Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
 Скачать 1.12 Mb.
|
|
? ?x и ? k ? ?x выполнено неравенство n ? k=1 |f (? k ) ? f (? k )||?x k | < Тогда из второго неравенства ( shc1.1 1) (см. п/п mod real 1.4.2 в п џ sets 1) для того же разбиения T имеем n ? k=1 ||f (? k )| ? |f (? k )||· |?x k | ? n ? k=1 |f (? k ) ? f (? k )||?x k | < то есть функция |f(x)| удовлетворяет неравенству) (см. п int 46.4 в џ def def int 46) и интегрируемость |f(x)| следует из теоремы def def Неравенство ( s01.49hc 274) непосредственно следует из неравенств f(x) ? |f(x)| и ?f(x) ? |f(x)|, a также теоремы prop def int 48.3 (см. п pos func 48.3 этого параграфа. Теорема mean value int 49.1 полностью доказана. Отметим, что равенства в ( s01.49hc 274) может и не быть (см. контрпример в џ N/L 51, п def int 51.3). Однако имеет место следующая теорема mean value int 49.2. Если функция f(x) знакопостоянна на отрезке [a, b], то справедливо равенство f (x) dx| = b ? a |f (x)| Доказательств Если f(x) ? 0, то и b ? a f (x) dx ? см. лемму prop def int 48.1 в пи тогда f (x) dx| = b ? a f (x) dx = b ? a |f (x)| Если же f(x) < 0, то и b ? a f (x) dx ? и тогда f (x) dx| = ? b ? a f (x) dx = b ? a ?(f (x)) dx = b ? a |f (x)| Равенство ( s05.49hc 275) и, следовательно, теорема mean value доказаны. Определение среднего значения mean value def mean Пусть функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b]. Oпределение mean value int 49.1. Средним значением функции f(x) на отрезке [a, b] называется величина b ? a f(x) dx. 100 49.3. Одна лемма about mean value lemma about mean Лемма mean value int 49.1. Пусть функция f(x) интегрируемая по Риману на отрезке [a, b], a также = sup [a,b] f (и m = inf [a,b] f (Тогда имеет место неравенство m(b ? a) ? b ? a f (x) dx ? M (b ? Доказательств Из равенства ( s12.46hc 252) (см. пример def def int 46.1 в п on int 46.3 џ def def int 46), a также теоремы prop def int 48.3 в пи теоремы prop def int 48.1 (и пояснений после е фоpмулировки) в п def int 48.1 џ prop def int 48 имеем m(b ? a) = m b ? a dx = b ? a m dx ? b ? a f (x) dx ? b ? a M dx = M b ? a dx = M (b ? Лемма mean value int 49.1 доказана. Поделив все три части неравенства ( s02.49hc 276) на b ? a, получим m ? 1 b ? a b ? a f (x) dx ? Поэтому величина b ? a f (x) dx находится между наибольшими наименьшим значениями функции и, следовательно, может быть названа средним значением. Теороема о среднем значении (первая теорема о среднем mean value th mean Теорема mean value int 49.3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Тогда сущeствует точка ? [a, такая, что f (?) = 1 b ? a b ? a f (x) Доказательств Так как величина b ? a f (x) dx лежит между наибольшими наименьшим значениями на отрезке, функции f(x) (см. неравенство ( s03.49hc 277)), то, по теореме continious on segment 11.3 Коши (см. п values 11.3 в џ continious on segment 11) существует такая точка ? ? [a, b], что f(?) = 1 b?a b ? a f (x) Теорема mean value int 49.3 доказана џ der up int 50 Производная интеграла по верхнему пределу. Производная интеграла по верхнему пределу up int 50.1. Непрерывность функции F (x) = x ? a f (t) dt. cont up int cont up int 50.1 Рассмотрим функцию (x) = x ? a f (t) Имеет место следующая тeopeма der up int 50.1. Если функция f(t) интегрируема на отрезке [a, b], то определјнная формулой) функция f(t) непрерывна на том же отрезке. Д ока за тел ь ст в Используя теорему prop def int 48.4, найдјм приращение функции F (x) : ?F (x) = F (x + ?x) ? F (x) = = x+?x ? a f (t) dt ? x ? a f (t) dt = x ? a f (t) dt + x+?x ? x f (t) dt ? x ? a f (t) dt = x+?x ? x f (t) Мы показали, что = F (x + ?x) ? F (x) = x+?x ? x f (t) Оценим это приращение сверху. По теореме mean value int 49.1 для ?x > 0 |?F | = | x+?x ? x f (t) dt| ? x+?x ? x |f (t)| dt ? x+?x ? x M dt = M x+?x ? x dt = M (x+?x?x) = M ?x ?x?0+ ?? 0, (281) s03.50hc где M = sup [a,b] |f (Здесь также использовались пример def def int 46.1 (см. равенство ( s12.46hc 252) в пи теорема prop def int 48.1, a также примечания сразу после е формулировки (см. п def int 48.1 в џ prop def Если же ?x < 0, то |?F | = | x+?x ? x f (t) dt| = | ? x ? x+?x f (t) dt| = | x ? x+?x f (t) dt| ? x ? x+?x |f (t)| dt ? ? x ? x+?x M dt = M x ? x+?x dt = M (x ? (x + ?x)) = ?M ?x = M |?x| ?x?0? ?? Итак показано, что А формула ( s04.50hc 282 и означает, что функция F (x) непрерывна на отрезке [a, b]. Теорема der up int 50.1 доказана. Производная интеграла по верхнему пределу int up der int Теорема der up int 50.2. Пусть функция f(t) интегрируема по Риману на отрезке [a, b] и непрерывна в точке x. Тогда в точке x существует a f (t) dt) ? = f Доказательств Если функция f(t) непрерывна в точке x, то для любого положительного числа ? существует > такое, что при всех t, удовлетворяющих условию |t ? x| < ?, выполнено неравенство (t) ? f (x)| Из примера def def int 46.1 (см. равенство ( s12.46hc 252) в пи теоремы prop def int 48.1, a также примечаний к ней сразу после е формулировки (см. п def int 48.1 в џ prop def int 48) следует f (x) = f (x) ?x ((x + ?x) ? x) = f (x) ?x x+?x ? x dt = 1 ?x x+?x ? x f (x) dt = 1 |?x| x+?x ? x f (x) величина f(x) от переменной интегрирования t не зависит, и поэтому е можно внести под знак интеграла. Теперь для ?x > 0 рассмотрим (x+?x)?F (x) ?x ? f (Из равенств ( s06.50hc 285) и ( s02.50hc 280) получаем (x+?x)?F (x) ?x ? f (x) = 1 ?x x+?x ? x f (t) dt ? 1 ?x x+?x ? x f (x) dt = 1 ?x x+?x ? x (f (t) ? f (x)) Тогда для 0 < ?x < и поэтому при t ? [x, x + ?x] также будет 0 < t ? x < ?), используя теорему mean value int 49.1 (см. п def int 49.1 в џ mean value неравенство ( s01.49hc 274)) и неравенство ( s08.50hc 284), из последнего равенства получаем (x+?x)?F (x) ?x ? f (x)| = 1 ?x | x+?x ? x (f (t) ? f (x)) dt| ? 1 ?x x+?x ? x |f (t) ? f (x)| dt ? 1 ?x x+?x ? x ? 2 dt = ? 2 (x+?x)?x ?x = = ? 2 < Мы показали, что для 0 < ?x < ? имеет место неравенство (x + ?x) ? F (x) ?x ? f (x)| < Если же ?x < 0, то (x+?x)?F (x) ?x ? f (x) = ? 1 ?x x ? x+?x f (t) dt ? 1 ??x x ? x+?x f (x) dt = = 1 ??x x ? x+?x (f (t) ? f (x)) dt = 1 |?x| x ? x+?x (f (t) ? f (x)) Поэтому из неравенства ( s08.50hc 284) для ?? < ?x < будет | F (x+?x)?F (x) ?x ? f (x)| = 1 |?x| | x ? x+?x (f (t) ? f (x)) dt| ? 1 |?x| x ? x+?x |f (t) ? f (x)| dt ? 1 ??x x ? x+?x ? 2 dt = = ? 2 (x?(x+?x)) ??x = ? 2 < то есть неравенство ( s09.50hc 286) справедливо и при ?? < ?x < 0. A это означает, что f(x) = lim ?x?0 F (x+?x)?F (x) ?x = F ? (x) = ( x ? a f (t) dt) ? = d dx ( x ? a f (t) Теорема der up int 50.2 доказана. Следствие der up int 50.1 (основная лемма интегрального исчисления. Всякая непрерывная функция) имеет первообразную. Этой первообразной, по теореме der up int 50.2 является функция ?(x) = x ? a f (t) dt. џ N/L 51 Формула Ньютона-Лейбница. 51. Формула Ньютона-Лейбница. N/L 51.1. Формулировка теоремы N/L form Теорема. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], a F (x) одна из еј первообразных. Тогда имеет место формула b ? a f (x) dx = F (b) ? F (a) = F(x)| b a (287) s01.51hc 103 Определение. Равенство ( s01.51hc 287) называется формулой Ньютона-Лейбница. 51.2. Доказательство формулы Ньютона-Лейбница. proof N/L proof N/L 51.2 B џ der up int 50 была найдена ещј одна первообразная ?(x) = x ? a f (t) обозначения по сравнению с џ der up изменены, причјм ?(a) = 0. (см. определение prop def int 48.1 в п if inv lim 48.5 џ prop def int 48). Однакотразность между первообразными одной и той же функции есть постоянная величина (см. теорему undef int 33.1 в џ undef int 33), то есть (x) ? ?(x) ? Подставив в равенство ( s02.51hc 288) x = a, получим, что c = F (a) и равенство ( s02.51hc 288) примет вид (x) ? ?(x) = F (Подставляя далее в ( s03.51hc 289) x = b, находим, что F (b) ? ?(b) = F (a) или b ? a f (x) dx = ?(b) = F (b) ? F (Формула Ньютона-Лейбница доказана. Примеры и контрпримеры def int ex def Пример. Найти x По формуле Ньютона-Лейбница, а также пятой строки таблицы неопределјнных интегралов (см undef int 36) получаем x dx = ?(cos 0 ? cos 2?) = ?(1 ? 1) = Аналогично равенству ( s04.51hc 290) читателю предлагается показать, что интеграл от синуса или косинуса по любому отрезку, длина которого кратна периодам синуса или косинуса, равен нулю. Контрпример N/L 51.1. Найти sin x| Для вычисления интеграла от модуля функции надо промежуток интегрирования разбить на участки знакопостоянства функции и использовать теорему prop def int 48.4 (см. п int seg 48.4 в џ prop def int 48, равенство ( s02.48hc 263)). B нашем случае sin x ? 0 (и тогда | sin x| = sin x, если x ? [0, ?] ив таком случае sin x| = ? sin x для x ? [?, 2?]. Поэтому sin x| dx = ? ? 0 | sin x| dx + 2? ? ? | sin x| dx = = ? ? 0 sin x dx ? 2? ? ? sin x dx = ?(cos ? ? cos 0) + (cos 2? ? cos ?) = ?(?1 ? 1) + (1 ? (?1)) = 4 ?= Итак, неравенство ( s01.49hc 274) (см. п def int 49.1 в џ mean value int 49, теорема mean value int 49.1) может быть и строгим, ибо, согласно примеру, | 2? ? 0 sin x dx| = но sin x| dx = 4. 104 џ change var def int 52 Интегрирование подстановкой (замена переменных. Интегрирование подстановкой (замена перемeнных). change var def int 52.1. Теорема о замене переменных change def int th change def int 52.1 Teopeма change var def int 52.1. Пусть функция x = ?(t) гладкая (то есть имеет непрерывную производную) на действительной прямой a = ?(?) и b = ?(?), а функция f(x) = f(?(t)) непрерывна на действительной оси. Тогда имеет место равенство b ? a f (x) dx = ? ? ? f (?(t))? ? (t) Теорема change var def int 52.1 следует из того, что подинтегральные функции в левой и правой частях равенства) имеют одни и те же первообразные (см. теорему change var undef int 37.1 в џ change var undef int 37, равенство ( s01.37hc 213)) и формулы Ньютона-Лейбница. Теорема change var def int 52.2. Пусть функция ?(t) дифференцируема и монотонна на отрезке [?, ?], причјм е производная интегрируема по Риману на отрезке [?, ?] и существует m = inf [?,?] |? ? (t)|; a = и b = ?(?), a функция f(x) = f(?(t)) интегрируема пр Риману на отрезке [?, ?]. Тогда сущeствует b ? a f (x) dx и выполнено равенство (Отметим, что если интегрируема по Риману на отрезке [?, ?], то она ограничена на нјм. Пусть M = Доказательство теоремы change var def Не ограничивая общности можно считать, что функция ?(t) не убывает (для убывающих функций входе доказательства будут вносится пояснения). Всякое разбиение отрезка [?, ?] T ? ? = {? = t 0 < t 1 < t 2 < . . . < t n?1 < t n = порождает разбиение отрезка [a, b] : T b a = {a = ?(?) = x 0 < x 1 = ?(t 1 ) < x 2 = ?(t 2 ) < . . . < x n?1 = ?(t n?1 ) < x n = ?(t n ) = для убывающих функций разбиение пойдјт в обратном порядке. При этом, по теореме Roll 19.4 Лагранжа (см. п Лагранж в џ Roll 19, равенство ( s02.19hc 93)), |?x k | = x k ? x k?1 = ?(t k ) ? ?(t k?1 ) = ? ? (? k )(t k ? t k?1 ) = ? ? (? k )|?t k |, (293) s02.52hc где ? k некоторая точка отрезка [t k?1 , t k ] = ?t k Берјм произвольное положительное ?. Если функция f(?(t)) интегрируема по Риману на отрезке, то, по теореме def def int 46.3 (см. п int 46.4 в џ def def int 46, равенство ( s14.46hc 254)), для числа ? M найдјтся ? 1 > такое, что для всякого разбиения отрезка [?, ?], удовлетворяющего условию max |?t k | < и всех точек ? k и ? k из отрезка ?t k = [t k?1 , t выполнено неравенство n ? k=1 |f (?(? k ) ? f (?(? k )||?t k | Пусть тепрь ? Тогда для любого разбиения T b отрезка [a, b] такого, что max |?x k | < троим разбиение отрезка [?, ?] по правилу, указанному в формуле ( s04.52hc 292). Для точек ? k и ? k из отрезка ?x k = [x k?1 , x k ] = [?(t k?1 ), ?(t подбираем точки ? k и ? k из отрезка [t k?1 , t такие, что ? k = и ? k = это можно сделать по теореме cont inv func 12.1 в џ cont inv func 12). При этом, согласно формуле |?t k | ? max |?x k | inf [?,?] |?(t)| < ? 1 m m = ? 1 , (295) s05.52hc то есть для разбиения применимо неравенство ( s03.52hc 294). Поэтому неравенству, a pавенству ( s02.52hc 293) и неравенству ( s03.52hc 294) получаем n ? k=1 |f (? k ) ? f (? k )||?x k | = n ? k=1 |f (?(? k )) ? f (?(? k ))||?x k | ? n ? k=1 |f (?(? k )) ? f (?(? k ))| sup [?,?] |? ? (t)||?t k | = = M n ? k=1 |f (?(? k ))?f (?(? k ))||?t k | < M ? M = и интегрируемость функции f(?(t)) следует из теоремы def def int 46.3 (см. п int 46.4 в џ def def int 46, равенство (Поэтому в интегральной сумме Римана ( s09.46hc 250) (см. п Rieman's sums 46.2 в џ def def int 46) можно положить ? k = где числа ? k определены равенством (Из неравенства ( s05.52hc 295) следует, что max |?t k | max |?x Тогда из определения определјнного интеграла через интегральные суммы Римана, a также равенства ( s02.52hc 293), получаем b ? a f (x) dx = = lim max |?x k |?0 n ? k=1 f (? k )|?x k | = lim max |?t k |?0 n ? k=1 f (? k )? ? (? k )|?t k | = lim max |?t k |?0 n ? k=1 f (?(? k ))? ? (? k )|?t k | = = ? ? ? f (?(t))? ? (t) Теорема change var def int 52.2 доказана. Интеграл от периодической функции per func int per Теорема change var def int 52.3. Пусть функция f(x) периодическая с периодом T (то есть f(x + T ) = для любого дeйствительного x) и существует (x) Тогда для всякого вещественного числа существует a+T ? a f (x) dx = T ? 0 f (x) Теорема change var def int 52.3 позволяет определть интеграл от периодической функции по е периоду) dx = a+T ? a f(x) dx, ибо этот интеграл не зависит от расположения отрезка, длина которого кратна периоду функции, на вещественной прямой. Доказательство теоремы change var def По свойству аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему prop def int 48.4, п int seg 48.4 в џ prop def int 48, равенство третьем интеграле правой части равенства ( s08.52hc 297) сделаем подстановку y = x?T ; тогда dy = dx. Вииду того, что T является периодом функции f(x), будет f(x) = f(y + T ) = f(y). Если x = то нижний предел интегрирования y = 0, a при x = a + T верхний предел интегрирования y = a + T ? T = Тогда по теореме change var def int 52.2 получаем a+T ? T f (x) dx = a ? 0 f (y) dy = ? 0 ? a f (x) dx (298) s09.52hc 106 (определјнный интеграл от переменной интегрирования не зависит, а во втором справа равенстве использовалось определение prop def int 48.1 (см. п if inv lim 48.5 в џ prop def Подставляя далее вместо третьегослагаемого в правой части равенства ( s08.52hc 297) его выражение по формуле ( s09.52hc 298) и вновь используя свойство аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему, п int seg 48.4 в џ prop def int 48, равенство ( s02.48hc 263)), a+T ? a f (x) dx = 0 ? a f (x) dx + T ? 0 f (x) dx ? 0 ? a f (x) dx = T ? 0 f (x) Равенство ( s06.52hc 296) и теорема change var def int 52.3 доказаны. Интеграл от чјтной и нечјтној функции с симметричными пределами интегрирования sim seg odd sim Имеют место следующие теоремы: Теорема change var def int 52.4. Пусть функция f(x) чјтная (то есть f(?x) = f(x) для всех действительных и при некотором a существует a ? 0 f (x) Тогда существует и a ? ?a f (x) dx и верна формула a ? ?a f (x) dx = 2 a ? 0 f (x) dx и (299) s10.52hc Теорема change var def int 52.5. Пусть функция f(x) нечјтная (то есть f(?x) = ?f(x) для всех действительных и при некотором a существует a ? 0 f (x) Тогда существует и a ? ?a f (x) dx и верна формула a ? ?a f (x) dx = Доказательство теоремы change var def По свойству аддитивности интеграла как функции отрезка (см. теорему prop def int 48.4, п int seg 48.4 в џ prop def int 48, равенство первом слагаемом правой части равенства ( s12.52hc 301) сделаем подстановку y = ?x; тогда dy = ?dx и f(x) = f(?y) = ?f(y). Если x = ?a, то нижний предел интегрирования y = a, а при x = 0 верхний предел интегрирования y = 0. По теореме change var def int |