Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
ГЛАВА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ §1 Функция одной вещественной переменной 1.1. Определения Определение 3.1.1. Пусть дано множество X ⊂ . Отображение множест- ва X в будем называть вещественнозначной функцией одной веществен- ной переменной или просто числовой функцией. Для функций можно применять общую терминологию, но чаще употреб- ляют специальные термины и специальные обозначения. Множество X , на котором действует правило, задающее функцию f, называется областью определения функции и обозначается ( ) D f или dom f (от латинского слова domus - дом, жилище). Переменную x, которая принима- ет значения из этой области, будем называть аргументом функции . Образ каждого элемента ( ) x D f ∈ называют значением функции, а множество ( ) ( ) f D f - множеством значений или областью изменения функции . Область изменения функции обозначают ( ) E f или im f (от латин- ского imago - образ, изображение). Две функции будем называть равными, если совпадают их области оп- ределения, и для каждого значения аргумента совпадают значения функции. Пример 1. Функции 2 y x = и y x = , заданные на всей вещественной оси, совпадают, а функции ( ) [ ) , 0, y x D f = = +∞ и ( ) , y x D f = = различны. 1.2. Сложная функция Определение 3.1.2. Пусть заданы две функции ( ) ( ) ( ) 1 2 , , f t D f G E f G = = и ( ) ( ) ( ) 3 4 , , g x D g G E g G = = , причем 1 4 G G ∩ ≠ ∅ . Пусть ( ) 1 1 4 E g G G − = ∩ - прообраз множества 1 4 G G ∩ . Очевидно, что 3 E G ⊂ . Тогда, взяв некоторое значение x E ∈ , можно найти ( ) 1 t g x G = ∈ и по найденному значению перемен- ной t найти значение ( ) ( ) ( ) y f t f g x = = . Таким образом, определена функция, сопоставляющая каждому значению x E ∈ значение 2 y G ∈ , которую называ- ют сложной функцией, композицией или суперпозицией функций . Пример 2. Функция ( ) sin 2 1 x − будет суперпозицией функций ( ) sin f t t = и ( ) 2 1 g x x = − . Пример 3. Функция 2 ( ) 1 f x x = − будет суперпозицией функций ( ) [ ) , 0; f t t t = ∈ + ∞ и ( ) [ ] 2 1 , 1;1 g x x x = − ∈ − 81 1.3. График функции Определение 3.1.3. Множество точек декартовой плоскости, координаты которых связаны соотношением ( ) y f x = , называется графиком функции . Так как функцией является только такое соответствие, при котором каж- дому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то прямая, проведенная параллельно оси ординат, пересекает график функции не более одного раза. 1. 4. Обратная функция Определение 3.1.4. Пусть функция ( ) f x отображает множество ( ) D f на множество ( ) E f взаимно однозначно. Тогда, функция, которая каждому эле- менту ( ) s E f ∈ сопоставляет элемент ( ) t D f ∈ такой, что ( ) f t s = , называ- ется обратной к функции ( ) f x . Функцию, обратную к функции ( ) f x , будем обозначать 1 f − . Очевидно, что ( ) ( ) 1 D f E f − = и ( ) ( ) 1 E f D f − = Пример 4. Пусть ( ) ( ) [ ] 5 2 , 0;2,5 f x x D f = − = . Тогда областью изменения этой функции будет промежуток [ ] 0;5 . Обратная функция 1 f − каждому числу [ ] 0;5 y ∈ сопоставляет число [ ] 0;2,5 x ∈ такое, что 5 2 x y − = . Можно считать, что уравнение 5 2 y x = − задает эту функцию неявно. Чтобы получить явное за- дание, нужно выразить переменную x из этого уравнения. Тогда 5 2 y x − = . За- меняя букву x на y и y на x , получим более привычные для нас обозначе- ния 5 2 x y − = или ( ) 1 5 2 x f x − − = Если функция имеет обратную, то ее будем называть обратимой. Заме- тим, что не всякая функция является обратимой. Например, функция ( ) 2 f x x = , заданная на всей вещественной оси, не будет обратимой, потому что для всяко- го числа 0 s > можно найти два значения t таких, что 2 t s = , следовательно, со- ответствие s t → не будет однозначным. В таких случаях часто берут сужение функции, например, если задать ( ) ( ) [ ) 2 , 0, f x x D f = = + ∞ , то эта функция будет иметь обратную ( ) ( ) [ ) 1 1 , 0, f x x D f − − = = + ∞ . Сформулируем два свойства обратимых и обратных к ним функций. Свойство 1. ( ) ( ) ( ) 1 , y E f f f y y − ∀ ∈ = и ( ) ( ) ( ) 1 , x D f f f x x − ∀ ∈ = . 82 Свойство 2. Графики функций ( ) y f x = и ( ) 1 y f x − = симметричны относи- тельно биссектрисы первого и третье- го координатных углов. Отметим, что обратная функция может быть записана и в виде ( ) 1 x f y − = . Тогда ее график будет сов- падать с графиком исходной функции. 1.5. Способы задания функции Способ 1. Описательный Правило можно задать словесным описанием действий, которые нужно проделать с аргументом, чтобы получить значение функции или просто пере- числением значений функции, которые сопоставляются каждому значению ар- гумента. Пример 5. Функция [ ] y x = - целая часть числа x. Пусть ( ) D f = . Возьмем x∈ и най- дем целое число n так, чтобы выполнялось неравенство 1 n x n ≤ < + (почему это можно сделать?). Тогда [ ] y x n = = . Построим график этой функции. Очевидно, что если 0 1 x ≤ < , то 0 y = . Аналогично, если 1 2 x ≤ < , то 1 y = , если 2 3 x ≤ < , то 2 y = и т.д., и с отрицатель- ной стороны, если 1 0 x − ≤ < , то 1 y = − , если 2 1 x − ≤ < − , то 2 y = − и т.д. Получим «сту- пенчатый график». Область изменения этой функции ( ) E f = - множество целых чисел. Пример 6. Функция sign y x = - знак числа x. Положим 1 y = − , если 0 x < , 1 y = , если 0 x > и 0 y = , если 0 x = . Таким образом, ( ) ( ) { } , 1,0,1 D f E f = = − . График функции представлен на рисунке. 83 Пример 7. Функция Дирихле ( ) 1, рациональное число, 0, иррациональное число. x d x x − ⎧ = ⎨ − ⎩ Очевидно, что ( ) ( ) { } , 0,1 D f R E f = = . График такой функции изобра- зить невозможно. Способ 2. Аналитический Правило задается формулой, в которой используются некоторые уже изу- ченные простейшие функции и арифметические действия. Например, 2 2 3 1 x x y x − = + , 1 2ln y x = + , 2 3arcsin 2 x y = Если при таком способе задания не указана область определения, то эта область считается «естественной», т.е. берутся все значения аргумента, для ко- торых возможно выполнить указанные действия. Например, для функции 1 2ln y x = + областью определения будет множество тех значений x , для ко- торых верно неравенство 1 2ln 0 x + ≥ , т.е. 1 2 x e − ≥ Иногда функция задается с помощью нескольких выражений. Пример 8. ( ) 2 1 2 2, 1 2 , 1 1 5 , 1 x x x x f x x x x + ⎧ + + ≤ − ⎪⎪ = − < ≤ ⎨ ⎪ − > ⎪⎩ График этой функции представлен справа. Способ 3. Графический Функцию можно задать с помощью графика. Такое задание функции используется на практике, когда прибор рису- ет график какой-либо зависимости. Такое задание используется также в изло- жении курса математики для иллюстрации свойств функций. Способ 4. Табличный На практике часто снимают дискретные показания приборов и составля- ют из них таблицу, которая дает значения некоторой зависимой переменной для отдельных дискретных значений аргумента. Такое задание называется таблич- ным. График такой функции будет состоять из отдельных точек, которые мож- но связать непрерывной кривой, например, графиком многочлена, заменив тем самым имеющуюся функцию многочленом. Способ 5. Неявная функция Пусть дано уравнение ( ) , 0 F x y = . Допустим, что пара чисел ( ) 0 0 , x y яв- ляется решением этого уравнения, т.е. ( ) 0 0 , 0 F x y = и в некотором прямоуголь- 84 нике ( ) { } 0 0 0 0 , | , P x y x x x y y y λ λ σ σ = − < < + − < < + для каждого значения ( ) 0 0 , x x x λ λ ∈ − + можно найти единственное значение ( ) ( ) 0 0 , y x y y σ σ ∈ − + так, чтобы выполнялось равенство ( ) ( ) , 0 F x y x = . Тогда будем говорить, что уравнение ( ) , 0 F x y = в окрестности точки ( ) 0 0 , x y определяет функцию ( ) y y x = , заданную неявно . (Требования к функции ( ) , F x y , при которых это возможно, будут сформулированы и доказаны в дальнейших частях курса.) Пример 9. Пусть дано уравнение 2 2 2 x y + = и точка ( ) ( ) 0 0 , 1,1 x y = . Очевидно, что точка ( ) 1,1 удовлетворяет уравнению 2 2 2 x y + = и в квадрате ( ) { } , | 2 2 2,2 2 2 P x y x y = − < < − < < каждому значению x из промежут- ка ( ) 2 2, 2 − будет соответствовать единственное значение y из промежутка ( ) 2 2, 2 − . В данном случае формулу, задающую это соответствие, можно получить явно, выразив y из уравнения 2 2 2 x y + = : 2 2 y x = − Замечания 1. Если не ограничить промежуток значений y , в котором мы хотим полу- чить значения функции, то уравнение ( ) , 0 F x y = может задавать не одну функцию. Например, уравнение 2 2 2 x y + = задает для ( ) 2, 2 x ∈ − две функ- ции 2 2 y x = ± − , а также бесконечное множество разрывных функций, где y может равняться 2 2 x − для одних значений x и 2 2 x − − для других. 2. Функция ( ) y y x = существует не для любой точки ( ) 0 0 , x y , удовлетво- ряющей уравнению ( ) , 0 F x y = . Например, ни в каком прямоугольнике с цен- тром в точке ( ) 2,0 не существует функции ( ) y y x = , заданной уравнением 85 2 2 2 x y + = . Полезно заметить, что существует квадрат ( ) { } , | 0 2 2, 2 2 P x y x y = < < − < < , в котором для каждого ( ) 2, 2 y ∈ − можно найти единственное значение ( ) ( ) 0,2 2 x x y = ∈ такое, что ( ) 2 2 2 x y y + = . Способ 6. Параметрическое задание функции Пусть на некотором множестве E заданы две функции ( ) x t ϕ = и ( ) y t ψ = , причем функция ( ) x t ϕ = обратима. Если можно образовать сложную функцию ( ) ( ) ( ) 1 f x x ψ ϕ − = , то будем говорить, что уравнения ( ) x t ϕ = и ( ) y t ψ = определяют функцию ( ) f x , заданную параметрически Пример 10. Пусть даны уравнения [ ] cos , sin , 0, x R t y R t t π = = ∈ . Тогда arccos x t R = и 2 2 2 2 2 sin arccos 1 cos arccos 1 x x x y R R R R x R R R = = − = − = − . Та- ким образом, данные уравнения определяют функцию ( ) 2 2 f x R x = − Замечания 1. Если функция ( ) x t ϕ = не является обратимой, но обратима функция ( ) y t ψ = , то можно говорить, что эти уравнения задают параметрически функцию ( ) ( ) 1 x y ϕ ψ − = . 2. На практике очень редко уравнения ( ) x t ϕ = и ( ) y t ψ = задают функцию, так как они редко являются обратимыми. Но обычно область задания пара- метра – множество E можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых существует функция ( ) f x или ( ) g y . В таком случае можно гово- рить о параметрическом задании кривой, являющейся объединением графиков всех этих функций. 1.6. Основные свойства функций Четность-нечетность Определение 3.1.5 . Функция ( ) y f x = называется четной, если 1. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) ( ) x D f − ∈ , 2. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) ( ) f x f x − = . Первое условие в определении означает, что ( ) D f - область определения четной функ- ции, симметрична относительно начала коорди- нат. Из определения четной функции следует, 86 что, если точка ( ) 1 , M x y лежит на графике функции, то точка ( ) 2 , M x y − тоже лежит на графике этой функции, следовательно, график четной функции будет симметричен относительно оси OY Определение 3.1.6 . Функция ( ) y f x = называется нечетной, если 1. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) ( ) x D f − ∈ , 2. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) ( ) f x f x − = − . Область определения нечетной функ- ции тоже симметрична относительно начала координат и, если точка 1 ( , ) M x y лежит на графике функции, то на этом же графике бу- дет лежать точка ( ) 2 , M x y − − . Следователь- но, график будет симметричен относительно начала координат. Существуют функции, которые не яв- ляются ни четными, ни нечетными. Монотонность Определение 3.1.7 . Будем говорить, что функция ( ) y f x = возрастает на множестве E , если для любых значений 1 2 , x x E ∈ таких, что 1 2 x x > , выполня- ется неравенство ( ) ( ) 1 2 f x f x > . Определение 3.1.8 . Будем говорить, что функция ( ) y f x = убывает на мно- жестве E , если для любых значений 1 2 , x x E ∈ таких, что 1 2 x x > , выполняется неравенство ( ) ( ) 1 2 f x f x < . Возрастающие и убывающие на множестве E функции называют моно- тонными на этом множестве. В определениях 3.1.7 и 3.1.8 можно рассматривать нестрогие неравенства ( ) ( ) 1 2 f x f x ≥ или ( ) ( ) 1 2 f x f x ≤ . Тогда говорят, что имеется нестрогая мо- нотонность или функция является неубывающей или, соответственно, невоз- растающей Замечание. Полезно заметить, что если функция строго монотонна на всей области определения, то она взаимно однозначно отображает множество ( ) D f на множество ( ) E f , поэтому строго монотонная на области опреде- ления функция обратима Периодичность Определение 3.1.9 . Функция ( ) y f x = называется периодической, если суще- ствует число 0 T ≠ , такое что 1. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) x T D f ± ∈ , 2. ( ) x D f ∀ ∈ ( ) ( ) f x T f x + = . 87 Число T , указанное в определении, называется периодом функции . Наи- меньший положительный период называется главным периодом Если некоторое число T является периодом функции, то число kT при любом , 0 k k ∈ ≠ тоже является периодом. Ограниченность функций Определение 3.1.10 . Функция ( ) y f x = называется ограниченной на множе- стве E , если ограниченно множество ее значений на E . Таким образом, ( ) f x - ограничена на E , если выполнено одно из условий а) C ∃ x E ∀ ∈ : ( ) f x C ≤ или в) , m M ∃ x E ∀ ∈ : ( ) m f x M ≤ ≤ Числа m и M называются, соответственно, нижней и верхней граница- ми функции на множестве E . Как и ранее, точную нижнюю границу функции называют нижней гра- нью или инфимумом, а точную верхнюю – верхней гранью или супремумом функции на множестве E . Таким образом ( ) ( ) ( ) 1) inf 2) 0 x E x E f x m m f x x E f x m ε ε ∈ ∀ ∈ ≥ = ⇔ ∀ > ∃ ∈ < + и ( ) ( ) ( ) 1) sup 2) 0 x E x E f x M M f x x E f x M ε ε ∈ ∀ ∈ ≤ = ⇔ ∀ > ∃ ∈ > − Если на множестве E найдется значение 0 x такое, что ( ) ( ) 0 f x f x ≥ для всякого x E ∈ , то значение ( ) 0 f x называют наибольшим значением функции на множестве E . Соответственно, если ( ) ( ) 0 f x f x ≤ для всякого x E ∈ , то зна- чение ( ) 0 f x называют наименьшим значением функции на множестве E . Эти факты мы будем записывать в виде ( ) ( ) 0 max x E f x f x ∈ = или, соответ- ственно, ( ) ( ) 0 min x E f x f x ∈ = Ясно, что, если наибольшее и наименьшее значения функции на E суще- ствуют, то ( ) ( ) inf min x E x E f x f x ∈ ∈ = и ( ) ( ) sup max x E x E f x f x ∈ ∈ = |