Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets 1.1. Определения definition В основе матаматики лежит понятие множества как совокупность объектов (называемых элементами множества или точками, ) связанных между собой некоторыми свойствами. Например, b) = {x|a ? x < Множество натуральных чисел {1, 2, . . . , n, . . Обычное обозначение множества = далее описание условий, при выполнении которых данный элемент a входит в множество A Обозначения ? элемент a принадлежит множеству A; A ? множество A содержит элемент a; A = множество A содержит только одну точку Пустое множество (то есть множество, где нет ни одного элемента). Определение 1.1 множество B называется подмножеством множества запись B ? A или B ? A или A ? B либо A ? если всякий элемент множества B принадлежит множеству A. 1.2. Основные действия (операции) надмножествами Здесь будут приведены лишь те действия, которые используются в данном курсе. Определение Объединением множеств A и B (запись A ? B) называется множество, куда входит хотя бы один элемент из множеств A или Соответственно означает множество, всякий элемент которого входит хотя бы одно из множеств семейства Определение Пересечением множеств A и B (запись A ? B) называется множество, всякий элемент которого входит как во множество A, таки во множество Соответственно означает множество, всякий элемент которого входит сразу вовсе множества семейства Следовательно, A ? B = ? означает, что множества A и B не имеют общих точек (то есть не пересекаются). Определение 1.4 Разностью множеств A и B (запись A \ B) называется множество, всякий элемент которого входит во множество A, и не входит во множество B. 1.3. Определение операции. Определение 1.5 Говорят, что на множестве A задана операция, если всякой паре элементов данного множества по некоторому правилу поставлен в соответствие некоторый третий элемент данного множества. (вообще говоря, эти три элемента отнюдь не обязаны различаться 1.4. Множество действительных чисел real real 1.4 1.4.1. Определение и аксиоматика def real def real 1.4.1 Определение Множеством действительных (или вещественных) чисел называется множество со следующими тремя группами свойств 1. Свойства поля 2. Упо- рядочивания; 3. Отделимости. Свойства поля. На множестве действительных чисел заданы две (основных) операции Сложения (обозначение a + b) и умножения (записывается как a · b или a Ч b; иногда знак умножения опускают; эта операция старше сложения, то есть сначала выполняются все умножения, а затем все сложения, в противном случае ставятся скобки) со следующими девятью свойствами. Cложение коммутативно a + b = b + a (то есть складывать можно в любом порядке. Cложение ассоциативно (a + b) + c = a + (b + c) (это свойство позволяет складывать любое конечное число действительных чисел. Cуществует такое действительное число 0 (нуль, что для любого вещественного числа a выполнено равенство a + 0 = a 4. Для всякого действительного числа a cуществует противоположное ему число ?a такое, что a + (?a) = 0; это свойство определяет вычитание чисел по правилу a ? b = a + (?b). 5. Умножение коммутативно ab = ba (то есть умножать можно в любом порядке. Умножение ассоциативно (ab)c = a(bc) (это свойство позволяет перемножать любое конечное число действительных чисел. Cуществует такое действительное число 1 (единица, что для любого вещественного числа выполнено равенство a Ч 1 = a. 8. Для всякого отличного от нуля действительного числа a ?= 0 cуществует обратное ему число такое, что a Ч это свойство определяет деление чисел по правилу b = a Ч. Умножение дистрибутивно по сложению a(b + c) = ab + ac. Упорядочивание Для любого действительного числа a существует одно и только одно из соотношений либо a > 0 (тогда число a называется положительным либо a < 0 (в таком случае число a называется отрицательным либо a = 0. Причјм, по определению, a < b тогда и только тогда, когда a?b < 0 ив томи только в том случае, когда a?b > 0 и данные соотношения удовлетворяют следующим трјм свойствам. Если a > 0 и b > 0, то a + b > 0; 2. Если a < 0 и b < 0, то a + b < 0; 3. Если a > 0 и b > 0, то ab > 0. Отделимость Для любых двух непустых подмножеств A и B множества вещественных чисел таких, что для всякого a ? A и любого b ? B выполнено условие a ? b (то есть одно из множеств (A) целикомлехит левее другого множества (B)) найдјтся действительное число c такое, что для всех a ? A и всех b ? B справедливо неравенство a ? c ? Отделимость иногда называют ещј и свойством полноты действительной прямой. Модуль (абсолютная величина) действительного числа mod Определение 1.7 Абсoлютной величиной (модулем) действительного числа x называется величина = ? x , если x ? 0 ?x для x < 0. 2 mod Справедливы неравенства ? |b|| ? |a + b| ? |a| + |b|; ||a| ? |b|| ? |a ? b| ? |a| + и | ? a| = |a|, (1) shc1.1 причјм |a + b| = |a| + |b| тогда и только тогда, когда числа a и b одного знака (то есть либо оба положительные, либо оба отрицательные) ив томи только в том случае, когда числа a и b разных знаков. Читателю предлагается самостоятельно получить первое равенство в ( shc1.1 1), используя предлагаемые сразу после ( shc1.1 1) пояснения, предварительно доказав их. Третье равенство в ( shc1.1 1) очевидно. А второе равенство в ( shc1.1 1) легко следует из первого и третьего с помощью подстановки z = ?y. 1.4.3. Действительная прямая. Отрезок. Интервал. segment На прямой линии выберем точку, которую назовјм началом отсчјта, что будет соответствовать действительному числу a = 0. Подберјм также масштаб (единицу измерения) и справа от точки a = на расстояние от неравное единице, отмечаем точку b = 1. Тогда любому действительному числу x ставим в соответствие точку на прямой, отстоящую справа на растояние |x| от a = если x > 0 и слева на расстояние |x| при x < 0. Получилось соответствие между множеством вещественных чисел и точками на прямой линии. Свойство отделимости означает, что вся прямая линия будет заполнена и дырок на ней не будет, ибо дырка является единственным разделителем двух множеств на прямой, одно из которых лежит целиком правее дырки, а другое целиком левее еј. Поэтому, согласно свойству отделимости (или полноты, эта дырка также должна соответствовать некоторому действительному числу. Полученную прямую называют вещественной прямой и обозначают R = (??, Определений 1.8. Отрезком [a, b] называют множество всех вещественных чисел x, таких, что a ? x ? В дальнейшем будет даваться краткая запись, согласно которой определение 1.8 запишется следующим образом [a, b] = {x ? R|a ? x ? Определение 1.9. Интервал (a, b) = {x ? R|a < x < Определение 1.10. Замкнутый справа полуинтервал (a, b] = {x ? R|a < x ? Определение 1.11. Замкнутый слева полуинтервал [a, b) = {x ? R|a ? x < Определение 1.12. Открытая слева полупрямая (луч) (a, ?) = {x ? R|x > Определение 1.13. Замкнутая слева полупрямая (луч) [a, ?) = {x ? R|x ? Определение 1.14. Открытая справа полупрямая (луч) (??, a) = {x ? R|x < Определение 1.15. Замкнутая справа полупрямая (луч) (??, a] = {x ? R|x ? a}. 1.4.4. Окрестность точки. Проколотая окрестность. neibour Определение 1.16. Окрестностью (? ? окрестностью точки a называется интервал u ? ( a) = u(a) = (a ? ?, a + Определение 1.17. Проколотой окрестностью (проколотой ? ? окрестностью ) точки называется окрестность безе центра u(a) \ {a} = u ? (a) \ Определение 1.18. Правой полуокрестностью (правой ? ? полуокрестностью ) точки называется интервал u + ? ( a) = u + ( a) = (a, a + Определение 1.19. Левой полуокрестностью (левой (? ? полуокрестностью ) точки называется интервал u ? ? ( a) = u ? ( a) = (a ? ?, а). Очевидно, что u(a) = u + (a) ? Определение 1.20. Правой полуокрестностью (правой M ? полуокрестностью ) бесконечно удалјнной точки называется луч U + M (?) = U + (?) = ( M, ?). 3 Определение 1.21. Левой полуокрестностью (левой M ? полуокрестностью бесконечно удалјнной точки называется луч U ? M (??) = U ? (??) = (??, ? М). Определение 1.22. Oкрестностью (проколотой окрестностью M? окрестностью проколотой окрестностью) бесконечно удалјнной точки называется U M (?) = U + M (?) ? U ? M (?). 1.4.5. Ограниченные множества Определение 1.23 Множество A называется ограниченным сверху, если существует такое число M, что для любого элемента a ? A выполнено неравенство a ? M. При этом такое число M называется числом, ограничивающим множество A сверху. Определение 1.24 Множество A называется ограниченным снизу, если существует такое числом, что для любого элемента a ? A выполнено неравенство a ? m. При этом такое число m называется числом, ограничивающим множество A снизу. Определение 1.25 Множество A называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, таки снизу. Другое определение 1.26 Множество A называется ограниченным, если существует такое число M, что для любого элемента a ? A выполнено неравенство |a| ? В самом деле, если A ограничено согласно определению 1.26, то число M его ограничивает сверху, а число ?M ограничивает его снизу. Напротив, если число m ограничивает множество A снизу, а M 1 ? сверху, то положим M = max(?m, Тогда для любого a ? A будет ? m ? a ? M 1 ? то есть |a| ? Например, отрезок и интервал ограниченные множества. Открытое или замкнутая слева по- лупрямая ограничены снизу, ноне ограничены сверху. Вся действительная прямая, а также множества всех целых или рациональных чисел неограничены в обе стороны. Верхняя и нижняя грани как обобщения максимума и минимума and Определение 1.27. Самое маленькое из чисел, ограничивающих множество A сверху, называется верхней гранью множества A. Записывается как Определение 1.28. Самое большое из чисел, ограничивающих множество A снизу, называется нижней гранью множества A. Записывается как Очевидно, что для всякогонепустого ограниченного множества A inf A ? sup A, ибо inf A ограничивает множество снизу, a sup A? сверху. Если множество имеет наибольший злемент, то он является его верхней гранью, а наименьший элемент (если он есть) его нижней гранью. Контрпример 1.1 Рассмотрим множество A = { n n+1 |n = 1, 2, . . .} = { 1 2 , 2 3 , 3 4 , . . . , n n+1 , . . Покажем, что число s = 1 = sup В самом деле, всякий элемент множества A является правильной дробью, и, следовательно, он меньше единицы, то есть число s = 1 ограничивает множество A сверху. Берјм теперь любое число l < Пусть n > 1 Тогда n n+1 = 1? 1 n+1 > 1? 1 n > 1?(1?l) = то есть никакое число l < 1 множество A сверху уже не ограничивает. Поэтому единица самое маленькое из чисел, ограничивающих сверху. Поэтому sup A = 1, хотя число s = 1 не является наибольшим элементом множества A? оно во множество A не входит. Отметим также, что если sup A ? A, то sup A = max A, a для inf A ? будет inf A = min A. Справедлива также следующая Теорема 1.1 Всякое непустое и ограниченное сверху множество имеет верхнюю грань, а любое непустое ограниченное снизу множество имеет нижнюю грань. Как показывает контрпример 1.1, наибольшего (а также наименьшего) элемента у ограниченного множества A может и не быть в отличие от верхней и нижней граней. Доказательство теоремы Докажем для верхней грани для нижней грани теорема получается аналогично и предлагается читателю доказать е самостоятельно Пусть B множество всех чисел, ограничивающих A сверху. По свойству отделимости найдјтся действительное чиспо s такое, что для любого a ? A и всех b ? B справедливо неравенство a ? c ? Левая часть неравенства ( shc1.3 3) означает, что c ограничивает множество A сверху, а правая часть то, что c самое маленькое из этих чисел. Поэтому c = sup A. Теорема 1.1 доказана. Принцип вложенных отрезков segment in Имеет место следующая Теорема о вложенных отрезках. Пусть, b 1 ] ? [a 2 , b 2 ] ? [a 3 , b 3 ] ? . . . ? [a n , b n ] ? . . . Тогда n , b n ] ?= Или система вложенных друг в друга отрезков имеет общую точку. Контрпример 1.2 Следующая система вложенных друг в друга интервалов, 1) ? (0, 1 2 ) ? (0, 1 3 ) ? . . . ? (0, 1 n ) ? . . общих точек не имеет, ибо = покажите это, а точка a = 0 нив один из интервалов (не входит. Поэтому) = Доказательство теоремы о вложенных отрезках В силу условия ( shc1.4 4) левые и правые концы отрезков a 1 ? a 2 ? a 3 . . . ? a n ? b n . . . ? b 3 ? b 2 ? Покажем, что всякий левый конец a отрезков меньше любого правого конца (возможно и другого отрезка) b то есть a n < b При n = m это следует из определения отрезка. Для n > m a n < b n ? b Если же n < m, то a n ? a m < b Пусть теперь A множество всех левых концов отрезков, a B множество всех их правых концов. Ввиду неравенства ( s1.1hc 5) множесьво A целиком лежит левее множества B, и поэтому, по свойству отделимости вещественных чисел, найдјтся такое действительное тчисло c, что для всех целых положительных то есть точка c входит вовсе отрезки [a n , b или c ? ? ? n=1 [a n , b Теорема о вложенных отрезках доказана. Выделение конечного покрытия Если отрезок покрыт ннекоторой системой интервалов, то из этой системы можно выделить конечную систему интервалов, также покрывающих этот отрезок. Или имеет место следующая Теорема Гейне-Бореля (теорема о выделени конечного покрытия. Пусть задан отрезок, и система интервалов такая, что [a, b] ? Тогда в системе интервалов можно выделить конечную подсистему {I 1 , I 2 , . . . , . . . I n } ? такую, что [a, b] Контрпример 1.3. Для интервала (0, 1) = ? ? n=1 ( 1 n , покажите это равенство) любое конечное объединение, 1) = ( 1 N , 1) ?= (0, то есть для интервала (a, b) выделения конечного покрытия может и не получиться. Доказательство теоремы о выделении конечного покрытия Допустим противное, то есть конечное покрытие не выделяется. Разобьјм отрезок [a, b] на две равные части. Тогда хотя бы одна из его половинок (обозначим е как отрезок [a 1 , длины конечного покрытия не допускает. Этот отрезок также разделим пополам. Хотя бы одна из полученных четвертушек (которую мы обозначим как отрезок [a 2 , длины также конечного покрытия не допускает. Продолжая этот процесс, получим систему вложенных друг в друга отрезков [a n , b n ] длинн b n ? a n = b ? a 2 n < b ? a n (6) s2.1hc не допускающих конечного покрытия (здесь мы используем известное неравенство 2 n > По теореме о вложенных отрезках (см. п/п segment in segment 1.4.7 ) существует точка c, принадлежащая сразу всем отрезкам n , b Эта точка c должна войти в какой-то из интервалов c ? I = (?, ?) ? {I ? }. Возьмјм n > max( b?a Тогда min( c ? ? b ? a , ? ? c b ? то есть b ? a n < min(c ? ?, ? ? Поэтому из неравенств ( s2.1hc 6) и ( s3.1hc 7) получим (ибо c ? [a n , b n ]) c ? a n ? b n ? a n < b?a n < c ? или c ? a n < c ? и, следовательно ? < a и b n ? c ? b n ? a n < b?a n < ? ? Показано, что b n ? c < ? ? c то есть b n < Из неравенств ( s4.1hc 8) и ( s5.1hc 9) следует, что отрезок [a n , b n ] ? (?, ?) = I то есть покрылся одним интервалом (?, ?) = I из системы интервалов {I ? }. A по предположению он не должен допускать конечного покрытия. Полученное противоречие и доказывает теорему о выделении конечного покрытия. Натуральные, целые и рациональные числа and Определение 1.29. Множеством натуральных чисел называется = {1, 2 = 1 + 1, 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, . . . , n = (n ? 1) + 1, . . Пусть ?N = {?n|n ? Определение 1.30. Множеством целых чисел называется Z = N ? (?N) ? Определение 1.31. Множеством рациональных чисел называется = { m n |m, n ? Z и n ?= Теорема 1.2 Множество натуральных чисел неограничено (сверху снизу оно ограничивается числом 1. Соответственно множества целых и рациональных чисел не ограничены в обе стороны. В самом деле, пусть N = sup N. Тогда число N ? 1 сверху множество N не ограничивает, то есть существует натуральное число n ? N, такое, что n > N ? 1. Тогда число n + 1 также должно быть натуральными, что противоречит тому, что N = sup N. Теорема 1.2 доказана. Метод матаматической индукции. induction Теорема 1.3 (метод математической индукции. Пусть про некоторое свойство известно, что 1. Оно имеет место при n = 1 (иногда полагают, что оно верно при n = n 0 ? N). 2. Если оно выполнено для n = k ? N ( и k > то оно справедливо и при n = k + Тогда это свойство верно для любого натурального n. 6 Определение 1.32. Условие 1. теоремы 1.3 называется базой индукции, а условие 2 шагом индукции. Доказательство метода математической индукции. Пусть теорема 1.3 неверна, то есть при некотором натуральном l свойство не выполнено. Положим самое маленькое из тех натуральных чисел, для которых данноет свойство неверно. По условию 1., m > n 0 Tогда для числа n = k = m ? 1 это свойство должно быть выполнено. Но тогда, по условию. теоремы 1.3, это свойство должно быть справедливо и при n = k + 1 = (m = 1) + 1 = m, что противоречит предположению о том, что для n = m это свойство выполняться не должно. Данное противоречие и доказывает теорему Методом математической индукции покажем неравенство Для n = 1 неравенство ( s6.1hc 10), очевидно, выполнено. Пусть оно верно при n = k, то есть 2 k > Тогда для n = k + 1 получим 2 n = 2 k+1 = 22 k > 2k = k + k > k + 1 = то есть ( s6.1hc 10) верно и для k = n + Неравенство ( s6.1hc 10) доказано. Покажем теперь, что имеет место следующая Лемма 1.1. Для любых натурального n действительного ? ? ?1 справедливо неравенство + ?) n ? 1 + Доказательство леммы При n = 1 ( s8.1hc 11) справедливо и становится равенством. Пусть для n = k неравенство ( s8.1hc 11) выполнено, то есть (1 + ?) k ? 1 + Тогда в случае n = k + 1 получим + ?) k+1 = (1 + ?) k (1 + ?) ? (1 + k?)(1 + ?) = 1 + k? + ? + k? 2 |