Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets

• Название: Курс лекций по математическому анализу. Основы теории множеств. Действительные числа Основы теории множеств. Действительные числа. Введение в теорию множеств. Логическая символика sets
• Анкор: lektsii_po_matematicheskomu_analizu
• Дата: 03.09.2022
• Размер: 1.12 Mb.
• Имя файла: lektsii_po_matematicheskomu_analizu.pdf
• Тип: Курс лекций; #660797
• страница: 4 из 18

, Тогда для всякого x такого, что a ? ?
1
< a ? ? < x < a + ? < a + также справедливо (
s1.7hc
26), то есть существует и lim x?a f (x) = Теорем limit of function
7.2 доказана. Критерий Коши
Критерий Коши для предела функций
Критерий Коши для предела функций
7.4
Теорема (критерий Коши. Существует lim f(x) тогда и только тогда, когда для любого положительного числа ? найдјтся такая проколотая окрестность точки a, что для всех и из этой проколотой окрестности справедливо неравенство |f(x
1
) ? f (x
2
)| < База предела (x ??) определяется исходя из заданных выше семейства проколотых окрестностей.
Доказательство критерия Коши аналогично его выводу для последовательностей (см Коши в џ
limit
4) и здесь не приводится. Читателю предлагается вывести его самостоятельно. Ограниченность функции, имеющей предел of function bounded of Определение limit of function
7.6. Функция называется ограниченной п базе, (или финально ограниченной при x ?? если она ограничена в некоторой проколотой окрестности этой базы.
Например, функция f(x) =
1

x ограничена по базе x ?
1 ибо (докажите это) в окрестности этой базы 3
<
1
x
< однако не ограничена по базе x ? Теорем limit of function
7.3. Если функция имеет предел, то она ограничена по базе предела.
Теоремa limit of function
7.3 доказывается аналогично соответствующей теореме limit
4.2 для последовательностей (см.
п.
bounded of convergence
4.3 в џ
limit
4) и читателю предлагается провести его самостоятельно. Бесконечно большие и бесконечно малые функции и их взаимосвязь large and small functions infinite large and small Определение limit of Функция называется бесконечно малой по заданной базе, если еј
предел по заданной базе равен нулю.
Определение limit of function
7.8. Функция h(x) называется бесконечно большой по заданной базе,
если для всякого положительного числа M существует проколотая окрестность этой базы, для любой точки x из этой проколотой окрестности выполнено неравенство |f(x)| > Аналогично последовательностям (см. џ
infinite large and small
5) доказываются следующие теоремы читателю предлагается вывести их самостоятельно:
Теорема limit of function
7.8. Если ?(x) бесконечно малая функция, то
1
?(
х)
?
бесконечно большая функция по той же базе.
Теорема limit of function
7.9. Если h(x)? бесконечно большая фнкция, то
1
h(
х)
?
бесконечно малая функция по той же базе.
Теорема limit of function
7.10 Сумма двух бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией.
Тeорема limit of function
7.11. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную поданной базе является бесконечно малой функцией поданной базе.
Теорема limit of Произведение бесконечно малой функции на функцию, имеющую (конечный)
предел поданной базе, является бесконечно малой функцией поданной базе.
Теорема limit of function
7.13. Произведение двух (и любого конечного числа) бесконечно малых функций является бесконечно малой функцией поданной базе

Tеорема limit of function
7.14. Частное при делении ограниченной по некоторой базе функции на бесконечно большую функцию по той же базе есть бесконечно малая функция по той же базе. Арифметические операции над пределами функций and product on limits of functions sum and product on limits of Аналогично последовательностям (см. џ
ariphmetic on limits
6) доказываются следующие теоремы читателю предлагается вывести их самостоятельно:
Теорема limit of function
7.15. число l является пределом функции f(x) по некоторой базе тогда и только тогда, когда разность f(x) ? l является бесконечно малой функцией поданной базе.
Теорема limit of function
7.16. Если существуют оба предела от функций f(x) и g(x) по некоторой (одной и той же базе, то по той же базе существует предел их суммы, равный сумме этих пределов.
Теорема limit of function
7.17. Если существуют оба предела от функций f(x) и g(x) по некоторой (одной и той же базе, то по той же базе существует предел их разности, равный разности этих пределов.
Теорема limit of function
7.18. Если существуют оба предела от функций f(x) и g(x) по некоторой (одной и той же базе, то по той же базе существует предел их произведения, равный произведению этих пределов.
Теорема limit of function
7.19. Если существуют оба предела от функций f(x) и g(x) по некоторой (одной и той же базе) и при этом предел знаменателя отличено нуля, то по той же базе существует предел их частного, равный частному этих пределов. Переход к пределу в неравенствах и теорема о пределе функции,
заключјнной между двумя, имеющих одинаковае пределы of 3 police of functions theorem of 3 police of В дальнейшем, если не имеет значения, по какой базе вычисляется предел, будем прсать как lim
B
f (x),
a множества из базы B (проколотые окрестности, правые либо левые полуокрестности)
будем называть окончаниями этой базы. Cледующие две теоремы доказываются аналогично соответствующим теоремам џ
limit
4 (теоремы limit
4.5 ив пи читателю предлагается просести их вывод самостоятельно.
Teopeма limit of function
7.20. Если для всех x из некоторого окончания базы B выполняется неравенство f (x) ? и существуют оба предела lim
B
f (и то lim
B
f (x) ? Аналогично последовательностям, требование о существовании обоих пределов существенно. Строгое неравенство при переходе к пределу может и не сохранится.
Teopeма limit of function
7.21. Если для всех x из некоторого окончания базы B выполняется неравенство g(x) ? f (x) ? h(x),
a также пределы по этой базе у функций g(x) и h(x) cуществуют и совпадают lim
B
g(x) = то поданной базе существует и предел от функции f(x), который совпадает с пределами ль предыдущих двух функций lim
B
f (x) = lim
B
g(x) = lim
B
h(x).
7.9. Монотонные функции functions monotone Определение limit of function
7.9. Функция f(x) называется монотонно неубывающей на множестве
A,
если для всех x, y ? A таких, что x ? y выполнено неравенство f(x) ? Определение limit of function
7.10. Функция f(x) называется монотонно возрастающей на множестве
A,
если для всех x, y ? A таких, что x < y выполнено неравенство f(x) < Определение limit of function
7.11. Функция f(x) называется монотонно невозрастающей на множестве, если для всех x, y ? A таких, что x ? y выполнено неравенство f(x) ? f(y).
21

Определение limit of function
7.12. Функция f(x) называется монотонно убывающей на множестве
A,
если для всех x, y ? A таких, что x < y выполнено неравенство f(x) > Определение limit of function
7.13. Функция f(x) называется монотонной на множестве A, если она или монотонно неубывает, или монотонно невозрастает на этом множестве.
Определение limit of function
7.13. Функция f(x) называется строго монотонной на множестве если она или монотонно убывает, или монотонно возрастает на этом множестве.
Например, функция f(x) = монотонно возрастает на полупрямой [0, ?), однако не является монотонной на всей вещественной прямой. Функция f(x) = sin
1
x не является монотонной нив одной правой (a также левой) полуокрестности нуля. А приведјнная в п џ
functions
2 функция Дирихле не является монотонной ни на одном отрезке вещественной прямой.
Сформулируем аналог теоремы Больцано-Вейерштрасса, который доказывается аналогично соответствующей теоремы для последовательностей, и читателю предлагается получить его самостоя- тельно.
Теорема limit of function
7.22. Если функция монотонна и ограничена в некоторой окрестности точки то она в этой точке имеет оба односторонних предела.
Контрпример limit of function
7.1 в п from one side
7.3 показывает, что двустороннего предела для монотонной функции может и не быть, ибо эти односторонние пределы могут различаться. Однако, если принять, что a? ? то для значений f(a+) = lim x?a+

f (и f(a?) = lim x?a?
f (будут неравенства согласно монотонности функции f(x).
џ
first and second good limits
8 Первый и второй замечательные пределы. Первый и второй замечательные пределы and second good limits
8.1. Первый замечательный предел good Теорема first and second good limits
8.1: Первый замечательный предел x?0
sin x x
= Сначала докажем неравенство sin x ? x ? tg x
, если 0 ? x На координатной плоскости XOY строим окружность единичного радиуса с центром вначале координат (точке O). обозначим заточку пересечения этой окружности с осью абсцисс, лежащую правее начала координат. Изначала координат (точки O) проводим луч под углом x коси абсцисс и обозначим заточку пересечения этого луча с построенной ранее единичной окружностью точка
B
находится впервой четверти, ибо 0 < x Из точки A проводим перпендикуляр коси абсцисс;
пусть C? точка пересечения этого перпендикуляра с построенным ранее лучом.
Читателю нужно построить чертјж согласно вышеуказанному описанию.
Получились: треугольник OAB, который целиком лежит в секторе окружности OAB ( x  центральный угол этого сектора, и этот сектор целиком находится в прямоугольном треугольнике
OAC.
То есть площадь треугольника OAB, равная 2
sin половине произведения длин его сторон,
которые равны радиусу единичной окружности, то есть единице, на синус угла между ними, меньше, чем площадь сектора OAB, которая равна как площадь сектора единичной окружности с центральным углом (в радианах) x, a площадь этого сектора, в свою очередь, меньше, чем площадь прямоугольного треугольника OAC, которая равна половине произведения катетов OA и OC, причјм
22

катет OA равен радиусу единичной окружности (то есть единице, а катет AC равен произведению длины катета OA, то есть единицы, на тангенс угла x, то есть площадь треугольника OAC равна 2
tg Получено неревенство
1 2

sin x ?
x
2
?
1 2
tg если 0 ? x Умножив все части последнего неравенства на два, получим (Изв частноти получаем, что sin x ? x для все x ? 0, ибо если x то sin x ? 1 <
?
2
< x.
A перейдя в неравенстве sin x ? x к абсолютным величинами используя нечјтность функции sin выводим неравенство sin x| ? для всех действительных Поделив все части нераенства (
s2.8hc
28) на sin x (который положителен при 0 < x получим ?
x sin x
?
tg x sin x
=
1

cos Перейдя в последнем неравенстве к обратным дробям, получим, что cos x ?
sin x x
? 1
, если 0 < x ?
?
2
(30)
s4.8hc
Найдјм теперь lim x?a cos x.
Берјм произвольное ? > 0 и положим ? = ?. Для любого x, такого, что |x ? a| < ?, ценим абсолютную величину разности | cos x ? cos a| = | ? 2 sin x?a
2
sin Второй множитель в последнем неравенстве, используя (
s4.8hc
30), оцениваем сверху его аргументом, а третий множитель  единицей.
Получим, что | cos x ? cos a| ? 2|
x?a
2
| = |x ? a| = ? = то есть, согласно определению Коши (см. п.
Гейне и Коши
7.1
в џ
limit of function
7, неравенство x?a cos x = cos Таким образом, lim x?0
cos x = cos 0 = и, перейдя в неравенстве (
s4.8hc
30) к lim x?0+
,
a также используя теоpему limit of function
7.21 в п of 3 police of functions
7.8 џ
limit of function
7, получим равенство lim x?0+
sin x x
= 1.
(32)
s6.8hc
A так как дробь sin x является чјтной функцией (как отношение двух нечјтных функций, то,
перейдя в равенстве (
s6.8hc

32) от x к ?x (и тогда ?x ? 0+, если x ? 0?) получаем, что и предел слева lim x?0?
sinx x
= Тогда равенство (
s1.8hc
27) получается из (
s6.8hc
32) и (
s7.8hc
33), а также теоремы limit of function
7.2 п from one side
7.3 в џ
limit of function
7. Теорема first and second good доказана. Второй замечательный предел good Теорема first and second good limits

8.2: Второй замечательный предел x??
(1 +
1
x
)
x

= начала докажем, что lim x?+?
(1 +
1
x
)
x
= По заданному x берјм число n = [x], то есть наибольшее целое число, не превосходящее x. Если x ? +то n? натуральное число и n ? ?. Поэтому к n можно применять теоремы из џ
limit
4, п e
4.5, в частности (
s6.4hc
19). По определению числа n получаем неравенство n ? x < n + 1 и поэтому +
1
n + 1
)
n
? (1 +
1
x
)
n
? (1 +
1
x
)
x
? (1 +
1
n
)
x
? (1 +
1
n
)
n+1
(36)
s10.08hc
23

Положив m = n + 1 (тогда n = m ? 1 и m ? ?, если n ? ?, из (
s6.4hc

19) получим lim n??
(1 +
1
n + 1
)
n

= lim m??
(1 +
1
m
)
m?1
=

lim m??
(1 +
1
m
)

m lim m??
(1 +
1
m
)
= e,
(37)

s11.08hc a также lim n??
(1 +
1
n
)
n+1

= lim n??
(1 +
1
n
)

n lim n??
(1 +
1
n
) = Равенство (
s9.8hc
35) cледует из (
s11.08hc
37), (
s12.08hc
38) и теоремы limit of function
7.21 п of 3 police of functions
7.8 в џ
limit of function
7. (
s9.8hc
35) доказано.

Рассмотрим теперь lim x???
(1 +Положим y = ?x. Тогда y ? +? и lim x???
(1 +
1
x
)
x
=
=

lim y?+?
(1 ?
1
y
)
?y
=
1

lim y?+?
(1?
1
y
)
y
=

lim y?+?
(
y y?1
)
y
=

lim y?+?
(
(y?1)+1
y?1
)
y
=

lim y?+?
(1 +Положим теперь z = y ? 1. Тогда y = z + 1, z ? +? если y ? +? и из предыдущего равенства получаем lim x???
(1 +
1
x
)
x

= lim z?+?
(1 +
1
z
)
z+1

= lim z?+?
(1 +
1
z
)

z lim z?+?
(1 +
1
z
) = e ввиду равенства (Тогда равенство (
s8.8hc
34) получается из (
s9.8hc
35) и (
s13.08hc
39), а также теоремы limit of function
7.2 п from one side
7.3 в џ
limit of function
7. Теорема first and second good доказана Сравнение функций. равнение функций. Обозначения O и o .
O and o
O and Определение Говорят, что g(x) = O(f(x)) по базе В,
если их отношение g(x)
f (ограничена по базе База B? это система окрестностей определений limit of function
7.1 
limit of function
7.5 либо x ? a. (см. џ
limit of function
7, п.
Гейне и Коши и п from one В частности, обозначение ограниченной величины по базе B : O(1) по базе Из теоремы limit of function
7.3 (м. џ
limit of function
7, п of function
7.5) следует, что если существует (конечный) lim
B
g(x)
f (то g(x) = по бaзе B. Обратное, вообще говоря, неверно.
Контрпример comparision
9.1. Для f(x) =
1
x и g(x) =
sin x будет g(x) = O(f(x)) при x ? ?, однако предела отношения g(x)
f (x)
= sin x при x ? ? не существует, ибо при x n
=
?
2

+ 2?n n??
?? ? sin x n
= 1,
a для y
n
= ?
?
2

+ 2?n n??
?? будет sin y n
= ?1 ?= то есть, согласно определению Гейне, (cм.
Гейне и Коши вне существует.
По базе x ? 0 cходный контрпример получается для функций f(x) = x и g(x) = x Определение Говорят, что g(x) = o(f(x)) по базе В,
если предел их отношения lim
B
g(x)
f(x)
=
0. Если при этом f(x)? бесконечно малая функция по базе В, то тогда говорят, что бесконечно малая более высокого порядка по отношению к f(x) по базе Например, x
2
= причастности) по базе B? это обозначение бесконечно малой величины поданной базе

9.2. Равносильные и эквивалентные величины Определение comparision
9.3. Величины f(x) и g(x) называются равносильными или одного порядка по базе B (запись f ? g = f(x)
B
?
g(x)), если f(x) = O(g(x)) и g(x) = O(f(x)) по базе
B.
Из теоремы limit of function
7.3 (м. џ
limit of function
7, п of function
7.5) легко следует (ибо lim
B
f (x)
g(x)
=
1
lim
B
g(x)
f (x)
?= если lim
B
g(x)
f (x)
?= следующая теорем comparision
9.1. Если существует lim
B
g(x)
f (x)
?= то f(x)
B
? Контрпример comparision
9.2. Для f(x) = x и g(x) =
2+sin
1
x x
f (x)
x?0

? ибо 1 ?
g(x)
f (x)
= 2 + sin
1
x
? и 3
?
g(x)
f (x)
=
1 2+sin
1
x
? однако lim x?0
g(x)
f (x)
= lim x?0
(2 + не существует.
Ocновные свойства равносильности. Рефлексивность f ? f.
2. Симметричность Если f ? g, то g ? f .
3. Транзитивность:
Если f ? g и g ? h, то f ? h, ибо если |
g f
| ? и |
h g
| ? то f
| = |
g f
||
h g
| ? Определение comparision
9.4. Величины f(x) и g(x) называются эквивалентными по базе запись f ? g = f(x)
B
?
g(x), если lim
B
g(x)
f (x)
= 1.
Ocновные свойства эквивалентности. Рефлексивность f ? f.
2. Симметричность Если f ? g, то g ? f, ибo lim
B
g(x)
f (x)
=
1
lim
B
f (x)
g(x)
3. Транзитивность:
Если f ? g и g ? h, то f ? h, ибо если lim
B
g(x)
f (x)
= lim
B
h(x)
g(x)
= то lim
B
h(x)
f (x)
= lim
B
g(x)
f (x)
lim
B
h(x)
g(x)
= 1.
Tеоремa comparision
9.2. f ? g тогда и только тогда, когда f ? g = o(f) = Доказательство (x)?g(x)
f (x)
= 1 ? lim
B
g(x)
f (x)
= 1 ? 1 = и если 0 = lim
B
f (x)?g(x)
f (x)
= 1 ? lim
B
g(x)
f (то lim
B
g(x)
f (x)
= Для функции g(x) доказывается аналогично. Вычисление пределов путјм выделения главной части part main part
9.3
Tеоремa comparision
9.3. Если f(x)
B
? и существует lim
B
f (то существует и предел lim
B
g(x)h(x) = lim
B
f (То есть для вычислеия предела произведения или частного множитель можно заменить навели- чину, эквивалентную ему. Предел при этом не изьенится.
Oтметим, что для суммы или разности теорем comparision
9.3. становится неверной. Там нужно применять теорему Доказательство теоремы Если g(x)
B
? f (то g(x) ? f(x) = ?(x)f(x) или g(x) = f(x) + ?(x)f(x), где ?(x)? бесконечно малая величина по базе B, то есть lim
B
?(x) = Тогда lim
B
g(x)h(x) = lim
B
(f (x) + ?(x)f (x))h(x) = lim
B
f (x)h(x) + lim
B
?(x) lim
B
f (x)h(x) = lim
B
f (Теорем comparision
9.3 доказана

џ
continious in point
10 Непрерывность функции в точке. Непрерывность функции в точке in point
10.1. Определение непрерывной функции в точке def cont Определение continious in point
10.1. Функция f(x) называется непрерывной в точке a, если существует lim x?a f (x) = f (Исходя из определения предела по Коши (см.
Гейне и Коши в џ
limit of function
7) дадим другое определение непрерывной в точке a функции:
функция f(x) называется непрерывной в точке a, если для любого положительного ? найдјтся число > такое, что для всякого x, такого, что |x ? a| < ? справедливо неравенство (x) ? f (a)| < Требование на то, что x ?= a не накладывается, так как при x = a неравенство (
s01.10hc
40) очевидно выполняется.
Согласно примерами (см examples
7.2 в џ
limit of function
7), a также равенству (
s5.8hc
31) в п good limit
8.1 џ
first and second good limits
8, функции f (x) ? c = const, f (x) = x и f(x) = cos x непрерывны на всей действительной прямой (то есть во всякой вещественной точке Определение continious in point
10.2. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке a, если существует lim x?a+
f (x) = f (Определение continious in point