Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика

• Название: Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
• Дата: 02.09.2022
• Размер: 2.13 Mb.
• Имя файла: Математический анализ_курс лекций.pdf
• Тип: Курс лекций; #659441
• страница: 15 из 16

§6 Правило Лопиталя
Докажем несколько теорем, которые объединяются под общим названием
«
правило Лопиталя
» и которые позволяют находить пределы частного.
6.1. Неопределенность вида
0 0
Теорема 4.6.1.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x
1) определены на промежутке
[ ]
,
a b ;
2)
( )
( )
0
f a
g a
=
= ;
3) существуют правосторонние производные
( )
f a
′
и
( )
g a
′
, причем
( )
0
g a
′
≠ .
Тогда существует
( )
( )
( )
( )
0
lim
x a
f x
f a
g x
g a
→ +
′
=
′
.
► Так как существуют правосторонние производные функций
( )
f x и
( )
g x в точке x a
= , то для x a
> справедлива формула Тейлора при
1
n
= , кото- рая будет иметь вид:
( )
( )(
) (
)
( )
( )(
) (
)
,
f x
f a x a
o x a
g x
g a x a
o x a
′
′
=
−
+
−
=
−
+
−
Тогда
( )
( )
( )(
) (
)
( )(
) (
)
( ) (
)
( ) (
)
( )
( )
0 0
0
lim lim lim
x a
x a
x a
o x a
f a
f x
f a x a
o x a
f a
x a
o x a
g x
g a x a
o x a
g a
g a
x a
→ +
→ +
→ +
−
′
+
′
′
−
+
−
−
=
=
=
−
′
′
−
+
−
′
+
−
◄
Замечание.
Аналогично можно доказать, что, если функции
( )
f x и
( )
g x
имеют n производных в точке x a
= ,
( )
( )
( )
( )
1 0
n
f a
f a
f
a
−
′
=
= =
=
,
( )
( )
( )
( )
1 0
n
g a
g a
g
a
−
′
=
= =
= и
( )
( )
0
n
g
a
≠ , то
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0
lim
n
n
x a
f x
f
a
g x
g
a
→ +
=
.
Теорема 4.6.2.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x
1) определены на промежутке
( )
,
a b ;
2)
( )
( )
0 0
lim lim
0
x a
x a
f x
g x
→ +
→ +
=
= ;
3) на промежутке
( )
,
a b существуют производные
( )
f x
′
и
( )
g x
′
, при-
чем
( )
0
g x
′
≠ ;
4) существует
( )
( )
0
lim
x a
f x
A
g x
→ +
′
=
′
(конечный или бесконечный).
Тогда существует
( )
( )
0
lim
x a
f x
A
g x
→ +
= .

157
► Доопределим функции
( )
f x и
( )
g x , полагая
( )
( )
0
f a
g a
=
= , и возь- мем некоторое значение
( )
,
x
a b
∈
. Тогда на промежутке
[ ]
,
a x для данных функций выполнены все условия теоремы 4.4.4 (Коши) и
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
f x
f x
f a
f c
g x
g x
g a
g c
′
−
=
=
′
−
, где a c x
< < .
Если
0
x
a
→ + , то и
0
c
a
→ + , поэтому
( )
( )
( )
( )
0 0
lim lim
x a
c a
f x
f c
A
g x
g c
→ +
→ +
′
=
=
′
. ◄
Замечания
1.
Аналогично можно доказать, что при очевидных изменениях в условиях тео-
ремы 4.6. 1 будет выполнено
( )
( )
( )
( )
0
lim
x a
f x
f a
g x
g a
→ −
′
=
′
или
( )
( )
( )
( )
lim
x a
f x
f a
g x
g a
→
′
=
′
, а в тео-
реме 4.6.2
( )
( )
0
lim
x a
f x
A
g x
→ −
= или
( )
( )
lim
x a
f x
A
g x
→
= .
2.
Теорема 4.6.2 будет верна и в случае, если a
= +∞ или a = −∞ . Для доказа-
тельства нужно сделать замену переменной по формуле
1
x
t
= .
6.2. Неопределенность вида
∞
∞
Теорема 4.6.3.
Пусть функции
( )
f x и
( )
g x определены и дифференцируемы
на промежутке
(
)
,
a
+∞ , причем
( )
0
g x
′
≠ на этом промежутке. Допустим
также, что
( )
( )
lim lim
x
x
f x
g x
→+∞
→+∞
=
= ∞ и существует конечный
( )
( )
lim
x
f x
A
g x
→+∞
′
=
′
.
Тогда существует
( )
( )
lim
x
f x
A
g x
→+∞
= .
► Найдем
1
a
σ
> такое, чтобы
1
x
σ
∀ > выполнялись неравенства
( )
1
f x
> и
( )
1
g x
> . Тогда
1
x
σ
∀ > будет
( )
0
f x
≠ и
( )
0
g x
≠ .
Затем возьмем некоторое число
0
ε
> и найдем
2
a
σ
> такое, чтобы
2
x
σ
∀ >
было выполнено
( )
( )
2 2
f x
A
A
g x
ε
ε
′
− <
< +
′
Тогда для всех
(
)
1 2
max
,
x
σ
σ σ
> =
будут выполнены все вышеперечис- ленные условия.

158
Фиксируем некоторое число
0
x
σ
> и возьмем
0
x x
> . Тогда на промежут- ке
[
]
0
,
x x для данных функций выполнены условия теоремы 4.4.4 (Коши). Сле- довательно, существует число
(
)
0
,
c
x x
∈
такое, что
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
f x
f x
f c
g x
g x
g c
′
−
=
′
−
Преобразуем левую часть этого равенства следующим образом:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
1 1
f x
f x
f x
f x
f x
g x
g x
g x
g x
g x
−
−
=
⋅
−
−
. Так как точка
0
x фиксирована, то будет вы- полнено
( )
( )
( )
( )
0 0
lim lim
0
x
x
f x
g x
f x
g x
→+∞
→+∞
=
= и, следовательно,
( )
( )
( )
( )
0 0
1
lim
1 1
x
f x
f x
g x
g x
→+∞
−
=
−
, и то- гда
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
1 1
1
g x
g x
x
f x
f x
α
−
= +
−
, где
( )
0
x
α
→ при
x
→ +∞
. Тогда можно найти чис- ло
0 0
x
σ
>
такое, что если
0
x
σ
>
, то
( )
2 2
x
A
ε
α
ε
<
+
. Теперь можно оценить ча- стное
( )
( )
f x
g x
Сначала преобразуем его следующим образом:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
0 0
1 1
f c
x
f x
f x
f x
x
g x
g x
g x
g c
α
α
′
+
−
=
⋅ +
=
′
−
. Оценим полученную дробь при
0
x
σ
>
сверху:
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
1 1
2 2
2 2
2
f c
x
A
x
A
A
x
A
A
g c
α
ε
ε
ε
ε
ε
α
α
ε
′
+
⎛
⎞
⎛
⎞
<
+
+
≤ + +
+
< +
+
= +
⎜
⎟
⎜
⎟
′
⎝
⎠
⎝
⎠
и снизу:
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
1 1
2 2
2 2
2
f c
x
A
x
A
A
x
g c
A
A
x
A
α
ε
ε
ε
α
α
ε
ε α
ε
′
+
⎛
⎞
⎛
⎞
>
−
+
> − −
−
≥
⎜
⎟
⎜
⎟
′
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
≥ − −
+
> −
⎜
⎟
⎝
⎠

159
Таким образом, по
0
ε
> мы нашли
0
σ
такое, что если
0
x
σ
>
, то выпол- няется неравенство
( )
( )
f x
A
A
g x
ε
ε
− <
< + , что означает, что
( )
( )
lim
x
f x
A
g x
→+∞
= . ◄
Замечания
1.
Теорема 4.6.3 верна и тогда, когда x
→ −∞ .
2.
Теорема 4.6.3 верна и тогда, когда x
a
→ , где a - конечная точка и когда
A
= +∞ или A = −∞ .
3.
В теореме 4.6.3 можно потребовать только чтобы
( )
lim
x
g x
→+∞
= ∞ , не на-
кладывая такого же условия на функцию
( )
f x . Тогда, если существует конеч-
ный или определенного знака бесконечный
( )
( )
lim
x
f x
A
g x
→+∞
′
=
′
, то существует
( )
( )
lim
x
f x
A
g x
→+∞
= .
4.
В теоремах §6 нельзя опустить условие существования
( )
( )
lim
x a
f x
g x
→
′
′
. Напри-
мер,
sin lim sin
x
x
x
x
x
→∞
−
+
нельзя вычислить с помощью правила Лопиталя, так как не
существует
(
)
(
)
sin
1 cos lim lim
1 cos sin
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
′
−
−
=
+
′
+
. Такой предел легко вычислить с по-
мощью теории бесконечно малых функций:
sin
1
sin lim lim
1
sin sin
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
→∞
→∞
−
−
=
=
+
+
.
§7 Исследование функций с помощью пределов и производных
7.1. Исследование функции на монотонность
Теорема 4.7.1.
Пусть функция
( )
f x дифференцируема на промежутке
( )
,
a b .
Тогда для того, чтобы
( )
f x возрастала на всем промежутке, необходимо и
достаточно, чтобы
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′
≥
∈
, и для того, чтобы функция убывала
на
( )
,
a b , необходимо и достаточно, чтобы
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′
≤
∈
.
► Необходимость. Пусть функция возрастает на
( )
,
a b . Возьмем точку
( )
0
,
x
a b
∈
и приращение x
∆ такое, чтобы
( )
0
,
x
x
a b
+ ∆ ∈
. Тогда, если
0
x
∆ > , то
(
)
( )
0 0
0
f x
x
f x
x
+ ∆ −
≥
∆
, так как числитель и знаменатель этой дроби неотрица-

160 тельны, и, если
0
x
∆ < , то
(
)
( )
0 0
0
f x
x
f x
x
+ ∆ −
≥
∆
, так как числитель и знамена- тель неположительны. Следовательно,
( )
(
)
( )
(
)
( )
0 0
0 0
0 0 0 0 0
lim lim
0
x
x
f x
x
f x
f x
x
f x
f x
x
x
∆ → +
∆ → −
+ ∆ −
+ ∆ −
′
=
=
≥
∆
∆
Достаточность. Пусть
( )
0
f x
′
≥ на
( )
,
a b . Возьмем два значения аргумен- та
( )
1 2
,
,
x x
a b
∈
, причем
1 2
x
x
<
. Тогда на промежутке
[
]
1 2
,
x x выполнены все условия теоремы 4.4.3 (Лагранжа) и
( )
( )
( )(
)
2 1
2 1
f x
f x
f c x
x
′
−
=
−
, где
1 2
x
c x
< <
. Так как
( )
0
f c
′
≥ то
( )
( )
2 1
0
f x
f x
−
≥ , следовательно, на промежут- ке
( )
,
a b функция
( )
f x возрастает.
Аналогично рассматривается убывание функции. ◄
Замечания
1.
Если функция
( )
f x непрерывна на промежутке
[ ]
,
a b , дифференцируема на
( )
,
a b и для всех
( )
,
x
a b
∈
справедливо неравенство
( )
0
f x
′
≥
( )
(
)
0
f x
′
≤ , то
функция возрастает (убывает) на
[ ]
,
a b .
2.
Если в каждой точке
( )
,
a b выполняется неравенство
( )
0
f x
′
>
( )
(
)
0
f x
′
< ,
то функция строго возрастает (убывает) на
( )
,
a b .
Это условие является только необходимым условием строгой монотонно- сти, например, функция
( )
3
f x
x
= строго возрастает на всей вещественной оси, но ее производная в точке
0
x
= обращается в нуль.
3.
Теорема 4.7.1 остается верна, когда функция непрерывна на промежутке
( )
,
a b , но в некоторых точках этого промежутка ее производная бесконечна,
оставаясь при этом определенного знака. Например, функция
( )
3
f x
x
=
стро-
го возрастает на всей вещественной оси, но не имеет конечной производной в
точке
0
x
= .
Из вышеизложенного следует, что для того, чтобы исследовать функцию на монотонность, нужно разделить область определения функции на части точ- ками, где производная обращается в нуль или где она не существует (конечная).
Такие точки называют критическими точками. Точки, где производная равна нулю, называются стационарными точками. Обращаем внимание читателя на то, что эти точки должны принадлежать области определения функции.

161
Пример 1.
Исследовать на монотонность функцию
( )
(
)
2 3
2 3
4
x
f x
x
−
=
−
☺ Область определения этой функции
( ) {
}
|
2
D f
x x
=
≠ ± . Найдем произ- водную этой функции
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 3
3 1
4 4
4 18 8
2 3
3 4
3 3
4
x
x
x
x
f x
x
x
x
x
−
−
−
−
+
−
′
=
=
−
−
−
−
Критическими точками этой функции будут
1 4,
2
x
x
=
=
- стационарные точки, т.е. точки, где производная равна нулю, и
3
x
= - критическая точка, в которой не существует конечной производной. Точки
2
x
= ± не являются кри- тическими, так как не входят в область определения функции.
Изобразим на числовой оси область определения функции и все критиче- ские точки. Получим ряд промежутков, на каждом из которых исследуем про- изводную на знак. По этому знаку определим направление монотонности функ- ции.
Ответ: функция возрастает на каждом из промежутков
(
)
(
[ ]
1
, 2 ,
2,
, 3,4 2
⎤
−∞ −
−
⎦
и убывает на каждом из промежутков
)
(
] [
)
1 ,2 , 2,3 , 4,
2
⎡
+∞
⎣
7.2. Экстремумы функции
Понятие экстремума было введено в §4. Там же была доказана теорема
4.4.1 (Ферма), которая дает необходимое условие экстремума дифференцируе- мой функции: если функция дифференцируема в точке и имеет экстремум в
этой точке, то ее производная в этой точке равна нулю. Это условие является только необходимым, но не достаточным. Примером тому служит функция
( )
3
f x
x
=
, производная которой равна нулю в точке
0
x
= , но которая не имеет экстремума в этой точке.
Теорема 4.7.2 (первое достаточное условие экстремума)
Пусть функция определена в точке
0
x x
= и в некоторой ее окрестности
(
)
0 0
,
x
x
δ
δ
−
+
и возрастает на промежутке
(
]
0 0
,
x
x
δ
−
и убывает на проме-
жутке
[
)
0 0
,
x x
δ
+
, то в точке
0
x x
= функция имеет максимум.
Аналогично, если функция убывает на промежутке
(
]
0 0
,
x
x
δ
−
и возрас-
тает на промежутке
[
)
0 0
,
x x
δ
+
, то в точке
0
x x
= функция имеет минимум.
► Допустим, что функция возрастает на промежутке
(
]
0 0
,
x
x
δ
−
и убыва- ет на промежутке
[
)
0 0
,
x x
δ
+

162
Тогда, если
(
]
0 0
,
x
x
x
δ
∈
−
, то
( )
( )
0
f x
f x
≥
, и, если
[
)
0 0
,
x
x x
δ
∈
+
, то
( )
( )
0
f x
f x
≥
, т.е. для всех
(
)
0 0
,
x
x
x
δ
δ
∈
−
+
выполняется неравенство
( )
( )
0
f x
f x
≥
. Это означает, что точка
0
x x
= является точкой максимума.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично. ◄
Следствие.
Если функция непрерывна в точке
0
x и дифференцируема в
( )
0
o
U
x
δ
- проколотой окрестности точки
0
x , причем
( )
0
f x
′
≥ на промежутке
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
и
( )
0
f x
′
≤ на промежутке
(
)
0 0
,
x x
δ
+
, то в точке
0
x функция
имеет максимум.
Аналогично, функция непрерывная в точке
0
x и дифференцируемая в
( )
0
o
U
x
δ
, имеет минимум в точке
0
x , если
( )
0
f x
′
≤ на промежутке
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
и
( )
0
f x
′
≥ на промежутке
(
)
0 0
,
x x
δ
+
.
Доказательство очевидно следует из теоремы 4.7.2 и критерия монотон- ности функции.
Замечания
1.
Если в теореме 4.7.2 или следствии предпо-
ложить строгую монотонность функции, то
получим строгий экстремум.
2.
Если отказаться от условия непрерывности
функции в точке
0
x , то теорема перестает
быть верной. Пример такой функции изобра-
жен на рисунке.
3.
Условия, сформулированные в теореме (след-
ствии), являются только достаточными, но не
являются необходимыми.
Пример 2.
На рисунке изображен график функции, которая в точке
0
x имеет экстремум
(максимум), но характер монотонности при пе- реходе через эту точку не меняется.
Пример 3.
Функция
( )
2 1
2 cos
,
0,
0,
0
x
x
f x
x
x
⎧ ⎛
⎞
+
≠
⎪ ⎜
⎟
=
⎝
⎠
⎨
⎪
=
⎩
будет иметь минимум в точке
0
x
= , так как
( )
0
f x
≥ , но знак ее производной, равной

163 1
1 2
2 cos sin
x
x
x
⎛
⎞
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
, в достаточно малой окрестности нуля будет определяться слагаемым
1
sin
x
и, следовательно, будет меняться бесконечное число раз.
4.
Если
( )
0
f x
′
≥ на промежутке
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
и
( )
0
f x
′
≤ на промежутке
(
)
0 0
,
x x
δ
+
, то будем говорить, что в точке
0
x производная
( )
f x
′
меняет
знак с «+» на «-» и наоборот, если
( )
0
f x
′
≤ на промежутке
(
)
0 0
,
x
x
δ
−
и
( )
0
f x
′
≥ на промежутке
(
)
0 0
,
x x
δ
+
, то будем говорить, что в точке
0
x про-
изводная меняет знак с «-» на «+».
Очевидно, что точки, в которых производная может менять знак, – это критические точки функции, поэтому для исследования функции на экстремум находят критические точки и смотрят, как меняется знак производной.
Вернемся к примеру 1. В точке
1 2
x
= производная меняет знак с «+» на «-», следовательно, в этой точке функция имеет мак- симум. Отметим, что эта точка является стационарной, т.е. про- изводная в ней равна нулю, по- этому касательная к графику функции параллельна оси абс- цисс. Такой экстремум будем на- зывать
гладким.
В точке
3
x
= производная меняет знак с «-» на «+», поэтому в этой точке функция имеет ми- нимум, но производная в этой точке бесконечна, т.е. касатель- ная к графику параллельна оси ординат. График функции приве- ден справа.
Экстремумы подобного рода (т.е. в точках, где не существует конечной производной) будем называть
острыми
Теорема 4.7.3
(Второе достаточное условие экстремума)
Пусть
0
x - стационарная точка функции
( )
f x и пусть существует
( )
0
f x
′′
. Тогда
a) если
( )
0 0
f x
′′
> , то
0
x - точка строгого минимума функции, и,
б) если
( )
0 0
f x
′′
< , то
0
x - точка строгого максимума функции.

164
► Если в точке
0
x существует
( )
0
f x
′′
, то можно написать формулу Тей- лора
( )
( )
( )(
)
( )(
)
(
)
(
)
2 2
0 0
0 0
0 0
0
,
1!
2!
f x
f x
f x
f x
x x
x x
o x x
x
x
′
′′
=
+
−
+
−
+
−
→
Так как
( )
0 0
f x
′
= , а
( )
0 0
f x
′′
≠ , то последнее равенство можно переписать в виде
( )
( )
( )(
)
( )
(
)
2 0
0 0
1 2!
f x
f x
f x
x x
x
α
′′
=
+
−
+
, где
( )
0
x
α
→ при
0
x
x
→ . Най- дем
0
δ
> такое, чтобы для всех
( )
0
x U x
δ
∈
выполнялось неравенство
( )
1 2
x
α
< , тогда для этих значений x будет верно
( )
1 0
x
α
+
> и, таким обра- зом, знак разности
( )
( )
0
f x
f x
−
будет совпадать со знаком
( )
0
f x
′′
. Следова- тельно, если
( )
0 0
f x
′′
> , то
( )
( )
0
f x
f x
>
, и
0
x - точка минимума, и, если
( )
0 0
f x
′′
< , то
( )
( )
0
f x
f x
<
, и
0
x - точка максимума. ◄
Замечание.
Аналогично можно доказать, что, если существует
( )
( )
0
n
f
x
и
( )
( )
( )
( )
1 0
0 0
0
n
f x
f x
f
x
−
′
′′
=
= =
=
, но
( )
( )
0 0
n
f
x
≠
, то,
a) если n - нечетное, то точка
0
x не является экстремумом, и,
b) если n - четное, то в точке
0
x функция имеет экстремум, причем, ес-
ли
( )
( )
0 0
n
f
x
>
, то минимум, и, если
( )
( )
0 0
n
f
x
<
, то максимум.
7.3. Наибольшее и наименьшее значения функции
Пусть функция задана на промежутке
[ ]
,
a b и непрерывна на нем. Тогда, согласно второй теореме Вейерштрасса (теорема 4.4.5), она достигает там сво- его наибольшего и наименьшего значений. Очевидно, что эти значения могут не совпадать с экстремальными значениями. Поэтому экстремальные значения часто называют
локальными экстремумами
функции, т.е.
локальным макси-
мумом
или
локальным минимумом
Часто возникают задачи, в которых нужно найти наибольшее и (или) наименьшее значения функции на некотором промежутке. Если этот промежу- ток замкнутый, функция на нем непрерывна, имеет конечную или бесконечную производную и промежуток можно разбить на конечное число частей, на каж- дой из которых производная сохраняет постоянный знак, то пользуются сле- дующим правилом нахождения наибольшего и наименьшего значений функ- ции: Находим критические точки функции на этом промежутке, вычисляем значения функции в критических точках и на концах этого промежутка. Тогда самое большое из вычисленных значений будет наибольшим, а самое малень- кое – наименьшим значениями функции на этом промежутке.

165
Пример 4.
В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник так, что основание прямоугольника лежит на основании треугольника, а две его другие вершины лежат на боковых сторонах треугольника. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади.
☺ Пусть
,
PQ x MP y
=
= . Тогда пло- щадь прямоугольника S
xy
=
. Из подобия треугольников ABC и MBN получим про- порцию
AC
BE
MN
BF
=
или
a
h
x
h y
=
−
, откуда можно выразить x :
(
)
a h y
x
h
−
=
Тогда площадь прямоугольника будет задана, как функция аргумента
y :
( )
(
)
a
S y
h y y
h
=
−
, заданная на отрезке
[ ]
0,
y
h
∈
. Найдем производную этой функции
( )
(
)
2
a
S y
h
y
h
′
=
−
На промежутке
[ ]
0,h существует одна стационарная точка функции
2
h
y
= , в которой значение функции равно
4
ah
. Значения функции на концах промежутка
( )
( )
0 0
S
S h
=
= . Следовательно, наибольшее значение функции равно
4
ah
, когда высота прямоугольника
2
h
y
=
, а длина его основания равна
2
a
x
= . ☻
7.4. Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба
Определение 4.7.1.
Пусть функция
( )
f x определена на промежутке
( )
,
a b .
Будем говорить, что она
выпукла вниз
(
выпукла
) на этом промежутке, если
для любых
( )
1 2
,
,
x x
a b
∈
выполнено неравенство
( )
( )
(
)
1 2
1 2
1 2
2
x
x
f
f x
f x
+
⎛
⎞ ≤
+
⎜
⎟
⎝
⎠
и
выпукла вверх
(
вогнута
), если для любых
( )
1 2
,
,
x x
a b
∈
выполнено неравенст-
во
( )
( )
(
)
1 2
1 2
1 2
2
x
x
f
f x
f x
+
⎛
⎞ ≥
+
⎜
⎟
⎝
⎠
.

166
Рассмотрим график функции
( )
f x на промежутке
( )
,
a b . Возьмем две точки на этом графике с абсциссами
1
x и
2
x . Тогда
1 2
2
x
x
f
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
- значение функции в точке
1 2
2
x
x
x
+
=
, которая является серединой от- резка
[
]
1 2
,
x x , а
( )
( )
(
)
1 2
1 2
f x
f x
+
- ордината середины хорды, соединяющей точки графи- ка
( )
(
)
1 1
1
,
M x f x
и
( )
(
)
2 2
2
,
M x f x
. Таким об- разом, выпуклость функции вниз означает, что для любых точек
1
M и
2
M , лежащих на графике функции, середина хорды
1 2
M M бу- дет лежать не ниже точки графика
1 2
1 2
0
,
2 2
x
x
x
x
M
f
⎛ +
+
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
, а выпуклость вверх означает, что середина этой хорды лежит не выше точки
0
M .
Если в определении выпуклости поставить строгие неравенства, то гово- рят о
строгой выпуклости
Теорема 4.7.4 (Достаточное условие выпуклости)
Пусть на
( )
,
a b существует
( )
f x
′′
. Тогда, если
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′′
≥
∈
, то
на этом промежутке функции выпукла вниз, и, если
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′′
≤
∈
, то
функция выпукла вверх.
► Пусть
( )
( )
0,
,
f x
x
a b
′′
≥
∈
. Возьмем
( )
1 2
,
,
x x
a b
∈
и предположим, что
1 2
x
x
< . Обозначим
1 2
0 2
x
x
x
+
=
и
0 1
2 0
h x
x
x
x
=
− =
− . Тогда по формуле Тейлора
( )
( )
( )
( )
(
)
0 2
1 1
0 1
1 0
,
,
1!
2!
f x
f c
f x
f x
h
h
c
x x
′
′′
=
−
+
∈
и
( )
( )
( )
( )
(
)
0 2
2 2
0 2
0 2
,
,
1!
2!
f x
f c
f x
f x
h
h
c
x x
′
′′
=
+
+
∈
Складывая эти равенства, получим
( )
( )
( )
( )
( )
(
)
2 1
2 0
1 2
2 2
h
f x
f x
f x
f c
f c
′′
′′
+
=
+
+
. Так как вторая производная функции в любой точке промежутка неотрицательна, то
( )
( )
( )
1 2
0 2
f x
f x
f x
+
≥
, а это означает, что функция выпукла вниз. ◄

167
Замечание.
Если
( )
0
f x
′′
>
( )
(
)
0
f x
′′
< на
( )
,
a b , то функция строго выпукла.
Это условие является только достаточным.
Определение 4.7.2.
Пусть в точке
0
x функция име-
ет первую производную (конечную или бесконеч-
ную). Тогда, если при переходе через эту точку
функция меняет направление выпуклости, то точ-
ка
0
x называется
точкой перегиба
.
Теорема 4.7.5.
Пусть функция в точке
0
x имеет первую производную (конеч-
ную или бесконечную), и при переходе через эту точку ее вторая производная
меняет знак. Тогда точка
0
x - точка перегиба функции.
Доказательство этой теоремы следует из теоремы 4.7.4.
Замечание.
Очевидно, точки перегиба нужно искать в тех точках области
определения функции, где существует первая производная и где вторая произ-
водная обращается в нуль или не существует.
Пример 5.
Исследовать функцию
( ) (
)
3 3 2 2
f x
x
x
=
−
на выпуклость и точки перегиба.
☺ Первая производная этой функции равна
( ) (
) (
)
2 3
2 11 4
3
x
x
f x
x
−
−
′
=
, а вторая
( )
(
)
(
)
2 3
4 2 88 64 8
9
x
x
x
f x
x
−
−
−
′′
=
. Отметим на числовой оси точки, в ко- торых можно ожидать перегиб функции:
1 2
3,4 4 3 3 0,
2,
11
x
x
x
±
=
=
=
и знак второй производной на полученных промежутках.
Получим: функция выпукла вверх на каждом из промежутков
4 3 3 4 3 3
,
,
,2 11 11
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
+
−∞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
и выпукла вниз на каждом из промежутков
(
)
4 3 3 4 3 3
,0 , 0,
, 2,
11 11
⎛
⎞ ⎛
⎞
−
+
+∞
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
. Точками перегиба будут
2
x
= и
4 3 3 11
x
±
=
Примерный вид графика данной функции представлен на рисунке. ☻

168
В заключение приведем свойство выпуклой функции, которое для диф- ференцируемой функции можно положить определением выпуклости.
Теорема 4.7.6.
Пусть функция дважды дифференци-
руема на промежутке
( )
,
a b и
( )
0
f x
′′
≥ . Тогда на
этом промежутке график функции лежит не ниже
касательной, проведенной к этому графику в любой
точке с абсциссой на данном промежутке.
► Пусть
0
x - абсцисса точки графика, в которой проведена касательная. Тогда уравнение этой каса- тельной будет
( )
( )(
)
0 0
0
y
f x
f x
x x
′
=
+
−
Представим функцию по формуле Тейлора в виде
( )
( )
( )(
)
( )(
)
2 0
0 0
0 2
f c
f x
f x
f x
x x
x x
′′
′
=
+
−
+
−
, где c лежит между
x и
0
x .
Тогда
( )
( )
( )(
)
(
)
( )
0 0
0
кас
f x
f x
f x
x x
f x
y
′
−
+
−
=
−
=
( )(
)
2 0
0 2
f c
x x
′′
=
−
≥ . А это означает, что точки графика функции лежат не ниже соответствующих точек касательной. ◄
Аналогично, если
( )
0
f x
′′
≤ , то точки графика будут лежать не выше
соответствующих точек касательной.
Замечания
1.
Можно доказать, что, если функция имеет на промежутке первую конеч-
ную производную, то для ее выпуклости вверх необходимо и достаточно, что-
бы ее график лежал над ее касательной, проведенной в любой точке этого

169
промежутка (или на ней). Аналогично, для выпуклости вниз необходимо и дос-
таточно, чтобы график лежал под такой касательной. (доказательство см. в
[1], т.1)
2.
Из определения точки перегиба следует, что в точке перегиба существует
касательная к графику функции и график лежит по разные стороны от этой
касательной.
7.5. Асимптоты графика функции
Определение 4.7.3.
Пусть функция
( )
f x определена при x
σ
> . Прямая
y kx b
=
+ называется
наклонной асимптотой
графика функции
( )
f x , если
( )
( )
1 ,
f x
kx b o
x
=
+ +
→ ∞ .
Определение 4.7.4.
Прямая
0
x x
= называется
вертикальной асимптотой
функции
( )
f x , если
( )
0
lim
x x
f x
→
= ∞ .
Пример 6.
Найдем асимптоты графика функции
( )
2 2
x
x
f x
x
+
=
−
☺ Выделяя из дроби целую часть, получим
( )
6 3
2
f x
x
x
= + +
−
. Так как
6 0
2
x
→
−
при x
→ ∞ , то прямая
3
y x
= + будет наклонной асимптотой графика данной функции.
Далее,
2 2
lim
2
x
x
x
x
→
+
= ∞
−
, поэтому вертикальная прямая
2
x
= будет вер- тикальной асимптотой графика этой функции. ☻
Для нахождения коэффициентов k и b в уравнении асимптоты можно получить формулы. Для этого сначала равенство
( )
( )
1
f x
kx b o
=
+ +
разделим на x и устремим x к бесконечности. Тогда получим
( )
lim
x
f x
k
x
→∞
=
Теперь перейдем к пределу в разности
( )
( )
1
f x
kx b o
−
= +
. Получим
( )
(
)
lim
x
b
f x
kx
→∞
=
−
Очень часто указанные пределы не существуют, но существуют односто- ронние пределы. Тогда говорят о наклонной асимптоте на
+∞ или
−∞
, или об односторонней вертикальной асимптоте.

170
Пример 7.
Найти асимптоты графика функции
( )
1
x
f x
xe
=
☺ Сначала найдем ее наклонные асимптоты. Используя формулу Тейлора, представим функцию в виде
( )
( )
1 1
1 1
1 1
x
f x
xe
x
o
x
o
x
x
⎛
⎞
⎛ ⎞
=
=
+ +
= + +
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
Следовательно, прямая
1
y x
= + будет на- клонной асимптотой нашей функции.
Вертикальные асимптоты следует ис- кать там, где функция имеет разрыв, т.е. в нашем случае в точке
0
x
= . С помощью правила Лопиталя найдем предел
1 1
2 1
1 0
0 0
0 2
1
,
0 0,
lim lim lim lim
1 1
0,
0 0.
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
xe
e
x
x
x
→
→
→
→
⎛
⎞
−
⎜
⎟
+∞
→ +
⎧
⎛
⎞
⎝
⎠
=
=
=
= ⎨
⎜
⎟
→ −
⎝
⎠
−
⎩
Следовательно, прямая
0
x
= является правосторонней асимптотой графика нашей функции. ☻
Пример 8.
Найти асимптоты графика функции
( )
2 2
2 2
f x
x
x
x
x
=
+ + +
− + .
☺ Функция определена на всей вещественной оси и не имеет точек разрыва. Поэтому вертикаль- ных асимптот нет.
Для нахождения наклонных асимптот исполь- зуем формулу Тейлора:
( )
2 2
1 2
1 2
1 1
f x
x
x
x
x
x
x
=
+ +
+
− +
=
2 2
1 1 2
1 1
1 2
1 1
1 1
2 2
2
x
o
o
x
o
x
x
x
x
x
x
x
⎛
⎞
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
+
+
+
+ +
− +
+
=
+
=
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠ ⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
( )
2 1
x o
=
+
. Это означает, что функция имеет две наклонные асимптоты
2
y
x
=
, если x
→ +∞ и
2
y
x
= − , если x → −∞ . ☻
Если угловой коэффициент наклонной асимптоты равен нулю, то получа- ется
горизонтальная асимптота
, которую мы будем считать частным случа- ем наклонной. В этой ситуации достаточно сразу искать
( )
lim
x
b
f x
→∞
=
, если он конечен.
Например, функция, рассмотренная в примере 1,
( )
(
)
2 3
2 3
4
x
f x
x
−
=
−
имеет горизонтальную асимптоту
0
y
= , так как
(
)
(
)
2 3
2 3
lim
0 4
x
x
k
x x
→∞
−
=
=
−
и

171
(
)
2 3
2 3
lim
0 4
x
x
b
x
→∞
−
=
=
−
Очевидно, что асимптоты графика функ- ции характеризуются следующим свойством:
Расстояние от точки
(
)
,
M
M
M x
y
, лежащей на графике до асимптоты стремится к нулю при ус- ловии, что точка графика уходит в бесконеч- ность, т.е.
2 2
M
M
x
y
+
→ ∞.
7.6. Исследование функции и построение графика
Изучение поведения функции целесообразно проводить по следующему плану:
1. Найти область определения функции и ее точки разрыва.
2. Отметить такие свойства, как четность, нечетность, периодичность (если они есть).
3. Вычислить первую производную и найти промежутки возрастания и убыва- ния функции, а также ее экстремумы.
4. Найти вторую производную и исследовать функцию на выпуклость. Найти точки перегиба функции.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Если надо, найти дополнительные точки, например, точки пересечения гра- фика с координатными осями.
7. Построить график.
Пример 9.
Исследовать функцию
( )
(
)
3 2
1
x
f x
x
=
−
☺ 1) Область определения этой функции
( ) (
) (
)
,1 1,
D f
= −∞ ∪ +∞ . Точка
1
x
= - точка разрыва функции.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Для этого найдем про- изводную:
( )
(
)
(
)
2 3
3 1
x x
f x
x
−
′
=
−
и исследуем ее знак.
Функция возрастает на промежутке
(
)
,1
−∞ и на промежутке
[
)
3,
+∞ , и убывает на промежутке
(
]
1,3 . В точке
3
x
= функция имеет минимум, причем
( )
27 3
8
f
=

172 4) Исследуем выпуклость этой функции. Найдем ее вторую производную:
( )
(
)
4 6
1
x
f x
x
′′
=
−
и исследуем ее знак.
Функция выпукла вверх на промежутке
(
)
,0
−∞
и выпукла вниз на каж- дом из промежутков
( )
0,1 и
(
)
1,
+∞ . Точка
0
x
= - точка перегиба функции и
( )
0 0
f
= .
5) Найдем асимптоты графика функции. Сначала возьмем точку разрыва функ- ции и найдем предел функции при x , стремящемся к этой точке:
(
)
3 2
1
lim
1
x
x
x
→
= +∞
−
, следовательно, прямая
1
x
= является вертикальной асимпто- той графика. Для нахождения наклонной асимптоты выделим целую часть из дро- би
( )
(
)
(
)
3 2
2 3
2 2
1 1
x
x
f x
x
x
x
+
=
= + +
−
−
. Так как
(
)
2 3
2
lim
0 1
x
x
x
→∞
+
=
−
, то прямая
2
y x
= + является наклонной асимптотой.
6) Теперь можно построить график функции. ☻
Пример 10.
Исследовать функцию
( )
2 3
2
x
f x
x
=
+
☺ 1) Область определения этой функции
( ) (
) (
)
, 2 2,
D f
= −∞ − ∪ − +∞ .
Точка
2
x
= − является точкой разрыва этой функции.
2) Функция не является ни четной, ни нечетной.
3) Исследуем функцию на монотонность и экстремумы. Найдем производную:
( )
(
)
4 3
4 3
2
x
f x
x x
+
′
=
+
и исследуем ее знак.
Функция возрастает на промежутке
(
]
, 4
−∞ − и на промежутке
[
)
0,
+∞ , и убывает на промежутке
[
)
4, 2
− − и на промежутке
(
]
2,0
−
. Точка
4
x
= − - точка

173 максимума, причем
( )
4 2
f
− = − , а точка
0
x
= - точка острого минимума.
( )
0 0
f
= .
4) Исследуем функцию на выпуклость. Найдем вторую производную.
( )
(
)(
)
(
)
7 4
3 2
4 2 3 4 2 3 9
2
x
x
f x
x x
−
+ −
+ +
′′
=
+
и исследуем ее знак
Функция выпукла вниз на промежутке
(
)
, 4 2 3
−∞ − −
и на промежутке
(
)
2, 4 2 3
− − +
, и выпукла вверх на каждом из промежутков
(
) (
)
4 2 3, 2 ,
4 2 3,0
− −
−
− +
и
(
)
0,
+∞ . Точки
4 2 3
x
= − ±
являются точками перегиба.
(
)
4 2 3 0,6
f
− +
≈
и
(
)
4 2 3 2,1
f
− −
≈ −
5) Прямая
2
x
= − является вертикальной асимптотой графика, так как
2 3
2
lim
2
x
x
x
→−
= ∞
+
. Для удобства построения графика, найдем односторонние пределы:
2 3
2 0
lim
2
x
x
x
→− −
= −∞
+
и
2 3
2 0
lim
2
x
x
x
→− +
= +∞
+
Наклонных асимптот нет, так как
( )
3
f x
x
∼
при x
→ ∞ .
6) Построим график (отмечены точки пе- региба). ☻
Пример 11.
Построить кривую, заданную параметрически:
( )
( )
2 2
9
,
1 1
t
t
t
x t
y t
t
t
− +
=
=
+
−
☺1) Кривая определена при
1
t
≠ ± , т.е. состоит из трех ветвей: для
(
)
, 1
t
∈ −∞ − , для
(
)
1,1
t
∈ −
и для
(
)
1,
t
∈ +∞ .
2) Найдем сначала асимптоты кривой.
x
→ −∞ , 5,5
y
→ −
при 1 0
t
→ − − , и x → +∞ , 5,5
y
→ −
при 1 0
t
→ − + , следова- тельно, прямая 5,5
y
= −
является горизонтальной асимптотой.
Аналогично, если 1 0
t
→ − , то
1 2
x
→ , y → −∞ , и, если 1 0
t
→ + , то
1 2
x
→ ,
y
→ +∞ , следовательно, прямая
1 2
x
= является вертикальной асимптотой.

174
Обе переменные x и y стремятся к бесконечности только при t
→ ∞ . По- этому параметры наклонной асимптоты найдем при
t
→ ∞ :
( )
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
9 1
lim lim
1 1
t
t
t
t
t
y t
k
x t
t
t
→∞
→∞
− +
+
=
=
=
−
и
( )
( )
(
)
2 2
2 2
9 8
9
lim lim lim
1 1
1 1
t
t
t
t
t
t
t
t
b
y t
kx t
t
t
t
→∞
→∞
→∞
⎛
⎞
⎛
⎞
− +
+ +
=
−
=
−
=
=
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
−
⎝
⎠
⎝
⎠
. Отсюда, пря- мая
1
y x
= + - наклонная асимптота кривой.
3) Найдем производные от функций
( )
x t и
( )
y t по переменной
t
:
( ) (
)
(
)
2 2
1
t t
x t
t
+
′
=
+
и
( ) (
)(
)
(
)
2 4
2 1
t
t
y t
t
−
+
′
=
−
, и две первые производные от y по x :
(
)(
)
(
)
2 2
4 1
1
x
t
t
y
t t
−
+
′ =
−
, при
2
t
≠ − и
(
) (
)
(
)(
)
3 3
3 1 16 4
2 1
xx
t
t
y
t t
t
+
−
′′ =
+
−
Исследуем функции
( )
x t и
( )
y t на монотонность.
Так как функции
( )
x t и
( )
y t определяют функцию
( )
y x на тех промежутках изменения переменной t , где
( )
x t монотонна, то можно сказать, что в нашем случае мы имеем три функции:
( )
1
y x при
(
]
, 2
t
∈ −∞ − ,
( )
2
y x при
[
) (
]
2, 1 1,0
t
∈ − − ∪ −
и
( )
3
y x при
[
)
0,
t
∈
+∞ .
Найдем некоторые точки, лежащие на кривой:
( )
( )
(
)
1 2
4,
2 5
M x
y
− = −
− = − ;
( )
( )
(
)
2 0
0,
0 9
M x
y
=
= − ,
3 1
1 1
11
,
4 20 4
4
M
x
y
⎛
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=
= −
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜
⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
⎝
⎠
,
( )
( )
4 16 4
,
4 7
5
M
x
y
⎛
⎞
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
Теперь составим сводную таблицу изменения параметров искомой кривой
t
( )
x t
( )
y t
(
)
, 2
−∞ −
( )
x t возрастает от
−∞ до 4
−
( )
y t возрастает от
−∞ до 5
−
(
)
2, 1
− −
( )
x t убывает от 4
− до −∞
( )
y t убывает от 5
− до 5,5
−
(
)
1,0
−
( )
x t убывает от
+∞ до 0
( )
y t убывает от 5,5
−
до 9
−
( )
0,1
( )
x t возрастает от 0 до 12
( )
y t убывает от 9
− до −∞
( )
1,4
( )
x t возрастает от 12 до 165
( )
y t убывает от
+∞ до 7
(
)
4,
+∞
( )
x t возрастает от 165 до +∞
( )
y t возрастает от 7 до
+∞

175
При
4
t
= производная
0
x
y′
= и меняет знак с «-» на «+», поэтому соот- ветствующая точка кривой является точкой минимума.
При
0
t
= производная
x
y′
= ∞
, поэтому найдем
(
)
(
)(
)
2 2
1
,
2 4
1
y
t t
x
t
t
t
−
′ =
≠ −
−
+
В точке
0
t
= эта производная равна нулю и меняет знак с «-» на «+», поэтому эта часть кривой, рассматриваемая как функция
( )
x x y
=
, имеет минимум в со- ответствующей точке.
При
2
t
= − производной
x
y′ не существует, но существуют ее предельные значения справа и слева, равные 13 .
4). Исследуем на знак вторую производную
xx
y′′
:
На промежутках
(
) (
)
, 2 ,
1,0
−∞ −
−
и
( )
1 ,1 4
кривая выпукла вверх, на про- межутках
(
)
( )
1 2, 1 , 0, 4
− −
и
(
)
1,
+∞ кривая выпукла вниз. При
1 4
t
=
вторая производная
xx
y′′ равна нулю и меняет знак, следовательно, в соответствующей точке кривая имеет перегиб. Строим график функции.☻

176