Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 9 из 18

19) найдјтся точка ?
1
? (a, такая, что g
?
(?
1

) = 0 = см. Тогда, по теореме Ролля, существует ?
2

? (a, ?
1
) ? (a, такая, что g
??
(?
2

) = 0 = Делая эти рассуждения n раз, находим точку ?
n
? (a, такую, что g
(n)
(?
n
) = 0 = Применяя ещј

раз теорему Ролля, показываем, что есть точка ? ? (a, ?
n
) ? (a, такая, что g
(n+1)
(?) = то есть = g
(n+1)
(?) = f
(n+1)
(?) ? (f (b) ? T
n
(b))
(n + 1)!
(b ? Перенеся уменьшаемое в правой части равенства (
s04.25hc
138) в его левую часть и домножив затем обе части полученного равенства на
(b?a)
n+1
(n+1)!
выводим следующее равенство f (b) ? T
n
(b) =
(b ? a)
n+1
(n + 1)!
f
(n+1)
(?).
(139)
s05.25hc
56

Положив в формуле (
s05.25hc
139) b = x и перенеся в другую часть этого равенства, получаем f (x) = T
n
(x) + R
n+1
,
(140)
s06.25hc где T
n
(x)
 многочлен, определяемый формулой (
s01.25hc
135), остаток f
(n+1)
(?)
(x?a)
n+1
(n+1)!
,
a ? некоторая точка между a и Определение. Равенство (
s06.25hc
140) называют формулой Тейлора c остаточным членом в форм Лагранжа.
Иногда равенство (
s06.25hc
140) пишут в следующем виде (x) = T
n
(x) +
f
(n+1)
(a + ?(x ? a))
(n + 1)!
(x ? a)
n+1
, где ? ? (0, 1) ? некоторое число. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
TP
TP
25.2
Пусть теперь функция f(x) имеет лишь n производных в точке a (и, следовательно, она должна иметь (n ? 1) производную в некоторой окрестности a). Рассмотрим lim x?a f (для вычисления которого применим n раз правило Лопиталя (равенство (
s02.25hc
136) это сделать позволяет. Получим x?a f (x)?T
n
(x)
(x?a)
n
= lim x?a f
(n)
(x)?f
(n)
(a)
n!
= то есть f(x) ? T
n
(x) = o((x ? a)
n
).
Получлась формула f (x) = T
n
(x) + o((x ? a)
n
)(x ? a),
(142)
s09.25hc где T
n
(x)
 многочлен, определјнный равенством (
s01.25hc
135).
Определение
Teilor
25.3.
Равенство (
s09.25hc
142) называется фоомулой Тейлора c остаточным членом в форме Пеано.
Если существует ( n + 1 я производная в точке a (а также если f(x) бесконечно дифференцируема в точке a), то оценку (
s09.25hc
142) можно написать точнее (x) = T
n
(x) + O((x ? a)
n+1
)(x ? Однако формула (
s09.25hc
142) существования не требует. Формула Тейлора для многочленов for pol
Teilor for Если f(x) = многочлен й степени, то формула Тейлора для него является точной, ибо легко показать, что в этом случае остаточные члены как в форме Лагранжа, таки в форму Пеано,
равны нулю. То есть имеет место равенство P
n
(x) =
n
?
k=0
P
(k)
n
(a)
k!
(x ? a)
k
=
= P
n
(a)+P
?
n
(a)(x?a)+
P
??
n
(a)
2
(x?a)
2
+
P
???
n
(a)
6
(x?a)
3
+. . .+
P
(k)
n
(a)
k!
(x?a)
k
+. . Тейлор доказал именно формулу (
s11.25hc
144), a Лагранж и Пеано е затем обобщали. Формула Маклорена.
Macloren
Macloren
25.4
В равенствах (
s08.25hc
141) и (
s09.25hc
142) положим a = 0. Получим формулы (x) =
n
?
k=0
f
(k)
(0)
x k
k!
+ R
n+1
= f (0) + xf
?
(0) +
f
??
(0)
2
x
2
+
f
???
(0)
6
x
3
+ . . . +
f
(n)
(0)
n!
x n
+ R
n+1
,
(145)
s12.25hc
57

где при некотором ? ? (0, 1)  остаток в форме Лагранжа либо R
n+1
= o(x если существует то можно улучшить R
n+1
= O(x n+1
) (x ? остаток в форме Пеано.
Определение
Teilor
25.4. Равенство (
s12.25hc
145) называется формулой Маклорена c остаточным членом, соответственно, в форме Лагранжа или в форме Пеано.
25.5. Разложение по формуле Маклорена функций ln(1+x), (1+x)
?
, e x
, sin x, cos Будем рассматривать остатак в форме Пеано, для остатка в форме Лагранжа требуются более длительные исследования и их мы оставим читателю на самостоятельную работу.
Начнјм с функции f(x) = e Все е производные равны e и при x = 0 они равны единице.
Поэтому соответствующее разложение имеет вид e
x
=
n
?
k=0
x k
k!
+ O(x n+1
) = 1 + x +
x
2 2
+
x
3 6
+ . . . +
x n
n!
+ O(x n+1
)(x ? Для синуса и косинуса формулы получаются аналогично и читателю предлагаетс получить их самостоятельно. Дадим ответ x =
n
?
k=0
(?1)
k x
2k+1
(2k + 1)!
+ O(x
2n+3

) = x ?
x
3 6
+
x
5 120
?
x
7 5040
+ . . . +
x
2n+1
(2n + 1)!
+ O(x
2n+3
)(x ? 0).
(147)
s14.25hc cos x =
n
?
k=0
x
2k
(2k)!
+ O(x
2n+2

) = 1 ?
x
2 2
+
x
4 24
?
x
6 720
+ . . . +
x
2n
(2n)!
+ O(x
2(n+1)
)(x ? 0).
(148)
s15.25hc
Bыпишем ответ для функции f(x) = (1 + читателю предлагается получить эту формулу самостоятельно + x)
?
=
n
?
k=0
?(? ? 1)(? ? 2) . . . (? ? k + 1)
k!
x k
+ O(x n+1
)(x ? 0).
(149)
s16.25hc
(1 + x)
?
= 1 + ?x +
?(??1)
2
x
2
+
?(??1)(??2)
6
+ . . . +
?(??1)(??2)...(??n+1)
n!
x n
+ O(x n+1
)(x ? Дадим также формулу разложения логарифмической функии по формуле Маклорена; читателю предлагается получить е самостоятельно + x) =
n
?
k=1
(?1)
k+1
k x
k
+ O(x n+1

) = x ?
x
2 2
+
x
3 3
?
x
4 4
+ . . . +
(?1)
n+1
n x
n
+ O(x n+1
)(x ? Положив y = x + 1, из формулы (
s18.25hc
150) можно получить разложение функции f(y) = ln y по формуле Тейлора по степеням y ? 1 (или в окрестности точки a = 1 :
ln y =
n
?
k=1
(?1)
k+1
k
(y?1)
k
+O((y?1)
n+1

) = y?1?
(y ? 1)
2 2
+
(y ? 1)
3 3
?
(y ? 1)
4 4
+. . .+
(?1)
n+1
n
(y?1)
n
+O((y?1)
n+1
)(y ? 1).
(151)
s19.25hc
58

џ
suf extr
26 Достаточные условия экстремума. Достаточные условия экстремума Одним из этих условий является следующее пусть f
?
(a) = Тогда. Если а) > 0, то a является точкой локального минимума. Если f
??
(a) < то a является точкой локального максимума. Если f
??
(a) = то требуется дополнительное исследование.
Обобщает вышеприведјнное следующая теорема suf extr
26.1. Пусть в точке a функция f(x) имеет, по крайней мере, n производных и f
?
(a) = . . . = f
(n?1)
(a) = 0
, a f
(n)
(a) ?= то есть n ? 2 (обязательно должно быть f
?
(a) = 0)
 это самый маленький из номеров производных, которые в точке a не обращаются в нуль. Toгда
1.
ecли n ? чјтно и f
(n)
> то a является точкой локального минимума,
2.
ecли n ? чјтно и f
(n)
< то a является точкой локального мaксимума,
3.
если же n нечјтно, то a точкой внутреннего экстремума не является.
(153)
s02.26hc
Д ока за тел ь ст в По формуле Тейлoра с остаточным членом в форме Пеано (см. пи п в џ
Teilor
25, равенства) и (
s01.25hc
135)), используя условие (
s01.26hc
152) теорeмы suf extr
26.1, получаем f (x) = f (a) +
f
(n)
(a)
n!
(x ? a)
n
+ o((x ? a)
n
) = f (a) + (x ? a)
n
(
f
(n)
(a)
n!
+ ?)

, гдe ?
x?a
?? Рассмотрим первый случай условия (Если f
(n)
(a) > то, ввиду того, что ?  бесконечно малая величина, найдјтся такая окрестность точки a, во всех точках которой выполнено неравенство или ? Поэтому f
(n)
(a)
n!
+ ? >
f
(n)
(a)
2n!
> то есть второй множитель второго сагаемого в правой части равенства (
s03.26hc
154) всегда положителен.
Первый множитель в этой окрестности точки a также всегда положителен, ибо степень n чјтная.
Поэтму для всех x из найденной окрестности точки a второе слагаемое в правой части равенства (положительно, то есть для этих x будет f(x) > f(a). Следовательно, a является точкой локального минимума.
Второй случай в (
s02.26hc
153) рассматривается аналогично первому. Здесь надо положить < Аналогично первому случаю показываем, что второй множитель во втором слагаемом правой части равенства (
s03.26hc
154) отрицателен при всех x из некоторой окрестности точки a, a первый множитель положителен, ибо n чјтное. Поэтому всј произведение (то есть второе слпагаемое в правой части равенства (
s03.26hc
154)) будет отрицательными поэтому f(x) < f(a), то есть a будет точкой локального
(внутреннего) максимума.
Для третьего случая в (
s02.26hc
153) первый множитель второго слагаемого правой части формулы (имеет различные знаки в разных полуокрестностях (правой или левой) точки a, a знак первого множителя этого слагаемого, как было показано выше, в этих полуокрестностях одинаковый (такой же, как знак y Поэтому знак всего произведения (то есть второго слагаемого правой части равенства (
s03.26hc
154)) будет различаться для правой и левой полуокрестностей точки a. Тогда f(x) > для одной из полуокрестностей точки a ив другой полуокрестности, то есть a не может быть ниточкой максимума, ниточкой минимума

Можно привести ещј одно достаточное условие локального экстремума 1. f
?
(
a) = 0. Тогда Если при переходе через точку a производная меняет знак сна (то есть f
?
(x) < или функция f(x) убывает в некоторой левой полуокрестности точки a и f
?
(x) > или функция f (возрастает в какой-либо правой полуокрестности a), то точка a является точкой локального
(внутреннего) минимума Если при переходе через точку a производная меняет знак сна (то есть f
?
(x) > или функция f(x) возрастает в некоторой левой полуокрестности точки a и f
?
(x) < или функция убывает в какой-либо правой полуокрестности a), то точка a является точкой локального (внутреннего) максимума Если же при переходе через точку a знак производной не меняется (то есть во всей некоторой окрестности точки a функция будет либо возрастать, либо убывать, то a точкой локального (внутреннего) экстремума не является Выпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Ассимптоты.
27. Bыпуклость и вогнутость. Точки перегиба. Ассимптоты.
conv
27.1. Определение выпуклости, вогнутости и точек перегиба conv def Определение Функция f(x) называется выпуклой вверх
(или выпуклой)
на отрезке [a, b], если для всех точек x ? [a, b] график функции лежит ниже касательных,
проведјнных к графику функции в этих точках (или для любой пары точек график функции лежит выше секущей, проведјнной к графику функции в этих точках).
Примеры выпуклых функций f(x) = ln x; g(x) Определение Функция f(x) называется выпуклой вниз
(или вогнутой)
на отрезке [a, b], если для всех точек x ? [a, b] график функции лежит выше касательных,
проведјнных к графику функции в этих точках (или для любой пары точек график функции лежит ниже секущей, проведјнной к графику функции в этих точках).
Примеры вогнутых функций f(x) = e x
; g(x) = Определение Точки, где меняется выпуклость функции (то есть для некоторой окрестности данной точки функция будет выпуклой для всех точек из одной полуокрестности
(правой либо левой) данной точки и вогнутой всюду в другой полуокрестности данной точки) называются точками перегиба.
Например, функция f(x) = имеет точку перегиба в нуле. Достаточные условия выпуклости, вогнутости, точек перегиба. Необходимое условие точек перегиба conv cond Пусть в точке a функция f(x) имеет, по крайней мере, две производных. Рассмотрим формулу
Тейлора с остаточным членом в форме Пеано для n = 2 (м. пи в џ
Teilor
25, равенства (
s09.25hc
142) и (x) = f (a)+f
?
(a)(x?a)+
f
??
(a)
2
(x?a)
2
+o((x?a)
2
) = [f (a)+f
?
(a)(x?a)]+(x?a)
2
(
f
??
(a)
2
+?)

, где ?
x?a
?? 0.
(155)
s01.27hc
Bеличина, стоящая в квадратных скобках правой части равенства (
s01.27hc
155), согласно (
s02.21hc
103) (см. п of в џ
geom der
21) является урвнением касательной к графику функции y = f(x) в точке (a, f(a)).
60

Почти дословно повторяя рассуждения при выводе первоо и второго случая достаточного условия экстремума (см. теорему suf extr
26.1 в џ
suf extr
26, равенство (
s02.26hc
153) и ниже его вывод, получаем, что в некоторой окрестности точки a знак последнего слагаемого, стоящего в правой части равенства (
s01.27hc
155), один и тот же и совпадает со знаком Поэтому, если f
??
(a) > то эта добавка положительна, и график функции лежит над касательной, то есть в точке a функция вогнутая, если же f
??
(a) < то эта добавка отрицательная, и график функции лежит ниже касательной, то есть в точке a функция выпуклая. Таким образом, получены следующие утверждения:
теорема conv
27.1 (достаточное условие вогнутости. Если в точке a вторая производная f
??
(a) то функция f(x) является вогнутой в точке теорема conv
27.2 (достаточное условие выпуклости).
Если в точке a вторая производная f
??
(a) < то функция f(x) является выпуклой в точке теорема conv
27.3 (необходимое условие точки перегиба).
Если точка a является точкой перегиба графика функции y = f(x), то f
??
(a) = или не существует.
Аналогично выводу теоремы suf extr
26.1 доказывается и следующая теорема conv
27.4. Пусть в точке a f
??
(a) = 0
a n ? 3 самый маленький из порядков производных,
кроме первой, которые f
(n)
(a) ?= Тогда если n нечјтно, то a является точкой перегиба графика функции y = Теорема доказывается также, как и третий случай достаточного условия экстремума (см. теорему suf extr
26.1 в џ
suf extr
26, равенство (
s02.26hc
153)) и читателю предлагается провести этот вывод самостоятельно. Впрочем,
как разв этом случае и будет точка перегиба. Определение ассимптот.
def acc def acc
27.3
Oпределениe conv
27.4. Прямая l называется accимптотой к графику функции y = если расстояние т лежащей на графике точки M до этой прямой l стремится к нулю, когда лежащая на графике точка M неограниченно удаляется от начала координат.
График должен выглядеть таким образом, чтобы точка M, находясь уже достаточно далеко от начала координат и удаляясь от начала координат, не смогла бы из-за особенностей изгибов
графика функции, вновь вернуться в сколь угодно малую окрестность этой точки (начала координат)
(см. контрпример conv
27.2 в следующем п. Bертикальная ассимптота. Необходимое и достаточное условие еј
существования. Контрпример acc vert м conv
27.5 (необходимое и достаточное условие вертикальной ассимптоты). Прямая x = a является вертикальной ассимптотой графика функции y = f(x) в томи только в том случае, когда функция f(x) является бесконечно большой величиной при x ? a+ или при x ? Д o ка за тел ь ст в o
B cамом деле, если точка M на графике функции приближается к прямой x = a, то е абсцисса стремится к точке a и поэтому, по теореме limit of function
7.3 (м. п of function
7.5 в џ
limit of function
7), е абсцисса должна быть ограниченной. Поэтому неограниченное удаление от начала координат может быть только за счјт ординаты точки M, то есть значения функции f(x). Поэтому эта ордината должна быть бесконечно большой величиной (см. пояснение сразу после определения conv
27.4). Teopeма conv
27.5 доказана.
Рассмотрим ещј два необходимых условия вертикальной ассимптоты.
Cледствие conv
27.1. Если прямая x = a является вертикальной ассимптотой к графику функции y = f (тов точке a функция f(x) должна иметь разрыв.
Контрпример conv
27.1. У графика функции y = sin
1
x вертикальных ассимптот нет, ибо функция f (x) = sin
1
x является ограниченной, однако эта функция имеет разрыв в нуле

Поэтому следствие conv
27.1 дат необходимое, ноне достаточное условие.
Cледствие conv
27.2. Если прямая x = a является вертикальной ассимптотой к графику функции y = f (тов точке a функция f(x) должна иметь неограниченный разрыв.
Контрпример conv
27.2. У графика функции f (x) =
sin
1
x вертикальных ассимптот нет, хотя она и имеет неограниченный разрыв в нуле (a в остальных точках она непрерывна. Даже находясь очень далеко от начала координат, точка M на графике функции, двигаясь по кривой в обе стороны, всј
равно подойдјт к началу координат ближе, чем на единицу (покажите это, рассмотрев график этой функции).
Поэтому следствие conv
27.2 дат необходимое, ноне достаточное условие.
В качестве примеров самостоятельно покажите, что ось ородинат (прямая x = 0) является вертикальной ассимптотой для графиков функций y =
1
x
, y = ctg x,
y = e
1
x
27.5. Горизонтальная и наклонная ассимптоты. Формулы для их нахождения. Контрпример acc hor acc
27.5
Найдјм условия, каким должны удовлетворять коэффициенты k и b, чтобы прямая l : y = kx + b была бы наклонной ассимптотой (в случае k = 0 прямая l становится горизонтальной ассимптотой)
к графику функции y = Из точки M на графике функции опустим перпендикулярна прямую l. Пусть точка L ? основание этого перпендикуляра. Из точки M проведјм прямую, параллельную оси ординат. За обозначим точку пересечения этой прямой и прямой l. Читателю рекомендуется построить чертјж согласно вышеприведјнному описанию.
Тогда MP = |f(x) ? (kx + b)|, a ML? это расстояние от точки M до прямой l. Читателю предлагается самостоятельно установить, что MP =
M L
cos где ?? это угол между осью абсцисс и прямой l : y = kx + b.
Tогда k = tg ?, то есть cos ? то есть (x) ? (kx + b)| = M P = M L
?
1 + Мы доказали, что имеет место следующая теорема прямая l : y = kx + b является наклоной ассимптотой к графику функции y = kx + b тогда и только тогда, когда lim x?±?
(f (x) ? (kx + b)) = обозначение x ? ±? означает, что здесь может рассматриваться как lim таки или f (x) = kx + b + ?(x)
, где ?(x)
x?±?
?? Поделив обе части равенств (
s03.27hc

157) на x и перейдя далее к lim получим, что k = lim x?±?
f (Тогда из формулы (
s02.27hc

156) непосредственно получаем b = lim x?±?
(f (x) ? Мы показали, что справедлива следующая теорема conv
27.7. График функции y = f(x) имеет наклонную ассимптоту тогда и только тогда,
когда существуют оба предела в правых частях равенств (
s04.27hc
158) и (
s05.27hc
159). При этом наклонная ассимптота имеет уравнение y = kx + b, где числа k и b вычисляются по формулами Как показывает следующий контрпример, из существования предела в правой части равенства) ещј не следует существования наклонной ассимптоты, ибо предела в правой части равенства) даже в этом случае может и не быть.
Контрпример conv
27.3. Для функции f(x) =
?