Математический анализ_курс лекций. Курс лекций по математическому анализу i для напр. Прикладная математика и информатика
 Скачать 2.13 Mb.
|
|
§ 5 Ограниченность числовых множеств Определение 1.5.1. Числовое множество X называется ограниченным сверху , если существует число М такое, что x M ≤ для всякого элемента x из множества X . Определение 1.5.2. Числовое множество X называется ограниченным снизу , если существует число m такое, что x m ≥ для всякого элемента x из множества X . Определение 1.5.3. Числовое множество X называется ограниченным , если оно ограничено сверху и снизу. В символической записи эти определения будут выглядеть следующим образом: множество X ограничено сверху, если : M x X x M ∃ ∀ ∈ ≤ , ограничено снизу, если : m x X x m ∃ ∀ ∈ ≥ и ограничено, если , : m M x X m x M ∃ ∀ ∈ ≤ ≤ Пустое множество будем считать ограниченным по определению. Теорема 1.5.1. Числовое множество X ограничено тогда и только тогда, когда существует число C такое, что для всех элементов x из этого множе- ства выполняется неравенство x C ≤ . ► Пусть множество X ограничено. Положим ( ) max , C m M = - наи- большее из чисел m и M . Тогда, используя свойства модуля вещественных чисел, получим неравенства x M M C ≤ ≤ ≤ и x m m C ≥ ≥ − ≥ − , откуда следу- ет, что x C ≤ . Обратно, если выполняется неравенство x C ≤ , то C x C − ≤ ≤ . Это и есть тре- буемое, если положить M C = и m C = − .◄ Число M , ограничивающее множество X сверху, называется верхней границей множества . Если M - верхняя граница множества X , то любое число M ′ , которое больше M , тоже будет верхней границей этого множества. Таким образом, мы можем говорить о множестве верхних границ множества X . Обозначим множество верхних границ через M . Тогда, x X ∀ ∈ и M ∀ ∈ M будет выполнено неравенство x M ≤ , следовательно, по аксиоме непрерывно- сти существует число 0 M такое, что 0 x M M ≤ ≤ . Это число называется точ- ной верхней границей числового множества X или верхней гранью этого множества или супремумом множества X и обозначается 0 sup M X = Таким образом, мы доказали, что каждое непустое числовое множество, ограниченное сверху, всегда имеет точную верхнюю границу. Очевидно, что равенство 0 sup M X = равносильно двум условиям: 1) x X ∀ ∈ выполняется неравенство 0 x M ≤ , т.е. 0 M - верхняя граница множе- ства X ; 28 2) 0 ε ∀ > x X ε ∃ ∈ так, что выполняется неравенство 0 x M ε ε > − , т.е. эту гра- ницу нельзя улучшить (уменьшить). Пример 1. Рассмотрим множество 1 1 1 n X n ∞ = ⎧ ⎫ = − ⎨ ⎬ ⎩ ⎭ . Докажем, что sup 1 X = . ☺Действительно, во-первых, неравенство 1 1 1 n − < выполняется для любого n ∈ ; во-вторых, если взять произвольное положительное число ε , то по принципу Архимеда можно найти натуральное число n ε , такое что 1 n ε ε > . То- гда будет выполнено неравенство 1 1 1 n ε ε − > − , т.е. нашелся элемент n x ε мно- жества X , больший чем 1 ε − , что означает, что 1 – наименьшая верхняя грани- ца.☻ Аналогично, можно доказать, что если множество ограничено снизу, то оно имеет точную нижнюю границу , которая называется также нижней гра- нью или инфимумом множества X и обозначается inf X . Равенство 0 inf m X = равносильно условиям: 1) x X ∀ ∈ выполняется неравенство 0 x m ≥ ; 2) 0 ε ∀ > x X ε ∃ ∈ так, что выполняется неравенство 0 x m ε ε < + . Если в множестве X есть наибольший элемент 0 x , то будем называть его максимальным элементом множества X и обозначать 0 max x X = . Тогда 0 sup X x = . Аналогично, если в множестве существует наименьший элемент, то его будем называть минимальным , обозначать min X и он будет являться ин- фимумом множества X . Например, множество натуральных чисел имеет наименьший элемент – единицу, который одновременно является и инфимумом множества . Супре- мума это множество не имеет, так как оно не является ограниченным сверху. Определения точных верхней и нижней границ можно распространить на множества, неограниченные сверху или снизу, полагая, sup X = +∞ или, соот- ветственно, inf X = −∞ В заключение сформулируем несколько свойств верхних и нижних гра- ней. Свойство 1. Пусть X - некоторое числовое множество. Обозначим через X − множество { } | x x X − ∈ . Тогда ( ) sup inf X X − = − и ( ) inf sup X X − = − . Свойство 2. Пусть X - некоторое числовое множество λ - вещественное число. Обозначим через X λ множество { } | x x X λ ∈ . Тогда если 0 λ ≥ , то ( ) ( ) sup sup , inf inf X X X X λ λ λ λ = = и, если 0 λ < , то ( ) ( ) sup inf , inf sup X X X X λ λ λ λ = = . Свойство 3. Пусть 1 X и 2 X - числовые множества. Обозначим через 1 2 X X + множество { } 1 2 1 1 2 2 | , x x x X x X + ∈ ∈ и через 1 2 X X − множество 29 { } 1 2 1 1 2 2 | , x x x X x X − ∈ ∈ . Тогда ( ) 1 2 1 2 sup sup sup X X X X + = + , ( ) 1 2 1 2 inf inf inf X X X X + = + , ( ) 1 2 1 2 sup sup inf X X X X − = − и ( ) 1 2 1 2 inf inf sup X X X X − = − . Свойство 4. Пусть 1 X и 2 X - числовые множества, все элементы кото- рых неотрицательны. Тогда ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 sup sup sup , inf inf inf X X X X X X X X = ⋅ = ⋅ . Докажем, например, первое равенство в свойстве 3. ►Пусть 1 1 2 2 , x X x X ∈ ∈ и 1 2 x x x = + . Тогда 1 1 2 2 sup , sup x X x X ≤ ≤ и 1 2 sup sup x X X ≤ + , откуда ( ) 1 2 1 2 sup sup sup X X X X + ≤ + Чтобы доказать противоположное неравенство, возьмем число 1 2 sup sup y X X < + . Тогда можно найти элементы * 1 1 x X ∈ и * 2 2 x X ∈ такие, что * 1 1 sup x X < и * 2 2 sup x X < , и выполняется неравенство * * 1 2 1 2 sup sup y x x X X < + < + Это означает, что существует элемент * * * 1 2 1 2 x x x X X = + ∈ + , который больше числа y и ( ) 1 2 1 2 sup sup sup X X X X + = + .◄ Доказательства остальных свойств проводятся аналогично и предостав- ляются читателю. § 6 Счетные и несчетные множества Определение 1.6.1. Рассмотрим множество первых n натуральных чисел { } 1,2,..., n n = и некоторое множество A . Если можно установить взаимно- однозначное соответствие между A и n , то множество A будем называть конечным . Определение 1.6.2. Пусть дано некоторое множество A . Если можно установить взаимно однозначное соответствие между множеством A и множеством натуральных чисел , то множество A будем называть счет- ным . Определение 1.6.3. Если множество A конечно или счетно, то будем го- ворить, что оно не более чем счетно . Таким образом, множество будет счетно, если его элементы можно рас- положить в виде последовательности. Пример 1. Множество четных чисел – счетное, так как отображение 2 n n ↔ является взаимно однозначным соответствием между множеством натуральных чисел и множеством четных чисел. Очевидно, такое соответствие можно установить не единственным обра- зом. Например, можно установить соответствие между множеством и мно- жеством (целых чисел), установив соответствие таким способом 30 1 2 3 4 5..... 0 1 1 2 2..... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ − − , или таким способом 1 2 3 4 5..... 0 1 2 1 2..... ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ − − , или можно придумать еще множество способов. Можно сказать, что множество будет счетным, если все его элементы можно расположить в виде последовательности, все элементы которой различ- ны. Свойства счетных множеств Свойство 1. Подмножество счетного множества не более чем счетно. ►Пусть множество A - счетно и B A ⊂ . Если B - конечное множество, то свойство доказано. Рассмотрим случай, когда B - бесконечно. Расположим элементы множества A в виде последовательности 1 2 3 , , ,... a a a . Пусть 1 n - наи- меньший номер того члена этой последовательности, который принадлежит B . Обозначим 1 1 n b a = . Далее, пусть 2 n - наименьший номер этой же последова- тельности, удовлетворяющий неравенству 1 n n > и такой что 2 n a B ∈ и обозна- чим 2 2 n b a = . Так как каждый элемент множества B содержится в последова- тельности 1 2 3 , , ,... a a a , то через некоторое число шагов он получит номер и так как число элементов множества B бесконечно, то каждому натуральному числу будет сопоставлен некоторый элемент множества B . Таким образом, будет ус- тановлено взаимно однозначное соответствие между множеством B и множе- ством натуральных чисел .◄ Свойство 2. Объединение не более чем счетного множества не более чем счетных множеств не более чем счетно. ►Пусть дана последовательность множеств { } n A , элементы каждого из ко- торых можно расположить в виде последовательности. Расположим элементы этих множеств в виде таблицы, в n -ой строчке которой выпишем элементы множества n A : 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 x x x x x x x x x x x x x x x x Теорема будет доказана, если будет указан способ, с помощью которого все элементы этой таблицы могут быть расположены в виде единой последова- тельности. Это можно сделать, выписывая элементы таблицы, например, по 31 диагоналям: 11 21 12 31 22 13 x x x x x x . Очевидно, что перечисляя элементы табли- цы таким образом, мы сопоставим каждый ее элемент некоторому натурально- му числу, то есть запишем элементы этой таблицы в виде последовательности. (Если число строк этой таблицы или какие либо ее строки конечны, дополним эту таблицу до бесконечной какими-либо символами, например, нулевыми эле- ментами.) Отсюда следует, что множество этих элементов счетно. Чтобы получить объединение данных множеств, удалим те элементы данной последовательно- сти, которые встречаются ранее и добавленные нулевые элементы. На основа- нии первого свойства получим не более чем счетное множество.◄ Свойство 3. Пусть A - счетное множество. Для любого натурального числа n введем множество ( ) { } 1 2 , ,..., | , 1,2,..., n n k B a a a a A k n = ∈ = . Тогда n B - счетное множество. ►Данное свойство докажем методом математической индукции по n. База индукции. Множество { } 1 | B a a A A = ∈ = , поэтому множество 1 B счетно. Индукционная теорема. Пусть при некотором натуральном m множество m B счетно. Докажем, что множество 1 m B + также будет счетным. Запишем элементы множества 1 m B + в виде ( ) 1 , m b a + , где m b B ∈ и 1 m a A + ∈ . Если зафиксировать элемент m b B ∈ , то очевидно, что множество ( ) { } 1 1 1 , | b m m m B b a a A + + + = ∈ эквивалентно множеству A и, следовательно, оно счетно. Множество 1 m B + можно представить как объединение 1 m b m b B B + ∈ ∪ . По второму свойству счетных множеств оно счетно.◄ Свойство 4. Множество рациональных чисел счетно. ►Каждое рациональное число можно записать в виде дроби m n , где , m n ∈ ∈ . Рассмотрим множество дробей такого вида и докажем, что это множество счетно. Действительно, это множество является подмножеством множества ( ) { } , | , m n m n ∈ ∈ , которое счетно по предыдущему свойству при 2 n = . Следовательно, множество рациональных чисел также счетно.◄ Однако существуют бесконечные множества, которые не являются счет- ными. Определение 1.6.4. Если A - бесконечное множество такое, что невоз- можно установить взаимно однозначное соответствие между ним и множе- ством натуральных чисел, то A называют несчетным множеством. Теорема 1.6.1 Множество точек отрезка [ ] , a b несчетно ►Предположим, что множество точек этого отрезка счетно. Тогда их можно расположить в виде последовательности 1 2 3 , , ,... x x x Разобьем промежуток на три равных промежутка и выберем из них тот, кото- рый после присоединения к нему концов не содержит точку 1 x . Обозначим его 32 [ ] 1 1 , a b и разобьем его на три равные части и выберем ту часть (замкнутый про- межуток), которая не содержит 2 x . (Если эту точку не содержат два или все три промежутка, то выбираем любой из них). Таким образом, получим последова- тельность замкнутых вложенных промежутков, которая по принципу Кантора должна иметь непустое пересечение. Но, очевидно, что точки этого пересече- ния не могут совпадать с точками последовательности 1 2 3 , , ,... x x x , следова- тельно, существует хотя бы одна точка данного промежутка, не входящая в эту последовательность. Значит, множество этих точек несчетно.◄ Теорема 1.6.2 Множество точек интервала ( ) , a b несчетно ►Если множество точек этого интервала будет счетным, то множество точек промежутка [ ] , a b можно представить в виде объединения двух мно- жеств: множества точек интервала ( ) , a b , которое счетно по нашему предполо- жению, и множества { } , a b , которое содержит два элемента. Тогда множество точек промежутка [ ] , a b также будет счетным, что противоречит теореме 1.◄ Теорема 1.6.3. Множество всех вещественных чисел несчетно ►Воспользуемся результатом теоремы 2. Множество точек интервала ( ) 1, 1 − несчетно. Между точками этого интервала и точками числовой прямой можно установить взаимно однозначное соответствие, например, по формуле ( ) 2 2 , 1, 1 1 t x t t = ∈ − − . (Докажите это.) Следовательно, множество точек число- вой прямой также несчетно.◄ Упражнения 1. Докажите, что каждое бесконечное множество имеет счетное подмноже- ство. 2. Докажите, что множество всех конечных подмножеств счетного множе- ства счетно. 3. Докажите, что множество многочленов степени не выше n с рациональ- ными коэффициентами счетно. 4. Докажите, что множество всех многочленов с целыми коэффициентами счетно. 5. Докажите, что множество всех последовательностей, элементами кото- рых являются числа 0 и 1, несчетно. 6. Докажите, что на каждом интервале существует иррациональное число. 33 §7 Понятие о метрическом пространстве 7.1. Два замечательных неравенства Неравенство Коши-Буняковского Для любых наборов вещественных чисел 1 2 3 , , ,..., n a a a a и 1 2 3 , , ,..., n b b b b выполня- ется неравенство 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = ≤ ∑ ∑ ∑ ►Рассмотрим выражение ( ) ( ) 2 1 n i i i t a t b ϕ = = + ∑ . Очевидно, что при любом значении переменной t значение этого выражения будет неотрицательно. С другой стороны это выражение представляет собой квадратный трехчлен от- носительно переменной t : 2 2 2 1 1 1 2 n n n i i i i i i i a t a b t b = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ с положительным коэффициентом при 2 t . Следовательно, дискриминант этого квадратного трех- члена должен быть неположительным, то есть 2 2 2 1 1 1 0 n n n i i i i i i i a b a b = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ , откуда получим нужное неравенство.◄ Равенство в данном неравенстве означает, что дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, а это, в свою очередь, означает, что квадратный трех- член имеет единственный корень. Из определения функции ( ) t ϕ следует, что этот корень существует тогда и только тогда, когда все слагаемые в выражении ( ) t ϕ могут одновременно обращаться в нуль, то есть когда существует значе- ние t , для которого при любом i верны равенства i i b t a = . Найденные соотно- шения означают, что неравенство превращается в равенство, если числа 1 2 3 , , ,..., n a a a a и 1 2 3 , , ,..., n b b b b пропорциональны: i i b ta = для любого значения i Замечание. Так как 1 1 n n i i i i i i a b a b = = ≤ ∑ ∑ , то будет выполняться и неравенство 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = ≤ ∑ ∑ ∑ . 34 Неравенство Минковского Для любых наборов вещественных чисел 1 2 3 , , ,..., n a a a a и 1 2 3 , , ,..., n b b b b выполня- ется неравенство ( ) 2 2 2 1 1 1 n n n i i i i i i i a b a b = = = + ≤ + ∑ ∑ ∑ ►Используя замечание к неравенству Коши-Буняковского, получим ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i i i i i n n i i i i a b a b a b a b a b a b = = = = = = = = = = + = + + ≤ + + = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Нужное неравенство получится, если из каждой части доказанного нера- венства извлечь квадратный корень. Очевидно, что равенство достигается, если i i b ta = для любого значения i .◄ 7.2. Определение метрического пространства Определение 1.7.1. Множество X будем называть метрическим про- странством , если для любых двух его элементов x и y определено неотрица- тельное число ( ) , x y ρ , обладающее свойствами: 1. ( ) , 0 x y ρ = тогда и только тогда, когда x y = ; ( аксиома тождества ) 2. для любых элементов , x y X ∈ выполнено равенство ( ) ( ) , , x y y x ρ ρ = ; ( аксиома симметрии ) 3. для любых элементов , , x y z X ∈ выполнено неравенство ( ) ( ) ( ) , , , x y x z z y ρ ρ ρ ≤ + ( аксиома треугольника ). Если на некотором множестве X задано отображение ( ) ( ) : , , x y x y ρ ρ → ∈ , удовлетворяющее аксиомам 1 – 3, то говорят, что на множестве X введена метрика и число ( ) , x y ρ называют расстоянием меж- ду элементами x и y. Примеры метрических пространств Пример 1. ( ) , X = −∞ + ∞ . Введем расстояние по формуле ( ) , x y x y ρ = − . До- кажем, что X – метрическое пространство. ☺ Аксиомы 1 – 3 метрического пространства выполнены, причем доказа- тельство требуется только для аксиомы треугольника. Возьмем три числа x, y и z, и обозначим x z a − = и z y b − = . Тогда x y a b − = + . 35 Запишем неравенство треугольника для модуля вещественного числа: a b a b + ≤ + и подставим значения a и b. Получим требуемое неравенство x y x z z y − ≤ − + − . ☻ Это пространство будем называть одномерным евклидовым простран- ством и обозначать или 1 Взяв одно и то же множество X и задавая различные метрики, можно по- лучать различные метрические пространства. Пример 2. ( ) , X = −∞ + ∞ , ( ) , 1 x y x y x y ρ − = + − ☺ Первые две аксиомы метрического пространства очевидно выполнены. Докажем, что ( ) , x y ρ удовлетворяет неравенству треугольника. Для этого заметим, что функция ( ) 1 1 1 1 t g t t t = = − + + возрастает, если 0 t ≥ . Отсюда следует, что для любых чисел a и b выполнено неравенство 1 1 a b a b a b a b + + ≤ + + + + . Дальнейшее рассуждение очевидно: 1 1 1 1 1 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b + + ≤ = + ≤ + + + + + + + + + + + Если в полученном неравенстве подставить a x z = − и b z y = − , то при- дем к неравенству треугольника.☻ Пример 3. ( ) { } 1 1 2 , ,..., | , 1,2,..., m i X a a a a a i m = = ∈ = , т.е. элементом множест- ва X является упорядоченный набор вещественных чисел, который мы будем обозначать a Пусть ( ) 1 2 , ,..., m x x x x = и ( ) 1 2 , ,..., m y y y y = - элементы множества X . Оп- ределим ( ) ( ) 2 1 , m i i i x y x y ρ = = − ∑ ☺Чтобы доказать неравенство треугольника, нужно в неравенстве Мин- ковского положить , i i i i i i a x z b z y = − = − , где ( ) 1 2 , ,..., m z z z z = .☻ Метрика, введенная таким образом, называется евклидовой метрикой, пространство с такой метрикой называется m-мерным евклидовым простран- ством и является обобщением хорошо известных из геометрии 2-х или 3-х мерного пространств. Такое пространство будем обозначать m . Очевидно, что пространство 1 является частным случаем пространства m . (Докажите это.) Замечание. В определении евклидова пространства имеются некоторые разночтения. В курсе линейной алгебры это понятие будет определено не- сколько иначе. 36 §8 Точки и множества в метрическом пространстве Пусть X - метрическое пространство. Введем ряд определений, часто ис- пользуемых в математическом анализе. Определение 1.8.1 Открытым шаром в метрическом пространстве X будем называть множество точек x X ∈ , удовлетворяющих условию ( ) , x a r ρ < , где a - фиксированная точка данного пространства, называемая центром шара , и r - положительное число, называемое радиусом шара . Шар радиуса r с центром в точке a будем обозначать ( ) r B a или, если ра- диус не важен, - ( ) B a , или B Определение 1.8.2. Замкнутым шаром будем называть множество точек x метрического пространства X , удовлетворяющих неравенству ( ) , x a r ρ ≤ , где a и r имеют тот же смысл, что и в определении 1. Обозначать замкнутый шар будем ( ) r B a Очевидно, что в пространстве 1 открытый шар – это интервал с центром в точке a : ( ) , a r a r − + , а замкнутый – это отрезок [ ] , a r a r − + . В пространстве 2 - это, соответственно, открытый или замкнутый круг на плоскости и т.п. Определение 1.8.3. Окрестностью точки a в метрическом пространстве будем называть любой открытый шар с центром в точке a. Радиус этого ша- ра будем называть радиусом окрестности Окрестность будем обозначать ( ) r U a , или ( ) U a , или U В этой части курса мы будем часто встречаться с окрестностью точки a радиуса ε в пространстве . Это открытый промежуток ( ) , a a ε ε − + , который мы будем называть ε-окрестностью точки a Определение 1.8.4. Множество ( ) { } \ r U a a будем называть проколотой окрестностью точки a и обозначать ( ) o r U a . Определение 1.8.5. Пусть a - точка метрического пространства X и E - некоторое множество точек пространства X . Точку a будем называть пре- дельной точкой множества E , если для любой проколотой окрестности ( ) o r U a точки a можно найти элемент x E ∈ такой, что ( ) o r x U a ∈ . Пример 1. Докажите, что каждое вещественное число является предельной точкой множества рациональных чисел. ☺Пусть α - заданное вещественное число. Возьмем ( ) r U α - какую- нибудь окрестность этой точки. Тогда по доказанному в 4.5 пример 2 на про- межутке ( ) , r α α − найдется хотя бы одно рациональное число. ☻ 37 Определение 1.8.6. Точка a E ∈ называется изолированной точкой мно- жества E , если существует проколотая окрестность этой точки ( ) o r U a , не содержащая ни одной точки из E . Определение 1.8.7. Точка a E ∈ называется внутренней точкой множе- ства E , если существует окрестность этой точки, целиком входящая в мно- жество E . Ясно, что каждая внутренняя точка является предельной и принадлежит данному множеству, но могут существовать предельные точки, не принадле- жащие этому множеству. Например, если 1 X = и ( ) , E a b = , то каждая точка интервала E является внутренней и предельной, и принадлежит множеству E Точки a и b являются предельными, но не принадлежат интервалу. Определение 1.8.8. Множество E называется открытым , если все его точки внутренние. Пустое множество открыто по определению. Множество X всех элемен- тов пространства открыто. Определение 1.8.9. Множество E называется замкнутым , если оно со- держит все свои предельные точки. Определение 1.8.10. Множество всех внутренних точек множества E на- зывается внутренностью множества E и обозначается int E . Определение 1.8.11. Объединение множества E и множества всех его пре- дельных точек называется замыканием множества E . Замыкание множества E будем обозначать E . Очевидно, что замыкание каждого множества является замкнутым множеством. Определение 1.8.12. Точка a, в каждой окрестности которой имеются точки, принадлежащие E , и точки, не принадлежащие E , называется гра- ничной точкой множества E . Множество граничных точек будем называть границей множества E и обозначать E ∂ Граничная точка может принадлежать множеству и может ему не при- надлежать. Определение 1.8.13. Множество E называется ограниченным , если суще- ствует шар ( ) r B a , который содержит множество E . Упражнение. Доказать, что, если множество m E R ⊂ ограничено, то суще- ствует шар ( ) r B O с центром в точке ( ) 0,0,...,0 O такой, что ( ) r E B O ⊂ Теорема 1.8.1. Открытый шар есть открытое множество ►Рассмотрим шар ( ) ( ) { } | , r B a x x a r ρ = < . Возьмем произвольную точку этого шара 0 x и докажем, что она является внутренней для этого шара, т.е. что существует шар (окрестность точки 0 x ), целиком входящий в данный шар. Обозначим через ( ) 0 , d x a ρ = - расстояние от точки 0 x до центра данного шара a и рассмотрим ( ) 1 0 r B x - шар с центром в точке 0 x радиуса 1 r r d = − . Для произвольной точки этого шара 1 x выполнено неравенство 38 ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 1 , , , x a x x x a r d r d d r ρ ρ ρ ≤ + < + = − + = , которое означает, что взятая точка 1 x входит в данный шар ( ) r B a , что и требовалось доказать.◄ Теорема 1.8.2. Множество E открыто тогда и только тогда, когда его дополнение d E до всего пространства замкнуто. ►Пусть множество E открыто, и точка a является предельной точкой множества d E . Если предположить, что эта точка не принадлежит множеству d E , то эта точка должна принадлежать множеству E , следовательно, она должна являться внутренней точкой множества E . Но тогда существует окре- стность точки a , не имеющая ни одной общей точки с множеством d E , что противоречит тому, что a - предельная точка этого множества. Обратно, если множество d E - замкнуто, то никакая точка множества E не может быть предельной для d E . Значит, если взять произвольную точку множества E , то можно найти окрестность этой точки, непересекающуюся с множеством d E , т.е. целиком лежащую в E , следовательно, эта точка будет внутренней точкой множества E и это множество открыто.◄ Следствие 1 Множество E замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение d E открыто. Следствие 2. Множество X всех элементов пространства замкнуто. Следствие 3. Пустое множество замкнуто. Замечание Пустое множество и множество X всех элементов простран- ства являются одновременно и открытыми и замкнутыми. Теорема 1.8.3. Объединение произвольного числа открытых множеств от- крыто. Пересечение конечного числа открытых множеств открыто. ►Пусть Λ - некоторое произвольное множество и каждому элементу λ ∈Λ соответствует множество G λ , которое является открытым. Докажем, что G G λ λ ∈Λ = ∪ тоже открыто. Пусть a G ∈ . Тогда точка a принадлежит хотя бы одному из множеств G λ , а так как это множество открыто, то существует окрестность точки a , цели- ком входящая в G λ , и, следовательно, входящая в объединение G . Это означа- ет, что a является внутренней точкой множества G и оно открыто. Докажем теперь вторую часть теоремы. Пусть дан конечный набор от- крытых множеств { } 1 k n k k G = = . Докажем, что их пересечение 1 n k k G G = = ∩ открыто. Пусть a G ∈ . Тогда k a G ∈ для каждого 1,..., k n = . Так как каждое множе- ство k G открыто, то для каждого значения k найдется окрестность ( ) k r U a , входящая в множество k G . Из радиусов этих окрестностей 1 2 , ,..., n r r r выберем наименьший. Обозначим его через r . Тогда, очевидно, что ( ) ( ) k r k r U a U a G ⊂ ⊂ 39 для любого 1,..., k n = , следовательно, окрестность ( ) r U a целиком входит в пе- ресечение G и точка a - внутренняя.◄ Следствие. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Пересечение произвольного числа замкнутых множеств замкнуто. Это следует из теоремы 1.8.2 и свойств дополнений: d d G G λ λ λ λ ∈Λ ∈Λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∪ ∩ и d d G G λ λ λ λ ∈Λ ∈Λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∩ ∪ Замечание. Нетрудно показать, что пересечение бесконечного числа открытых множеств может быть замкнутым, а объединение бесконечного числа замкну- тых множеств – открытым. Например, [ ] 1 1 1 1 ,2 1,2 n n n ∞ = ⎛ ⎞ − + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∩ и ( ) 1 1 1 ,1 0,1 n n n ∞ = ⎡ ⎤ − = ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∪ Теорема 1.8.4. Точка a является предельной точкой множества E тогда и только тогда, когда в любой ее окрестности, содержится бесконечное мно- жество точек множества E . ► В одну сторону утверждение очевидно. Докажем только, что, если точка a является предельной, то в любой ее окрестности находится бесконечно много точек множества. Возьмем некоторую окрестность точки a : ( ) r U a и найдем точку, отлич- ную от точки a , лежащую в этой окрестности и принадлежащую множеству E . Назовем ее 1 x . Положим ( ) 1 1 , r x a ρ = и рассмотрим окрестность ( ) 1 r U a . Оче- видно, что 1 r r < , поэтому ( ) ( ) 1 r r U a U a ⊂ . Но в окрестности ( ) 1 r U a тоже най- дется точка 2 x , отличная от точки a и принадлежащая множеству E . Очевидно, она принадлежит первоначальной окрестности ( ) r U a Продолжая этот процесс до бесконечности получим бесконечный набор точек 1 2 3 , , , x x x E ∈ … .◄ Следствие. Конечное множество точек не содержит ни одной предель- ной точки. Теорема 1.8.5. Пусть E - ограниченное сверху, замкнутое множество веще- ственных чисел и sup E b = . Тогда b E ∈ . ►Если sup b E = , то, взяв произвольное число 0 ε > , можно найти точку x E ε ∈ , которая будет удовлетворять неравенству b x b ε ε − < ≤ . Тогда, если вы- полнено равенство x b ε = и других точек из E , лежащих на промежутке ( ] , b b ε − , нет, то b E ∈ и является изолированной точкой этого множества. Если же для любого 0 ε > найдется соответствующая точка x ε , отличная от b , то не- равенство означает, что b является предельной точкой множества E и b E ∈ в силу замкнутости E .◄ |