Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§2 Бесконечно малые и бесконечно большие последовательно- сти. Арифметические свойства предела 2.1. Бесконечно малая последовательность С бесконечно малой последовательностью мы уже познакомились в 1.3. Это последовательность, предел которой равен нулю. Теперь сформулируем и докажем два основных свойства бесконечно малых последовательностей. Теорема 2.2.1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бес- конечно малая последовательность. ►Пусть lim lim 0 n n n n α β →∞ →∞ = = . Докажем, что ( ) lim 0 n n n α β →∞ + = Возьмем некоторое 0 ε > и найдем номер 1 n , начиная с которого выпол- няется неравенство 2 n ε α < и номер 2 n , начиная с которого выполняется нера- венство 2 n ε β < Тогда оба эти неравенства будут выполняться для всех n , начиная с ( ) 0 1 2 max , n n n = и, следовательно, для этих номеров будет верным неравенство n n n n α β α β ε + ≤ + < , что и требовалось доказать.◄ Очевидно, что с помощью метода математической индукции эту теорему можно распространить на любое (фиксированное) количество слагаемых. Но необходимо помнить, что теорема неприменима, если количество слагаемых зависит от n - номера члена последовательности. Пример 1. Рассмотрим последовательность 2 2 2 1 1 1 1 2 n x n n n n = + + + + + + 53 ☺Очевидно, что каждое слагаемое этой последовательности стремится к нулю, количество их равно n , но их сумма будет иметь предел, отличный от ну- ля. Для нахождения этого предела применим теорему о сжатой переменной. Очевидна оценка 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n n n < + + + < < + + + + + Левую часть этого неравенства оценим следующим образом: 2 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n n = > − > − + + , откуда получим: 1 1 1 n x n − < < . Так как левая часть этого неравенства стремится к единице, то и lim 1 n n x →∞ = . ☻ Теорема 2.2.2. Произведение бесконечно малой последовательности на ограни- ченную последовательность есть бесконечно малая. ►Пусть lim 0 n n α →∞ = и n x C n ≤ ∀ ∈ . Докажем, что ( ) lim 0 n n n x α →∞ ⋅ = . Возьмем 0 ε > и найдем номер 0 n , начиная с которого будет выполняться неравенство n C ε α < . Тогда, если 0 n n ≥ , будет выполнено неравенство n n x C C ε α ε ⋅ < = , что и требовалось доказать.◄ Следствие. Если { } n x - бесконечно малая последовательность, а { } n y - сходя- щаяся, то их произведение { } n n x y ⋅ - бесконечно малая Пример 2 . Найти sin lim n n n →∞ ☺. Последовательность 1 n - бесконечно малая, последовательность sin n - ограничена. Следовательно, произведение 1 sin n n есть бесконечно малая и ис- комый предел равен нулю.☻ 2.2. Бесконечно большая последовательность Приведем определения бесконечно больших последовательностей, рас- ширив тем самым определение предела последовательности. Определение 2.2.1 Числовую последовательность { } n x будем называть бесконечно большой , если для любого положительного числа M можно найти номер 0 n , начиная с которого все члены последовательности будут удовле- творять неравенству n x M > . 54 Если последовательность { } n x бесконечно большая, то будем говорить также, что она стремится к бесконечности и записывать это lim n n x →∞ = ∞ . Существуют два частных случая бесконечно больших числовых последо- вательностей. Определение 2.2.2 Будем говорить, что последовательность { } n x стремит- ся к +∞ , если для любого положительного числа M можно найти номер 0 n , начиная с которого все члены последовательности будут удовлетворять нера- венству n x M > . Определение 2.2.3 Будем говорить, что последовательность { } n x стремит- ся к −∞ , если для любого положительного числа M можно найти номер 0 n , начиная с которого все члены последовательности будут удовлетворять нера- венству n x M < − . Неравенство n x M > означает, что точки n x при 0 n n ≥ лежат вне проме- жутка [ ] , M M − Если объединение лучей ( ) ( ) , , M M −∞ − ∪ +∞ назвать окрестностью бесконечности , то утверждение lim n n x →∞ = ∞ будет означать, что для произволь- ной окрестности бесконечности можно найти номер 0 n , начиная с которого все члены последовательности будут попадать в эту окрестность. Это высказыва- ние полностью совпадает с определением предела в конечном случае. Заметим также, что lim n n x →∞ = +∞ означает, что, начиная с некоторого но- мера, все члены последовательности попадают на луч ( ) , M +∞ , а lim n n x →∞ = −∞ означает, что, начиная с некоторого номера члены последовательности попадут на луч ( ) , M −∞ − Пример 3. Доказать ( ) 2 lim 1 n n n →∞ − = ∞ ☺Возьмем 0 M > и попытаемся найти номер 0 n , начиная с которого бу- дет выполняться неравенство ( ) 2 1 n n M − > . Очевидно, что это неравенство равносильно неравенству 2 n M > или n M > . Следовательно, если взять 0 1 n M ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ , то для всех 0 n n ≥ неравенство ( ) 2 1 n n M − > будет выполнено и ( ) 2 lim 1 n n n →∞ − = ∞ . ☻ 55 Пример 4. Доказать ( ) 2 lim 3 n n n →∞ − + = −∞ . ☺Возьмем 0 M > и попытаемся найти номер 0 n , начиная с которого бу- дет выполняться неравенство 2 3 n n M − + < − . Это неравенство – квадратное и его можно решить точно, но мы поступим иначе. В определении бесконечно большой величины требуется найти номер 0 n , такой, что неравенство n x M < − будет выполняться для всех номеров n, следующих за 0 n , но при этом не требу- ется, чтобы 0 n был наименьшим номером, обладающим таким свойством. По- этому оценим сначала данную величину: ( ) 2 2 3 3 n n n − + < − − (эта оценка верна, если 3 n > ), и найдем 0 n , начиная с которого верно неравенство ( ) 2 3 n M − − < Решая это неравенство, получим 3 n M > + , следовательно, можно взять 0 4 n M ⎡ ⎤ = + ⎣ ⎦ . Тогда неравенство 2 3 n n M − + < − тоже будет выполнено, что и требовалось доказать. ☻ Пример 5. Доказать 2 5 lim 2 n n n →∞ − = +∞ . ☺ Возьмем 0 M > и попытаемся найти номер 0 n , начиная с которого бу- дет выполняться неравенство 2 5 2 n M n − > . Также как и в предыдущем примере, сделаем оценку члена данной последовательности: 2 2 5 5 5 2 2 2 n n n n n n − − − ≥ = и найдем 0 n , начиная с которого выполняется неравенство 5 2 n M − > . Решая это неравенство, получим 2 5 n M > + . Если взять [ ] 0 2 6 n M = + , то для всех 0 n n ≥ неравенство 5 2 n M − > будет выполнено и, следовательно, будет выполнено и неравенство 2 5 2 n M n − > .☻ Замечание. Каждая бесконечно большая последовательность является неог- раниченной (докажите), но обратное неверно. Последовательность может быть неограниченной, но не быть бесконечно большой. Пример 6. Рассмотрим последовательность ( ) 1 2 n n n n x + − = ☺Эта последовательность неограничена, так как какое бы число M мы ни взяли, можно найти номер n такой, что n x M > . Для этого надо взять n - чет- ное, тогда n x n = и нужное неравенство будет выполнено для любого четного числа n, которое будет больше, чем M . Это означает, что никакое число M не может быть верхней границей данной последовательности. 56 С другой стороны, если взять некоторое положительное число 0 M , то ка- кой бы номер 0 n мы ни взяли, можно найти номер n такой, что 0 n n ≥ и n x M < Для этого нужно взять n - нечетное, при котором 0 n x = . Это означает, что по- следовательность не стремится к бесконечности.☻ Упражнения 1. Пусть lim n n x →∞ = +∞ и lim n n y →∞ = +∞ . Докажите, что a) ( ) lim n n n x y →∞ + = +∞; б) ( ) lim n n n x y →∞ ⋅ = +∞ . 2. Пусть lim n n x →∞ = ∞ и n y - ограничена. Докажите, что ( ) lim n n n x y →∞ + = ∞ . 2.3. Связь между бесконечно малой и бесконечно большой последова- тельностями Теорема 2.2.3. Последовательность { } n x - бесконечно малая ( n x отличны от нуля при всех n) тогда и только тогда, когда последовательность 1 n n y x = - бесконечно большая. ►Пусть последовательность n x - бесконечно малая, т.е. lim 0 n n x →∞ = . До- кажем, что 1 n n y x = - бесконечно большая. Возьмем 0 M > и найдем 0 n , начиная с которого 1 n x M < . Тогда для 0 n n ≥ будет выполняться неравенство n y M > , что означает, что n y - бесконечно большая. Наоборот, пусть n y - бесконечно большая последовательность. Докажем, что 1 n n x y = - бесконечно малая. Возьмем 0 ε > и найдем 0 n , начиная с которого выполняется неравенство 1 n y ε > . Тогда для этих номеров n будет выполнено неравенство n x ε < , что означает, что n x - бесконечно малая.◄ 2.4. Арифметические свойства пределов Теорема 2.2.4. Пусть lim n n x A →∞ = , lim n n y B →∞ = . Тогда 1) ( ) lim n n n x y A B →∞ + = + ; 2) ( ) lim n n n x y AB →∞ ⋅ = ; 3) lim n n n x A y B →∞ = , если 0, n y n ≠ ∀ и 0 b ≠ . 57 ►Так как lim n n x A →∞ = и lim n n y B →∞ = , то члены последовательности n x и n y можно представить в виде n n x A α = + и n n y B β = + , где n α и n β - бесконечно малые последовательности. 1) Тогда ( ) ( ) n n n n x y A B α β + = + + + , где n n α β + - бесконечно малая, как сумма двух бесконечно малых последовательностей. Таким образом, последо- вательность n n x y + представлена в виде суммы числа A B + и бесконечно ма- лой, и по критерию того, что число является пределом последовательности, по- лучаем ( ) lim n n n A B x y →∞ + = + 2) Аналогично, ( ) n n n n n n x y AB A B β α α β ⋅ = + + + . Слагаемые n A β , n B α и n n α β - бесконечно малые, как произведения бесконечно малых на ограничен- ные (константы A и B ограничены и каждая из бесконечно малых n α и n β - ог- раничена, как последовательность, имеющая предел). Следовательно, сумма ( ) n n n n A B β α α β + + - бесконечно малая и ( ) lim n n n AB x y →∞ = ⋅ 3) Докажем, что разность n n x A y B − - бесконечно малая. Действительно, ( ) n n n n n n n x A B A A A y B B B B B α α β β β + − − = − = + + . Числитель этой дроби – сумма двух бесконечно малых, следовательно, бесконечно малая. Что касается знаменателя, то при n → ∞ он стремится к 2 0 B > . Следовательно, по теореме об отделимости последовательности от нуля, начиная с некоторого момента, будет выполняться неравенство ( ) 2 2 n B B B β + > . Тогда ( ) 2 1 2 n B B B β < + , т.е. дробь ( ) 1 n B B β + - ограничена. Следовательно, ( ) n n n B A B B α β β − + - бесконечно малая, как произведение бесконечно малой на ограниченную и lim n n n x A B y →∞ = . ◄ Замечания 1. Очевидно, что теорема будет справедлива для любого (но фиксиро- ванного) количества слагаемых или сомножителей. 2. В примере 16 п.1.8 мы доказали, что, если 1 a > , то lim 1 n n a →∞ = . Теперь это же соотношение легко доказать и для 0 1 a < < (для 1 a = оно очевидно). ►Пусть 0 1 a < < . Тогда 1 1 a a = и 1 1 lim lim 1 1 1 lim n n n n n n a a a →∞ →∞ →∞ = = = , так как 1 1 a > .◄ 58 2.5. Неопределенности Мы уже знакомы с пределами некоторых последовательностей. Следова- тельно, мы можем вычислять пределы последовательностей, составленных из этих известных с помощью арифметических действий. Например, 2 2 2 2 2 5 5 2 5 lim 2 lim 2 lim lim 2 2 3 7 2 7 3 3 7 lim 2 1 1 1 1 lim lim n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ →∞ ⎛ ⎞ ⋅ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⋅ + − ⎜ ⎟ + − ⋅ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Но часто требуется вычислить предел последовательности, к которой не- возможно применить теорему об арифметических свойствах пределов. Например, 3 3 3 2 5 6 7 n n n x n + + = + . Здесь при n → ∞ числитель и знаменатель являются бесконечно большими последовательностями и теорема о пределе ча- стного неприменима. Про дробь 3 3 3 2 5 6 7 n n n + + + говорят, что она неопределена при n → ∞ или, что она представляет собой неопределенность вида ∞ ∞ . Процесс вычисления предела такого выражения называется раскрытием неопределен- ности Кроме неопределенности вида ∞ ∞ нам встретятся неопределенности вида 0 0 0 , 0 , , 1 , , 0 0 ∞ ⋅ ∞ ∞ − ∞ ∞ |