Главная страница
Навигация по странице:

  • )| |f ( k)||· |x k| nk=1|f (k) f (

  • (f (t) f (x)) dt| 1x x+xx|f (t) f (x)| dt

  • f (x) = 1x xx+x f (t) dt

  • (f (t) f (x)) dt| 1|x|xx+x|f (t) f (x)| dt

  • |f (( k) f ((

  • 292). Для точек k и k из отрезка x k= [x k1, x k] = [(t k1), (t подбираем точки

  • ) f ( k)||x k| =nk=1|f (( k)) f (( k))||x k| nk=1|f ((

  • 46) можно положить k= где числа

  • Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets


    Скачать 1.12 Mb.
    НазваниеКурс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
    Анкорlektsii_po_matematicheskomu_analizu
    Дата03.09.2022
    Размер1.12 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаlektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
    ТипКурс лекций
    #660797
    страница15 из 18
    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   18
    ? ?x и ?
    k
    ? ?x выполнено неравенство n
    ?
    k=1
    |f (?
    k

    ) ? f (?
    k
    )||?x k
    | < Тогда из второго неравенства (
    shc1.1 1) (см. п/п mod real
    1.4.2 в п џ
    sets
    1) для того же разбиения T имеем n
    ?
    k=1
    ||f (?
    k

    )| ? |f (?
    k
    )||· |?x k
    | ?
    n
    ?
    k=1
    |f (?
    k

    ) ? f (?
    k
    )||?x k
    | < то есть функция |f(x)| удовлетворяет неравенству) (см. п int
    46.4 в џ
    def def int
    46) и интегрируемость |f(x)| следует из теоремы def def Неравенство (
    s01.49hc
    274) непосредственно следует из неравенств f(x) ? |f(x)| и ?f(x) ? |f(x)|, a также теоремы prop def int
    48.3 (см. п pos func
    48.3 этого параграфа. Теорема mean value int
    49.1 полностью доказана.
    Отметим, что равенства в (
    s01.49hc
    274) может и не быть (см. контрпример в џ
    N/L
    51, п def int
    51.3). Однако имеет место следующая теорема mean value int
    49.2. Если функция f(x) знакопостоянна на отрезке [a, b], то справедливо равенство f (x) dx| =
    b
    ?
    a
    |f (x)| Доказательств Если f(x) ? 0, то и b
    ?
    a f (x) dx ? см. лемму prop def int
    48.1 в пи тогда f (x) dx| =
    b
    ?
    a f (x) dx =
    b
    ?
    a
    |f (x)| Если же f(x) < 0, то и b
    ?

    a f (x) dx ? и тогда f (x) dx| = ?
    b
    ?
    a f (x) dx =
    b
    ?
    a
    ?(f (x)) dx =
    b
    ?
    a
    |f (x)| Равенство (
    s05.49hc
    275) и, следовательно, теорема mean value доказаны. Определение среднего значения mean value def mean Пусть функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b].
    Oпределение mean value int
    49.1. Средним значением функции f(x) на отрезке [a, b] называется величина b
    ?
    a f(x) dx.
    100

    49.3. Одна лемма about mean value lemma about mean Лемма mean value int
    49.1. Пусть функция f(x) интегрируемая по Риману на отрезке [a, b], a также = sup
    [a,b]
    f (и m = inf
    [a,b]

    f (Тогда имеет место неравенство m(b ? a) ?
    b
    ?
    a f (x) dx ? M (b ? Доказательств Из равенства (
    s12.46hc
    252) (см. пример def def int
    46.1 в п on int
    46.3 џ
    def def int
    46), a также теоремы prop def int
    48.3 в пи теоремы prop def int
    48.1 (и пояснений после е фоpмулировки) в п def int
    48.1 џ
    prop def int
    48 имеем m(b ? a) = m b
    ?
    a dx =
    b
    ?

    a m dx ?
    b
    ?

    a f (x) dx ?
    b
    ?
    a
    M dx = M
    b
    ?
    a dx = M (b ? Лемма mean value int
    49.1 доказана.
    Поделив все три части неравенства (
    s02.49hc

    276) на b ? a, получим m ?
    1
    b ? a b
    ?
    a f (x) dx ? Поэтому величина b
    ?
    a f (x) dx находится между наибольшими наименьшим значениями функции и, следовательно, может быть названа средним значением. Теороема о среднем значении (первая теорема о среднем mean value th mean Теорема mean value int
    49.3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда сущeствует точка ? [a, такая, что f (?) =
    1
    b ? a b
    ?
    a f (x) Доказательств Так как величина b
    ?
    a f (x) dx лежит между наибольшими наименьшим значениями на отрезке, функции f(x) (см. неравенство (
    s03.49hc
    277)), то, по теореме continious on segment
    11.3 Коши (см. п values
    11.3 в џ
    continious on segment
    11) существует такая точка ? ? [a, b], что f(?) =
    1
    b?a b
    ?
    a f (x) Теорема mean value int
    49.3 доказана

    џ
    der up int
    50 Производная интеграла по верхнему пределу. Производная интеграла по верхнему пределу up int
    50.1. Непрерывность функции F (x) =
    x
    ?
    a f (t) dt.
    cont up int cont up int
    50.1 Рассмотрим функцию (x) =
    x
    ?
    a f (t) Имеет место следующая тeopeма der up int
    50.1. Если функция f(t) интегрируема на отрезке [a, b], то определјнная формулой) функция f(t) непрерывна на том же отрезке.
    Д ока за тел ь ст в Используя теорему prop def int
    48.4, найдјм приращение функции F (x) : ?F (x) = F (x + ?x) ? F (x) =
    =
    x+?x
    ?

    a f (t) dt ?
    x
    ?
    a f (t) dt =
    x
    ?
    a f (t) dt +
    x+?x
    ?

    x f (t) dt ?
    x
    ?
    a f (t) dt =
    x+?x
    ?
    x f (t) Мы показали, что = F (x + ?x) ? F (x) =
    x+?x
    ?
    x f (t) Оценим это приращение сверху. По теореме mean value int
    49.1 для ?x > 0
    |?F | = |
    x+?x
    ?

    x f (t) dt| ?
    x+?x
    ?
    x

    |f (t)| dt ?
    x+?x
    ?
    x
    M dt = M
    x+?x
    ?
    x dt = M (x+?x?x) = M ?x
    ?x?0+
    ?? 0,
    (281)
    s03.50hc где M = sup
    [a,b]
    |f (Здесь также использовались пример def def int
    46.1 (см. равенство (
    s12.46hc
    252) в пи теорема prop def int
    48.1, a также примечания сразу после е формулировки (см. п def int
    48.1 в џ
    prop def Если же ?x < 0, то |?F | = |
    x+?x
    ?

    x f (t) dt| = | ?
    x
    ?
    x+?x f (t) dt| = |
    x
    ?

    x+?x f (t) dt| ?
    x
    ?
    x+?x

    |f (t)| dt ?
    ?
    x
    ?
    x+?x
    M dt = M
    x
    ?
    x+?x dt = M (x ? (x + ?x)) = ?M ?x = M |?x|
    ?x?0?
    ?? Итак показано, что А формула (
    s04.50hc
    282 и означает, что функция F (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Теорема der up int
    50.1 доказана. Производная интеграла по верхнему пределу int up der int Теорема der up int
    50.2. Пусть функция f(t) интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и непрерывна в точке x. Тогда в точке x существует a
    f (t) dt)
    ?
    = f Доказательств Если функция f(t) непрерывна в точке x, то для любого положительного числа ? существует > такое, что при всех t, удовлетворяющих условию |t ? x| < ?, выполнено неравенство (t) ? f (x)| Из примера def def int
    46.1 (см. равенство (
    s12.46hc
    252) в пи теоремы prop def int
    48.1, a также примечаний к ней сразу после е формулировки (см. п def int
    48.1 в џ
    prop def int
    48) следует f (x) =
    f (x)
    ?x
    ((x + ?x) ? x) =
    f (x)
    ?x x+?x
    ?
    x dt =
    1
    ?x x+?x
    ?
    x f (x) dt =
    1
    |?x|
    x+?x
    ?
    x f (x) величина f(x) от переменной интегрирования t не зависит, и поэтому е можно внести под знак интеграла. Теперь для ?x > 0 рассмотрим (x+?x)?F (x)
    ?x
    ? f (Из равенств (
    s06.50hc
    285) и (
    s02.50hc
    280) получаем (x+?x)?F (x)
    ?x
    ? f (x) =
    1
    ?x x+?x
    ?

    x f (t) dt ?
    1
    ?x x+?x
    ?
    x f (x) dt =
    1
    ?x x+?x
    ?
    x
    (f (t) ? f (x)) Тогда для 0 < ?x < и поэтому при t ? [x, x + ?x] также будет 0 < t ? x < ?), используя теорему mean value int
    49.1 (см. п def int
    49.1 в џ
    mean value неравенство (
    s01.49hc
    274)) и неравенство (
    s08.50hc
    284), из последнего равенства получаем (x+?x)?F (x)
    ?x
    ? f (x)| =
    1
    ?x
    |
    x+?x
    ?
    x

    (f (t) ? f (x)) dt| ?
    1
    ?x x+?x
    ?
    x

    |f (t) ? f (x)| dt ?
    1
    ?x x+?x
    ?
    x
    ?
    2
    dt =
    ?
    2
    (x+?x)?x
    ?x
    =
    =
    ?
    2
    < Мы показали, что для 0 < ?x < ? имеет место неравенство (x + ?x) ? F (x)
    ?x
    ? f (x)| < Если же ?x < 0, то (x+?x)?F (x)
    ?x

    ? f (x) = ?
    1
    ?x x
    ?

    x+?x f (t) dt ?
    1
    ??x x
    ?
    x+?x f (x) dt =
    =
    1
    ??x x
    ?
    x+?x
    (f (t) ? f (x)) dt =
    1
    |?x|
    x
    ?
    x+?x
    (f (t) ? f (x)) Поэтому из неравенства (
    s08.50hc
    284) для ?? < ?x < будет |
    F (x+?x)?F (x)
    ?x
    ? f (x)| =
    1
    |?x|
    |
    x
    ?
    x+?x

    (f (t) ? f (x)) dt| ?
    1
    |?x|
    x
    ?
    x+?x

    |f (t) ? f (x)| dt ?
    1
    ??x x
    ?
    x+?x
    ?
    2
    dt =
    =
    ?
    2
    (x?(x+?x))
    ??x
    =
    ?
    2
    < то есть неравенство (
    s09.50hc
    286) справедливо и при ?? < ?x < 0. A это означает,
    что f(x) = lim
    ?x?0
    F (x+?x)?F (x)
    ?x
    = F
    ?
    (x) = (
    x
    ?
    a f (t) dt)
    ?
    =
    d dx
    (
    x
    ?
    a f (t) Теорема der up int
    50.2 доказана.
    Следствие der up int
    50.1 (основная лемма интегрального исчисления. Всякая непрерывная функция) имеет первообразную.
    Этой первообразной, по теореме der up int
    50.2 является функция ?(x) =
    x
    ?
    a f (t) dt.
    џ
    N/L
    51 Формула Ньютона-Лейбница.
    51. Формула Ньютона-Лейбница.
    N/L
    51.1. Формулировка теоремы N/L
    form Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], a F (x)  одна из еј
    первообразных. Тогда имеет место формула b
    ?
    a f (x) dx = F (b) ? F (a) =
    F(x)|
    b a
    (287)
    s01.51hc
    103
    Определение. Равенство (
    s01.51hc
    287) называется формулой Ньютона-Лейбница.
    51.2. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница.
    proof N/L
    proof N/L
    51.2
    B џ
    der up int
    50 была найдена ещј одна первообразная ?(x) =
    x
    ?
    a f (t) обозначения по сравнению с џ
    der up изменены, причјм ?(a) = 0. (см. определение prop def int
    48.1 в п if inv lim
    48.5 џ
    prop def int
    48). Однакотразность между первообразными одной и той же функции есть постоянная величина (см. теорему undef int
    33.1 в џ
    undef int
    33), то есть (x) ? ?(x) ? Подставив в равенство (
    s02.51hc
    288) x = a, получим, что c = F (a) и равенство (
    s02.51hc
    288) примет вид (x) ? ?(x) = F (Подставляя далее в (
    s03.51hc
    289) x = b, находим, что F (b) ? ?(b) = F (a) или b
    ?
    a f (x) dx = ?(b) = F (b) ? F (Формула Ньютона-Лейбница доказана. Примеры и контрпримеры def int ex def Пример. Найти x По формуле Ньютона-Лейбница, а также пятой строки таблицы неопределјнных интегралов (см undef int
    36) получаем x dx = ?(cos 0 ? cos 2?) = ?(1 ? 1) = Аналогично равенству (
    s04.51hc
    290) читателю предлагается показать, что интеграл от синуса или косинуса по любому отрезку, длина которого кратна периодам синуса или косинуса, равен нулю.
    Контрпример
    N/L
    51.1. Найти sin x| Для вычисления интеграла от модуля функции надо промежуток интегрирования разбить на участки знакопостоянства функции и использовать теорему prop def int
    48.4 (см. п int seg
    48.4 в џ
    prop def int
    48, равенство (
    s02.48hc
    263)).
    B нашем случае sin x ? 0 (и тогда | sin x| = sin x, если x ? [0, ?] ив таком случае sin x| = ? sin x для x ? [?, 2?]. Поэтому sin x| dx =
    ?
    ?
    0
    | sin x| dx +
    2?
    ?
    ?
    | sin x| dx =
    =
    ?
    ?
    0

    sin x dx ?
    2?
    ?
    ?
    sin x dx = ?(cos ? ? cos 0) + (cos 2? ? cos ?) = ?(?1 ? 1) + (1 ? (?1)) = 4 ?= Итак, неравенство (
    s01.49hc
    274) (см. п def int
    49.1 в џ
    mean value int
    49, теорема mean value int
    49.1) может быть и строгим, ибо, согласно примеру, |
    2?
    ?
    0
    sin x dx| = но sin x| dx = 4.
    104

    џ
    change var def int
    52 Интегрирование подстановкой (замена переменных. Интегрирование подстановкой (замена перемeнных).
    change var def int
    52.1. Теорема о замене переменных change def int th change def int
    52.1
    Teopeма change var def int
    52.1. Пусть функция x = ?(t) гладкая (то есть имеет непрерывную производную)
    на действительной прямой a = ?(?) и b = ?(?), а функция f(x) = f(?(t)) непрерывна на действительной оси. Тогда имеет место равенство b
    ?
    a f (x) dx =
    ?
    ?
    ?

    f (?(t))?
    ?
    (t) Теорема change var def int
    52.1 следует из того, что подинтегральные функции в левой и правой частях равенства) имеют одни и те же первообразные (см. теорему change var undef int
    37.1 в џ
    change var undef int
    37, равенство (
    s01.37hc
    213)) и формулы
    Ньютона-Лейбница.
    Теорема change var def int
    52.2. Пусть функция ?(t) дифференцируема и монотонна на отрезке [?, ?], причјм е производная интегрируема по Риману на отрезке [?, ?] и существует m = inf
    [?,?]
    |?
    ?
    (t)|;
    a = и b = ?(?), a функция f(x) = f(?(t)) интегрируема пр Риману на отрезке [?, ?]. Тогда сущeствует b
    ?
    a f (x) dx и выполнено равенство (Отметим, что если интегрируема по Риману на отрезке [?, ?], то она ограничена на нјм.
    Пусть M = Доказательство теоремы change var def Не ограничивая общности можно считать, что функция ?(t) не убывает (для убывающих функций входе доказательства будут вносится пояснения).
    Всякое разбиение отрезка [?, ?] T
    ?
    ?
    = {? = t
    0
    < t
    1
    < t
    2
    < . . . < t n?1
    < t n
    = порождает разбиение отрезка [a, b] :
    T
    b a
    = {a = ?(?) = x
    0
    < x
    1
    = ?(t
    1
    ) < x
    2
    = ?(t
    2
    ) < . . . < x n?1
    = ?(t n?1
    ) < x n
    = ?(t n
    ) = для убывающих функций разбиение пойдјт в обратном порядке. При этом, по теореме
    Roll
    19.4
    Лагранжа (см. п Лагранж в џ
    Roll
    19, равенство (
    s02.19hc
    93)),
    |?x k
    | = x k
    ? x k?1
    = ?(t k
    ) ? ?(t k?1
    ) = ?
    ?
    (?
    k
    )(t k
    ? t k?1
    ) = ?
    ?
    (?
    k
    )|?t k
    |,
    (293)

    s02.52hc где ?
    k некоторая точка отрезка [t k?1
    , t k
    ] = ?t k
    Берјм произвольное положительное ?. Если функция f(?(t)) интегрируема по Риману на отрезке, то, по теореме def def int
    46.3 (см. п int
    46.4 в џ
    def def int
    46, равенство (
    s14.46hc
    254)), для числа
    ?
    M

    найдјтся ?
    1
    > такое, что для всякого разбиения отрезка [?, ?], удовлетворяющего условию max |?t k
    | < и всех точек ?
    k и ?
    k из отрезка ?t k
    = [t k?1
    , t выполнено неравенство n
    ?
    k=1

    |f (?(?
    k

    ) ? f (?(?
    k
    )||?t k
    | Пусть тепрь
    ? Тогда для любого разбиения T
    b отрезка [a, b] такого, что max |?x k
    | < троим разбиение отрезка [?, ?] по правилу, указанному в формуле (
    s04.52hc

    292). Для точек ?
    k и ?
    k из отрезка ?x k
    = [x k?1
    , x k
    ] = [?(t k?1

    ), ?(t подбираем точки ?
    k и ?
    k из отрезка [t k?1
    , t такие, что

    ?
    k
    = и ?
    k
    = это можно сделать по теореме cont inv func
    12.1 в џ
    cont inv func
    12). При этом, согласно формуле |?t k
    | ?
    max |?x k
    |
    inf
    [?,?]
    |?(t)|
    <
    ?
    1

    m m = ?
    1
    ,
    (295)
    s05.52hc то есть для разбиения применимо неравенство (
    s03.52hc
    294). Поэтому неравенству, a pавенству (
    s02.52hc
    293) и неравенству (
    s03.52hc
    294) получаем n
    ?
    k=1
    |f (?
    k

    ) ? f (?
    k
    )||?x k
    | =
    n
    ?
    k=1

    |f (?(?
    k

    )) ? f (?(?
    k
    ))||?x k
    | ?
    n
    ?
    k=1

    |f (?(?
    k

    )) ? f (?(?
    k
    ))| sup
    [?,?]
    |?
    ?
    (t)||?t k
    | =
    = M
    n
    ?
    k=1

    |f (?(?
    k

    ))?f (?(?
    k
    ))||?t k
    | < M
    ?
    M
    = и интегрируемость функции f(?(t)) следует из теоремы def def int
    46.3 (см. п int
    46.4 в џ
    def def int
    46, равенство (Поэтому в интегральной сумме Римана (
    s09.46hc
    250) (см. п Rieman's sums
    46.2 в џ
    def def int

    46) можно положить ?
    k

    = где числа ?
    k определены равенством (Из неравенства (
    s05.52hc
    295) следует, что max |?t k
    |
    max |?x Тогда из определения определјнного интеграла через интегральные суммы Римана, a также равенства (
    s02.52hc
    293), получаем b
    ?
    a f (x) dx =
    =
    lim max |?x k
    |?0
    n
    ?
    k=1
    f (?
    k
    )|?x k
    | =
    lim max |?t k
    |?0
    n
    ?
    k=1
    f (?
    k
    )?
    ?
    (?
    k
    )|?t k
    | =
    lim max |?t k
    |?0
    n
    ?
    k=1
    f (?(?
    k
    ))?
    ?
    (?
    k
    )|?t k
    | =
    =
    ?
    ?
    ?

    f (?(t))?
    ?
    (t) Теорема change var def int
    52.2 доказана. Интеграл от периодической функции per func int per Теорема change var def int
    52.3. Пусть функция f(x) периодическая с периодом T (то есть f(x + T ) = для любого дeйствительного x) и существует (x) Тогда для всякого вещественного числа существует a+T
    ?
    a f (x) dx =
    T
    ?
    0
    f (x) Теорема change var def int
    52.3 позволяет определть интеграл от периодической функции по е периоду) dx =
    a+T
    ?
    a f(x) dx, ибо этот интеграл не зависит от расположения отрезка, длина которого кратна периоду функции, на вещественной прямой.
    Доказательство теоремы change var def По свойству аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему prop def int
    48.4, п int seg
    48.4 в џ
    prop def int
    48, равенство третьем интеграле правой части равенства (
    s08.52hc
    297) сделаем подстановку y = x?T ; тогда dy = dx.
    Вииду того, что T является периодом функции f(x), будет f(x) = f(y + T ) = f(y). Если x = то нижний предел интегрирования y = 0, a при x = a + T верхний предел интегрирования y =
    a + T ? T = Тогда по теореме change var def int
    52.2 получаем a+T
    ?
    T
    f (x) dx =
    a
    ?
    0

    f (y) dy = ?
    0
    ?
    a f (x) dx
    (298)
    s09.52hc
    106

    (определјнный интеграл от переменной интегрирования не зависит, а во втором справа равенстве использовалось определение prop def int
    48.1 (см. п if inv lim
    48.5 в џ
    prop def Подставляя далее вместо третьегослагаемого в правой части равенства (
    s08.52hc
    297) его выражение по формуле (
    s09.52hc
    298) и вновь используя свойство аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему, п int seg
    48.4 в џ
    prop def int
    48, равенство (
    s02.48hc
    263)),
    a+T
    ?
    a f (x) dx =
    0
    ?
    a f (x) dx +
    T
    ?
    0

    f (x) dx ?
    0
    ?
    a f (x) dx =
    T
    ?
    0
    f (x) Равенство (
    s06.52hc
    296) и теорема change var def int
    52.3 доказаны. Интеграл от чјтной и нечјтној функции с симметричными пределами интегрирования sim seg odd sim Имеют место следующие теоремы:
    Теорема change var def int
    52.4. Пусть функция f(x) чјтная (то есть f(?x) = f(x) для всех действительных и при некотором a существует a
    ?
    0
    f (x) Тогда существует и a
    ?
    ?a f (x) dx и верна формула a
    ?
    ?a f (x) dx = 2
    a
    ?
    0
    f (x) dx и
    (299)
    s10.52hc
    Теорема change var def int
    52.5. Пусть функция f(x) нечјтная (то есть f(?x) = ?f(x) для всех действительных и при некотором a существует a
    ?
    0
    f (x) Тогда существует и a
    ?
    ?a f (x) dx и верна формула a
    ?
    ?a f (x) dx = Доказательство теоремы change var def По свойству аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему prop def int
    48.4, п int seg
    48.4 в џ
    prop def int
    48, равенство первом слагаемом правой части равенства (
    s12.52hc
    301) сделаем подстановку y = ?x; тогда dy = ?dx и f(x) = f(?y) = ?f(y). Если x = ?a, то нижний предел интегрирования y = a, а при x = 0 верхний предел интегрирования y = 0. По теореме change var def int

    1   ...   10   11   12   13   14   15   16   17   18


    написать администратору сайта