Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 10 из 18

x существует k = lim x?+?
f (x)
x
=

lim x?+?
1
?
x

= однако величина b = lim x?+?
(f (x) ? kx) =

lim x?+?
?
x предела не имеет, ибо она является бесконечно большой. Поэтому у этой функции наклонной ассимптоты нет, хотя и существует предел в правой части равенства (
s04.27hc
158).
џ
graphic
28 Построение графиков функций. Построение графиков функций.
graphic
Для потроеия графика функции y = f(x) нужно выполнить следующие действия. найти область определения и множество допустимых значений функции f(x);
2. исследовать функцию нач тность (f(?x) = f(x) для всех x, график чјтной функции симметричен относительно оси ординат, то есть можно его построить лишь в правой полуплоскости (x > 0) и затем использовать вышеупомянутую симметрию графика, нечјтность (f(?x) = ?f(x) для всех x, график нечјтной функции симметричен относительно начала координат, то есть можно его построить лишь в правой полуплоскости (x > 0) и затем использовать вышеупомянутую симметрию графика),
периодичность (f(x + T ) = f(x) при некотором T > 0 и для всех x, график периодической функции можно построить лишь на отрезке, длина которого равна периоду функции и далее его сдвигать
вправо и влево (на всю действительную прямую) на длины отрезков, равных периоду функции. иследовать функцию на непрерывность, найти е точки разрыва, где могут возникнуть вертикальные ассимптоты (см. следствия conv
27.1 ив п acc
27.4 џ
conv
27);
4. исследовать поведение функции при приближении x к границе области определения здесь тоже могут возникнуть вертикальные ассимптоты;
5. найти корни функции (то есть те точки x в которых f(x k
) = они будут точками пересечения графика с осью абсцисс, определить множество точек, где f(x) > 0 (на этом множестве оси Ox график функции лежит выше оси абсцисс, где f(x) < 0 (здесь график функции лежит ниже оси абсцисс, найти f(0)? точку пересечения графика функции с осью ординат. найти участки возрастания функции (где f
?
(x) > множество, где функция убывает (там f
?
(x) < точки е экстремумов (в этих точках f
?
(x) = или не существует (см. теорему extr
18.2 в пи теорему extr
18.5 в п cond extr
18.4 џ
extr
18));
7. найти наклонные ассимптоты, то есть поведение графика функции при x ? ±?, согласно методам, описанном в п acc
27.5 в џ
conv
27.
8. (если необходимо) найти множества, где функция выпуклая (на этом множестве f
??
(x) < где она вогнутая (там f
??
(x) > и е точки перегиба (в этих точках f
??
(x) = см. џ
conv
27, пи п теоремы conv
27.1 
conv
27.4).
63

џ
extr on segm
29 Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции,
непрерывной на отрезке. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на отрезке on Пусть функция f(x) дифференцируемая на отрезке [a, b] и е производная на этом отрезке обращается в нуль не более, чем в конечном числе точек (то есть функция из контрпримера (см.
п.
Lce
23.3 вне годится. Обозначим зато есть A  это все точки интервала (a, b), в которых производная обращается в нуль, а также концы отрезка. По ранее заданному условию, A является конечным множеством. Тогда max
[a,b]
f (x) = max{f (x)|x ? и min
[a,b]
f (x) = min{f (x)|x ? То есть, как показывает равенство (
s01.29hc
160), для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой на отрезке [a, b], надо найти значения функции в точках внутреннего экстремума (то есть в тех точках интервала (a, b), где производная от функции обращается в нуль) и к ним добавить значения функции на концах отрезка. Тогда самая большая из этих величин будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b], a мая маленькая из них  наименьшим значением функции на этом отрезке.
Отметим, что условие дифференцируемости функции на отрезке [a, b] и дифференцируемости этой функции во всех точках интервала (a, b), за исключением, быть может, конечного числа точек интервала (a, b). Тогда во множество A (оно всј же останется конечным) надо также включить все те точки интервала (a, b), в которых производная не существует КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И МНОГОЧЛЕНЫ numbers
30 Комплексные числа и алгебраические действия над ними. Комплексные числа и алгебраические действия над ними numbers
30.1. Определение комплексных чисел Множество действительных чисел далеко не всегдп удовлетворяет всем потредностям математики. Хотя бы для решения алгебраических уравнений. Например уравнение x
2
= ?1
(161)
s01.30hc действительных корней не имеет.
В математике корень уравнения (
s01.30hc
161) искуственно добавлен и назван числом i  мнимой единицей (
I
magin). Таким образом, множество чисел расширилось.
Определение complex numbers
30.1. Комплексным (complex) называется число вида c = a + ib,
(162)
s02.30hc где a и b  действительные числа, a i  один из корней уравнения (
s01.30hc
161), то есть i
2
= ?1.
64

Множество комплексных чисел обозначается Определение complex numbers
30.2. число a в равенстве (
s02.30hc
162) называется действительной (или вещественной частью)
комплексного числа c (Re-al) (запись a = Re(c); иногда пишут так = Определение complex numbers
30.3. число b в равенстве (
s02.30hc
162) называется мнимой частью комплексного числа c (Im-agin) (запись a = Im(c); иногда пишут так a = Например, Re(1 ? 2i) = 1, Im(1 ? 2i) = ?2; Re(i) = 0, Im(i) = 1, ибо i = 0 + 1· i.
Cледует отметить, что, помимо числа i, уравнение (
s01.30hc
161) имеет ещј один корень Другие основные числа 0 = 0 + 0· i; 1 = 1 + 0· Действительное число  это частный случай комплексного, то есть такое комплексное число,
которое имеет нулевую мнимую часть. Это мы сформулируем в виде утверждения:
теорема complex Число c является действительным тогда и только тогда, когда его мнимая часть Im(c) = Определение complex numbers
30.4. Если Re(c) = 0, то число c называется мнимым (или чисто мнимым).
Например, корень уравнения (
s01.30hc
161) i является чисто мнимым числом.
Определение complex numbers
30.5. Комплексные чмсла c
1
= a
1
+ и c
2
= a
2
+ называются равными
(или одинаковыми, если равны, соответственно, их действительные и мнимые части (то есть тогда и только тогда, когда и Например, 1 + i ?= 1 ? i, ибо различаются их мнимые части.
Следует также отметить, что множество комплексных чисел C не упорядочивается. Либо c
1
= либо c
1
?= Записи c
1
> c
2
,
a тaкже c
1
< бессмысленны. В этом существенное отличия множества комплексных чисел от множества действительных чисел. Неверно ни i > 0, ни i < 0, ни i = 0. Число i мнимое и не является ни положительным, ни отрицательным. Попытка же упорядочивания множества комплексных чисел, аналогичное соответствующему упорядочиванию множества действительных чисел (см. п./п.
def real
1.4.1 в п џ
sets
1) вступает в противоречие с решением уравнения (
s01.30hc
161).
30.2. Геометрическое представление комплексного числа. Модуль и аргумент Комплексное число z = x + iy можно представить как точку на (вещественной) плоскости се декартовыми координатами x = Re(z) и y = Im(z), причјм это соответствие взаимно однозначно и на, то есть всякому комплексному числу соответствует ровно одна точка на плоскости и любой точке на плоскости соответствует ровно одно комплексное число. Получились геометрическое представление комплексного числа, а также комплексная плоскость.
Перейдјм на комплексной плоскости к полярной системе координат.
Определение complex numbers
30.6. Модулем называется расстояние от точки c = a + ib на комплексной плоскости до начала координат (соответствующей комплексному числу 0 = 0 + 0· Из теоремы Пифагора легко получается формула =
?
a
2
+ Очевидно, что = и |c| > 0 для любого c ? C такого, что c ?= Определение complex numbers
30.7. Аргументом комплексного числа c = a + ib называется угол между действительной осью Ox на комплексной плоскости и прямой, проходящей черз начало координат и комплексную точку c = a + ib.
65

Запись arg(c)  может находится в каком-либо промежутке длины 2?. Если arg(c) то arg(c) =
?
arctg b
a
, если a > 0
? + arctg b
a для a ? Множество всех аргументов комплекной точки c (они отличаются на величину, кратную записывается как Отметим также, что c = 0 = 0+0· i (комплексный нуль) является единственным комплексным числом, не имеющим аргумента. Операция комплекного сопряжения conv com Определение complex Величина c = a ? ib ? C называется числом,
сопряжјнным к
комплексному числу c = a + На комплексной плоскости точка c является симметричной точке c относительно действительной оси Ox. Очевидно, что = |c|, arg(c) = ? им. Число c действительно тогда и только тогда, когда c = Доказательств тогда и только тогда, когда совпадабт их действительные и мнимые части. Но) = a = для любых c ? C, a Im(c) = b = Im(c) = ?b, откуда следует, что b = Im(c) = 0 и,
по теореме complex numbers
30.1, число c действительное. м complex numbers
30.2 доказана. Арифметические операции над комплексными числами и их свойства Пусть заданы три комплексных числа c
1
= a
1
+ ib
1
, c
2
= a
2
+ и c
3
= a
3
+ Определение complex numbers
30.9. Суммой комплексных чисел и называется c
1
+
c
2
=
a
1
+
a
2
+ (То есть соответственно складываются их действительные и мнимые части.
Определение complex numbers
30.10. Произведением комплексных чисел и называется c
1
·
c
2
=
a
1
a
2
?
b
1
b
2
+ (Надо по соответствующему действительным числам правилу раскрыть скобки в (a
1
+ ib
1
)(a
2
+ и учесть, что i
2
= Лемма complex numbers
30.1. Имеют место равенства + c = 2b = и cc = a
2
+ b
2
= То есть c + c и cc действительные числа при любых c ? Лемма complex numbers
30.1 достаточно очевидна и читателю предлагается доказать е самостоятельно.
Теорема complex numbers
30.3 (свойства арифметических операций, а также определение вычитания и деления комплексных чисел. Множество комплексных чисел C обладает свойством поля,
аналогичное соответсвующему свойству множества действительных чисел R (см. п/п def real
1.4.1 в п џ
sets
1 ):
1. cложение коммутативно c
1
+ c
2
= c
2
+ c
1
;
2. сложение ассоциативно (c
1
+ c
2
) + c
3
= c
1
+ (c
2
+ c
3
);
3. для любого комплексного числа c сумма c + 0 = c (0 = 0 + 0· i)
4. для любого комплексного числа c = a + ib существует противоположное число = ?a?bi = ?a+(?b)i такое, что c+(?c) = 0; это свойство определяет операцию вычитания комплексных чисел c
1
? c
2
= c
1
+ (?c
2
) = a
1
? a
2
+ i(b
1
? b
2
);
66

5. умножение коммутативно c
1
c
2
= c
2
c
1
;
6. умножение ассоциативно (c
1
c
2
)c
3
= c
1
(c
2
c
3
);
7. для любого комплексного числа c произведение c· 1 = c (1 = 1 + 0· i);
8. для любого отличного от нуля комплексного числа c = a + ib существует обратное число a
2
+b
2
?
ib a
2
+b
2
=
a a
2
+b
2
+ (?
b это свойство определяет операцию деления комплексных чисел c
1 1
c
2
;
9. умножение дистрибутивно по сложению c
1
(c
2
+ c
3
) = c
1
c
2
+ Таким образом среди комплексных чисел справедливы все алгебраические формулы.
Докажем, например, дистрибутивность+ c
3
) = (a
1
+ ib
1
)(a
2
+ a
3
+ i(b
2
+ b
3
)) = a
1
(a
2
+ a
3
) ? b
1
(b
2
+ b
3
) + (a
1
(b
2
+ b
3
) + b
1
(a
2
+ a
3
))i =
= a
1
a
2
+ a
1
a
3
? b
1
b
2
? b
1
b
3
+ (a
1
b
2
+ a
1
b
3
+ b
1
a
2
+ b
1
a
3
)i = (a
1
a
2
? b
1
b
2
+ (a
1
b
2
+ b
1
a
2
)i)+
+(a
1
a
3
? b
1
b
3
+ (a
1
b
3
+ b
1
a
3
)i) = c
1
c
2
+ Дистрибутивность умножения по сложению доказана.
Таким же образом доказываются и остальные восемь свойств операций умножения и сложения комплексных чисел, и читателю предлагается сделать это самостоятельно.
Теорема complex numbers
30.4 (ещј cвойства операции сопряжения. Имеют место равенства c
1
+ c
2
= c
1
+ и c
1
c
2
= Докажем, например второе свойство c
1
c
2
= a
1
a
2
? b
1
b
2
+ (a
1
b
2
+ a
2
b
1
)i =
= a
1
a
2
? b
1
b
2
? (a
1
b
2
+ a
2
b
1
)i = a
1
a
2
? (?b
1
)(?b
2
) + ((a
1
(?b
2
) + a
2
(?b
1
))i = c
1
· в предпоследнем равенстве знак  ?  мы внесли в мнимую часть с изменением знака у второго множителя. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Формулы
Муавра.
trig comp trig На комплексной плоскости через начало координат (соответствующей комплексному нулю) и точку c = a + ib проведјм прямую линию. Угол между этой прямой и действительной осью Ox обозначим за ? = arg(c). Из точки c = a + ib проведјм перпендикулярна вещесвенную ось Получился прямоугольный треугольник, один из катетов которого лежит на действительной оси Ox и его длина равна ас, другой катет пaраллелен мнимой оси Oy и его длина равна b = Im(c),
a длина гипотенузы в этом прямоугольном треугольнике равна |c|. Читателю нужно самостоятельно построить этот чертјж.
Из этого прямоугольного треугольника показываем, что a = |c| cos ? и b = |c| sin ?. Подставляя эти равенства в формулу (
s02.30hc
162), получим c = |c|(cos ? + i sin ?).
(169)
s10.30hc
Определеие complex Формула (
s10.30hc
169) называется геометрической формой записи комплексного числа Пусть теперь c
1
= |c
1

|(cos ?
1
+ i sin и c
2
= |c
2

|(cos ?
2
+ i sin Тогда c
1
c
2
= |c
1
||c
2

|(cos ?
1

+ i sin ?
1

)(cos ?
2

+ i sin ?
2
) =
= |c
1
||c
2

|(cos ?
1
cos ?
2
?sin ?
1
sin ?
2

+i(sin ?
1
cos ?
2
+cos ?
1
sin ?
2
)) = |c
1
||c
2

|(cos(?
1
+?
2
)+i Мы показали, что c
1
c
2
= |c
1
||c
2

|(cos(?
1
+ ?
2

) + i sin(?
1
+ ?
2
)),
(170)
s11.30hc то есть приумножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Соответственно при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются, то есть справедлива формула c
1
c
2
=
|c
1
|
|c
2
|
(cos(?
1
? ?
2

) + i sin(?
1
? ?
2
)).
(171)
s12.30hc
67

Читателю также предлагается самостоятельно показать, что |
1
c
| и arg(
1
c
) = ? Определение complex numbers
30.12. равенства (
s11.30hc
170) и (
s12.30hc
171) называются формулами Муавра.
30.6. Показательная функция от комплексного аргумента. Формулы Эйлера Определение complex numbers
30.13.
e x+iy
=
e x
(cos y + i sin y).
(172)
s13.30hc
B частности, для действительного y e
iy
= cos y + i sin y и e
?iy
= cos y ? i sin Формально равенство (
s13.30hc
173) можно получить, представляя e iy многочленом Маклорена степени группируя при этом слагаемые по четвјркам) c остатком, например, в форме Пеано, и сравнив его действительную и мнимую части с формулой Маклорена для cos y и sin y. При этом нужно показать,
что i
3
= i
2
i = ?1· i = ?i и i
4
= i
2
i
2
= (?1)(?1) = то есть i
4n
= 1; i
4n+1
= i; i
4n+2
= и i
4n+3
= Складывая оба равенства в (
s13.30hc
173), получим e iy
+ e
?iy
= 2 cos y или cos y =
e iy
+ e
?iy
2
(175)
s15.30hc
A вычитая из перваго равеннства (
s13.30hc
173) второе, получим e iy
? e
?iy
= 2i sin y или sin y =
e iy
? Определение complex numbers
30.14. Равенства (
s15.30hc
175) и (
s16.30hc
176) называются формулами Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа comp exp Заменив сумму в скобках правой части (
s10.30hc
169) е выражением первым равенством формулы (для y = ?, получим c = |c|e Определение complex numbers
30.15. Формула (
s18.30hc
177) называется показательнойфоромой записи комплексного числа. Целая степень комплексного числа. Корни целой положительной степени из комплексного числа roots comp Как для действительных чисел z
n
= z· z· . . . · z
?
??
?
n рази (Применяя формулу Муавра (
s11.30hc
170), получим c
n
= |c|
n
(cos(n?) + i sin(n?)).
(179)
s20.30hc
68

Для извлечения корней й степени из комплексного числа надо выполнить обратные действия.
Но при этом надо иметь ввиду, что аргумент может изменится на величину, кратную 2?. Само комплексное число при этом не изменится, однако корень из него уже может стать другим =
n
?|c|(cos

? + 2k?
n
+ i sin
? + При этом примы будем получать различные корни.
Таким образом,всего существует n различных корней й степени из комплекного числа. Из формулы) можно показать, что на комплексной плоскости они расположены следующим образом.
Строим окружность радиуса n
?|c|
c центром вначале координат и проводим прямую линию,
проходящую через начало координат и под углом к действительной оси Ox. Тогда один из корней находится в точке пересечения этой прямой и ранее построенной окружности. А остальные корни являются вершинами правильного угольника, вписанного в эту окружность и одна из вершин которого  ранее найденный корень.
Пример complex numbers
30.1. Найти
3
?
i.
Так как i = cos
?
2
+ i то из формулы (
s21.30hc
180)
3
?
i = cos
?
2
+2k?
3
+ i Для k = 0 будет cos
?
6
+ i sin
?
6
=
?
3 2
+
1 При k = 1 получим cos(
?
6
+
2?
3
) + i sin(
?
6
+
2?
3
) = cos
5?
6
+ i sin
5?
6
= ?
?
3 2
+
1 2
i.
B случае k = 2 имеем cos(
?
6
+
4?
3
) + i sin(
?
6
+
4?
3
) = cos
3?
2
+ i sin
3?
2
= ?i.
џ
polinoms
31 Многочлены. Разложение на множители. Многочлены. Разложение на множители. Многочлены с комплексными коэффициентами. Деление многочлена на многочлен с остатком. Теорема Безу.
comp pol comp Определение polinoms
31.1. Многочленом называется функция) = P
n
(
z) = c
0
+
c
1
z + c
2
z
2
+ . . . +
c n?1
z n?1
+
c n
z n
=
n
?
k=0
c k
z k
,
(181)
s01.31hc где c k
= a k
+ ib k
 комплексные числа, причјм c n
?= 0,
a z = x + iy  комплексная переменная.
Определение polinoms
31.2. Целое неотрицательное число n в равенстве (
s01.31hc
181) называется степенью многочлена Определение polinoms
31.3. Многочлены называются равными (или одинаковыми, если они равны тождественно (то есть совпадпют для всякого комплексного числа По известному из школьного курса правилу многочлены складываются и перемножаются. При этом имеет место следующая теорема polinoms
31.1. Cтепень суммы не больше самой большой из степеней слагаемых.
Контрпример polinoms
31.1. Каждый из следующих многочленов z
2
+ 3z + и 4 ? имеет вторую степень, а степнь их суммы 3z + 5 первая, то есть при сложении многочленов степень их суммы может уменьшится. Она лишь не увеличивается. Однако справедлива теорема polinoms
31.2. Если наибольшую из степеней имеет ровно одно слагаемое, а степени всех остальных слагаемых меньше, то тогда степень суммы равна самой большой из степеней слагаемых Относительно степни произведения имеет место следующая теорема polinoms
31.3. Степнь произведения многочленов равна сумме степеней всех сомножителей.
Справедлива также и следующая теорема polinoms
31.4. Для любых многочленов и Q
m
(z)
cуществуют единственные многочлены
S
n?m
(z)
и где степень k < m, и такие, что выполнено равенство) = S
n?m
(z)Q
m
(z) + R
k
(z).
(182)
s02.31hc
Oпределение polinoms
31.4. Многочлен в формуле (
s02.31hc
182) называется частным при делении c остатком многочлена на Q
m
(z).
Oпределение polinoms
31.5. Многочлен R?k(z) в формуле (
s02.31hc
182) называется остатком при делении многочлена на Существование частного и остатка можно показать на примере с помощью деления углом, и здесь мы это доказывать не будем. Покажем единственность.