Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 12 из 18

f (x) dx + ?
?
g(x) Формула (
s01.35hc
210) доказывается дифференцированием е обеих частей и соответствующими равенствам для производных (см. теорему derivative
15.2 и следствие derivative
15.1 в п of derivative
15.3 При ? = ? = 1 из фомулы (
s01.35hc
210) следует, что интеграл от суммы равен сумме интегралов, для = и ? = ?1 вытекает, что интеграл от разности двух функций равен разности их интегралов, а в случае ? = 0 выводится, что постоянный множитель ? можно выносить за знак неопределјнного интеграла undef int
36 Таблица первообразных функций. Таблица первообразных функций undef Пример table undef int
36.1. Найти производную от ln(x +
?
x
2
± 1).
(ln(x +
?
x
2
± 1))
?
=
1
x+
?
x
2
±1
(x +
?
x
2
± 1)
?
=
1
x+
?
x
2
±1
(1 + (
?
x
2
± 1)
?
) =
=
1+
1 2
?
x2±1
(x
2
±1)
?
x+
?
x
2
±1
=
1+
2x
2
?
x2±1
x+
?
x
2
±1
=
1+
x
?
x2±1
x+
?
x
2
±1
=
?
x
2
±1+x
?
x
2
±1 Доказано равенство +
?
x
2
± 1))
?
=
1
?
x
2
± 1
,
(211)
s01.36hc и поэтому 1
dx = ln(x +
?
x
2
± 1) + c.
(212)
s02.36hc
78

Составляем таблицу основных интегралов x
?
dx =
x
?+1
?+1

+ где ? ?= ?1  постоянное действительное число. ?
dx x
= ln |x| + c,
3. ? e x
dx = e x
+ c,
4. ? cos x dx = sin x + c,
5. ? sin x dx = ? cos x + c,
6.
?
dx
?
1?x
2
= arcsin x + c = ? arccos x + c
1
,
7. ?
dx
1+x
2
= arctg x + c = arcctg x + c
1
,
8. ?
dx cos
2
x
= tg x + c,
9. ?
dx sin
2
x
= ? ctg x + c,
10. ?
1
?
x
2
±1
dx = ln(x +
?
x
2
± 1) + Первые семь строк таблицы интегралов получаются из соответствующих строк таблицы производных в џ
table der
17, восьмая и девятая строки непосредственно получаются из равенств (
s08.16hc
76) (см. п в and inv
16), a десятая строка  это формула (
s02.36hc
212), которая дат как
?
1
?
x
2
+1
dx,
так и
?
1
?
x
2
?1
dx.
Используя вышеприведјнную таблицу интегралов, можно интегрировать многочлен, который является линейной комбинацией интегралов из первой строки таблицы при различных целых полохи- тельных ?.
џ
change var undef int
37 Интегрирование подведением по знак дифференциала
(замена переменных. Интегрирование подведением под знак дифференциала (замена переменных var undef Теорема change var undef int
37.1. Если f(x) непрерывная функция, a x = ?(t)  гладкая функция (то есть имеет непрерывную производную, то справедливо равенство (x) dx =
?

f (?(t))?
?
(t) dt =
?
f (?(t) То есть ? f(x) dx не зависит оттого, является ли x независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной.
Д ока за тел ь ст в По правилу дифференцирования суперпозиции функций (см. п of super
16.1 в џ
super and inv
16, теорема super and inv
16.1, равенство dt
(
? f (x) dx) =
d dx
(
? f (x) dx·
dx dt

= f (x)?
?

(t) = f (?(t))?
?
(t) =
d dt
(

? f (?(t))?
?
(t) Равенство (
s01.37hc
213),
a также теорема change var undef int
37.1 доказаны.
Следствие change var undef int
37.1 (линейная подстановка в неопределјнном интеграле. Пусть f (x) dx = F (x) + c,
a a и b  постоянные числа. Тогда (ax + b) dx =
1
a
F (ax + b) + Доказательств Пусть y = ax + b. Тогда dy = (ax + b)
?
dx = ax
?
dx = a то есть dx =
1
a Поэтому по теореме change var undef int
37.1 ? f(ax + b) dx = ? f(y) dx =
1
a
? f (y) dy =
1
a
F (y) + c =
1
a f (ax + b) + Равенство (
s02.37hc
214) и следствие change var undef int
37.1 доказаны

Рассмотрим некоторые примеры.
Пример change var undef int
37.1. Найти ? sin
3
x Положим y = cos x. Тогда dy = ? sin x dx, то есть sin x dx = ?dy, a sin
2
x = 1 ? cos
2
x = 1 ? и ? sin
3
x dx =
? sin
2

x sin x dx = ?
? (1 ? y
2

) dy = ?
? dy + ? Полученные интегралы являются частными случаями интегралов из первой строки таблицы первообразных при ? = 0 (первое слагаемое) и ? = 2 (второе слагаемое. Поэтому sin
3
x dx =
y
3 3
? y + c =
sin
3
x
3
? sin x + Пример change var undef int
37.2. Найти ? cos
2
x По формуле косинуса двойного аргумента cos
2
x =
1 2
(1 + cos и, используя равенство (и четвјртую строку таблицы интегралов (см. џ, получаем ? cos
2
x dx =
1 2
? dx +
1 2
? cos 2x dx =
x
2
+
1 2
·
1 2
sin 2x + c =
x
2
+
sin 2x
4
+ Пример change var undef int
37.3. Найти ? a Используем формулу (
s13.16hc
82):
?
a x
dx =
?
e x ln a dx =
1
ln a e
x ln a
=
a x
ln a
(215)
s03.37hc
џ
undef int on parts
38 Интегрирование по частям. Первообразные ax cos bx dx и e ax sin bx dx.
38. Интегрирование по частям. Первообразные ? e ax cos bx dx и e
ax sin bx dx.
undef int on Теорема undef int on parts
38.1. Пусть u(x) и v(x) гладкие функции (то есть имеют непрерывные производные.

Тогда имеет место формула) dx = u(x)v(x) ?
?
v(x)u
?

(x) dx или dv = uv ?
?
v Доказательств o
Продиффeрeнцируем обе части равенства (
s01.38hc
216) и раскроем далее производнyю произведения u(x)v(x) : u(x)v
?
(x) = (u(x)v(x))
?
? v(x)u
?
(x) = u
?
(x)v(x) + u(x)v
?
(x) ? v(x)u
?
(x) = Получилось верное тождество. Формула (
s01.38hc
216) и теорема undef int on parts
38.1 доказаны.
Рассмотрим метод интегрирования квазимногочленов.
Определение undef int on parts
38.1. Квазимногочленом степени n будем называть одну из следующих функций P
n
(
x)e ax
,
P
n
(
x) sin bx, P
n
(
x) cos Для нахождения, к примеру ? P
n
(x)e ax dx в формуле (
s01.38hc
216) полагаем u(x) = Тогда v
?
(x) = e здесь берјтся одна из первощбразных от e то есть (см. также третью строку в таблице интегралов в џ
table undef int
36 и следствие change var undef int
37.1, равенство (
s02.37hc
214) в џ
change var undef int
37) v(x) = ? e ax dx =
1
a Поэтому из равенства) получится P
n
(x)e ax dx = e ax
P
n
(x)?
? P
?
n
(x)e ax В последнем интеграле уже стоит квазимногочлен степени на единицу меньше. Применяя такой метод n раз, получим сумму квазимногочленов и ? e ax dx =
1
a этот интеграл мы нашли ранее).
Интегралы от остальных двух типов квазимногочленов находятся аналогично.
Пример undef int on parts
38.1. Найти ? ln x Здесь у нас u = ln x (тогда du = (ln x)
?
dx =
1
x и v = x. Из формулы (
s01.38hc

216) получаем x dx = x ln x ?
?
x
1

x dx = x ln x ?
?
dx = x ln x ? x + c = x(ln x ? 1) + c.
(217)
s02.38hc
80

Пример undef int on parts
38.2. Найти ? e ax cos bx Сначала полагаем u = e тогда du = (e ax
)
?
dx = e ax
(ax)
?
dx = ae ax x
?
dx = ae ax и dv = cos bx то есть v = ? cos bx dx =
1
b sin см. четвјртую и пятую строки в таблице интегралов ( џ
table undef int
36), a также следствие change var undef int
37.1 в џ
change var undef int
37, формула (
s01.37hc
213)). Используя равенство (
s01.38hc
216), получаем ax cos bx dx =
1
b e

ax sin bx ?
a b
?
e ax sin bx В интнеграле в правой части равенства (
s03.38hc
218) снова применяем формулу (
s01.38hc

216) для u = e и тогда, как было показано ранее, du = ae ax и dv = sin bx dx, то есть v = ?
1
b cos Поэтому из формулы (
s03.38hc
218) следует e ax cos bx dx =
1
b e

ax sin bx ?
a b
? e ax sin bx dx =
1
b e

ax sin bx ?
a b
(?
1
b e
ax cos bx +
a b
? e ax cos bx dx) =
=
1
b e
ax sin bx +
a b
2

e ax cos bx ?
a
2
b
2
? e ax cos bx dx =
e ax
(b sin bx+a cos bx)
b
2
?
a
2
b
2
? e ax cos bx Полученное равенство ax cos bx dx =
e ax
(b sin bx + a cos bx)
b
2
?
a
2
b
2
?
e ax cos bx dx
(219)
s04.38hc можно рассматривать как однолинейное уравнение с одним неизвестным ? e ax cos bx Решаем это уравнение.
Перенесјм интеграл из правoй части (
s04.38hc
219) в его левую часть. Получим a
2
+b
2
b
2
? e ax cos bx dx = (1 +
a
2
b
2
)
? e ax cos bx dx =
e ax
(b sin bx+a cos слева ещј было дописано неслoжное преобразование после перенесения интеграла из правой части (
s04.38hc
219) в его левую часть).
Домножая обе части последнего равенства на выводим ax cos bx dx =
e ax
(b sin bx + a cos bx)
a
2
+ b
2
+ Пример undef int on parts
38.32. Найти ? e ax sin bx Для этого мы в левую часть равенства (
s03.38hc
218) подставим уже найденное eј значение из формулы ax
(b sin bx+a cos bx)
a
2
+b
2
=
1
b e

ax sin bx ?
a b
? e ax sin bx dx.
Перенесјм далее a
b
? e ax sin bx dx в левую часть последнего равенства, a e
ax
(b sin bx+a cos в его правую часть. Получим a
b
? e ax sin bx dx =
1
b e

ax sin bx ?
e ax
(b sin bx+a cos bx)
a
2
+b
2
=
e ax
((a
2
+b
2
) sin bx?b(b sin bx+a cos bx))
b(a
2
+b
2
)
=
=
e ax
(a
2
sin bx+b
2
sin bx?b
2
sin bx?ab cos bx)
b(a
2
+b
2
)
=
ae ax
(a sin bx?b cos bx)
b(a
2
+b
2
)
Домножая далее обе крайние части последнего равенства на выводим формулу ax sin bx dx =
e ax
(a sin bx ? b cos bx)
a
2
+ b
2
(221)
s06.38hc
џ
P(sin, cos)
39 Интегрирование целых функций от синуса и косинуса. Интегрирование целых функций от синуса и косинуса, То есть подиртегральное выражение состоит из функций sin x и cos x, соединјнных знаками сложения, вычитания и умножения (деления нетто есть tg x не подходит

Здесь нужно произведение функций переводить сумму (и разность) по известным тригонометрическим формулам sin a sin b =
1 2
(cos(b?a)?cos(b+a)); cos a cos b =
1 2
(cos(a+b)+cos(a?b)); sin a cos b =
1 2
(sin(a + b) + sin(a ? Если произведение содержит синус только в нечјтной степени, то целесообразно сделать подстановку (м. хотя бы пример change var undef int
37.1 в џ
change var undef int
37). Нечјтные степени косинуса интегрируются с помощью подстановки y = sin x. Для чјтных степеней синуса и косинуса лучше применять формулы двойного аргумента (угла, которые понижают степень подинтегрального выражения в два раза (см.
пример change var undef int
37.2 в џ
change var undef int
37).
џ
int rat
40 Интегрирование рациональных функций. Интегрирование рациональных функций rat
40.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей simplest int На множестве действительных чисел имеется два вида элементарных дробей (м. определение rat func
32.4 в п frac
32.2 џ
rat func
32):
1.
a
(x??)
k
C точностью до постоянного множителя (см. џ
lin int
35, теорема lin int
35.1 и рассуждения после не, а также линейного сдвига (см. следствие change var undef int
37.1 в џ
change var undef int
37, формула (
s02.37hc
214)) эта дробь является элементом первой строки таблицы основных интегралов (м. џ
table undef int
36) для ? = ?k (в случае k = 1 она будет элементом второй строки таблицы. Поэтому ? ?)
k
=
?
a
(1?k)(x??)
k?1
, если k ?= 1
ln |x ? для k = Выделим полный квадрат в знаменателе = x
2
+2
p
2
x+
p
2 4
+q?
P
2 4
= (где =
?
q ?
p
2 по условию на данную дробь, знаменатель не может иметь действительных корней).

Положим y = x +тогда dy = dx и данная дробь попеременной принимает вид ?
p
2
) + b
1
(y
2
+ ?
2
)
k
= a y
(y
2
+ ?
2
)
k
+ b
1
(y
2
+ ?
2
)
k
, где a = и b = b
1
? Первое слагаемое в правой части равенства (
s02.40hc
223) интегрируется с помощью подстановки z =
y
2
+ тогда dz = 2ydy, то есть y dy =
1 То есть примы, с точностью до множителя вышли на первый случай, и далее интегрируем аналогично первому случаю.
Второе слагаемое в правой части равенства (
s02.40hc
223) лучше всего интегрировать с помощью подстановки (хотя и с помощью некоторых преобразований его можно и интегрировать по частям. Тогда y
2
+ ?
2
= ?
2
(1 + tg
2
t) =
?
2
cos
2
t
(1 + tg
2
t = 1 +
sin
2
t cos
2
t
=
cos
2
t+sin
2
t cos
2
t
=
1
cos
2
t
),

a dy = ?
dt Поэтому cos
2k t dt
?
2k cos
2
t
=
1
?
2k?1
? cos
2k?2
t Атакой интеграл рассматривался в џ
P(sin, cos)
39.
82

40.2. Интегрирование правильных рациональных дробей right frac int right Здесь используется теорема о представлении правильной рациональной функции в виде суммы элементарных (см. теорему rat func
32.3 в п frac
32.2 џ
rat func
32, a также п comp
32.4, пи пи дальнейшего интегрирования каждого слагаемого (элементарной дроби) согласно методам, обоснованными в п simplest
40.1. Для поянения рассмотрим следующий пример int rat
40.1. Найти
?
dx
(x+1)
2
(x
2
+1)
Представляем подинтегральную функцию в виде суммы элементарных дробей + 1)
2
(x
2
+ 1)
=
1 2(x + 1)
+
1 2(x + 1)
2
?
x
2(x
2
+ см. пример rat func
32.1 в п coff
32.6 џ
rat func
32, формула (Первое слагаемое в правой части равенства (
s14.32hc
207), c точностью до постоянного множителя или- нейного сдвига является элементом из второй строки таблицы основных неопределјнных интегралов,
и поэтому 2
dx x + 1
=
1 2
ln |x + 1| + трое слагаемое в правой части равенства (
s14.32hc
207), c точностью до постоянного множителя или- нейного сдвига является элементом из первой строки таблицы основных неопределјнных интегралов при ? = ?2, и поэтому 2
dx x + 1
= ?
1 2
1
x + 1
+ Для вычисления третьего интеграла в правой части равенства (
s14.32hc
207) сделаем подстановку y =
x
2
+ Тогда dy = 2x dx, то есть числитель x dx =
1 Поэтому 2
x dx x
2
+ 1
=
1 4
?
dy y
=
1 4
ln |y| + c =
1 4
ln(x
2
+ 1) + Подставляя равенства (
s03.40hc
224), (
s04.40hc
225) ив формулу (
s14.32hc
207), получим + 1)
2
(x
2
+ 1)
=
1 2

ln |x + 1| ?
1 2
1
x + 1
?
1 4
ln(x
2
+ 1) + c.
(227)
s06.40hc
40.3. Интегрирование неправильных рациональных дробей unright frac int unright Здесь нужно числитель поделить с остатком на знаменатель (см. теорему polinoms
31.4 в п pol
31.1 џ
polinoms
31, равенство+ и k < m. Поэтому S
n?m
(x) +Первое слагаемое в равенстве (
s08.40hc
228) является многочленом, то есть линейной комбинацией функций из первой строки таблицы основных интегралов при различных целых неотрицательных м undef int
36). A второе слагаемое  это правильная райиональная дробь, которая интегрируется согласно методам, изложенным в пи выше. Таким образом, рациональные функции интегрируются во

всяком случае интеграл от рациональной дроби является элементарной функцией , cos)
41 Интегрирование дробных функций от синуса и косинуса. Интегрирование дробных функций от синуса и косинуса , cos)
Подинтегральные функции здесь являются синусы и косинусы одного или кратных аргументов,
соединјнных знаками сложения, вычитания, умножения и деления (то есть может быть и начала рассмотрим универсальную подстановку, то есть такую замену переменной интегрирования, которая действует для любой рациональной функции от синуса и косинуса. Универсальная подстановка change univ change
41.1
y = tg Тогда x = 2 arctg y;
dx =
2 dy y
2
+1
; sin x =
2tg x
2 1+tg
2 и cos x =
1?tg
2 x
2 1+tg
2 x
2
=
1?y
2 Подставляя эти формулы в подинтегральное выражение, получим интеграл от рациональной функции от y, который вычисляется согласно методам, изложенными в џ
int rat
40 и является элементарной функцией.
Однако данная подстановка удваивает степени подинтегрального выражения. Рассмотрим некоторые специальные замены переменной интегрирования, которые степень подинтегрального выражения не увеличивают, однако накладывают некоторые условия на подинтегральную функцию. Специальные подстановки change special change
41.2 41.2.1. Подинтегральное выражение нечјтно по синусу sin odd sin
41.2.1
Подинтегральная функция содержит синус только в нечјтных степенях и отсутствуют постоянные слагаемые в знаменателе. Тогда рекомендуется подстановка y = cos x (см. также пояснения в џ
P(sin, cos)
39).
41.2.2. Подинтегральное выражение нечјтно по косинусу cos odd cos
41.2.2
Подинтегральная функция содержит косинус только в нечјтных степенях и отсутствуют постоянные слагаемые в знаменателе. Тогда рекомендуется подстановка y = sin x (см. также пояснения в џ
P(sin, cos)
39).
41.2.3. Подинтегральное выражение чјтно как по синусу, таки по косинусу sin cos
Подинтегральное выражение содержит как синус, таки косинус только в чјтных степенях. B этом случае рекомендуются подстановки y = tg x (тогда x = arctg y и dx или z = ctg x (тогда

x = arcctg z и = ?
dz
1+z
2
).
even sin То есть sin
2
x =
1?tg
2
x
1+tg
2
x
=
1?y
2 1+y
2
=
1 1+ctg
2
x
=
1 и cos
2
x =
1 1+tg
2
x
=
1 1+y
2
=
1?ctg
2
x
1+ctg
2
x
=
1?z
2 Таким образом, рациональная функция от тригонометрических выражений интегрируется, и интеграл от него является элементарной функцией ch
42 Гиперболические функции и интегралы от них. Гиперболические функции и интегралы от них ch
42.1. Определение и основные свойства ch and sh def ch and Определение sh ch
42.1. Гиперболическим синусом называется функция sh x =
e Определение sh ch
42.2. Гиперболическим косинусом называется функция ch x =
e Основное гиперболическое тождество ? sh
2
x = 1,
(229)
s01.42hc ибо по формуле разности квадратов ch
2
x ? sh
2
x = (
1 2
)
2
((e x
+ e
?x
)
2
? (e x
? e
?x
)
2
) =
=
1 4
((e x
+ e
?x
) + (e x
? e
?x
))((e x
+ e
?x
) ? (e x
? e
?x
)) =
1 4
(2e x
)· (2e
?x
) = Определение sh ch
42.3. Гиперболическим тангенсом называется функция th x =
shx ch Определение sh ch
42.4. Гиперболическим котангенсом называется функция cth x =
ch x
sh Справедливо следующее равенство ? sh
2
x ch
2
x
=
ch
2
x ch
2
x
?
sh
2
x ch
2
x
=
1 ? Производные от гиперболических синуса и косинуса) = ch x и ch
?
(x) = sh Интегралы от гиперболических синуса и косинуса x dx = ch x и x dx = sh Формулы (
s03.42hc
231) и (
s04.42hc
232) достаточно очевидны и читателю предлагается доказать их самостоятельно. Интегрирование дробных функций от гиперболических синуса и косинуса, ch)
42.2
Cогласно определению, гиперболические синус и косинус являются некоторыми рациональными функциями от экспоненты e Поэтому любое выражение, содержащее гиперболический синус и гиперболический косинус, соединјнные знаками сложения, вычитания, умножения и деления, является некоторой рациональной функцией от e и его можно проинтегрировать с помощью подстановки y = e тогда x = ln y и dx =
dy Получится некоторая рациональная функция от переменной y,
85

которую можно проинтегрировать методпми, изложенными в џ
int rat
40. Таким образом, интеграл от рациональной функции от гиперболичеких синуа и косинуса, также как и интеграл от рациональной функции от e является элементарной функцией.
Впрочем, в отдельных случаях при интегрировании гиперболических синуса и косинуса, могут быть и более удобные подстановки (аналлогичные рациональным функциям от sin x и cos x, однако мы не будем на них останавливаться sqrt
43 Интегрирование квадратичных иррациональностей.
43. Интегрирование квадратичных иррациональностей.
int sqrt
Подинтегральное выражение должно содержать квадратный корень отодного итого же квадратного трјхчлена и независимую переменную x, соединјнные знаками сложения, вычитания, умножения и деления. Кратко его будем записывать как+ bx + c) dx.
(233)
s01.43hc
43.1. Подстановки Эйлера changes
Eilers changes
43.1 1. Если a > 0, то вводим новую переменныю интегрирования z такую, что+ bx + c =
?
ax + Тогда ax
2
+ bx + c = ax
2
+ 2
?
axz + то есть x(b ? 2
?
az) = z
2
? или x =
z
2
?c b?2
?
az
 рациональная функция от переменной z. Поэтому е производная тоже является рациональной функцией от Следовательно, и правая часть равенства (
s02.43hc
234)
?
ax
2
+ bx + c также рациональная функция от z, и мы выходим к интегралу от рациональной функции, что рассматривалось в џ
int rat
40.
2. Если c > 0, то вводим новую переменныю интегрирования z такую, что+ bx + c = xz +Тогда ax
2
+ bx + c = x
2
z
2
+ 2xz
?
cxz + то есть ax
2
+ bx = x
2
z
2
+ Так как x  независимая пременная ив нуль тождественно не обращается, тона можно поделить. Получим ax + b = xz
2
+ или x =
2z
?
c?b a?z
2
 рациональная функция от переменной z. Поэтому еј
производная тоже является рациональной функцией от переменной z. Рациональной дробью от переменной будут и обе части равенства (
s03.43hc
235), то есть и+ bx + и мы выходим к интегралу от рациональной функции попеременной, что рассматривалось в џ
int rat
40.
3. Если подкоренное выражение ax
2
+ bx + c имеет действительные корни и то ax
2
+ bx + c =
a(x ? x
1
)(x ? и вводим новую переменную интегрирования z из условия+ bx + c =
?
a(x ? x
1
)(x ? x
2
) = z(x ? можно и z(x ? x
2
)).
(236)
s04.43hc
Bозведя в квадрат среднюю и правую части равенства (
s04.43hc
236), получим a(x?x
1
)(x?x
2
) = Так как x у нас ннезависимая переменная, то она не может тождественно равняться и поэтому обе части предыдущего равенства можно поделить на Получим a(x?x
2
) = то есть ax?z
2
x или x =
ax
2
?z
2
x
1
a?z
2
 рациональная функция от переменной z. Поэтому е производная тоже является рациональной функцией от переменной z. Рациональной дробью от переменной z будут и

все три части равенства (
s04.43hc
236), то есть и+ bx + и мы выходим к интегралу от рациональной функции попеременной, что рассматривалось в џ
int Следует отметить, что всегда действуют либо первая, либо третья подстановки Эйлера. В самом деле, при отсутствии действительных корней знак квадратного трјхчлена при любых x совпадает со знаком его коэффициента при и поэтому, если не выполнен ни первый, ни третий случай подстановки Эйлера, то ax
2
+ bx + c < для всех вещественных x, и поэтому+ bx + c не имеет смысла. Поэтому из подстановок Эйлера получается, что интеграл (
s01.43hc
233) является элементарной функцией. Тригонометрические подстановки changes trig changes
43.2
B подкоренном выражении интеграла (
s01.43hc
233) выделяем полный квадрат = a(x
2
+2
b
2a x)+c = |a|(
a
|a|
x
2
+2
b
2|a|
x+
b
2 4|a|
2
)+c?
b
2 4|a|
= |a|(
a
|a|
x+
b
2|a|
)
2
+c?
b
2 Положим y =
a
|a|
x +
b
2|a|
B зависимости от знака a будет dy = ± dx и подинтегральное выражение) принимает один из следующих трјх видов (R
1
(y)
 некоторая, вообще говоря, отличная от рациональная функция от переменной y) :
?
R
1
(y,
?
y
2
+ ?
2
) dy