Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 8 из 18

, где ?
?x?0
?? 0.
(106)
s02.22hc
22.2. Связь дифференциала и производной der diff Теорема diff
22.1. Если в точке существует дифференциал, тов этой точке существует и производная от функции f(x), причјм в формуле (
s02.22hc
106) A = Напротив, если функция f (имеет производную в точке тов этой точке у функции f(x) существует и первый дифферециал, который вычисляется по формуле df = f
?
(x
0
)?x =
df dx
|
x=x
0
· ?x.
(107)
s03.22hc
48

Поэтому дифференцируемой также можно называть функцию, имеющую первый дифферен- циал.
Д ока за тел ь ст в Поделив обе части равенства (
s02.22hc
106) на ?x и перейдя далее к получим, что = lim
?x?0
f (x
0
+?x)?f (x
0
)
?x
= см. определение derivative
15.1 производной в п of der
15.1 џ
derivative
15). Обратное легко следует из равенства (
s08.15hc
63) для x = м. п of der
15.1 Равенство (
s03.22hc
107) применим для функции f(x) ? x. Получим = Подставляя далее вместо ?x его выражение по формуле (
s04.22hc
108), для x
0
= x получим равенство df = f
?
(x)dx.
(109)
s05.22hc
22.3. Свойства первого дифференциала diff prop Аналогично выводу теорем derivative
15.2 
derivative
15.5 и следствию derivative
15.1 доказываются следующие свойства первого дифференциала и читателю предлагается получить их самостоятельно:
теорема diff
22.2. Если в точке существуют дифференциалы df и dg, тов этой точке существует дифференциал суммы этих функций, вычисляемый по формуле d(f + g) = df + dg.
(110)
s06.22hc теорема diff
22.3. Если в точке существуют дифференциалы df и dg, тов этой точке существует дифференциал разности этих функций, вычисляемый по формуле d(f ? g) = df ? dg.
(111)
s08.22hc теорема diff
22.4. Если в точке существуют дифференциалы df и dg, тов этой точке существует дифференциал произведения этих функций, вычисляемый по формуле d(f g) = g· df + f · dg.
(112)
s09.22hc теорема diff
22.5. Если в точке существуют дифференциалы df и dg, a также dg ?= 0, тов этой точке существует дифференциал частного этих функций, вычисляемый по формуле d
f g
=
g· df ? f · dg Также постоянный множитель можно выносить за знак дифференциала, то есть имеет место следствие diff
22.1. Если в точке существуют дифференциал df и c  постоянная величина,
то в этой точке существует дифференциал от cf(x), вычисляемый по формуле d(c· f ) = c· df.
(114)
s11.22hc
22.4. Геометрический смысл первого дифференциала diff geom Рассмотрим приращение ординаты касательной (напоминаем, что касательная к графику функции) в точке x
0
задајтся уравнением (
s02.21hc
103) (см. п of tangent
21.2 в џ
geom der
21)):
?y = y(x
0
+?x)?y(x
0
) = (f (x
0
)+f
?
(x
0
)(x
0
+?x?x
0
))?(f (x
0
)+f
?
(x
0
)(x
0
?x
0
)) = f
?
(x
0
)?x = df
(115)
s12.22hc ввиду формулы (
s05.22hc
109) для первого дифференциала. Таки образом, доказана следующая теорема diff
22.6 (геометрический смысл первого дифференциала).
Первый дифференциал функции в точке является приращением ординаты касательной к графику этой функции в точке x
0 49

22.5. Инвареантность формы первого дифференциала относительно выбора переменных diff invar Теорема diff
22.6 (инвареантность формы записи первого дифференциала относительно выбора переменных. Формула (
s05.22hc
109) для первого дифференциала не зависит оттого, является ли x независимой переменной или некоторой функции от другой величины.
Д ока за тел ь ст в Пусть x = ?(t). Тогда, по формуле (
s05.22hc

109) dx = ?
?
(t) dt и, используя теорему super and inv
16 о производной суперпозиции функций (см of super
16.1 в џ
super and inv
16, равенство (
s01.16hc
70)), из формулы (
s05.22hc
109) имеем (?(t)) = f
?
t
(?(t)) dt = f
?
(x)?
?
(t) dt = f
?
(x) то есть формула (
s05.22hc
109) сохранилась и для переменной Теорема diff
22.6 доказана Правило Лопиталя.
23. Правило Лопиталя.
Lop
23.1. Первая теорема Лопиталя.
Lop1
Lop1 23.1
Теорема
Lop
23.1.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемые в некоторой проколотой окрестности точки a. Пусть далее существуют lim x?a f (x) = lim x?a g(x) = Пусть также g
?
(x) ?= для всех x из некоторой (возможно более узкой) проколотой окрестности точки a. Тогда,
если существует предел отношения производных, то существует и предел отношения функций,
и выполнено равенство lim x?a f (x)
g(x)
= lim x?a Теорему Лопиталя начнјм доказывать с конечной точки a для односторонних пределов.
Лемма
Lop
23.1. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемые в некоторой правой полуокрест- ности точки a. Пусть далее существуют lim x?a+
f (x) = lim x?a+
g(x) = Пусть также g
?
(x) ?= для всех x из некоторой (возможно более узкой) правой полуокрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных, то существует и предел отношения функций, и выполнено равенство lim x?a+
f (x)
g(x)
= lim Доказательство леммы
Lop
23.1
Доопределим функции f(x) ив точке a нулями f(a) = g(a) = 0. Тогда на отрезке [a, выполнены условия теоремы Коши (см. п Коши в џ
Roll
19, формула (
s02.19hc
93)) для b = x : ;
f (x)
g(x)
=
f (x)?f (где ?  некоторая точка между a и x, то есть a < ? < x и поэтому ?
x?a+
?? a + Тогда и lim x?a+
f (x)
g(x)
= lim x?a+
f (x)?f (a)
g(x)?g(a)
= lim
??a+
f
?
(x)
g
?
(x)
= lim Лемм доказана.
Лемма
Lop

23.2. Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемые в некоторой левой полуокрест- ности точки a. Пусть далее существуют lim x?a?
f (x) = lim x?a?
g(x) = Пусть также g
?
(x) ?= для всех x из некоторой (возможно более узкой) левой полуокрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных, то существует и предел отношения функций, и

выполнено равенство lim x?a?
f (x)
g(x)
= lim Лемма оказывается аналогично лемме и читателю предлагается сделать это самостоятельно. Впрочем,еј можно свести клемме, перейдя к новой переменной y = 2a ? x. Применяя далее теорему limit of function
7.2 об односторонних пределах (см. п from one side
7.3 в џ
limit of function
7), получаем формулу (
s01.23hc
116). Для конечной точки a теорема доказана.

Для lim x??
перейдјм к другойтпеременной y Тогда y x??
?? и x Применяя далее уже доказанную теорему для конечного a = 0 и используя равенство для чего нужно взять первую строку в таблице производных (см. џ
table der

17) при ? = ?1) получаем lim x??
f (x)
g(x)
=
= lim y?0
f (
1
y
)
g(
1
y
)
= lim y?0
?f
?
(
1
y
)
1
y2
?g
?
(
1
y
)
1
y2
= lim y?0
f
?
(
1
y
)
g
?
(
1
y
)

= lim x??
f (x)
g(x) (здесь мы также использовали теорему super and inv
16.1 о производной суперпозиции функций (см. п of super
16.1 в џ
super and inv
16, формулу (
s01.16hc
70))). Теорема
Lop
23.1
Лопиталя полностью доказана. Вторая теорема Лопиталя.
Lop2
Lop2 23.2
Теорема
Lop
23.2.
Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемые в некоторой проколотой окрестности точки a. Пусть далее обе функции f(x) и g(x) являются бесконечно большими при x ? a. Пусть также g
?
(x) ?= для всех x из некоторой (возможно более узкой) проколотой окрестности точки a. Тогда, если существует предел отношения производных, то существует и предел отношения функций, и выполнено равенство lim x?a f (x)
g(x)
= lim x?a Теорему Лопиталя будем доказывать схематично, оставляя детали на самостоятельный разбор. Доказывать будем для lim Итак, пусть задано произвольное ? > 0, a lim x?a+
f
?
(x)
g
?
(x)
= Тогда найдјтся такое положительное число что для всех x ? (a, a + выполнено неравенство l| Число a + обозначим зато есть неравенство (
s05.23hc
120) имеет место для любого x ? (a, По теореме Коши (см. п Коши в џ
Roll
19, формула (
s02.19hc
93)) для всякого x ? (a, справедливо равенство f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
=
f
?
(?)
g
?
(?)
,
(121)
s06.23hc где ?  некоторая точка из интервала (x, Атак как существует предел правой части равенства, то величина f (x)?f (ограничена, то есть существует такое число что для всех x ? (a, a+?
2
)
|
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
| < Лемма. При условии теоремы функция f (ограничена для всех x из некоторой правой полуокрестности точки a.
51

Для доказательства леммы преобразуем дробь f (x)?f (x
1
)
g(x)?g(x
1
)
=
f (x)
g(x)
1?
f (x1)
f (откуда f (x)
g(x)
=
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
1 ?
g(x
1
)
g(x)
1 ?
f (x
1
)
f (x)
(123)
s09.23hc
Bторой множитель в равенстве (
s09.23hc

123) имеет предел, равный единице при x ? a+, и поэтому найдјтся такое число ?
3

> что для всех x ? (a, a + справедливо неравенство ?
g(x
1
)
g(x)
1 ?
f (x
1
)
f (x)
| < Положив далее ?
4

= min(?
2
, из неравенств (
s08.23hc
122) и (
s10.23hc
124) при всех x ? (a, a + получим (x)
g(x)
| < 4l,
(125)
s11.23hc и лемма доказана.
Преобразуем разность f (x)
g(x)
?
f (x)?f (x
1
)
g(x)?g(x
1
)
=
f (x)g(x)?f (x)g(x
1
)?f (x)g(x)+f (x
1
)g(x)
g(x)(g(x)?g(x
1
))
=
=
f (x)
g(x)
g(x
1
)
g(x)?g(x
1
)
?
f (Отметим, что обе дроби и f (имеют нулевой предел при x ? a+. Тогда, используя лемму, получаем, что и вся эта разности стремится к нулю при x ? a+ то есть найдјтся такое число что при всех x ? (a, a + выполнено неравенство (x)
g(x)
?
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)

| Пусть теперь ? = min(?
1
, Тогда для всех x ? (a, a + ? pасмотрим
|
f (x)
g(x)
? l| = |(
f (x)
g(x)
?
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
) + (
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
? l)| ? |
f (x)
g(x)
?
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
| + |
f (x) ? f (x
1
)
g(x) ? g(x
1
)
? Оценивая далее первое слагаемое в правой части (
s13.23hc
127) неравенством (
s12.23hc
126), a второе слагаемое равенством (
s06.23hc
121) и неравенством (
s05.23hc
120), получим, что f (x)
g(x)
? l| < Теорема Лопиталя для x ? a+
доказана.
Завершеие доказательства теоремы Лопиталя аналогично окончанию вывода теоремы
Lop
23.1
Лопиталя и читателю предлагается провести это самостоятельно. Контрпримеры.
Lce
Lce
23.3
Контрпример
Lop
23.1 Найти lim Непосредственной подстановкой убеждаемся, что предел завен двум. Однако пределотношения производных Таким образом, требование о том, что числитель и знаменатель вместе являются либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими величинами, существенно. При его несоблюдении правило
Лопиталя становится неверным

Отметим, что правило Лопиталя справедливо ив случае, когда отношение производных является бесконечно большой величиной, ибо, применив его (правило Лопиталя) к обратной дроби g(x)
f (убеждаемся, что тогда и отношение функций f (x)
g(x)
 бесконечно большая величина.
Контрпример
Lop

23.2. Найти lim x??
4x+sin x
2x?cos Если мы применим правило Лопиталя, то отношение производных x
2+sin x предела не имеет 2
?=
4+cos(?+2?n)
2+sin(?+2?n)
=

3 Однако предел отношения функций всј же существует, и его можно найти следующим образом x??
4x+sin x
2x?cos x
=

4+ lim x??
sin x x

2? lim x??
cos x x

= ибо lim x??
sin x x

= lim x??
cos x x
= как частное при делении ограниченных функций sin x и cos x на бесконечно большую Из правила Лопиталя, в частности, следует, что если функция f(x) дифференцируемая в некоторой проколотой окрестности точки a, то она имеет производную ив самой точке a и выполнено равенство lim x?a f
?
(x) = В самом деле, в пределе определения производной применим правило Лопиталя:
f
?
(a) = lim x?a f (x)?f (a)
x?a
= lim x?a Таким образом, производная никакой функции не может иметь точек разрыва первого рода. Однако:
Контрпример
Lop
23.3. Найти производную от функции f(x) =
? x
2
sin
1
x
, если x ?= 0 для x = Если x ?= 0, то f
?
(x) = 2x sin
1
x
? x
2
cos(
1
x
)
1
x
2
= 2x sin
1
x
? cos
1
x
 разрывная в точке x = функция. Тем не менее, производная от этой функции в нуле существует, и найдјм е соглаcно определению производной) = lim x?0
f (x)?f (0)
x
= lim x?0
x
2
sin
1
x x
= lim x?0
x sin
1
x
= как произведение бесконечно малой функции x на ограниченную Таким образом, точки разрыва второго рода производная может иметь Производные и дифференциалы высших порядков. Производные и дифференциалы высших порядков. Определение производных высших порядков dern def Определение dern
24.1. Производную от функции ещј называют е первой производной.
Определение dern
24.2: 1. Второй производной называется первая производная от первой производной запись f
??
(
x) = (f
?
(
x))
?
2. Третьей производной называется первая производная от второй производной запись) = (f
??
(
x))
?
3. Четвјртой производной называется первая производная от третьей производной запись) = (й производной называется первая производная от (й производной запись f
(
n)
(
x) = (водятся следующие классы функций
Определение dern
24.3. C
n
(
a, b)  это множeство всех функций, имеющих на отрезке [a, b] n непрерывных производных

Определение dern
24.4. C
?
(
a, b)  это множeство всех функций, имеющих на отрезке [a, b] n производны любого порядка согласно теореме derivative
15.1 (см. п of der
15.1 в џ
derivative
15) все эти производные непре- рывны.
Определение dern
24.5. Функция называется гладкой в заданной точке, если в этой точке она имеет непрерывную производную.
Функция из контрпримера гладкой в точке x = 0 не является, хотя она и дифференцируема в нуле.
Контрпример dern
24.1. Функция f(x) = x имеет n непрерывных производных в любой точке,
однако ей производной в нуле не существует.
Контрпример dern
24.2. Функция f(x) =
? x
2n sin
1
x
, если x ?= 0 для x = 0. имеет производных в каждой точке, однако е n ? я производная в нуле разрывна. Некоторые примеры dern ex Найти производные n ? го порядка:
Пример dern
24.1. (x
?
)
(n)
= ?(? ? 1) . . . (? ? n + 1)x
??n
B частности:
для ? = k < n и целого неотрицательного (x k
)
(n)
= для ? = n (x n
)
(n)
= n! = 1· 2· 3· . . . · для ? = ?1 :
(
1
x
)
(n)
=
(?1)
n n!x Пример dern
24.2. (e x
)
(n)
= e и (a x
)
(n)
= a x
(ln Пример dern
24.3. (sin x)
(n)
= sin(x +Полезно также знать следующие формулы x)
(4k)
= sin x;
(sin x)
(4k+1)
= cos x;
(sin x)
(4k+2)
= ? sin x;
(sin x)
(4k+3)
= ? cos Пример dern
24.4. (cos x)
(n)
= cos(x +Полезно также знать следующие формулы x)
(4k)
= cos x;
(cos x)
(4k+1)
= ? sin x;
(cos x)
(4k+2)
= ? cos x;
(cos x)
(4k+3)
= sin Пример dern
24.5:
(ln x)
(n)
= (
1
x
)
(n?1)
=
(?1)
n?1
(n?1)!x n
24.3. Свойство линейности и формула Лейбница der n prop der Теорем dern
24.1. Пусть f(x) и g(x)  некоторые функции, у которых в точке a существуют и g
(n)
(x),
a ? и ?  постоянные числа. Tогда в этой точке a существует и (x) + и имеет место формула (x) + ?g(x))
(n)
= ?f
(n)
(x) + Теорема dern
24.1 легко вытекает из теоремы derivative
15.2 и следствия derivative
15.1 для первых производных (см. п of в џ
derivative
15, формулы (
s09.15hc
64) и (
s13.15hc
67)) и читателю предлагается доказать эту теорему саостоятельно.
В частности, при ? = ? = 1 из равенства (
s01.24hc
129) следует, что я производная суммы равна сумме х производных для ? = 1 и ? = ?1 из этого равенства вытекает, что я производная разности равна разности х производных, а положив ? = 0, получим, что постоянный множитель ? можно выносить за знак й производной.
Для й производной произведения формула значительно сложнее и мы е приведјм без доказательстве вывод требует весьма глубокого исследования

Теорем dern
24.2 (формула Лейбница. Пусть f(x) и g(x)  некоторые функции, у которых в точке a существуют и g
(n)
(x).
Tогда в этой точке существует и (и имеет место формула (x)g(x))
(n)
=
n
?
k=0
C
k n
f k
(x)g
(n?k)
(x),
(130)
s02.24hc где C
k n
=
n!
k!(n?k)!
, f
(0)
(x) = f (x), 0! = 1, определен в примере dern
24.1 и n
?
k=0
a k
= a
0
+ a
1
+ a
2
+ . . . + a n
Вообще-то C
k n
 это биномиальные коэффициенты в формуле (a + b)
n
=
n
?
k=0
C
k n
a k
b n?k
B качестве примеров приведјм формулы для второй и третьей производных произведения (x)g(x))
??
= f (x)g
??
(x) + 2f
?
(x)g
?
(x) + и (x)g(x))
???
= f (x)g
???
(x) + 3f
?
(x)g
??
(x) + 3f
??
(x)g
?
(x) + При переходе к новой переменной здесь действует лишь формула линейной подстановки для остальных подстановок формулы воглядят крайне неудобоваримо и их нужно выводить.
Теорема dern
24.3 (линейная подстановка. Пусть f(x) = F
(n)
(x),

a ? и ?  постоянные числа. Тогда + ?) = ?
n f (?x + Для вывода теоремы dern
24.3 надо n раз применять теорему super and inv
16 в п of super
16.1 џ
super and inv
16 (формула (
s01.16hc
70)) для функции g(x) = ?x+?. прочем, корректнее здесь уже надо будет применять метод матаматической индукции. Читателю предлагается провести этот вывод самостоятельно. Дифференциалы высших порядков и их линейность def n lin def Определение dern
24.6. 1. Вторым дифференциалом называется первый дифференциал от первого дифференциала, при этом dx считается постоянной величиной запись d
2
f = d(df).
2. Третьим дифференциалом называется первый дифференциал от второго дифференциала,
при этом dx читается постоянной величиной запись d
3
(
f) = d(d
2
(
f)).
3. Четвјртым дифференциалом называется первый дифференциал от третьего дифференциала производной при этом dx считается постоянной величиной запись d
4
(
f) = м дифференциалом называется первый дифференциал от (n ? 1) ? го дифференциала, при этом dx считается постоянной величиной запись d n
(
f) = d(d Теорема dern
24.4. Имеет место следующая формула n
(f ) = Теорему dern
24.4 доказываем методом математической индукции. База индукции n = 1. Это равенство (
s05.22hc
109) для пeрвого дифференциала (см. п diff
22.3 в џ
diff
22).
2. Шаг индукции для n = k верно. Доказываем (
s04.24hc
132) при n = k + 1.
d k+1
(f ) = d(d k
(f )) = d(f
(k)
(x)(dx)
k
) = (dx)
k d(f
(k)
(x)) = (dx)
k
(f
(k)
(x))
?
dx = f Теорема dern
24.4 доказана.
Для дифференциалов имеют место утверждения, аналогичные теоремами теорем dern
24.5. Пусть f(x) и g(x)  некоторые функции, у которых в точке a существуют d
n
(f и d n
(g),
a ? и ?  постоянные числа. Tогда в этой точке a существует и d
n
(?f (x) + и имеет место формула d
n
(?f (x) + ?g(x) = ?d n
(f (x)) + ?d и .
(133)
s05.24hc
55

теорем dern
24.6 (формула Лейбница. Пусть f(x) и g(x)  некоторые функции, у которых в точке a существуют d n
(f и d n
(g).
Tогда в этой точке существует и d
n
(f (и имеет место формула d
n
(f (x)g(x)) =
n
?
k=0
C
k n
d k
(f (В отличие от первого дифференциала d при k ? 2 свойством инвареантности не обладают, то есть d n
(f (для n ? 2, вообще говоря зависят оттого, является ли x независимой переменной или некоторой функцией от другой переменной. Все дифференциалы, начиная со второго, в этом случае могут различаться Формула Тейлора. Формула Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
TL
TL
25.1
Пусть в некоторой окрестности точки a функция f(x) имеет (у производную. Рассмотрим многочлен) = T
(f )
n
(x) =
n
?
k=0
f
(k)
(a)
k!
(x ? a)
k
=
= f (a) + f
?
(a)(x ? a) +
f
??
(a)
2
(x ? a)
2
+
f
???
(a)
6
(x ? a)
3
+ . . . +
f
(k)
(a)
k!
(x ? a)
k
+ . . . +
f
(n)
(a)
n!
(x ? Определение Определјнный формулой (
s01.25hc
135) полином T
(f называется многочленом Тейлора от функции Отметим следующие свойства многочлена Тейлора) = f (a); T
?
n
(a) = f
?
(a); T
??
n
(a) = f
??
(a); . . . ; T
(n?1)
n
(a) = и T
(n)
n
(x) ? Равенства читателю предлагается проверить непосредственно.
Рассмотрим функцию g(x) = f (x) ? T
n
(x) ?
f (b)?T
n
(b)
(b?a)
n+1
(x ? виду равенств (
s02.25hc
136)
g(b) = g(a) = g
?
(a) = g
??
(a) = . . . = g
(n)
(a) = По теореме Ролля (см. п Roll
19.2 в џ
Roll