)
0,
+∞ .
4)
Логарифмическая функция
Функция
( )
,
0,
1
x
f x
a
a
a
=
>
≠ строго монотонна и непрерывна. Следо- вательно, существует обратная к ней функция, которая называется логарифми-
ческой
и обозначается log
a
x
. Эта функция определена на промежутке
(
)
0,
+∞ , непрерывна и строго возрастает, если
1
a
> и убывает, если 0 1
a
< < . Множест- во ее значений – вся числовая прямая.
Если a e
= , то логарифм по такому основанию называют натуральным и обозначают ln x .

118
5)
Степенная функция (вещественный показатель)
Пусть
α
- произвольное вещественное число. Положим ln
x
x
e
α
α
=
. Такая функция определена на множестве
(
)
0,
+∞ , непрерывна, как композиция непре- рывных функций и возрастает, если
0
α
> , и убывает, если
0
α
< .
6)
Показательно-степенная функция
Функция
( )
(
)
( )
( ) ( )
ln
v x
v x
u x
u x
e
=
, определенная на множестве, где
( )
0
u x
> , называется показательно-степенной функцией. Если
( )
u x и
( )
v x непрерыв- ны, то такая функция непрерывна на области своего определения, как компози- ция непрерывных функций.
7)
Гиперболические функции и обратные к ним
Функции ch
2
x
x
e
e
x
−
+
=
и sh
2
x
x
e
e
x
−
−
=
называют, соответственно, гиперболическими косинусом и синусом. Эти функции определены на всей веществен- ной оси и непрерывны на ней, причем косинус – функция четная, а синус – функция нечетная.
Из определения этих функций следуют формулы:
2 2
2 2
ch sh
1,
ch 2 1 2sh
2ch
1,
sh 2 2sh ch .
x
x
x
x
x
x
x
x
−
=
= +
=
−
=
⋅
По аналогии с тригонометрическим функциями оп- ределяют гиперболические тангенс и котангенс: sh th ch
x
x
x
=
и ch cth sh
x
x
x
=
Функция th x определена на всей вещественной оси, а функция cth x оп- ределена для всех вещественных чисел x , кроме
0
x
= . Каждая из этих функций непрерывна на своей области определения.

119
Элементарными методами довольно трудно исследовать монотонность этих функций, поэтому для доказательства существования обратных функций рассмотрим для каждой из этих функций разрешимость уравнения
( )
y
f x
=
от- носительно переменной x .
Сначала решим уравнение sh
y
x
=
или
2
x
x
e
e
y
−
−
=
. После преобразова- ний получим
2 2
1 0
x
x
e
ye
−
− = , откуда
2 1
x
e
y
y
= ±
+
Из этих двух уравнений только одно, а именно то, в котором радикал берется со знаком «плюс», имеет ре- шение
(
)
2
ln
1
x
y
y
=
+
+ . Производя замену обозна- чений, получим
(
)
2
arsh ln
1 ,
x
x
x
x
=
+
+
∈ (чита- ется ареа-синус) – обратная функция к функции sh x .
Теперь попытаемся решить уравнение ch
y
x
=
или
2
x
x
e
e
y
−
+
=
. Заметим сначала, что
1
y
≥ . Из квадратного уравнения
2 2
1 0
x
x
e
ye
−
+ = получим
2 1
x
e
y
y
= ±
− . Очевидно, что оба корня квадратно- го уравнения подходят. Таким образом, получим две обратные функции:
(
)
2
arch ln
1 ,
1
x
x
x
x
+
=
+
−
≥ , обратная к ch , arch
0
x
x
+
≥ и
(
)
2
arch ln
1 ,
1
x
x
x
x
−
=
−
−
≥ , обратная к ch , arch
0
x
x
−
≤ .
Прежде чем искать функции обратные к th x и cth x , отметим, что область изменения th x - множество
(
)
1,1
−
, а область изменения cth x - множество
(
) (
)
, 1 1,
−∞ − ∪ +∞ .
Решая уравнение
x
x
x
x
e
e
y
e
e
−
−
−
=
+
, получим
1 1
ln
2 1
y
x
y
+
=
−
, и из уравнения
x
x
x
x
e
e
y
e
e
−
−
+
=
−
получим
1 1
ln
2 1
y
x
y
+
=
−
, откуда следует

120 1 1
arth ln
,
1 2 1
x
x
x
x
+
=
<
−
и
1 1
arcth ln
,
1 2
1
x
x
x
x
+
=
>
−
8)
Тригонометрические функции
были достаточно хорошо определены в шко- ле, и мы будем считать, что эти определения хорошо известны. Выведем не- сколько полезных свойств тригонометрических функций.
Свойство 1.
sin tg
x x
x
< <
при 0 2
x
π
< < , sin tg
x
x
x
≤
≤
при
,
2 2
x
π π
⎛
⎞
∈ −
⎜
⎟
⎝
⎠
и
sin x
x
≤ при любом x.
►Рассмотрим на тригонометрической окружности угол x , лежащий в первой четверти (изображено на рисунке). Пусть дуга
1
O M равна x . Построим линию тангенсов и отложим на ней точку N такую, что
1
tg
O N
x
=
. Рассмотрим треугольники
1
OMO ,
1
ONO и сектор
1
OMO . Очевидно, что площади этих фигур связаны неравенством:
1 1
1
OMO
cekmOMO
ONO
S
S
S
<
<
Так как эти площади равны, соответственно:
1 2
1 1
sin sin
2 2
OMO
S
R
x
x
=
=
;
1 2
1 1
2 2
cekmOMO
S
R x
x
=
=
и
1 1
1 1
1
tg
2 2
ONO
S
OO O N
x
=
⋅
=
, то из неравенст- ва между площадями получим неравенство sin tg , 0 2
x x
x
x
π
< <
< < .
(*)
Используя нечетность функций sin x и tg x
, получим, что если
0 2
x
π
− < < , то выполнено неравенство sin tg
x
x
x
−
< − < −
или sin tg
x
x
x
<
<
. Тогда, очевидно, что, если
,
2 2
x
π π
⎛
⎞
∈ −
⎜
⎟
⎝
⎠
, то справедливо неравенство sin tg
x
x
x
≤
≤
(**) и x
∀ ∈ имеет место неравенство sin x
x
≤ . ◄
Свойство 2.
Тригонометрические функции непрерывны на своих областях оп-
ределения.
►Рассмотрим приращение функции sin x :
( )
(
)
sin sin
2sin cos
2 2
x
x
f x
x
x
x
x
∆
∆
⎛
⎞
∆
=
+ ∆ −
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠

121
Используя неравенство (**) и то, что cos
1 2
x
x
∆
⎛
⎞
+
≤
⎜
⎟
⎝
⎠
, получим
( )
2 2
x
f x
x
∆
∆
≤ ⋅
= ∆ . Отсюда следует, что, если
0
x
∆ → , то
( )
0
f x
∆
→ .
Аналогично получается неравенство
(
)
cos cos
2sin sin
2 2
x
x
x
x
x
x
x
∆
∆
⎛
⎞
+ ∆ −
=
+
≤ ∆
⎜
⎟
⎝
⎠
, из которого следует непрерывность функции cos x .
Функции tg x и ctg x непрерывны в точках, где они существуют, как ча- стные непрерывных функций.◄
Свойство 3
(Первый замечательный предел)
0
sin lim
1
x
x
x
→
= .
►Считая, что
0
x
≠ , разделим каждый член неравенства (**) на sin x и получим
1 1
sin cos
x
x
x
<
<
или
(
)
sin
1
cos ,
,
,
0 2
2
x
x
x
x
x
π π
>
>
∈ −
≠ . Так как все функции в последнем неравенстве положительны, то модуль можно убрать и получить sin
1
cos
x
x
x
>
>
. Если устремить x к нулю, то cos x будет стремить- ся к
1
(по непрерывности функции cos x ). Следовательно, по теореме о сжатой переменной будет иметь место равенство
0
sin lim
1
x
x
x
→
= , которое обычно называ- ют первым замечательным пределом. ◄
9)
Обратные тригонометрические функции
Рассмотрим функцию
( )
sin
f x
x
=
,
,
2 2
x
π π
⎡
⎤
∈ −
⎣
⎦ . Известно, что такая функ- ция строго возрастает и непрерывна, сле- довательно, она имеет обратную, которая также будет возрастать и будет непрерыв- ной и которая обозначается
[
]
arcsin ,
1,1
x x
∈ −
Аналогично, функцией arccos x ,
[
]
1,1
x
∈ −
будем называть функцию, обрат- ную к функции
[ ]
cos ,
0,
x x
π
∈
. Эта функ- ция будет непрерывной и строго убываю- щей.

122
Функцией arctg ,
x x
∈ будем называть функцию, обратную к функции
(
)
tg ,
,
2 2
x x
π π
∈ −
, а функцией arcctg ,
x x
∈ - функцию, обратную к функции
( )
ctg ,
0,
x x
π
∈
. Эти функции непрерывны и монотонны.
В заключении отметим два полезных равенства с обратными тригоно- метрическими функциями.
1. arcsin arccos
2
x
x
π
+
=
2. arctg arcctg
2
x
x
π
+
= .
►Докажем первое равенство. Докажем, что arccos arcsin
2
x
x
π
−
=
. Оче- видно,
(
)
sin arccos cos arccos
2
x
x
x
π
⎛
⎞
−
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
и arccos
2 2
2
x
π π
π
− ≤ −
≤ . Отсюда arccos arcsin
2
x
x
π
−
=
Второе равенство доказывается аналогично. ◄
5.3. Некоторые важные пределы
Выше мы доказали, что
0
sin lim
1
x
x
x
→
= . Рассмотрим еще несколько важных пределов.
1).
Второй замечательный предел
(
)
1 0
lim 1
x
x
x
e
→
+
=
► В теореме 2.4.1. было доказано, что для любой бесконечно малой чи- словой последовательности
{ }
n
x будет верно равенство
(
)
1
lim 1
n
x
n
n
x
e
→∞
+
= . То- гда требуемое утверждение следует из определения предела по Гейне. ◄
2).
(
)
0
ln 1
lim
1
x
x
x
→
+
=

123
► Функция
(
)
ln 1 x
x
+
не определена в точке
0
x
= , но мы можем исполь- зовать свойство сложной функции при условии, что
( )
f t непрерывна:
( )
(
)
( )
0 0
lim lim
x x
x x
f g x
f
g x
→
→
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
Используя непрерывность логарифмической функции, получим
(
)
(
)
(
)
1 1
0 0
0
ln 1
lim lim ln 1
ln lim 1
ln
1
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
→
→
→
+
⎛
⎞
=
+
=
+
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. ◄
Следствие.
(
)
0
log 1 1
lim ln
a
x
x
x
a
→
+
=
►
(
)
(
)
(
)
0 0
0
log 1
ln 1
ln 1 1
1
lim lim lim ln ln ln
a
x
x
x
x
x
x
x
x a
a
x
a
→
→
→
+
+
+
=
=
⋅
=
. ◄
3).
0 1
lim
1
x
x
e
x
→
−
= .
► Пусть
1
x
e
y
− = . Тогда
(
)
ln 1
x
y
=
+
. Заметим также, что утверждение
0
x
→ равносильно утверждению
0
y
→ . Поэтому
(
)
0 0
1
lim lim
1
ln 1
x
x
y
e
y
x
y
→
→
−
=
=
+
◄
Следствие.
0 1
lim ln ,
0,
1
x
x
a
a a
a
x
→
−
=
>
≠ .
► ln
0 0
0 1
1 1
lim lim ln ln lim ln ln
x
x a
y
x
x
y
a
e
e
a
a
a
x
x a
y
→
→
→
⎛
⎞
−
−
−
=
⋅
=
⋅
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. Здесь положено
0
ln
0
x
y x a
→
=
→
. ◄
4).
(
)
0 1
1
lim
s
x
x
s
x
→
+
−
= .
►
(
)
( )
(
)
(
)
( )
(
)
(
)
ln 1
ln 1 0
0 0
0 1
1
ln 1
ln 1 1
1
lim lim lim lim ln 1
ln 1
s
s
x
s
x
x
x
x
x
x
s
x
x
e
e
s
s
x
s
x
x
s
x
x
+
+
→
→
→
→
⎛
⎞
+
−
+
+
−
−
=
⋅
= ⋅
⋅
=
⎜
⎟
⎜
⎟
+
+
⎝
⎠
◄

124
§ 6 Сравнение функций. Символы Ландау
6.1. Сравнение функций
Определение 3.6.1.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x определены в некоторой про-
колотой окрестности
( )
0
o
U x точки
0
x . Будем говорить, что функция
( )
( )
(
)
f x
O g x
=
(читается: функция
( )
f x есть
О большое
от функции
( )
g x )
при x , стремящемся к
0
x , если существует функция
( )
h x , определенная в той
же окрестности точки
0
x такая, что
( )
0
o
x U x
∀ ∈
выполняется равенство
( ) ( ) ( )
f x
h x g x
=
⋅
и
( )
h x
C
≤ .
Пример 1.
( )
2
x
x O
x
+
=
при
0
x
→ .
☺
(
)
2 1 2
x
x
x
x
+
=
+
и в окрестности нуля функция
( )
1 2
h x
x
= +
ограничена. ☻
Пример 2.
( )
2
x
x O x
+
=
при x
→ ∞ .
☺
1 2
2
x
x x
x
⎛
⎞
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
. При x
→ ∞ сумма
1 2
x
+
будет ограниченной.☻
Пример 3.
( )
1
sin
x
O x
x
=
при
0
x
→ .
☺
( )
1
sin
h x
x
=
ограничена. ☻
Замечание.
Равенство
( )
( )
1
f x
O
=
при
0
x
x
→ означает, что функция
( )
f x
ограничена в некоторой проколотой окрестности точки
0
x .
Если
( )
( )
(
)
f x
O g x
=
и
( )
( )
(
)
g x
O f x
=
при
0
x
x
→ , то говорят, что функции
( )
f x и
( )
g x
одного порядка
Теорема 3.6.1.
Если существует конечный, не равный нулю предел
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
,
то функции
( )
f x и
( )
g x одного порядка при
0
x
x
→ .
► Обозначим
( )
( )
( )
f x
h x
g x
=
. Так как существует конечный предел
( )
( )
0
lim
x x
f x
g x
→
, то в некоторой проколотой окрестности точки
0
x функция
( )
h x ог- раничена. ◄
Определение 3.6.2.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x определены в некоторой про-
колотой окрестности
( )
0
o
U x точки
0
x . Будем говорить, что функция
( )
f x

125
есть
бесконечно малая по сравнению с
функцией
( )
g x при
0
x
x
→ , если суще-
ствует функция
( )
h x , определенная в той же окрестности точки
0
x такая,
что
( )
0
o
x U x
∀ ∈
выполняется равенство
( ) ( ) ( )
f x
h x g x
=
⋅
и
( )
0
lim
0
x x
h x
→
= .
Если данное определение выполнено, то пишут:
( )
( )
(
)
0
,
f x
o g x
x
x
=
→
(читается:
( )
f x есть
о малое
от
( )
g x при x , стремящемся к
0
x ).
Если
( )
g x бесконечно малая, то
( )
f x тоже бесконечно малая и говорят, что
( )
f x
бесконечно малая более высокого порядка
, чем
( )
g x .
Пример 4.
( )
2 3
2
,
x
x o x
x
+
=
→ ∞ .
Пример 5.
( )
2
,
0
x
o x
x
=
→
Пример 6.
( )
2 1
sin sin
,
0
x
o x
x
x
⋅
=
→ .
Замечание.
Символы
( )
(
)
O g x и
( )
(
)
o g x при
0
x
x
→ означают не конкретную
функцию, а класс функций и равенство
( )
( )
(
)
f x
o g x
=
означает только, что
функция
( )
f x принадлежит этому классу. Например, запись
( )
2
x
o x
=
озна-
чает, что
2
x при
0
x
→ является бесконечно малой функцией более высокого
порядка, по сравнению с функцией x .
Поэтому равенство
( )
( )
(
)
f x
o g x
=
нельзя понимать как обычное равен- ство, в частности нельзя читать это равенство справа налево.
Пример 7.
Утверждение
( )
(
)
( )
(
)
o f x
O f x
=
- верно, а
( )
(
)
( )
(
)
O f x
o f x
=
- не- верно.
Символы O и o были введены академиком Ландау и их называют
симво-
лами Ландау.
Отметим несколько важных для нас свойств символа o (будем считать, что
0
x
x
→ ).
( ) ( )
( ) ( ) (
)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( ) ( )
( )
(
)
( )
1 1
,
,
,
,
,
k
m
k m
k
k
k
k
k
k
o Cf
o f
o f
o f
o f
k
m
C o f
o f
f
o f
o f
k
o f
o f
o f
o f
o f
k
o f
o o f
o f
o f
k
f
o f
o f
o f
+
+
−
=
⋅
=
∈
∈
⋅
=
⋅
=
∈
+
=
=
∈
=
=
∈
+
=
1.
6.
2.
7.
3.
8.
4.
9.
5.
►Докажем, например, четвертое из этих свойств.

126
Возьмем какую-нибудь функцию
( )
( )
(
)
g x
o o f
=
и какую-нибудь функ- цию
( ) ( )
1
g x
o f
=
. Это означает, что в некоторой проколотой окрестности точ- ки
0
x выполнены соотношения
( )
( ) ( )
1
g x
x g x
α
=
⋅
и
( )
( ) ( )
1
g x
x
f x
β
=
⋅
, где
( )
( )
0 0
lim lim
0
x x
x x
x
x
α
β
→
→
=
= .
Тогда
( )
( ) ( )
(
)
( )
g x
x
x
f x
α
β
=
⋅
⋅
, где
( )
( ) ( )
0
h x
x
x
α
β
=
⋅
→ , что означает, что
( ) ( )
g x
o f
=
Остальные свойства доказываются аналогично. ◄
6.2. Эквивалентность функций
Определение 3.6.3.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x определены в некоторой про-
колотой окрестности
( )
0
o
U x точки
0
x . Будем говорить, что функция
( )
f x
эквивалентна
функции
( )
g x при
0
x
x
→ , если существует функция
( )
h x , оп-
ределенная в той же окрестности точки
0
x такая, что
( )
0
o
x U x
∀ ∈
выполня-
ется равенство
( ) ( ) ( )
f x
h x g x
=
⋅
и
( )
0
lim
1
x x
h x
→
=
.
Эквивалентные функции обозначают символом f
g
∼
при
0
x
x
→ .
Замечания
1.
Эквивалентные функции являются функциями одного порядка.
2.
Отношение эквивалентности обладает свойствами
a) f
f
∼
(рефлексивность);
б) f
g
g
f
⇔
∼
∼
(симметричность);
в)
,
f
g g h
f
h
⇒
∼
∼
∼
(транзитивность).
Используя пределы, найденные в §5, запишем таблицу некоторых эквива- лентных функций, которая нам понадобится для вычисления различных преде- лов. При
0
t
→ выполнены соотношения
(
)
(
)
(
)
2
sin
1
arcsin
1
ln tg ln 1
arctg log 1
ln
1 cos
1 1
2
t
t
a
s
t t
e
t
t t
a
t a
t t
t
t
t
t t
t
a
t
t
t
st
−
−
+
+
−
+
−
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
∼
Доказательства этих соотношений предоставляем читателю.
Теорема 3.6.2.
Если при
0
x
x
→ выполнено
1
f
f
∼
и
1
g
g
∼
, то
1) если существует
(
)
0 1
1
lim
x x
f g
→
⋅
, то
(
)
(
)
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
f g
f g
→
→
⋅
=
⋅
и

127
2) если существует
0 1
1
lim
x x
f
g
→
, то
0 0
1 1
lim lim
x x
x x
f
f
g
g
→
→
=
.
►По условию теоремы в некоторой окрестности точки
0
x будет выпол- нено
( )
( ) ( )
1 1
f x
f x h x
=
и
( )
( ) ( )
1 2
g x
g x h x
=
, где
( )
( )
0 0
1 2
lim lim
1
x x
x x
h x
h x
→
→
=
=
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0 0
0 0
0 1
1 1
2 1
1 1
2 1
1
lim lim lim lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
f g
f h g h
f g
h h
f g
→
→
→
→
→
⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
и
0 0
0 0
0 1
1 1
1 1
1 2
1 2
1
lim lim lim lim lim
x x
x x
x x
x x
x x
f
f h
f
h
f
g
g h
g
h
g
→
→
→
→
→
⋅
=
=
⋅
=
⋅
. ◄
Теорема 3.6.3 (Критерий эквивалентности функций)
Две функции
( )
f x и
( )
g x эквивалентны при
0
x
x
→ тогда и только то-
гда, когда при
0
x
x
→ справедливо равенство
( )
( )
( )
(
)
f x
g x
o g x
=
+
.
► Пусть f
g
∼
при
0
x
x
→ . Тогда в некоторой окрестности точки
0
x справедливо равенство
( )
( ) ( )
f x
g x h x
=
⋅
, где
( )
0
lim
1
x x
h x
→
= . Отсюда получим
( )
( )
( )
( )
(
)
1
f x
g x
g x
h x
−
=
−
. Так как
( )
(
)
0
lim 1 0
x x
h x
→
−
= , то
( )
f
g o g
− =
Обратно, пусть
( )
( )
( )
(
)
f x
g x
o g x
=
+
при
0
x
x
→ . Тогда в некоторой ок- рестности точки
0
x будет
( )
( )
( ) ( )
f x
g x
g x
x
α
−
=
, где
( )
0
lim
0
x x
x
α
→
= . Отсюда
( )
( )
( )
(
)
1
f x
g x
x
α
=
+
или
( )
( ) ( )
f x
g x h x
=
⋅
, где
( )
( )
1
h x
x
α
= +
и
( )
0
lim
1
x x
h x
→
=
Это означает, что f
g
∼
. ◄
Используя последнюю теорему, перепишем таблицу эквивалентов сле- дующим образом:
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
2 2
sin
1
arcsin
1
ln tg ln 1
arctg log 1
ln cos
1 1
1 2
t
t
a
s
t t o t
e
t o t
t t o t
a
t a o t
t t o t
t
t o t
t
t t o t
t
o t
a
t
t
o t
t
st o t
= +
− = +
= +
− =
+
= +
+ = +
= +
+ =
+
= −
+
+
− = +
Покажем, как можно применять эти соотношения на практике для вычис- ления пределов.

128
Пример 8.
Вычислить
2 3
0
cos sin 2 ln 1 1
2
lim
1
x
x
x
x
x
e
→
⎛
⎞
−
⋅
−
−
⎜
⎟
⎝
⎠
−
☺ Используя таблицу эквивалентов и свойства
( )
k
o x , запишем
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
3 3
2 2
36 1
36 36
cos6 1
1 2
3 2
2 1 6
,
x
x
x
x
o x
o x
o
o x
x
o x
⎛
⎞
⎛
⎞
=
−
+
= − ⋅
+
+
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
= −
+
( )
(
)
( )
( )
2 2
sin 2 ln 1 2
2 2
x
x
x
x o x
o x
x
o x
⎛
⎞
⎛
⎞
−
=
+
− +
= − +
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
,
( )
2 2
2 1
x
e
x
o x
− =
+
Отсюда, используя то, что
( )
2 2
0
lim
0
x
o x
x
→
= , получим
( )
( )
2 3
2 2
2 2
2 0
0
cos sin 2 ln 1 1
1 6 1
2
lim lim
1
x
x
x
x
x
x
x
x
o x
x
o x
e
→
→
⎛
⎞
−
⋅
−
−
⎜
⎟
−
+
+
−
⎝
⎠
=
=
+
−
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 0
0 2
5 5
lim lim
5 1
x
x
o x
x
o x
x
x
o x
o x
x
→
→
− +
−
+
=
=
= −
+
+
. ☻

129