Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 6 из 18

f (x) ?= lim x?a?
f (Определение discontinuity
14.5. Функция f(x) в точке a имеет разрыв второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов lim x?a+

f (или lim x?a?
f (не существует. Примеры on discontinuity examples on Пример discontinuity
14.1. Функция f(x) = |signx| =
? 1
, если x ?= 0 при x = 0
( signx определена в контрпримере limit of function
7.1 п from one side
7.3 џ
limit of function
7) в точке x = 0 имеет устранимый разрыв (первого рода) а в остальных точках непрерывна.
Устранимый разрыв и точке x = 0 также будет иметь функция f(x) =
sin x если в точке x = 0 мы е доопределим значением, отличным от единицы (см. теорему first and second good limits
8.1 в п good limit
8.1 џ
first and second good limits
8). Если же мы положим f (0) = то эта функция станет всюду непрерывной.
Вообще-то характерной особенностью устранимого разрыва является неудачное определение функции в заданной точке. Е можно в данной точке так исправить, что функция в данной точке станет непрерывной. Для остальных типов точек разрыва такие исправления уже невозможны как бы функцию ни переопределяли в данной точке, разрыв в ней останется.
Контрпример discontinuity
14.1. Oпределенная в контрпримере limit of function
7.1 п from one side
7.3 џ
limit of function
7 функция f(x) = signx в точке x = имеет скачок или неустранимый разрыв первого рода, а в остальных точках непрерывна.
Контрпример discontinuity
14.2. Функция f(x) =
1
x в точке x = 0 имеет неограниченный разрыв и является бесконечно большой в остальных точках она непрерывна.
Контрпример discontinuity
14.3. Функция f (x) =
sin
1
x в точке x = 0 имеет неограниченный разрыв,
однако бесконечно большой в этой точке не является, ибо f(
1
?n

) = хотя и n??
?? В остальных точках эта функция непрерывна.
В контрпримерах discontinuity
14.2 и discontinuity
14.3 приведены неограниченные функции. Однако в контрпримере предел бесконечен, а в контрпримере discontinuity
14.3 предела не существует. Такие различия для неограниченных функций нужно знать.
Контрпример discontinuity
14.4. Функция f(x) = sin
1
x в точке x = 0 имеет ограниченный разрыв второго рода в остальных точках она непрерывна.
Контрпример discontinuity
14.5. Определјнрая равенством (
s2.2hc
13) функция Дирихле (см. п в џ
functions
2)
D(x) =
? 1
, если x  рациональное число
0
для иррациональных разрывна во всякой действительной точке, причјм любое вещественное число является е точкой ограниченного разрыва второго рода. Читателюпредлагается доказать это самостоятельно.
Контрпример discontinuity
14.6. Функция Римана) =
?
?
?
1
, если x = 0 1
n для x =
m n
, где m
n
 несократимая дробь, числитель которой m > 0 при иррациональных непрерывна во всякой иррациональной точке и разрывна в любой рациональной точке, причјм все

е разрывы устранимые. Читателю предлагается доказать это самостоятельно ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Производная. Непрерывность дифференцируемой функции.
Физический смысл производной.
Основные правила дифференцирования
(Производная суммы, разности, произведения и частного. Производная. Е физический смысл. Непрерывность дифференцируемой функции. Основные правила дифференцирования (производная суммы, разности, произведения и частного. Определение производной. Непрерывность дифференцируемой функции Определение derivative
15.1. Производной от функции f(t) в точке x называется f
?
(
x) = f
?
(
t)|
t=x
=
df dt
|
t=x
= lim
?
x?0
?
f
?
x
= lim
?
x?0
f(x + ?x) ? Определение derivative
15.2. Величина ?f = f(x + ?x) ? f(x) в равенстве (
s01.15hc
57) называется приращением функции f(t) в точке Определение derivative
15.3. Величина ?x в равенстве (
s01.15hc
57) называется приращением аргумента в точке Определение derivative
15.4. Функция f(t) называется дифференцируемой в точке x, если в этой точке у не существует производная.
Определение derivative
15.5. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Рассмотрим следующие примеры дифференцирования функций:
Пример derivative
15.1. f(x) ? const = c. Тогдa c
?
= lim
?x?0
c?c
?x
= то есть c
?
= Пример derivative
15.2. f(x) = x. Тогда x
?
= lim
?x?0
(x+?x)?x
?x
= lim
?x?0
?x
?x
= то есть x
?
= Пример derivative
15.3. f(x) = ln x. Здесь мы воспользуемся ннепрерывностью функции ln x, теоремой continious in point
10.7 в пи вторым замечательным пределом (теорема first and second good limits
8.2, п good limit
8.2 џ
first and second good limits
8, равенство (
s8.8hc
34), которое будет сформулировано в виде ( при этом x обозначается как x
?x
)
lim
?x?0
(1 +
?x x
)
x
?x
= e.
):
34

(ln x)
?
= lim
?x?0 1
?x
(ln(x + ?x) ? ln x) = lim
?x?0
ln(
x+?x x
)
1
?x
= lim
?x?0
ln(1 +
?x x
)
(
x
?x
1
x
)
=
= ln( lim
?x?0
((1 +
?x x
)
x
?x
)
1
x
) = ln Таким образом При вычислении следующих двух производных будеи использовать формулы разности синусов и косинусов, а также первым замечательным пределом (м. џ
first and second good limits
8, п good limit
8.1, теорема first and second good limits
8.1, формула (
s1.8hc
27) и непрерывностью функций sin x и cos x Пример derivative
15.4. f(x) = sin x. Тогда x)
?
= lim
?x?0
sin(x+?x)?sin x
?x
= lim
?x?0 2 sin x+?x?x
2
cos x+?x+x
2
?x
= lim
?x?0
sin
?x
2
?x
2
lim
?x?0
cos(x +
?x
2
) =
= cos Мы показали, что x)
?
= cos Пример derivative
15.5. f(x) = cos x. Тогда x)
?
= lim
?x?0
cos(x+?x)?cos x
?x
= ? lim
?x?0 2 sin x+?x?x
2
sin x+?x+x
2
?x
=
= ? lim
?x?0
sin
?x
2
?x
2
lim
?x?0
sin(x +
?x
2
) =
? sin Мы показали, что x)
?
= ? sin Теорема derivative
15.1 (непрерывность дифференцируемой функции. Если f(t) дифференцируемая в точке x, то она непрерывна в этой точке.
Д ОКА ЗА ТЕЛЬ СВ О По теореме limit of function
7.15 (м. п and product on limits of functions
7.7 в џ
limit of function
7) равенство (
s01.15hc
57) можно переписать следущим образом = f (x + ?x) ? f (x) = f
?
(x)?x + ??x
, где ?  бесконечно малая величина при ?x ? 0. (Тогда непрерывность функции f(t) в точке x получится, если мы в обеих частях равенства (
s08.15hc
63)
перейдјм к Теорема derivative
15.1 доказана.
Контрпример derivative
15.1 Функция f(x) = |x| непрерывна в точке x = 0, однако дифференцируемой в этой точке не является. В самом деле lim
?x?0
?x
?x
= 1,
a lim
?x?0?
|0+?x?0|
?x
=
lim
?x?0?
??x
?x
= Получились разные односторонние пределы, и поэтому не существует.
Определение derivative
15.6. Правой производной функции f(t) в точке x называется Определение derivative
15.7. Левой производной функции f(t) в точке x называется Контрпример derivative
15.2. Функция f(x) =
? x sin
1
x
, если x ?= 0 для x = непрерывна всюду, в том числе ив точке x = 0, ибо lim x?0
x sin
1
x
= как произведение бесконечно малой x на ограниченную sin
1
x
(см.
теорему limit of function
7.11 в п large and small functions
7.6 џ
limit of function
7), однако е производной в точке x = 0 нет. В самом деле, ввиду равенства) для x = 0 будет f
?
(0) = lim
?x?0
f (?x)?f (0)
?x
= lim
?x?0
?x sin
1
?x
?x
= А этого предела не существует (даже одностороннего, ибо при =
1
?
2

+2?n n??
?? 0 sin
1
?x
= 1,
a для =
1
?
?
2

+2?n n??
?? 0 sin
1
?x
= ?1 ?= Поэтому, по определению Гейне (см. п.
Гейне и Коши в џ
limit of function
7), этого предела нет.
Отметим, что функция из контрпримера derivative
15.1 имеет различные правые и левые производные, а функция из контрпримера derivative
15.2 не имеет ни правой, ни левой производной

15.2. Физический смысл производной (скорость и ускорение of derivative phizics of Производная пути повремени это скорость (точнее  мгновенная скорость) материальной точки, a производная скорости повремени е ускорение. Основные правила дифференцирования (производная суммы, разности, произведения и частного of derivative rules of Теорема derivative
15.2 (производная суммы. Пусть в точке x существуют производные функций f (и g(x). Тогда в этой точке существует производная их суммы, вычисляемая по формуле (x) + g(x))
?
= f
?
(x) + ДОКАЗАТЕЛЬСТВО (x+?x)?f (x)
?x
+ lim
?x?0
g(x+?x?g(x)
?x
= f
?
(x) + Формул (
s09.15hc
64) и, следовательно, теороема derivative
15.2
доказаны.
Теорема derivative
15.3 (производная разности. Пусть в точке x существуют производные функций) и g(x). Тогда в этой точке существует производная их разности, вычисляемая по формуле Теорема derivative
15.3 доказывается аналогично теореме derivative
15.2 и читетелю предлагается провести этот вывод самостоятельно.
Теорема derivative
15.4 (производная произведения. Пусть в точке x существуют производные функций f(x) и g(x). Тогда в этой точке существует производная их произведения, вычисляемая по формуле (x)g(x))
?
= f
?
(x)g(x) + f Доказательство (x + ?x) lim
?x?0
g(x+?x)?g(x)
?x
+ g(x) lim
?x?0
f (x+?x)?f (x)
?x
= f (x)g
?
(x) + ибо функция по теореме derivative
15.1, является непрерывной в точке x, и, следовательно, lim
?x?0
f (x + ?x) = f (x),
a g(x) от не зависит. Равенство (
s11.15hc
66) и, следовательно, теорема derivative
15.4 доказаны.
Следствие derivative
15.1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной, то есть имеет место равенство (x))
?
= Доказательств Равенство (
s13.15hc
67) получится, если мы в формуле (
s11.15hc
66) положим g(x) ? c и воспользуемся равенством
(
s02.15hc
58).
Перед выводом формулы производной частного докажем, что справедлива следующая лемма derivative
15.1. Пусть функция g(t) дифференцируема в точке x и g
?
(x) ?= Тогда в этой точке существует производная от функции
1
g(x)
,

вычисляемая по формуле ?
g
?
(x)
(g(x))
2
(68)
s12.15hc
36

Доказательств ибо функция g(t), по теореме derivative
15.1, является непрерывной в точке x, и, следовательно + ?x) = g(x),
a величина g(x) от ?x не зависит. Равенство (
s12.15hc
68) и, следовательно, лемма derivative
15.1 доказаны.
Теорема derivative
15.5 (производная частного. Пусть в точке x существуют производные функций) и g(x), a также g
?
(x) ?= Тогда в этой точке существует производная их частного,
вычисляемая по формуле (x)
g(x)
)
?
=
f
?
(x)g(x) ? f Доказательство Из торемы derivative
15.4 и леммы derivative
15.1 получим (x)
g(x)
)
?
= (f (x)
1
g(x)
)
?
= f
?
(x)
1
g(x)
+ f (x)(
1
g(x)
)
?
=
f
?
(x)
g(x)
?
f (x)g
?
(x)
(g(x))
2
=
f
?
(x)g(x)?f (Формула) и, следовательно, теорема derivative
15.5 доказаны and inv
16 Производная сложной функции (cуперпозиции функций).
Производная обратной функции. Производная сложной функции (суперпозиции функций).
Производная обратной функции and inv
16.1. Производная сложной функции (суперпозиции функций of super der of Ввиду того,что функция в данном параграфе будет связана с несколькими, хотя и зависящими друг от друга величинами, при написании производной внизу в качестве индекса будем писать переменную, по которой эта производная вычисляется.
Теорема super and inv
16.1 Пусть функция g(t) дифференцируема в точке x, a функция f(z) = дифференцируема попеременной в точке y = f(x). Тогда суперпозиция функций дифференцируема попеременной в точке x и имеет место формула df dt
|
t=x
=
df dz
|
z=y=f (x)
·
dg или f
?
x
= f
?
y Доказательств Для y = g(x) рассмотрим приращение функции ?y = ?g = g(x + ?x) ? g(x), откуда g(x + ?x) = g(x) + ?y = y + По теореме derivative
15.1 (см. п of der
15.1 в џ
derivative
15) функция g(t) непрерывна в точке x, и поэтому = ?g = g(x + ?x) ? g(x)
?x?0
?? Тогда f(g(t))
?
t
|
t=x
= lim
?x?0
f (g(x+?x))?f (g(x))
?x
= lim
?x?0
f (y+?y)?f (y)
?x
= lim
?x?0
f (y+?y)?f (y)
?y lim
?x?0
?y
?x
=
= lim
?y?0
f (y+?y)?f (y)
?y lim
?x?0
g(x+?x)?g(x)
?x
= в первом множителе последнего проедела при переходе от ?x к ?y использовалась формула (
s02.16hc
71)). Равенство (
s01.16hc
70) и, следовательно, теорема super and доказаны

Пример super and inv
16.1. Найдјм производную от функции ln(sin x). Из примеров derivative
15.3 и derivative
15.4 (см. формулы) ив, п of der
15.1) получаем x))
?
x
= ln
?
sin x
(sin x) sin
?
x x =
1
sin x cos x = ctg x.
(72)
s03.16hc
16.2. Производная обратной функции of inv der of Здесь будет использоваться теорема cont inv func
12.1 в џ
cont inv Теорема super and inv
16.2. Пусть функция f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [a, b], a также в точке x сущecтвует f
?
(x) ?= Тогда существует обратная функция x = которая определена, непрерывна, строго монотонна на отрезке [f(a), f(b)], a также в точке y = f (имеет производную, вычисляемую по формуле) Доказательств Обозначения y = f(x), тогда x = ?(y); y + ?y = f(x + ?x); x + ?x = ?(y + ?y), то есть = f (x+?x)?y = f (x+?x)?f (и x+?x = ?(y+?y), или ?x = ?(y+?y)?x = Ввиду непрерывности обратной функции ?(y) получаем ?x = ?(y + ?y) ? ?(y)
?y?0
?? Поэтому) = lim
?y?0
?(y+?y)??(y)
?y
= lim
?x?0
?x f (x+?x)?f (x)
=
1
lim
?x?0
f (x+?x)?f (Равенство (
s04.16hc
73) и,
следовательно, теорема super and inv
16.2 доказаны џ
extr
18 (см. п th inv
18.2 в џ
extr
18) будет доказана следующая теорем super and inv
16.3. Пусть функция f(t) в точке x имеет непрерывную производную, причјм f
?
(x) ?= Тогда в некоторой окрестности точки x функция f(t) имеет обратную ?(z), которая в некоторой окрестности точки y = f(x) определена, непрерывна и монотонна, а в самой точке y = f (имеет производную, вычисляемую по форомуле (
s04.16hc
73).
16.3. Производные обратных тригонометрических функций Пример super and inv
16.2. Найти прозводную от arcsin Из формул (
s05.15hc
61) и (
s06.15hc
62) получаем пусть y = arcsin x. Тогда x = sin y и x
?
= cos y =
?
1 ? sin
2
y =
=
?
1 ? ибо y = arcsin x ? то есть cos y ? 0. Поэтому Мы показали,
что
(arcsin x)
?
=
1
?
1 ? Пример super and inv
16.3. Найти прозводную от arccos Аналогично примеру super and inv
16.2 получаем, что x)
?
= ?
1
?
1 ? Впрочем, здесь можно воспользоваться формулами arccos x =
?
2
? arcsin x и (
s05.16hc
74) (Производная от
?
2
,
как производная от постоянной, равна нулю).
Пример super and inv
16.4. Найти прозводную от arctg x.
Найдјм сначала производные тангенса и котангенса. Из теоремы о производной частного (теорема derivative
15.5, равенство (
s14.15hc
69) в п of derivative
15.3 џ
derivative
15) легко получить (читателю предлагается это сделать самостоятельно, что x)
?
= (
sin x cos x
)
?
=
1
cos
2
x и (ctg x)
?
= (
cos x sin x
)
?
= ?
1
sin
2
x
(76)
s08.16hc
38

Пусть далее y = arctg x. тогда x = tg y, то есть x
?
=
1
cos
2
y
= 1 + tg
2
y = 1 + x
2
. Поэтому x)
?
=
1 1 + Пример super and inv
16.5. Найти прозводную от arcctg Аналогично примеру super and inv
16.4 получаем, что x)
?
= ?
1 1 + Впрочем, здесь можно воспользоваться формулами arcctg x =
?
2
? arctg x и (
s06.16hc
78) (Производная от
?
2
,
как производная от постоянной, равна нулю. Производные от логарифмически и показательных функций exp der Пример super and inv
16.6 Найти прозводную от e Пусть y = e x
Тoгда x = ln y, и из формулы (
s04.15hc
60) (см. пример derivative
15.3 в п of der
15.1 џ
derivative
15) получаем x
?
=
(ln y)
?
=
1
y
=
1
e Тогда, по теореме super and inv
16.3 y
?
=
1
x
?
= e то есть x
)
?
= e Пример super and inv
16.7 Найти прозводную от log Используем равенства (
s04.15hc
60) (см. пример derivative
15.3 в пи множитель как постоянную величину, можно вынести за знак производной (см. следствие derivative
15.1 в п of derivative
15.3 џ
derivative
15)) получаем a
x)
?
=
1
ln a
(ln x)
?
=
1
ln Пример super and inv
16.8 Найти прозводную от a Покажем равенство a
x
= e ln a x
= e x ln a
. Tогда
(82)
s13.16hc
(a x
)
?
= (e x ln a
)
?
x
= (e x ln a
)
?
x ln a
(x ln a)
?
= e x ln a x
?
ln a = a x
ln м. (
s13.16hc
82)).
(83)
s14.16hc
16.5. Производная степенной функции of power der of Пример super and inv
16.9. Найти прозводную от Здесь мы используем формулу x
?
= e ln x
?
= e
? ln x
. Поэтому (e
? ln x
)
?
x
= (e
? ln x
)
?
? ln x
= e
? ln x
?(ln см. (
s15.16hc
84)
=
?x
?
1
x
= ?x
??1
(85)
s16.16hc
39

џ
table der
17 Таблица производных. Таблица производных Объединим следующие равенства (
s16.16hc
85), (
s04.15hc
60), (
s11.16hc
80), (
s05.15hc
61), (
s06.15hc
62), (
s05.16hc
74) и (
s06.16hc
78).
1. (x
?
)
?
= ?x
??1 2. (ln x)
?
=
1
x
3. (e x
)
?
= e x
4. (sin x)
?
= cos x.
5. (cos x)
?
= ? sin x.
6.
(arcsin x)
?
=
1
?
1?x
2 7. (arctg x)
?
=
1 1+x
2
Bыше приведены производные основных функций, которую можно называть минимальной таблицей производных. Помимо этой таблицы, нужно также знать основные правила дифференцирования
(фоpмулы для производных суммы, разности, произведения, частного и суперпозиции, которые надо уметь применять. Надо также усвоить примы, по которым, например, находилась производная от a м. пример super and inv
16.8 в п exp
16.4 џ
super and inv
16, равенство (месте стем нужно помнить, что приведенные в таблице производные функций (также, как и производные от остальных функций)  это не aксиомы, а теоремы, которые выводятся из определения производной и свойств функций. Например, при выводе производных с четвјртой по седьмую функций таблицы использовался первый замечательный предела для производных первой, второй и третьей функций таблицы  второй замечательный предел. Поэтому получать эти пределы, исходя из производных вышеприведјнных функций, будет уже неправильно и некорректно Точки возрастания и убывания функции.
Точки локального (внутреннего) экстремума.
Необходимое условие экстремума. Точки возрастания и убывания функции. Точки локального
(внутреннего) экстремума. Необходимое условие экстремума. Точки возрастания и убывания. Возрастание и убывание функции на отрезке of increas and decreas points of increas and Определение Число a называется точкой возрастания функции f(x), если существует такая окрестность точки a, что для всех x > a из этой окрестности будет f (x) > f (a),
a при любом x < a изданной окрестности f(x) < Определение extr
18.2. Число a называется точкой убывания функции f(x), если существует такая окрестность точки a, что для всех x > a из этой окрестности будет f(x) < f(a),
a при любом x < a изданной окрестности f(x) > Теорема extr
18.1. Пусть в точке a существует производная от функции f(x). Тогда если f
?
(a) > то a является точкой возрастания функции f(x), a для f
?
(a) < число a будете точкой убывания

Доказательств Пусть f
?
(a) > Перейдя к другим обозначениям ( x обозначим за a, ?x за x ? a (тогда x + ?x cтанет a + (x ? a) = x)), равенство (
s08.15hc
63) перепишем в следующем виде (x) = f (a) + (f
?
(a) + ?)(x ? a)
, где ?  бесконечно малая величина при x ? Так как ?? бесконечно малая, тов некоторой окрестности точки a будет |?| или ? то есть 0 <
f
?
(a)
2
< f
?
(a) + ? <
3 Поэтому знак произведения (f
?
(a) + ?)(x ? будет такой же, как и знак разности x ? a, то есть положительный (и тогда f(x) > f(a)), если x > и отрицательный для x < a (в таком случае f(x) < f(a)). Для f
?
(a) > теорема extr
18.1 доказана.
Случай f
?
(a) < рассматривается аналогично и читателю предлагается провести его самостоятельно. Впрочем, можно здесь также применить первый случаай для Теорема extr
18.2. Пусть функция f(x) дифференцируемая в любой точке x ? [a, b]. Тогда если при всяком x ? [a, b] f
?
(x) > то f(x) строго возрастает на [a, b]; если же f
?
(x) < для произвольного x ? [a, b], то f(x) строго убывает на отрезке [a, Доказательств Не ограничивая общности, можно считать, что f
?
(x) > иначе переходим к функции Тогда из теоремы extr
18.1 следует, что любая точка отрезка [a, b] является точкой возpaстания функции f (то есть для любой точки x
0
? [a, имеет место определение extr
18.1 при a = x
0
Берјм произвольные точки €x и ?x, удовлетворяющие условию a ? €x < ?x ? b. B таком случае, отрезок [€x, покрыт системой интервалов, для центральных точек которых выполнено определение extr
18.1. По теореме Гейне-Бореля (см. п/п finet unet
1.4.8 в п џ
sets
1) выделяем конечное покрытие отрезка [€x, ?x] системами интервалов с центрами в точках €x = x
0
< x
1
< x
2
< . . . < x k
< x k+1
< . . . < x n?1
< x n
= ?
x.
Bo всех соседних интервалах с центрами в точках x и x k+1
(k = 0, 1, 2, . . . , n ? 1)
берјм по точке y
k из их пересечения, такие, что x k
< y k
< x и тогда, по определению extr
18.1,
f (x k
) < f (y k
) < f (x Применяя неравенство (
s01.18hc
87) для всех k = 0, 1, 2, . . . , n ? 1 получим, что f (€
x) = f (x
0
) < f (x
1
) < . . . < f (x n?1
) < f (x n