Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
? и существует lim n?? x то lim n?? x n ? Контрпример 4.2 B примере 3.1 (см of sequence 3.1 в џ3) все элементы последовательности положительные, однако е предел положительным не является он равен нулю. Поэтому строгие неравенства при переходе к пределу не сохраняются. Доказательство леммы Допустим противное, то есть l = lim n?? x n < Положим ? = ? l 2 > Тогда найдјтся такое число N 2 , что для всех целых n > выполнено неравенство |x n ? l| < то есть l 2 < x n ? l < или x n < l ? l 2 = l 2 < и при n > max(N 1 , это противоречит условию леммы (x n ? Данное противоречие и доказывает лемму Теорема 4.4 Если для всех целых n, начиная с некоторого номера N 1 x n ? y и существуют оба предела lim n?? x и lim n?? y то lim n?? x n ? lim n?? y Эта теорема будет доказана в џ ariphmetic on limits 6, п of theorem 4.4 Контрпример 4.3. Все члены последовательности примера 3.7 не превосходят всех элементов последовательности примера 3.10 (см of sequence 3.1 в џ3), однако неверно, что предел последовательности примера не превосходит предела последовательности примера 3.10, ибо последовательность примера предела не имеет. Teopeмa 4.5 Пусть для всех n, начиная с некоторого номера выполнено неравенство y n ? x n ? z и существуют lim n?? y n = lim n?? z n = Тогда существует и lim n?? x n = l. ( то есть предел последовательности {x также существует и совпадает с пределами последовательностей и {z n } ? n=1 ). Доказательство Так как lim n?? y n = то для любого положительного ? найдјтся такое число что для всех целых n > выполнено неравенство |y n ? l| < или ?? < y n ? l < ?, oткуда следует l ? ? < y Аналогично для данного ? существует такое число что при всяком целом n > справедливо неравенство |z n ? l| < или ?? < z n ? l < то есть z n ? l < Положим далее N = max(N 1 , N 2 , Тогда для всех n > справедливы как неравенство условия теоремы, таки неравенства ( s8.4hc 20) и ( s9.4hc 21). Из этих неравенств получим, что для n > N ?? < y n ? l ? x n ? l ? z n ? l < то есть |x n ? l < ?. A это означает, что l = lim n?? x и теорема доказана џ infinite large and small 5 Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. Определение бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей. Связь между ними inf large and Определение Последовательность называется бесконечно малой, если lim n?? ? n = Подставляя в определение 4.1 l = 0, (см of limit 4.1 в џ limit 4 ) получаем ещј одно определение бесконечно малой последовательности Определение 5.2. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа ? найдјтся такое число N, что при всех n > N выполнено неравенство < Определение 5.3. Последовательность {h называется бесконечно большой, если для любого положительного числа M найдјтся такое число N, что при всяком n > N выполнено неравенство n | > Последовательности примеров 3.1, 3.2, 3.3 и 3.8 бесконечно малые, последовательности примеров и 3.6 бесконечно большие (см. п of sequence 3.1 в џ number sequence 3). Очевидно, что всякая бесконечно большая последовательность неограничена. Контрпример 5.1. Последовательность примера 3.9 неограничена, однако не является бесконечно большой, ибо все е элементы, стоящие на нечјтных местах, не больше единицы. Теорема 5.1. Если бесконечно малая последовательность, то { 1 ? n } ? n=1 ? беско- нечно большая последовательность. Доказательство. Берјм произвольное M > 0 и положим ? Так как бесконечно малая последовательность, то найдјтся такое число N, что для всех n > N справедливо неравенство |? n | Тогда при тех же n | 1 ? n | > то есть последовательность { 1 ? n } ? n=1 ? бесконечно большая. Теорема 5.1 доказана. Теорема 5.2. Если {h бесконечно большая последовательность, то бесконечно малая последовательность. Теорема 5.2 доказывается аналогично теореме 5.1 и читателю предлагается провести доказательство самостоятельно. Cумма двух бесконечно малых последовательностей of infinite Теорема Сумма двух бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Доказательство. Итак, пусть и бесконечно малые последовательности. Тогда для любого положительного найдјтся такое число что при всех n > выполнено неравенство < ? 2 (24) s3.5hc 15 и существует такое, что при любом n > будет < ? 2 (25) s4.5hc (относительно ? 2 см. рассуждения вначале вывода необходимости критерия Коши в п Коши. Полoжим N = max(N 1 , Тогда для всякого n > N выполнены как неравенство ( s3.5hc 24), таки) и для суммы+ ? n | ? |? n | + |? n | < ? 2 + ? 2 = то есть сумма двух бесконечно малых последовательностей и также является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5.3 доказана. Методом математической индукции легко показать, что сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью, и читателю предлагается установить это самостоятельно. Произведение бесконечно малой на ограниченную. Произведение бесконечно малых of infinite small Тeорема Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную является бесконечно малой последовательностью. Доказательство. Итак, пусть последовательность {x ограничена, то есть существует такое положительное число C, что для любого целого n |x n | ? C. Берјм произвольное ? > 0. Тогда число ? C также положительно. Так как последовательность бесконечно малая, то для этого положительного числа ( ? C ) нaйдјтся N такое, что при любом n > N выполнено неравенство |? n | Тогда для тех же n будет |x n ? n | = |x n ||? n | < C ? C < то есть последовательность {x является бесконечно малой. Теорема 5.4 доказана. Из теоремы 5.4 легко вытекают следующие два следствия (ибо если последовательность имеет (конечный) предел, то она ограничена (см. теорему 4.2 в п of convergence 4.3 в џ limit 4, и, следовательно, бесконечно малая последовательность (как имеющая нулевой предел) также ограничена): Следствие 5.1. Произведение бесконечно малой последовательности на последовательность, имеющую (конечный) предел является бесконечно малой последовательностью. Cледствие 5.2. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых последовательностей является бесконечно малой последовательностью. Покажем, что имеет место и следующая теорема Частное при делении ограниченной последовательности на бесконечно большую есть бесконечно малая последовательность. Доказательство. Если {h бесконечно большая последовательность, то, то теореме 5.2, { 1 h бесконечно малая последовательность. Тогда частное x n h n представим как произведение x n h n = x n 1 h которое, по теореме 5.4, является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5.5 доказана on limits 6 Арифметические операции над пределами последовательностей. Арифметические операции над пределами последовательностей. Связь предела с бесконечно малыми and infinite Легко видеть, что определение предела для последовательности {x с определениии 4.1 (см. п of в џ limit 4) в точности совпадает с определением того, что последовательность {? n = x n ? является бесконечно малой (см. определение 5.2 п inf large and small 5.1 в large and small 5). Поэтому имеет место следующая Теорема ariphmetic on limits 6.1. lim n?? x n = l тогда и только тогда, когда разность x n ? l является бесконечно малой величиной. Предел суммы, разности и произведения and product of limits предел суммы. Теорема ariphmetic on limits 6.2. Пусть существуют оба предела lim n?? x n = и lim n?? y n = Тогда существует и lim n?? (x n + y n ) = lim n?? x n + lim n?? y n = l 1 + l 2 Дoказательство. По теореме ariphmetic on limits 6.1 x n = l 1 +? n и y n = где и бесконечно малые последовательности. Тогда x n +y n = (и, по теореме infinite large and small 5.3, последовательность является бесконечно малой. Поэтому, ввиду теоремы ariphmetic on limits 6.1, lim n?? x n + lim n?? y n = l 1 + Теорема ariphmetic on limits 6.2 доказана. предел разности. Теорема ariphmetic on limits 6.3. Пусть существуют оба предела lim n?? x n = и lim n?? y n = Тогда существует и lim n?? (x n ? y n ) = lim n?? x n ? lim n?? y n = l 1 ? Теорема ariphmetic on limits 6.3 доказывается аналогично теореме ariphmetic on limits 6.2 и читателю предлагается провести это доказательство самостоятельно. Предел произведения Теорема ariphmetic on limits 6.4. Пусть существуют оба предела lim n?? x n = и lim n?? y n = Тогда существует и lim n?? (x n y n ) = lim n?? x n lim n?? y n = l 1 l 2 Дoказательство. По теореме ariphmetic on limits 6.1 x n = l 1 + ? n и y n = l 2 + где и бесконечно малые последовательности. Тогда x n y n = l 1 l 2 + l 1 ? n + l 2 ? n + По теореме infinite large and small 5.4, а также следствию infinite large and small 5.2 из непоследовательности, и бесконечно малые. Тогда, по теореме infinite large and сумма трјх предыдущих последовательностей является бесконечно малой последовательностью, и, следовательно, по теореме ariphmetic on limits 6.1, lim n?? (x n y n ) = Теорема ariphmetic on limits 6.4 доказана. Предел частного of Теорема ariphmetic on Пусть существуют lim n?? x n = и lim n?? y n = l 2 ?= Тогда существует и lim n?? x n y n = lim n?? x n lim n?? y Для доказательства теоремы ariphmetic on limits 6.5 сначала рассмотрим следующие две леммы: Лемма ariphmetic on limits 6.1. Если lim n?? y n = l 2 ?= то последовательность n } ? n=1 ограничена. Доказательство леммы ariphmetic on Не ограничивая общности, можно считать, что l 2 > иначе перейдјм к последовательности Положим = l 2 Тогда, согласно определению limit 4.1, найдјтся такое число N, что при всех n > выполнено неравенство n ? l 2 | < l 2 или 2 < y n ? l 2 < l 2 то есть l 2 2 < y n < 3 Поэтому для всех n > N справедливо неравенство 3l 2 < 1 y и тогда последовательность сверху ограничивается числом max( 1 y 1 , 1 y 2 , 1 y 3 , . . . , 1 y N , 2 l 2 ), a снизу числом min( 1 y 1 , 1 y 2 , 1 y 3 , . . . , 1 y N , 2 Лемма ariphmetic on limits 6.1 доказана. Лемма ariphmetic on limits 6.2. Если lim n?? y n = l 2 ?= то cуществует lim n?? 1 y n = 1 lim n?? y Доказательство леммы ariphmetic on По теореме ariphmetic on limits 6.1 y n = l 2 + где бесконечно малая последовательность. Тогда 1 y n ? 1 l 2 = (l 2 ? y n ) 1 y бесконечно малая последовательность как произведение бесконечно малой l 2 ?y на ограниченные (по лемме ariphmetic on limits 6.1) (см. также теорему infinite large and small 5.4 в п of infinite small 5.3 џ infinite large and small 5) 1 y n и 1 l 2 Поэтому, по теореме ariphmetic on limits 6.1, lim n?? 1 y и лемма ariphmetic on limits 6.2 доказана. Доказательство теоремы ariphmetic on Частное x n y n представим как произведение x n 1 y и используем теорему ariphmetic on limits 6.4 и лемму ariphmetic on limits 6.2. Получим lim n?? x n y n = lim n?? x n 1 y n = lim n?? x n lim n?? 1 y n = lim n?? x n 1 lim n?? y n = lim n?? x n lim n?? y Теорема ariphmetic on limits 6.5 доказана. Доказательство теоремы limit 4.4 в п 3 4.6 џ limit 4. proof of theorem Если y n ? x то y n ? x n ? и по лемме limit 4.1, а также теореме ariphmetic on limits 6.3 0 ? lim n?? (y n ? x n ) = lim n?? y n ? lim n?? x то есть lim n?? x n ? lim n?? y Теорема limit 4.4 доказана ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ of function 7 Предел функции. Теоремы о функциях, имеющих предел. Предел функции. Теоремы о функциях, имеющих предел of function 7.1. Определение предела по Гейне и по Коши. Гейне и Коши Гейне и Коши 7.1 Функция f(x) должна быть определена в некоторой проколотой окрестности точки Определение Гейне. l = G lim x?a f(x), если для любой последовательности {x такой, что lim n?? x n = a будет lim n?? f (x n ) = Определение Коши. l С x?a f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое > что для всех x, таких, что |x ? a| < ? и x ?= a следует, что (x) ? l| < Покажем эквивалентность этих определений. Пусть l С x?a f (по Коши. Берјм произвольную последовательность {x такую, что lim n?? x n = это означает, что найдјеся такое число N, что при всех n > N выполнено неравенство Тогда и ( по определению Коши) |f(x n ) ? l| < то есть l = G lim x?a f (Напротив, пусть неверно, что l С x?a f (этого предела может и не быть. Это означает, что найдјтся такое число ? > 0, что при всех положительных ? существует x такое, что |x ? a| < ?, но (x) ? l| ? Пусть теперь ? 1 = Подбираем такое, что |x 1 ? a| < ? 1 = и |f(x 1 ) ? l| ? ?. Берјм далее положительное число ? 2 < min( 1 2 , |x 1 ? a|. Нaходим число такое, что |x 2 ? a| < ? 2 ? 1 2 (a также ибо |x 2 ?a| < ? 2 < что |f(x 2 )?l| ? Продолжая этот процесс, строим последовательность {x такую, что |x n ? a| и поэтому lim n?? x n = однако |f(x n ) ? l| ? то есть неверно, что lim n?? f (x n ) = Таким образом, число l не может быть и пределом функции по Гейне. Так как определение предела функции по Коши и по Гейне означают одно и тоже, тов дальнейшем их записи мы различать не будем, и будем писать как lim x?a f(x) = l. 7.2. Два примера examples two Пример limit of function 7.1 Для тождественно постоянной функции f(x) ? c будет lim x?a f (x) = lim x?a c = В самом деле, тогда f(x) ? c = c ? c = 0 < ? при всех x для любого ? > Пример limit of function 7.2 Для f(x) ? x будет lim x?a f (x) = lim x?a x = В самом деле, для любого положительного числа ? подожим ? = ?. Тогда для любого x, такого, что |x ? a| < ? будет |f(x) ? a| = |x ? a| < ? = ? и неравенство ( s1.7hc 26) для l = a выполнено, то есть lim x?a x = a. 7.3. Односторонние пределы from one side limits from one Определение limit of Говорят, что l = lim x?a+ f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое ? > 0, что для всех x таких, что 0 < x ? a < ? (или a < x < a + ?) выполнено неравенство (Определение limit of Говорят, что l = lim x?a? f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое ? > 0, что для всех x таких, что ?? < x?a < 0 (или a?? < x < a) выполнено неравенство Определение limit of Говорят, что l = lim x??? f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое M > 0, что для всех x таких, что < x < ?M выполнено неравенство Определение limit of Говорят, что l = lim x?+? f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое M > 0, что для всех x таких, что x > M выполнено неравенство Определение limit of Говорят, что l = lim x?? f(x), если для любого положительного числа ? найдјтся такое M > 0, что для всех x таких, что |x| > M выполнено неравенство Теорем limit of Если функция имеет двусторонний предел, то она имеет оба одинаковых односторонних предела, которые равны этому двустороннему. То есть если существует lim x?a f (x) = то существуют и lim x?a+ f (x) = lim x?a? f (x) = l. Доказательство. Если |x ? a| < ?, и x ?= a, то тогда ?? < x ? a < 0, а также 0 < x ? a < ?. Поэтому при обоих предыдущих условиях будет |f(x) ? l| < ?, то есть lim x?a f (x) = l = lim x?a+ f (x) = lim x?a? f (Теорем limit of function 7.1 доказана. Теоремa limit of function 7.2. Если функция имеет одинаковые односторонние пределы, то она имеет и двусторонний предел, совпадающий с этими односторонними. То есть если существуют оба одинаковых lim x?a+ f (x) = lim x?a? f (x) = то существует и lim x?a f (x) = lim x?a+ f (x) = lim x?a? f (x) = Контрпример limit of function 7.1. Рассмотрим функцию f(x) = |x| x = signx = ? ? ? 1 , если x > для x < 0 при x = Для не lim x?a+ f (x) = 1 ?= lim x?a? f (x) = Поэтому, по теореме limit of function 7.1, не существует lim x?a f (Иными словами, односторонние пределы могут быть разными. Тогда двухстороннего предела нет Доказательство теоремы limit of Итак, lim x?a+ f (x) = lim x?a? f (x) = Это означает, что для любого положительного ? найдутся числа и ? 2 > такие, что для всех x ? (a ? ? 1 , a), a также при любом x ? (a, a + выполнено неравенство ( s1.7hc 26). Положим ? = min(? 1 |