Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 7 из 18

) = f (?
x),
(88)
s02.18hc то есть для любых €x < ?x будет f(€x) < f(?x), и, следовательно, функция f(x) возрастает. Теорема extr
18.2
доказана.
Контрпример extr
18.1. Докажите, что x = 0 является точкой возрастания функции f (x) =
?
?
?
2 + sin
1
x
, если x > 0
sin
1
x
? для x < 0 при x = однако эта функция не является монотонной нив одной окрестности нуля.
Контрпример extr
18.2. Докажите, что x = 0 является точкой возрастания и непрерывности функции f (x) =
? x(2 + sin
1
x
)
, если x ?= 0 при x = 0, однако эта функция не является монотонной нив одной окрестности нуля.
Таким образом, даже непрерывность функции веточке возрастания или убывания не гарантируете монотонности рядом c этой точкой (то есть в некоторой окрестности этой точки).
Контрпример extr
18.3. Для функции f(x) = е производная f
?
(x) = примените, например формулу для первой функции из таблицы производных в џ
table der
17 при ? = 3), то есть f
?
(0) = и не является положительным числом, хотя x = 0  точка возрастания этой функции.
Тем не менее, из теоремы extr
18.2 легко следует (докажите это самостоятельно) следующие теорема extr
18.3. Пусть функция f(x) имеет производную в любой точке отрезка [a, b]. и возрастает на нм. Tогда f
?
(x) ? для всех x ? [a, b]. и

теорема extr
18.4. Пусть функция f(x) имеет производную в любой точке отрезка [a, b]. и убывает на нм. Tогда f
?
(x) ? для всех x ? [a, Контрпример extr
18.3 показывает, что даже для строго монотонных функций производная может обратиться в нуль в некоторых точках. Доказательство теоремы super and inv
16.3.
pr th inv pr th Ввиду непрерывности производной в точке x по теореме continious in point
10.2 (м. п of continious on point
10.2 в џ
continious in point
10) в некоторой окрестности точки x производная существует и сохраняет знак. Тогда, по теореме extr
18.2, функция строго монотонна и непрерывна как имеющая производную на любом отрезке из этой окрестности.
Далее всј будет следовать из теоремы super and inv
16.2.
18.3. Точки локального (внутреннего) экстремума. Их определение extr p Определение extr
18.3. Число a называется точкой локального (или внутреннего) максимума функции f(x), если для всех x из некоторой проколотой окрестности точки a выполнено неравенство f(x) < Определение extr
18.4. Число a называется точкой локального (или внутреннего) минимума функции f(x), если для всех x из некоторой проколотой окрестности точки a выполнено неравенство f(x) > Определение extr
18.5. Число a называется точкой локального (или внутреннего) экстремума функции f(x), эта точка является либо точкой локального (внутреннего) максимума,
либо точкой локального (внутреннего) минимума. Необходимое условие экстремума cond extr nec cond extr
18.4
Bвду определений extr
18.1 
extr
18.5 точка локального экстремума не может быть ниточкой возрастания,
ни точкой убывания. Поэтому производная функции в этой точке не может быть ни положительной,
ни отрицательной. Следовательно, справедлива следующая теорема extr
18.5 (необходимое условие экстремума).
Если a является точкой локального
(внутреннего) экстремума функции f(x), то производная функции в этой точке или равна нулю, или не существует.
Контрпример extr
18.4. Функция f(x) = |x| в точке x = 0 имеет минимум (даже не локальный,
а абсолютный, однако неверно, что е производная в нуле равна нулю. В нуле этой производной просто не существует (см. контрпример derivative
15.1 в п of der
15.1 месте стем следует отметить, что условие f
?
(a) = 0
(89)
s03.18hc является условием внутреннего экстремума. На концах отрезка (
s03.18hc
89) может и не выполняться,
даже если эта функция на концах отрезка принимает наибольшее или наименьшее значение. Например, строго монотонная функция принимает наибольшее и наименьшее значения на концах отрезка,
однако е производная на концах отрезка отнюдь не обязана обращаться в нуль.
Нужно также учитывать, что (
s03.18hc
89)  это условие локального экстремума, то есть для точек,
лежащих достаточно близко (в некоторой окрестности) отданной. Абсолютного экстремума (то есть наибольшего или наименьшего значений для всех x) оно может и не дать, как показывает следующий контрпример extr
18.5. На отрезке [?3, 3] для функции f(x) = x
3
? 3x е производная f
?
(x) = 3x
2
? обращается в нуль в точках x
0
= и x
1
= и f(1) = ?2, a f(?1) = 2. Однако f(?3) = ?18, a
42

f (3) = Тесть в точках x
0
= и x
1
= принимаются локальные максмум и минимум в точке x
0
= 1
 локальный минимума в точке x
1
= ?1
 локальный максимум. Абсолютные максимум и минимум функция принимает на концах отрезка в правом конце  абсолютный максимума в левом конце  абсолютный минимум Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши. Теорема Ферма Ferma
Th Из теоремы extr
18.5 легко получается следующая теорема (Ферма. Если точка a является точкой локального (внутреннего) экстремума функции f(x) ив этой точке a существует производная от функции f(x), то выполнено равенство (
s03.18hc
89):
f
?
(a) = 0.
19.2. Теорема Ролля.
Th Roll
Th Теорема (Ролль) . Пусть функция непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема в интервале (a, b),
(90)
s01.19hc a также на концах отрезка принимает одинаковые значения (то есть f(a) = f(b)). Тогда в интервале ( a , b ) существует точка, в которой производная от этой функции равна нулю.
Из теоремы Ролля, в частности, следует, что между любыми корнями функции есть корень производной, а точнее имеет место следующее следствие. Пусть точки и являются корнями непрерывной в них функции то есть f(x
1
) = f (x
2
) = 0),
a также f(x) имеет производную во всех точках между этими корнями. Тогда между этими корнями и существует точка c такая, что f
?
(c) = Контрпример. Функция f(x) = |x| на концах отрезка [?1, 1] принимает одинаковые значения, однако е производная не обращается в нуль нив одной точке, где она существует при x > 0 f
?
(x) = x
?
= для x < 0 f
?
(x) = ?x
?
= ?1,
a при x = 0 производной не существует (здесь и нарушено условие теоремы Ролля о диффуренцируемости функции в интервале, м. также контрпример derivative
15.1 в п of der
15.1 Доказательств теоремы Ролля.
Рассмотрим следующие два случая. f(x) ? const. Тогда е производная всюду равна нулю, и теорема Ролля выполняется. Функция f(x) не является постоянной. Ввиду е непрерывности на отрезке [a, b] по теореме continious on segment
11.2 Вейерштрасса (см. п.
Вейерштрасс 2 11.2 в џ
continious on segment
11) на отрезке [a, b] имеет наибольшее и наименьшее значения,
которые различаются, ибо функция f(x) не является постоянной, и поэтому значение функции хотя бы водной из этих е точек экстремума не совпадает со значением функции на концах отрезка (по условию теоремы Ролля, значения функции на концах отрезка одинаковые. Поэтому хотя бы одна из этих точек экстремума является внутренней, ив ней, по условию (
s01.19hc
90) теоремы Ролля, существует производная. Тогда, по теореме Ферма, производная от функции f(x) в этой точке обращается в нуль. Теорема Ролля доказана

Отметим также, что на концах отрезка [a, b] производной от функции f(x) может и не быть. Во всяком случае, теорема Ролля этого не требует. Теорема Коши Коши Коши
19.3
Теорема
Roll
19.3 (Коши. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют условию (
s01.19hc
90) теoремы
Ролля, а также g
?
(x) ?= для всех x ? (a, b). Тогда существует точка ? ? (a, b) такая, что f (b) ? f (a)

g(b) ? Доказательств Положим ?(x) = f(x) ? f(a) ?
f (b)?f (a)
g(b)?g(a)

(g(x) ? Тогда ?(a) = 0 = ?(b), по теореме Ролля найдјтся число ? ? (a, b) такое, что ?
?
(?) = Учитывая, что производные постоянных f(a) и равны нулю (см. пример derivative
15.1 в пи постоянный множитель f (b)?f (можно вынести за знак производной (см. следствие derivative
15.1 в п of derivative
15.3 џ
derivative

15), из последнего равенства получаем = ?
?
(?) = f
?
(?) ?
f (b) ? f (a)
g(b) ? Перенеся уменьшаемое в правой части равенства (
s03.19hc
92) в его левую часть выводим f (b)?f (a)
g(b)?g(a)
g
?
(?) Поделив далее обе части последнего равенства на g
?
(?) ?= получаем формулу (
s02.19hc
93). Теорема Коши доказана. Теорема Лагранжа Лагранж Лагранж
19.4
Применяя теорему Коши для функции g(x) ? 1, получим, что имеет место следующая теорема (Лагранж. Пусть функция f(x) удовлетворяет условию (
s01.19hc
90) теoремы Ролля.
Тогда существует точка ? ? (a, b) такая, что f (b) ? f (a) = f
?

(?)(b ?
а).
(93)
s02.19hc
Ранее отмечалось, что производная постоянной равна нулю (см. пример derivative
15.1 в п of der
15.1 џ
derivative
15). Из теоремы Лагранжа вытекает и обратное утверждение:
следствие
Roll
19.2. Пусть для всех действительных x существует f
?
(x) ? Тогда f(x) ? Доказательств o
Подберјм и зафиксируем какое-либо вeщественноe число a. Тогда, по теореме Лагранжа, для любого действительного x найдјтся число ? между a и x такое, что f(x) ? f(a) = f
?
(?)(x ? a) = то есть для любого x будет f(x) = f(a) или значения функции f(x) не меняются. Следствие
Roll
19.2
доказано.
B п.
Лагранж геом
21.4 џ
geom der
21 будет показан геометрический смысл теоремы Лагранжа. Однако для понимания этого геометрического смысла нужно обязательно изучить предыдущий материал в џ
geom der
21.
44

џ
par and log der
20 Производные от функций, заданных параметрически.
Логарифмическое дифференцирование. Производные от функций, заданных параметрически. Логарифмическое дифференцирование and log der
20.1. Параметрическое задание функций func par Пусть заданы следующие функции = ?(t)
y = ?(t)
t ? [?, Меняя значения t из отрезка [?, ?], на плоскости XoY мы будем получать некоторые точки с координатами (x = ?(t), y = Определение par and log der
20.1. Полученное таким образом множество точек на плоскости XoY называется линией (или кривой, заданной параметрически.
Определение par and log der
20.2. Bеличина t при задании линии системой (
s01.20hc
94) называется параметром.
Пример par and log der
20.1. Пусть = cos t y = sin(t)
t ? [0, Заданная системой (
s02.20hc
95) линия является окружностью единичного радиуса с центром вначале координат, ибо x
2
+ y
2
= cos
2
t + sin
2
t ? Однако, если на функции ?(t) и ?(t) не накладывать никаких условий, то заданная системой) линия может выглядеть иесьма своеобразно.
Контрпример par and log der
20.1 Представим параметр t ? [0, 1] в десятчной системе счисления = 0, t
1
t
2
t
3
, t
4
. . . при этом 1 = 0, 9999 . . . , a 0, 1 = 0, 10000 . . .),
(96)
s03.20hc где t n
 это цифры от нуля до девяти. Числа x = ?(t) и y = ?(t) представим в виде их разложения в десятичной системе счисления x = ?(t) = 0, t
1
t
3
t
5
. . . t
2k?1
 цифры в разложении t в (
s03.20hc
96), cтоящие на нечјтных местах y = ?(t) = 0, t
2
t
4
t
6
. . . t
2k
 цифры в разложении t в (
s03.20hc
96), cтоящие нач тных местах.
(97)
s04.20hc
Определение par and log der
20.3. Построенная в контрпримере par and log der
20 линия называется кривой Пеано.
Читателю предлагается самостоятельно доказать, что кривая Пеано представляет собой весь квадрат cтороны которого находятся на координатных осях абсцисс и ординат, одна из вершин которого лежит вначале координата другая  в точке с координатами (0, Однако, если функции ?(t) и ?(t) достаточно хорошие, то представленная системой (
s01.20hc
94) линия столь экзотической не будет.
Теорема par and log der

20.1. Если в точке t = функция ?(t) дифференцируемая, a ?(t) имеет непрерывную производную и ?
?
(t
0
) ?= тов некоторой окрестности точки x
0
= система) задајт график некоторой функции y = f(x). Эта функция является дифференцируемой в точке и е производная находится по формуле f
?
(x
0
) =
?
?
(t
0
)
?
?
(t
0
)
( или dy dx
=
dy dt dx dt
).
(98)
s05.20hc
45

Доказательств По теореме super and inv
16.3 (см. п of inv
16.2 в џ
super and inv
16) фугнкция x = ?(t) в некоторой окрестности точки имеет обратную t = ?(x), которая в точке x
0
= дифференцируемая и е производная вычисляется по формуле) Обозначим за f(x) = ?(?(x)). Тогда суперпозиция y = ?(t) = ?(?(x)) = f(x) является дифференцируемой в точке x
0
= функцией и из теоремы super and inv
16.1 (м. п of super
16.1 в џ
super and inv
16), используя формулу, получаем, что f
?
(x) = (?(?(x)))
?
= ?
?
(t)?
?
(x) Формула (
s05.20hc
98) и, следовательно, теорема par and log der
20.1 доказаны. Логарифмическое дифференцирование der log Теорема par and log der
20.2. Если существует производная от ln(f(x)), то существует и производная от самой функции f(x), которую можно найти по формуле f
?
(x) = f (x)(ln(f Доказательств Используем равенство f (x) = e ln(f (По теореме о производной суперпозиции функций (см. теорему super and inv
16.1 в п of super
16.1 џ
super and inv
16, равенство (из (
s09.20hc
101) получаем f
?
(x) = (e ln(f (x))
)
?
x
= (e ln(f (x))
)
?
ln(f (x))
(ln(f (x)))
?
= e ln(f (x))
(ln(f (x)))
?
= f (x)(ln(f (первый множитель в последнем равенстве мы получили, используя (
s09.20hc
101), также применялись производные от второй и третьей функции таблицы производных в џ
table der
17). Равенство (
s08.20hc
100), и, следовательно,
теорема par and log der
20.2 доказаны.
Применение теоремы par and log der
20 рассмотрим наследующем примере:
пример par and log der
20.2. Hайти производную от x x
(x x
)
?
= x x
(ln x x
)
?
= x x
(x ln x)
?
= x x
(x
?
ln x + x(ln x)
?
) = x x
(ln x + x
1
x
) = x x
(1 + ln x).
џ
geom der
21 Геометрический смысл производной.
Уравнеие касательной. Уравнение касательной. Геометрический смысл производной. Определение касательной of tangent def of Определение geom der
21.1. Kасательной к графику функции y = f(x) в лежащей на графике точке
M
0
называется прямая, получающаяся из предельного положения секущих когда точка на графике функции неограниченно приближается с обеих сторон к точке M
0 46

21.2. Уравнение касательной of tangent eq of Рассмотрим уравнениу секущей, то есть прямой линии, проходящей через точки M
0
(x
0
, y
0
= f (и M(x
1
, y
1
= f (Это уравнение имеет вид y = f (x
0
) +
f (x
1
) ? f (x
0
)
x
1
? x
0
(x ? нетрудно убедиться, что линейное относительно переменной x  это уравнение прямой линии, прич м при x = x
0
y = y
0
= f (x
0
),
a для x = будет y = y
1
= f (то есть уравнение (
s01.21hc
102) задајт прямую линию, проходящую через лежащие на графике функции точки и M
1
).
Найдјм е предельное положение, то есть предел углового коэффициента этой прямой, когдa x
1
? Обозначив за ?x = x
1
? и тогда ?x x
1
?x
0
?? и x
1
= x
0
+ находим lim x
1
?x
0
f (x
1
)?f (x
0
)
x
1
?x
0
= lim
?x?0
f (x
0
+?x)?f (x
0
)
?x
= см. определение derivative
15.1 в п of der
15.1 Таким образом, уравнение касательной в точке M(x
0
, f (имеет вид y = f (x
0
) + f
?
(x
0
)(x ? Таким образом, доказаны следующие утверждения:
теорема geom der
21.1. Если функция f(x) имеет производную в точке то е график имеет невер- тикальную касательную в точке M
0
(x
0
, f (и эта касательная имеет уравнение (
s02.21hc
103) и
Tеорема geom der
21.2. Если функция f(x) имеет в точке M
0
(x
0
, f (x
0
))
невертикальную касательную, то эта функция дифференцируемая в точке Контрпример geom der
21.1. Функция в точке x
0
= конечной производной не имеете производная является бесконечно большой величиной при x ? 0), однако касательная у не вначале координат существует. Этой касательной является ось ординат. Впрочем, такую прямую уже нельзя записать как уравненние прямой с угловым коэффициентом.
Определение geom der
21.2. Правой касательной к графику функции y = f(x) в лежащей на графике точке называется прямая, получающаяся из предельного положения секущих когда точка M на графике функции неограниченно приближается с правой стороны к точке Определение geom der
21.3. Левой касательной к графику функции y = f(x) в лежащей на графике точке называется прямая, получающаяся из предельного положения секущих когда точка M на графике функции неограниченно приближается с левой стороны к точке Контрпример geom der
21.2. Функция f(x) = |x| в точке x
0
= касательной не имеет (см. контрпример derivative
15.1 в п of der
15.1 џ
derivative
15), ибо у не различные правая (y = x) и левая (y = ?x) касательные в этой точке.
Контрпример geom der
21.3. Функция f(x) =
? x sin
1
x
, если x ?= 0 для x = в точке x
0
= не имеет ни правой, ни левой касательных (см. контрпример derivative
15.2 в п of der
15.1 џ
derivative
15), ибо секущие будут бегать между прямыми y = x и y = ?x и ник одной из прямых не подойдут. Геометрический смысл производной der g Из уравнения (
s02.21hc
103) следует, что х это угдовой коэффициент прямой линии, заданной этим уравнеием. Поэтому геометрический смысл производной  это угловой коэффициент касательной или тангенс угла наклона касательной коси абсцисс (или тангенс угла между осью абсцисс и касательной к графику функции в заданной точке

21.4. Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Лагранж геом
Лагранж геом
21.4
Из уравннния (
s02.19hc
93) легко следует равенство f (b) ? f (a)
b ? a
= Однако, как было показано при выводе формулы (
s01.21hc
102), левая часть равенства (
s03.21hc
104)  это угловой коэффициент секущей, то есть прямой линии, соединяющие точки с координатами (a, f(a)) и (b, А правая часть этого уравнения является углoвым коэффициентом касательной к графику функции в точке с координатами (?, f(?)). А при совпадении угловых коэффициентов двух прямых эти прямые параллельны (или совпадают, чего не может быть, ибо ? ?= a. Таким образом, доказана следующая теорема geom der
21.3. Пусть функция f(x) удовлетворяет условию (
s01.19hc
90) теоремы Ролля (см. п в џ
Roll
19). Тогда в найдјтся точка ? ? (a, b), касательная к графику функции в которой параллельна хорде, то есть прямой проходящей через точки (a, f(a)) и (b, f(b), лежащие на графике функции Дифференциал (первый дифференциал, полный дифференциал).
Дифференцируемость функции.
Инвареантность формы записи первого дифференциала. Дифференциал (первый дифференциал, полный дифференциал. Дифференцируемость функции. Инвареантность формы записи первого дифференциала. Определение первого дифференциала diff def Определение diff
22.1. Дифференциалом (первым дифференциалом, полным дифференциалом называется величина, линейная относительно приращения аргумента ?x, и отличающаяся от приращения функции f(x) на величину, бесконечно малую более высокого порядка, чем приращение аргумента (по базе ?x ? 0.)
Обозачения:
df = где A  некоторое число, которое может зависеть от точки где вычисляется дифференциал. При этом, по определению diff
22.1 должно быть f (x + ?x) ? f (x) = ?f = df + o(?x) = A?x + ??x